第五章 分式与分式方程（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第五章 分式与分式方程（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键，先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以，可得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 故选：A． 2．下列正确的是（　　） A． B．分式的值为零，则的值为 C． D． 【答案】D 【分析】运用平方差公式计算并判定A；根据分式值为0，分子等于0，分母不等于0求出x值即可判定B；根据完全平方公式变形计算即可判定C；利用分式的乘方与幂的积的乘方公式计算并判定D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、∵分式的值为零，∴且，解得，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平方差公式，完全平方公式，分式值为零，分式有意义的条件，分式乘方运算等知识，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 3．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了10万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季之前完成任务，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前20天完成了任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找出题干中的等量关系是解题的关键．根据“原计划工作时间实际工作时间”列出方程，即可解题． 【详解】解：实际工作时间为天， 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了， 原计划工作时间为， ， 故选：D． 4．关于x的方程有增根，则m的值是（   ） A．0 B．5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，再根据分式方程有增根得出，求解即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于x的方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．关于的方程：的解是非正数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，构建不等式求解即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：， ， 的解是非正数， ， ， ， ， 且． 故选：D． 6．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程无解的情况求参数；根据分式方程“无解”，分两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，据此解答即可求解． 【详解】解：方程两边乘以得，， 整理得，， 当，即时，方程无解，故分式方程也无解； 当时，， 分式方程无解，即产生增根， 令，得， 解得； 综上，当或时，分式方程无解； 故选：D． 7．对于正数，规定，例如．则（   ） A．2022 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查以实数运算为背景的新定义题型．确定是解题关键． 根据可得，故，据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴原式 ． 故选：C． 8．将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分． 先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握． 分式的分母，经过通分后变成，那么分母乘以了，根据分式的基本性质，将分子乘以，计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 10．已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握整体代入的思想是解题的关键． 先根据，，求得，，，再将其代入分式求值即可； 【详解】解：，，， ， ， ， 即，，， 原式； 故答案为： 11．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了由分式方程的解求参数的取值范围，解分式方程得，由分式方程的最简公分母不为零得，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得， ， 解得：， 解为负数， ， 解得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围为且， 故答案为：且． 12．已知x为正整数，则表示分式的值的点落在图中的 （填序号）．    【答案】② 【分析】本题考查分式的化简求值，先将能够进行因式分解的分子或分母进行因式分解，然后进行约分化简，再根据同分母分式加减法进行计算，并结合x为正整数，确定结果的取值范围． 【详解】解： ， ∵x为正整数， ∴， ∴故原式的值落在段②， 故答案为：②． 13．关于x的方程，方程的所有的实数根的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．求出原分式方程的根，再求和即可． 【详解】解：由， 得， 去分母，得， 整理，得， 解得． 经检验：是原分式方程的根， ∴方程的所有的实数根的和为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解． 15．先化简，再求值：，请从，，，这四个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值、分式有意义的条件，根据分式的混合运算法则把原式化简，然后根据分式有意义的条件确定的值，再代入计算即可．掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 要使原代数式有意义，则且且， ∴且且， ∴只能取， 当时，原式． 16．景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 【答案】(1)西红柿采摘了，土豆采摘了 (2)土豆的售价是元，西红柿的售价是元 【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关键． （1）设西红柿采摘了，土豆采摘了，根据题意列出二元一次方程组，解答即可． （2）根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元，根据题意列出分式方程，解答即可． 【详解】（1）解：设西红柿采摘了，土豆采摘了． 根据题意得， 解得． 答：西红柿采摘了，土豆采摘了． （2）解：根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 17．（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 18．阅读下列材料： 关于的分式方程的解是；的解是；的解是． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于的方程的解为______； (2)直接写出关于的方程的解为______； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． （1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，分式的求值，利用平方根的含义解方程，利用关系式是解题的关键． 根据，把已知条件代入可得结果． 【详解】解：， 又， ， ． 故答案为： 20．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法运算，根据异分母分式的加法运算法则，依次通分进行计算即可，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 21．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的变形，先将，b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可．解题的关键是对原代数式进行适当的变形，以简化运算． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 22．若关于的不等式组有解且至多4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解不等式组并结合题意确定a的范围，再解出分式方程确定a的范围，进而确定a的所有取值，最后相加即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式组有解且至多4个奇数解， ∴ 解得：． 解分式方程得：． ∵分式方程的解为整数，且（时原分式方程无意义） ∴符合条件的所有整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 23．若正数a，b，c满足abc1，，则 ． 【答案】 【分析】计算，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出，，代入计算即可． 【详解】解：解法一：因为 所以， 解得． 故答案为：． 解法二：由，得， 因此，． 由此可得，． 所以 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，注意运用整体思想求解． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元． (1)若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？ (2)第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值． 【答案】(1)购买半盔型个，全盔型个 (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意，正确列出分式方程是解题关键． （1）设购买半盔型个，则全盔型个，由于半盔型进价是元，全盔型进价是元，根据题意列出分式方程并求解即可． （2）由题意可知，第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为，全盔型降价后，一个全盔型的获利为，根据“结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，”列出分式方程，并求解即可． 【详解】（1）解：（1）设购买半盔型个，则全盔型个． 由题意得：， 解得 故半盔型个，全盔型为：． 答：购买半盔型个，全盔型个． （2）第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为， 全盔型降价后，一个全盔型的获利为， 根据题意可得， 解得： 经检验，为原方程的解，且符合题意． 故． 25．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2）（3）小莹的购货方式更合算，理由见解析 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 分式与分式方程（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．下列正确的是（　　） A． B．分式的值为零，则的值为 C． D． 3．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了10万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季之前完成任务，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前20天完成了任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．关于x的方程有增根，则m的值是（   ） A．0 B．5 C．3 D．3或5 5．关于的方程：的解是非正数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 6．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 7．对于正数，规定，例如．则（   ） A．2022 B．2021 C． D． 8．将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为 ． 10．已知，，，则的值为 ． 11．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为 ． 12．已知x为正整数，则表示分式的值的点落在图中的 （填序号）．    13．关于x的方程，方程的所有的实数根的和为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．解方程： (1) (2) 15．先化简，再求值：，请从，，，这四个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 16．景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 17．（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 18．阅读下列材料： 关于的分式方程的解是；的解是；的解是． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于的方程的解为______； (2)直接写出关于的方程的解为______； B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知，则 ． 20．化简： ． 21．若，则 ． 22．若关于的不等式组有解且至多4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 23．若正数a，b，c满足abc1，，则 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元． (1)若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？ (2)第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值． 25．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 26．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$