第四章 三角形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版2024）

第四章 三角形（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，点在上，点在上，，且．则（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知：点D在边上，点B在边上，且，那么要证明，还需补充的条件是（   ） A．， B．， C．， D．以上都不对 3．如图，，若，则的周长等于（   ）    A．7 B．9 C．10 D．13 4．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（   ） A． B． C． D． 5．如图，以两边为边，向外作等边和等边，连结、交于O点，连结．（   ） A． B． C． D． 6．如图，点，分别是的两边，上的点，连接，已知平分，平分，与交于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，锐角中，，分别是，边上的点，，，且，，交于点，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，过点作交的延长线于点与交于点，若，则（） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，在中，，，D为上一点，连接，过点A作，取，连接交于F．当为等腰三角形时， ． 10．如图，中，，，垂直于的角平分线于点，为的中点，连接交于，则、的面积之差的最大值为 ．      11．已知三角形三边的长均为整数，且，如果，则符合条件的三角形共有 个． 12．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 13．如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知，． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 15．如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 16．如图，某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量怀仁塔底座的直径． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量底座的直径？ 组内探究：由于底座中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、红外线水平仪等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，记录数据，然后计算底座的直径． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案 如图，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点，，在一条直线上，测出的长 ， ， 方案 如图，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出，两点之间的距离 ， ， 请你选择上述两种方案中的一种，计算怀仁塔底座的直径． 17．（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 18．在中，，顶点在过、两点的直线上： (1)若，当点D、E在点A异侧时，如图1． 求证：①； ②； (2)若，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由； (3)①若，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系； ②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，在，，，D为上一点，于点E，连接，若，则的面积为 ． 20．如图，在四边形中，，，，且，则 （用含α的代数式表示）． 21．如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点是上的动点，是上的动点，则的最小值为 ． 22．如图，在中，，，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是 ． 23．如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则 （用，表示） 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 25．小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究： (1)【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数． 解：在上截取一点E，使得，证明，得到… 请把上面的步骤补充完整． (2)【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________． 26．已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，点在上，点在上，，且．则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质，掌握以上知识是解答本题的关键；本题可由可设，，根据三角形全等可得，解出的数值，进而求解得到的度数； 【详解】由可设，， ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴，． ∴． 故选：A． 2．如图，已知：点D在边上，点B在边上，且，那么要证明，还需补充的条件是（   ） A．， B．， C．， D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，理解并掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用证明，得到，再利用即可证明，从而得出结果． 【详解】解：如图，设，交于点O， ，， 当时， ， ， ，， ， 则补充的条件是，， 故选：C． 3．如图，，若，则的周长等于（   ）    A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形性质的运用，运用全等三角形的性质，找对对应边，即可得三边边长，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为． 故选：D． 4．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记． 根据，，求得，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，从而求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 即为， 故选：C． 5．如图，以两边为边，向外作等边和等边，连结、交于O点，连结．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，证明两个三角形全等是解题的关键；过点A作，垂足分别为G、H；由等边三角形的性质易证，则，；由三角形内角和得，则；再由全等得，则可得，由角平分线判定定理得，从而． 【详解】解：如图，过点A作，垂足分别为G、H； ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．如图，点，分别是的两边，上的点，连接，已知平分，平分，与交于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分的定义，三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线定义，得到，，利用三角形的外角性质，即可得到结果． 【详解】解：平分，，， 平分，， ， 是△的外角， ， 即， 故选：B． 7．如图，锐角中，，分别是，边上的点，，，且，，交于点，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即． 则． ∵，， ∴． 故选：A． 8．如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，过点作交的延长线于点与交于点，若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可证，可得，，由可证，可得，即可求的长，即可求解． 【详解】解：设， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， 又，，， ，， ，， ， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，在中，，，D为上一点，连接，过点A作，取，连接交于F．当为等腰三角形时， ． 【答案】2或6 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，分两种情形：如图1中，过点E作于H，证明，可得结论，如图2中，当时，点D与B重合，此时． 【详解】解：∵， ∴分以下两种情况： 当时，如图1中，过点E作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2中，当时，此时． 综上所述，满足条件的的长度为2或6． 故答案为：2或6． 10．如图，中，，，垂直于的角平分线于点，为的中点，连接交于，则、的面积之差的最大值为 ．      【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线求面积等知识，正确的作出辅助线是解题关键．延长、交于点，证明，得到，，进而得出，根据三角形中线推出 ，再根据当时，的面积有最大值，即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点，   垂直于的角平分线于点， ，， 又， ， ，， ， ， ，为的中点， ，， ，， ， 当时，的面积有最大值为， 、的面积之差的最大值为6， 故答案为：6． 11．已知三角形三边的长均为整数，且，如果，则符合条件的三角形共有 个． 【答案】21 【分析】本题考查三角形三边关系，要注意根据“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析计算．根据题意，可取的值为1、2、3、…7，由三角形的三边关系，有，对分情况讨论，分析可得可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数即可得答案． 【详解】根据题意，可取的值为1、2、3、…7， 根据三角形的三边关系，有， 当时，有，则值不存在， 当时，有，则，有1种情况， 当时，有，则，有2种情况， 当时，有，则，有3种情况， … 当时，有，则，有6种情况， 则符合条件的三角形共有． 故答案为：21． 12．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 【答案】7或3 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法．设点E运动的时间为，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，而，且，所以，求得；二是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，此时，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设点E运动的时间为， 如图1，点E从点B出发沿射线方向运动， ∵为边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得； 如图2，点E从点B出发沿射线方向运动，则，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 综上所述，当点E运动或时，， 故答案为：7或3． 