（趣味奥数）第十九讲 数学思考与综合实践-六年级下册奥数精讲精练（通用版）

第十九讲 数学思考与综合实践 智慧的试炼 在希望小学，一年一度的校园数学竞赛是全校师生瞩目的焦点，今年的竞赛主题紧扣六年级下册奥数数学思考与综合实践，众多数学小能手跃跃欲试，其中最受关注的是思维敏捷的小虎和善于分析的小美。 竞赛开始，第一关是 “数字谜题”。老师展示题目：有一个数列，前两项是 1、2，从第三项起，每一项都等于它前面两项之和的个位数，如第三项是 1+2=3，第四项是 2+3=5，以此类推，求这个数列的第 100 项是多少？小虎迅速进入状态，在草稿纸上飞速计算。他发现数列存在周期规律，通过不断推导，算出数列周期为 60，100 除以 60 余 40，最终确定第 100 项的值。小虎顺利通关，赢得同学们的阵阵掌声。 来到第二关 “逻辑迷宫”，题目是：学校组织了绘画、音乐、书法兴趣小组，已知参加绘画组的有 30 人，参加音乐组的有 25 人，参加书法组的有 20 人，同时参加绘画和音乐组的有 10 人，同时参加绘画和书法组的有 8 人，同时参加音乐和书法组的有 6 人，三个小组都参加的有 3 人，问参加兴趣小组的总人数是多少？小美运用容斥原理，理清各部分关系，准确算出总人数，成功闯过这一关。 最后一关 “生活应用大挑战”，题目是：一片牧场，草每天匀速生长，可供 10 头牛吃 20 天，或可供 15 头牛吃 10 天，问可供 25 头牛吃几天？小虎和小美合作，通过设未知数，计算出草的生长速度和原有草量，进而得出 25 头牛能吃的天数。他们的精彩表现赢得全场欢呼，成功完成所有挑战。 这场竞赛不仅是知识的较量，更是思维的磨砺。小虎和小美凭借扎实的数学功底和灵活的思维，在竞赛中脱颖而出，他们也深刻体会到数学在生活中的广泛应用，激发了对数学更深的热爱。 枚举法 在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法。枚举法是利用计算机运算速度快、精确度高的特点，对要解决问题的所有可能情况，一个不漏地进行检验，从中找出符合要求的答案，因此枚举法是通过牺牲时间来换取答案的全面性。 趣味构造 什么是构造呢?就是按照某种要求,经过适当的逻辑推理分析,设计出合乎要求的模型或具体对象,也可以是设计出具体对象来肯定或否定已提出的命题。 1： 小明2000年的年龄恰好等于他出生那年的年份的各位数字之和，他2000年多少岁？ 【思路分析】 假设小明的出生年份是（0≤、≤9），根据题意列出关于、的等式，结合、取值范围进行奇偶分析即可得解。 【标准答案】 假设小明的出生年份是（0≤、≤9，且、是整数），由题意得： 100－（10＋）＝1＋9＋＋ 整理得11＋2＝90 因为2是偶数，所以11也是偶数，即是偶数。 如果＝6，则＝12，不符合题意； 如果＝8，则＝1，符合题意。 所以小明的出生于1981年，2000年的年龄是2000－1981＝19（岁）。 答：他2000年19岁。 1. 1．甲、乙、丙三人参加跳高、跳远和跳绳比赛。根据下面的条件判断他们各参加什么项目的比赛。 （1）甲没有参加跳高比赛； （2）乙参加了跳绳比赛； （3）每人参加两种项目的比赛； （4）每项比赛中有他们三人中的两个人。 他们三人各参加什么项目的比赛？请写出你的推理过程。 2．有红黄蓝绿四种颜色的卡片，每种各3张，相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这12张卡片发给ABCDEF六个同学，每人得2张不同颜色的卡片。然后老师要这六个同学各自算出自己手中卡片上数字的和。六个同学交给老师的答案是A92、B125、C133、D147、E158、F191，老师看后说：你们的答案只有一个同学错了，问到底是哪个同学的答案错了，该同学的正确答案应是多少？这四种颜色的卡片上写的自然数最小的是多少？ 3．你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1。只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？ 2： 观察下面一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…这列数中第1999个数字的个位是几？ 【思路分析】 观察数列发现，该数列从第三个数开始，每个数都是它前两个数的和，按照这个规律再多写一些数字，最终发现它的个位数字并不呈现周期性的变化，所以此路不通，需要换个思路；不妨从余数的角度入手，我们知道一个数除以5的余数是跟它的个位数字密切相关的，如果余1，则个位数字是1或6，如果余2，则个位数字是2或7……但这并不能确定个位数字具体是哪个，不过我们发现1与6，2与7，一个奇数一个偶数，所以我们需要结合除以2的余数来判断个位数字，据此求解。 【标准答案】 该数列从第三个数开始，每个数都是它前两个数的和，可继续写为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657… 该数列中的每一项除以5的余数为： 1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2… 按照（1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0）循环，周期为20； 该数列中的每一项除以2的余数为： 1，1，0，1，1，0，1，1，0… 按照（1，1，0）循环，周期为3； 1999÷20＝99（组）……19（个） 所以数列数中第1999个数字被5除的余数为1； 1999÷3＝666（组）……1（个） 所以数列数中第1999个数字被2除的余数为1。 