第五章 图形的轴对称（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版2024）

第五章 图形的轴对称（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．窗花是中国古老的民间艺术之一，美术老师布置同学们设计窗花，下列的窗花图为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．熟练掌握轴对称图形的识别是解决问题的关键． 【详解】解：A、该图不是轴对称图形，故不符合题意； B、该图不是轴对称图形，故不符合题意； C、该图是轴对称图形，故符合题意； D、该图不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2．下列说法中，不正确的是（   ） A．线段是轴对称图形 B．线段有无数条对称轴 C．将线段对折使其两个端点重合，则折痕所在的直线就是线段的垂直平分线 D．线段的垂直平分线是它的一条对称轴 【答案】B 【分析】本题考查了线段的轴对称性质，根据线段的轴对称性质求解即可． 【详解】解：A、线段是轴对称图形，正确，不符合题意； B、线段只有两条对称轴即它的垂直平分线以及线段所在的直线，原说法错误，符合题意． C、将线段对折使其两个端点重合，则折痕所在的直线就是线段的垂直平分线，正确，不符合题意； D、线段的垂直平分线是它的一条对称轴，正确，不符合题意． 故选：B． 3．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别是解题的关键．角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解． 【详解】解：∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点． 故选：B． 4．如图，点为的平分线上一点，于点，，点为上任意一点，则满足的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点P作，交于，根据角平分线的性质求出，再根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，过点P作，交于， ∵平分，，， ∴， 由垂线段最短可知：满足的点N有一个， 故选：A． 5．如图，已知，是的角平分线，垂直平分，分别交于点E，M，F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．先根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，已知，，的垂直平分线交于点D，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点．掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵、， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，三角形纸片中，．沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，折痕为，则的周长是（   ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折，熟练掌握翻折的性质，前后对应线段相等是解题的关键． 由翻折得，，则的周长等于，即得． 【详解】解：∵沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为， 故选：A． 8．在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．14 D．10或14 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得：，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可得到答案．熟练掌握垂直平分线性质，数形结合，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：当点在点左侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 当点在点的右侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 综上所述，的周长为10或14， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由平行线的性质得到的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此可由平角的定义求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 10．如图所示，在中，将与分别沿和折叠，使点，都与点重合，若，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了折叠性质，三角形的内角和定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 由折叠性质可得，，则，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：因为将点与点分别沿和折叠使点，与点重合， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 故答案为：． 11．如图，是的角平分线，是的高线．若，则的长为 ． 【答案】1.6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于由角平分线的性质定理得出，由三角形的面积公式得出进而可得出． 【详解】解：过D作于 是的高线，是的角平分线， ， ， 解得 ， 故答案为： 12．如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点F．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据可知，再根据是的中点可求出，利用可得， 可得，，结合已知可得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质判断出即可证得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 13．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作，垂足为点．若的面积为9，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查基本作图-尺规作角平分线、角平分线的性质、三角形的面积，得到是的平分线是解答的关键．根据作图过程得到是的平分线，过F作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过F作于H，如图， 由作图过程得到是的平分线，又，， ∴， ∵，的面积为9， ∴， 解得， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处．    (1)用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)设，求（用含的代数式表示）． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了翻折变换，长方形的性质，余角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可得到答案； （2）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，再表示出，最后根据是的余角，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ； （2）解：四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， ． 15．如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题:（用直尺画图，保留痕迹） (1)格点（顶点均在格点上）的面积为_____________； (2)画出格点关于直线对称的； (3)在上找一点P使得周长最小． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析 【分析】本题主要考查网格与图形的变化，掌握网格求几何图形面积，对称轴图形及其性质求线段最短的方法是解题的关键． （1）根据网格求几何图形面积的计算方法即可求解； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据对称轴图形的性质，两点之间线段最短的方法即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵的周长为，的值是定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 如图，连接交于点， ∴根据两点直线，线段最短得到，此时的值最小时， ∴点P即为所求． 16．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求； （2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论； （3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求. 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， ，， 则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 17．在中，，为边中点，点在，所在直线上，． (1)若，如图1，画点，使点与点关于所在直线对称，连，，直接写出的大小； (2)如图2，点在延长线上，点在延长线上，点为点关于所在直线的对称点，连，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了轴对称变换，，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据要求画出图形，得到，得出，得到，得证，得出，即可得到答案； （2）连接延长到，得到，求出，可证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求，连接， ， ， 关于对称， ， ，，， ， ，， ， 为边中点， ， ， ， ； （2）证明：如图2，连接延长到， 关于对称， ， Q，， ， ，， ， ，， ， 为边中点， ， ， ． 18．