13．如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 由，证明，再证明 ，得，即可解决问题． 【详解】解∶ ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 故答案为： 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知，． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)两堵木墙之间的距离为 【分析】本题考查全等三角形的应用，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据直角三角形的性质证明，进而可以得到结论； （2）由题意得，，结合（1）知，得，，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ，， ， 在和中， ， （2）解：由题意得：，， ， ∴，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 15．如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质， （1）利用证明即可； （2）利用全等的性质和平行线的性质得出，再利用来证明，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）点是的中点， ， 在和中，， ． （2）， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ， ． 16．如图，某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量怀仁塔底座的直径． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量底座的直径？ 组内探究：由于底座中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、红外线水平仪等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，记录数据，然后计算底座的直径． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案 如图，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点，，在一条直线上，测出的长 ， ， 方案 如图，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出，两点之间的距离 ， ， 请你选择上述两种方案中的一种，计算怀仁塔底座的直径． 【答案】怀仁塔底座的直径为． 【分析】本题考查全等三角形的应用，平行线的性质，选择方案：根据平行线的性质，得 ，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论；选择方案：直接利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的关键． 【详解】解：选择方案：∵， ∴ ， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴怀仁塔底座的直径为； 选择方案：在和 中， ， ∴， ∴， ∴怀仁塔底座的直径为． 17．（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）先根据同角的余角相等得出，再根据AAS证明即可； （2）先根据已知条件证明，，再根据AAS证明即可； （3）根据得出，再根据与的面积之和是6，的面积是15，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：对图标注如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：对图中的角进行标注， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的面积之和是6，的面积是15， ∴，， ∵与等高，， ∴底边之比3：5， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 18．在中，，顶点在过、两点的直线上： (1)若，当点D、E在点A异侧时，如图1． 求证：①； ②； (2)若，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由； (3)①若，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系； ②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理、外角定理． （1）①利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明； ②由得到，，进而求解即可； （2）根据得，据此即可求解； （3）①利用三角形的外角性质得出，再利用证明，得，可得答案； ②设，，根据，及三角形的内角和证出，再利用证明，得，，可得答案． 【详解】（1）①证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ②∵ ∴， ∴； （2）解：， 理由：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）①， 理由：∵， ∴， ∴， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ， ∴； ②， 理由：如图所示，设和交于点F， 设，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，在，，，D为上一点，于点E，连接，若，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，过点A作，交的延长线于点F．通过导角证明，进而证明，推出，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点F． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 20．如图，在四边形中，，，，且，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，补角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形的是解题的关键. 延长到点G，使，连接，证明，得，，再利用证明，得，从而解决问题． 【详解】解：如图，延长到点G，使，连接， ，， ， 又，， ∴， ，， 若， 则， ， ， ， 故答案为：． 21．如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点是上的动点，是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】过作于点，连接，可得到，从而得到，，再由，可得，作点关于的对称点，连接，则，可得到点在直线上，，从而得到的最小值为的长，且当时，最小，此时点与点重合，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作点关于的对称点，连接，则， ∴点在直线上，， ∴的最小值为的长，且当时，最小，此时点与点重合， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称——最短距离问题，根据题意得到的最小值为是解题的关键． 22．如图，在中，，，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用．根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点， ∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在中，，，即是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中， ∵，， ∴ ， ∴当四边形的周长最小时，的大小是， 故答案为：． 23．如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则 （用，表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，在上截取，连接，，证明，则，当三点共线时，的值最小，然后利用角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图，若在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 若在延长线上时， 同理可得：， 综上可知：， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】(1)先根据平行线的性质，得出，由可得，由可得，进而即可得解； (2)先证明，得，再证明，进而即可得解． 【详解】（1）证明：如图， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴平分； （2）证明：如图2： 点为中点， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 25．小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究： (1)【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数． 解：在上截取一点E，使得，证明，得到… 请把上面的步骤补充完整． (2)【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）在上截取一点E，使得，可证，得到，，即得，又由，可得，进而得到，据此即可求解； （）在上截取一点E，使得，同理（）可得，得到，，进而得到，再根据三角形外角性质可得，即可得，得到，据此即可求证； （）如图，过点作的延长线于点，可证，得到，，进而证明，得到，即得到． 【详解】（1）解：在上截取一点E，使得， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在上截取一点E，使得， 同理（）可得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，补角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 26．已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段、、之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：或或，理由如下： ， 如图③，在上截取，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； ， 如图④，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ； 由（1）、（2）可知，； 如图，点在延长线上，点在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系； 综上，线段、、之间的数量关系为：或或． / 学科网（北京）股份有限公司 $$