综上可知，数列中第1999个数字被5除余1，说明个位数字为1或6；被2除余1，说明该数为奇数，所以个位数字只能为1。 答：这列数中第1999个数字的个位是1。 2． 1．有一列数如下：4，5，9，14，23…问这列数的第1999个数除以3，余数是几？ 2．如下图所示，将1～12顺次排成一圈。 如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置。例如a＝3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a＝11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置。问：a是多少时，可以走到7的位置？ 3．对于表（1），每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表（2）？为什么？ 3： 下图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子。问：共有多少种不同的放法？ 【思路分析】 由于四个棋子要一个一个地放入方格内。故可看成是分四步完成这件事。要用乘法原理。 第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法，本题要由乘法原理解决。 【标准答案】 16×9×4×1＝576（种） 答：共有576种不同的方法。 3． 1．有甲、乙、丙三个足球队，两两比赛一场，共比赛了三场球，每个队的比赛结果如图所示，那么这三场球赛的具体比分是多少？ 2．在一段公路上，学生每隔一定的距离植一棵树，共10棵(如图)，这些树由卡车运来，卸到一处，卡车在哪里卸车才使学生们搬树的距离总和最小． 3．如图，两只小爬甲和乙虫从A点出发，沿长方形ABCD的边，按箭头方向爬行，在距C点32厘米的E点它们第一次相遇，在距D点16厘米的F点第二次相遇，在距A点16厘米的G点第三次相遇，求长方形的边AB的长。 4： 下图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0。然后转动圆盘，每次可以转动90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？ 【思路分析】 要求经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999，只要算出每次加上的数之和，然后 看一看能不能被999整除即可。 详解：因为每次加上的数之和是 1＋2＋3＋4＝10，所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍。999×4＝3996，不是10的倍数，所以黑板上的四个数不可都是999。 4. 1．下图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通。请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？ 2．在1000×1000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点。求n的最小值。 3．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形。如图，用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形。如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴？ 枚举法 在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法。枚举法是利用计算机运算速度快、精确度高的特点，对要解决问题的所有可能情况，一个不漏地进行检验，从中找出符合要求的答案，因此枚举法是通过牺牲时间来换取答案的全面性。 1： 小明2000年的年龄恰好等于他出生那年的年份的各位数字之和，他2000年多少岁？ 【思路分析】 假设小明的出生年份是（0≤、≤9），根据题意列出关于、的等式，结合、取值范围进行奇偶分析即可得解。 【标准答案】 假设小明的出生年份是（0≤、≤9，且、是整数），由题意得： 100－（10＋）＝1＋9＋＋ 整理得11＋2＝90 因为2是偶数，所以11也是偶数，即是偶数。 如果＝6，则＝12，不符合题意； 如果＝8，则＝1，符合题意。 所以小明的出生于1981年，2000年的年龄是2000－1981＝19（岁）。 答：他2000年19岁。 1. 1．甲、乙、丙三人参加跳高、跳远和跳绳比赛。根据下面的条件判断他们各参加什么项目的比赛。 （1）甲没有参加跳高比赛； （2）乙参加了跳绳比赛； （3）每人参加两种项目的比赛； （4）每项比赛中有他们三人中的两个人。 他们三人各参加什么项目的比赛？请写出你的推理过程。 答案：甲参加跳远和跳绳比赛；乙参加跳高和跳绳比赛；丙参加跳高和跳远比赛 分析：关系比较复杂的逻辑推理问题，要考虑三个人参加三种比赛的情况，每个人不是参加一种比赛，关系比较复杂，可以用列表的方法解答。 