如图1，是的角平分线，为上任意一点，于，于． (1)求证：； (2)如图2，在中，是的角平分线，于，于，若，，求的值； (3)如图3，在中，是的外角平分线，交的延长于点，当，时，求与的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （）根据角平分线的定义可知，再证，由全等三角形的性质即可； （）由（）得：，利用等面积即可求出； （）同（）理可以求出，则． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴由（）得：， 设点到的距离为， ∴， 则有， （3）解：如图，过交的延长线于，交的延长线于，过作于， 由（）得：， ∴， 则有，即， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，在中，，，为上一点，，，那么度数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，由“”可证，可得，由外角的性质可求解． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．如图，长方形纸片，E为边上一点，将纸片沿，折叠，点A落在位置，点D落在位置，若，则 ． 【答案】85 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），角的计算，根据折叠的性质得到，，根据已知条件和角的和差即可得到结论，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将纸片沿，折叠，点A落在位置，点D落在位置， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：85． 21．如图，在中，的面积为20．垂直平分，分别交边于点D，E，点F为直线上一动点，点G为的中点，连接，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，将则的周长的最小值转化为的长是解题的关键．连接，由是的垂直平分线，得点A与C关于对称，则最小值为的长，且为定值，再运用面积即可求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴点A与C关于对称， ∴， 此时，最小值为的长， ∵，点G为的中点， ∴， ∵的面积为20， ∴， ∴， ∴的最小值为8， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 22．如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． 23．小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧，，，，点E为AB的中点．若，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿CE、DE翻折得到和，连接．最后小华求解正确，得到CD的最大值是 ． 【答案】7 【分析】根据对称的性质得到，结合点E是AB中点，可证明是等边三角形，从而有，即可求出CD的最大值． 【详解】解： ∵，点E为AB的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将和分别沿CE、DE翻折得到和， ∴，，，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴当点C，点，点，点D四点共线时，CD有最大值，即， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点 (1)求证：为中点； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用线段中点的定义可得：，再利用平行线的性质可得，，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得：，再利用等角对等边可得：，然后利用全等三角形的性质可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：是边的中点， ， ， ，， ， ， 为DF中点． （2）解：是边的中点，， ， ， ， ， ， ． 25．已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时， ①请写出和之间的数量关系_____，位置关系_____； ②线段、、之间的关系是_____； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2)不成立，存在的数量关系为，理由见解析 (3)6 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等． （1）①根据条件，判定，即可得出和之间的关系； ②由①得，根据全等三角形的性质，即可得到； （2）根据已知条件，判定，得出，再根据，即可得到； （3）根据条件判定，得出，进而得到，最后根据，即可求得线段的长． 【详解】（1）解：①如图1，∵， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ， ， 即； 故答案为：； ②由①可得，， ， ， 故答案为：； （2）解：不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，当点在边的延长线上时， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． 26．在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)2或6 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：当点在内部时，如图 ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图 设点到三边的距离为， 由题意得：，， ， ， 点到直线的距离是； 综上，点到直线的距离是2或6． 故答案为：2或6． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 图形的轴对称（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．窗花是中国古老的民间艺术之一，美术老师布置同学们设计窗花，下列的窗花图为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，不正确的是（   ） A．线段是轴对称图形 B．线段有无数条对称轴 C．将线段对折使其两个端点重合，则折痕所在的直线就是线段的垂直平分线 D．线段的垂直平分线是它的一条对称轴 3．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 4．如图，点为的平分线上一点，于点，，点为上任意一点，则满足的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，已知，是的角平分线，垂直平分，分别交于点E，M，F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，，的垂直平分线交于点D，则等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，三角形纸片中，．沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，折痕为，则的周长是（   ） A．19 B．20 C．21 D．22 8．在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．14 D．10或14 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处．若，则 ． 10．如图所示，在中，将与分别沿和折叠，使点，都与点重合，若，则的度数为 ． 11．如图，是的角平分线，是的高线．若，则的长为 ． 12．如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点F．若，则 ． 13．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作，垂足为点．若的面积为9，，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处．    (1)用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)设，求（用含的代数式表示）． 15．如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题:（用直尺画图，保留痕迹） (1)格点（顶点均在格点上）的面积为_____________； (2)画出格点关于直线对称的； (3)在上找一点P使得周长最小． 16．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 17．在中，，为边中点，点在，所在直线上，． (1)若，如图1，画点，使点与点关于所在直线对称，连，，直接写出的大小； (2)如图2，点在延长线上，点在延长线上，点为点关于所在直线的对称点，连，求证：． 18．如图1，是的角平分线，为上任意一点，于，于． (1)求证：； (2)如图2，在中，是的角平分线，于，于，若，，求的值； (3)如图3，在中，是的外角平分线，交的延长于点，当，时，求与的数量关系． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，在中，，，为上一点，，，那么度数等于 ． 20．如图，长方形纸片，E为边上一点，将纸片沿，折叠，点A落在位置，点D落在位置，若，则 ． 21．如图，在中，的面积为20．垂直平分，分别交边于点D，E，点F为直线上一动点，点G为的中点，连接，则的周长的最小值为 ． 22．如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，则点到的距离是 ． 23．小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧，，，，点E为AB的中点．若，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿CE、DE翻折得到和，连接．最后小华求解正确，得到CD的最大值是 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点 (1)求证：为中点； (2)若，，，求的长． 25．已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时， ①请写出和之间的数量关系_____，位置关系_____； ②线段、、之间的关系是_____； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 26．在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． / 学科网（北京）股份有限公司 $$