详解：根据题意列表格： 跳高 跳远 跳绳 甲 × √ √ 乙 √ × √ 丙 √ √ × 由条件（1）和（3）可知第一行为×√√，由条件（4）可知第一列为×√√。由条件（2）可知第二行为√×√，再由条件（3）和（4）补全其他空格。 答：甲参加跳远和跳绳比赛；乙参加跳高和跳绳比赛；丙参加跳高和跳远比赛。 点睛：对于较复杂的推理问题，通过列表格解答会比较简单。 2．有红黄蓝绿四种颜色的卡片，每种各3张，相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这12张卡片发给ABCDEF六个同学，每人得2张不同颜色的卡片。然后老师要这六个同学各自算出自己手中卡片上数字的和。六个同学交给老师的答案是A92、B125、C133、D147、E158、F191，老师看后说：你们的答案只有一个同学错了，问到底是哪个同学的答案错了，该同学的正确答案应是多少？这四种颜色的卡片上写的自然数最小的是多少？ 答案：两种情况： ①C同学错；正确答案：136；最小自然数：42； ②D同学错；正确答案：150；最小自然数：35。 分析：根据题意，不妨设四种卡片上写的数字分别为a、b、c、d，且a＜b＜c＜d，这四个数字两两组合的和分别为a＋b、a＋c、a＋d、b＋c、b＋d、c＋d，易知它们的大小顺序为a＋b＜a＋c＜a＋d/b＋c＜b＋d＜c＋d，其中a＋d与b＋c无法确定大小关系，于是有a＋b＝92，a＋c＝125，b＋d＝158，c＋d＝191，注意到（a＋b）＋（c＋d）＝（a＋c）＋（b＋d）＝（a＋d）＋（b＋c），据此可计算分析出错误答案在哪两个同学之间，再分情况讨论，通过奇偶分析确定a＋d与b＋c，根据和差公式确定b的值，进而求出最小值a。 详解：设四种卡片上写的数字为a＜b＜c＜d，则 a＋b＜a＋c＜a＋d/b＋c＜b＋d＜c＋d，其中a＋d与b＋c无法确定大小关系，于是有： a＋b＝92，a＋c＝125，b＋d＝158，c＋d＝191 因为（a＋b）＋（c＋d）＝（a＋c）＋（b＋d）＝（a＋d）＋（b＋c） 而92＋191＝125＋158＝283≠133＋147 所以错误答案在133和147之间： 如果133正确，即D同学错了，正确答案为： 283－133＝150 因为a＋b＝92，b＋d＝158，可知a与d同奇偶，则a＋d为偶，故 a＋d＝150，b＋c＝133， 又（a＋c）－（a＋b）＝c－b＝125－92＝33 所以b＝（133－33）÷2＝50 此时最小值：a＝92－50＝42 同理，如果147正确，即C同学错了，正确答案为： 283－147＝136 即a＋d＝136，b＋c＝147，又知c－b＝33， 所以b＝（147－33）÷2＝57 此时最小值：a＝92－57＝35 答：C同学或D同学的答案错了，如果是C同学错了，正确答案应为136，四种颜色的卡片上写的自然数最小的是42；如果是D同学错了，正确答案为150，卡片上写的自然数最小的是35。 点睛：本题主要考查数学建模和逻辑分析与推理能力，题目较为综合，根据题意设出四个数字的大小关系，分类讨论并运用奇偶分析是解题的关键。 3．你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1。只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？ 答案：见详解 分析：第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，称一下比标准的10个药丸重多少即可解答。 详解：答：第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，第四瓶拿四个，称一下比标准的10个药丸重多少，重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染。 点睛：此题主要考查学生的逻辑推理能力与应用。 2： 观察下面一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…这列数中第1999个数字的个位是几？ 【思路分析】 观察数列发现，该数列从第三个数开始，每个数都是它前两个数的和，按照这个规律再多写一些数字，最终发现它的个位数字并不呈现周期性的变化，所以此路不通，需要换个思路；不妨从余数的角度入手，我们知道一个数除以5的余数是跟它的个位数字密切相关的，如果余1，则个位数字是1或6，如果余2，则个位数字是2或7……但这并不能确定个位数字具体是哪个，不过我们发现1与6，2与7，一个奇数一个偶数，所以我们需要结合除以2的余数来判断个位数字，据此求解。 【标准答案】 该数列从第三个数开始，每个数都是它前两个数的和，可继续写为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657… 该数列中的每一项除以5的余数为： 1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2… 按照（1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0）循环，周期为20； 该数列中的每一项除以2的余数为： 1，1，0，1，1，0，1，1，0… 按照（1，1，0）循环，周期为3； 1999÷20＝99（组）……19（个） 所以数列数中第1999个数字被5除的余数为1； 1999÷3＝666（组）……1（个） 所以数列数中第1999个数字被2除的余数为1。 综上可知，数列中第1999个数字被5除余1，说明个位数字为1或6；被2除余1，说明该数为奇数，所以个位数字只能为1。 答：这列数中第1999个数字的个位是1。 2． 1．有一列数如下：4，5，9，14，23…问这列数的第1999个数除以3，余数是几？ 答案：0 分析：先观察数列找出规律，然后按照这个规律再多写几个数，再把数列中的数依次除以3，看看所得的余数有什么规律。首先观察数列可知该数列从第三个数开始，每个数是它前面两个数的和，即该数列为4，5，9，14，23，37，60，97，157，254，411，665，1076，1741，2817，4558…数列中的数依次除以3，余数分别为1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1…发现余数按照（1，2，0，2，2，1，0，1）循环，循环周期为8，根据周期问题有：1999÷8＝249（组）……7（个），所以余数为周期中的第7个数，即为0。 详解：观察数列可知该数列从第三个数开始，每个数是它前面两个数的和，即该数列为： 4，5，9，14，23，37，60，97，157，254，411，665，1076，1741，2817，4558… 数列中的数依次除以3，余数分别为： 1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1… 余数按照（1，2，0，2，2，1，0，1）循环，循环周期为8，则 1999÷8＝249（组）……7（个） 答：这个数列第1999个数除以3的余数是0，即能被3整除。 点睛：本题主要考查找规律及周期问题，先找到数列的规律，再找数列中的数除以3所得余数的规律，然后确定循环周期是解决本题的关键。关于周期问题： 总数÷周期数＝组数，即整除时，结果为周期的最后一个； 总数÷周期数＝组数……余数，即有余数时，余几就在下个周期中数几。 2．如下图所示，将1～12顺次排成一圈。 如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置。例如a＝3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a＝11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置。问：a是多少时，可以走到7的位置？ 答案：无论a是多少时，都不可能走到7的位置。 分析：根据题意可知：a在1～12之间，如果报一个出一个数a，从数a的位置顺时针走a个数位置，相当于走了2倍a个数的位置，也就是a×2，一个数×2，这个数就是偶数，那么它到达数位的位置都是偶数位，7是奇数，不可能到达，即可解答。 详解：当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置，2a是偶数，不可能走到奇数的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a－12的位置，2a－12也是偶数，也走不到奇数的位置。由上面的分析知，不论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，7是奇数，所以不会走到7的位置。 答：a无论是多少时，都不会走到7的位置。 点睛：本题考查一个数的2倍是奇数还是偶数，任何一个数乘2，它都是偶数。 3．对于表（1），每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表（2）？为什么？ 答案：不能，见详解。 分析：每次将其中的任意两个数减去或加上同一个数，即每次减去或加上同一个数后，即增加或减少的两个数的和是偶数，然后根据表（1）和表（2）的和的奇偶性判断即可。 详解：因为每次将其中的任意两个数减去或加上同一个数，所以表中九个数的总和经过一次变化后，等于原来的总和减去或加上那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为1＋2＋…＋9＝45，45是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而表（2）中九个数的中和是4，4是偶数，奇数不可能等于偶数，所以不可能变为表（2）。 点睛：本题考查了染色问题和数的奇偶性的综合应用，关键是确定变化前后数的奇偶性。 3： 下图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子。问：共有多少种不同的放法？ 【思路分析】 由于四个棋子要一个一个地放入方格内。故可看成是分四步完成这件事。要用乘法原理。 第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法，本题要由乘法原理解决。 【标准答案】 16×9×4×1＝576（种） 答：共有576种不同的方法。 3． 1．有甲、乙、丙三个足球队，两两比赛一场，共比赛了三场球，每个队的比赛结果如图所示，那么这三场球赛的具体比分是多少？ 答案：甲与乙是3∶1 详解：甲与乙，乙与丙，甲与丙都是3∶1 甲队失2球，不会全失于乙队，如果是，由于乙队一共进4球，另外2个球是胜丙的，而丙队进2球，所以乙与丙成2∶2平局，与已知矛盾，甲队失2球，也不全失于丙队，如果是，乙进的4个球全是胜丙队，乙队与丙队是4∶0，这样丙队还有2个球是失甲队，甲队与丙队变成2∶2平局，与已知矛盾，所以甲队各失1球于乙、丙. 乙共进4个球，另外3个球是胜丙，丙进2个球，另一球是胜乙的，所以乙与丙是3∶1. 丙共失6个球，失了乙队3个，另3个失给甲队，所以甲与丙是3∶1. 乙队失4个球，一球失于丙队，另三个球失于甲队，所以甲与乙是3∶1. 2．在一段公路上，学生每隔一定的距离植一棵树，共10棵(如图)，这些树由卡车运来，卸到一处，卡车在哪里卸车才使学生们搬树的距离总和最小． 答案：解：在 与 之间任何一处，在 或 处也可. 详解：植树问题 一共有9个间隔，要想搬树的距离总和最小，就要把树卸在最中间的一个间隔处，由此判断即可. 3．如图，两只小爬甲和乙虫从A点出发，沿长方形ABCD的边，按箭头方向爬行，在距C点32厘米的E点它们第一次相遇，在距D点16厘米的F点第二次相遇，在距A点16厘米的G点第三次相遇，求长方形的边AB的长。 答案：64厘米 分析：由题意和图示知甲三次走的路程相等：AB＋BE＝EC＋CF＝FD＋DA＋AG，也就是AB＋AD﹣32＝AB＋16＝16＋AD＋16，由此求出答案即可。 详解：甲和乙既然是相遇问题，说明时间相同。以甲分析为例，甲三次相遇所走的路程应该是相同的，即：AB＋BE＝EC＋CF＝FD＋DA＋AG，也就是AB＋AD﹣32＝AB＋16＝16＋AD＋16。 得到AB＝64厘米。 点睛：此题属于多次相遇问题，“甲三次相遇所走的路程应该是相同的”是解题关键。 4： 下图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0。然后转动圆盘，每次可以转动90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？ 答案：不可能 分析：要求经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999，只要算出每次加上的数之和，然后 看一看能不能被999整除即可。 详解：因为每次加上的数之和是 1＋2＋3＋4＝10，所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍。999×4＝3996，不是10的倍数，所以黑板上的四个数不可都是999。 4. 1．下图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通。请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？ 答案：不能 分析：如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格。因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相间，显然应该从多的白格开始。但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍。 详解：答：路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故不能实现不重复走遍。 点睛：此题主要考查学生对一笔画问题的理解与应用。 2．在1000×1000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点。求n的最小值。 答案：1999 分析：由题意可知，3个红色方格构成一个直角三角形，那么其中一个红点必定在某行（至少含2个红点）和某列（至少含2个红点）的交叉点上，可据此进行解答。 详解：1999可能是可以的，因为首先从行看，1999个红点分布在1000行中，肯定有一些行含有2个或者以上的红点，因为含有0或1个红点的行最多999个，所以其他行含有红点肯定大于等于1999－999＝1000，如果是大于1000，肯定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形；如果是等于1000而没有这样的2个红点在一列，说明有999行只含有1个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以n的最小值为1999。 答：n的最小值为1999。 点睛：解答此题时要构造出取得最值的具体实例，由要对此方案的最优化进行论证。论证中最常用的手段是不等式的估算。 3．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形。如图，用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形。如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴？ 答案：630根 分析：观察图形可知：底长为1的时候有一层，一个三角形，用三根；底长为2的时候有两层，1＋2＝3个三根火柴棒围成的三角形，用3×3＝9根；底长为3的时候有三层，1＋2＋3＝6个三根火柴棒围成的三角形，用3×6＝18根；由此即可得出规律解决问题。 详解：根据题干分析可得，底边有n根火柴棒时，有n层，可以组成1＋2＋3＋…＋n个三根火柴棒围成的三角形，需要火柴棒（1＋2＋3＋…＋n）×3根火柴棒；所以底长为20的时候有二十层，一共有三角形：1＋2＋3＋…＋20＝210（个） 3×210＝630（根） 答：一共要用630根。 点睛：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 学科网（北京）股份有限公司 $$