第五章 分式与分式方程（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第五章 分式与分式方程（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．给出下列分式：．其中不是最简分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的定义；最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可． 【详解】最简分式有：，，不是最简分式的有：， 即有3个不是最简分式 故选：B 2．约分的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了约分的定义与方法，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．据此方法找到分子、分母的公因式，约分即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，即可得出答案． 【详解】A、是整式方程，不符合题意； B、是整式方程，不符合题意； C、是关于的整式方程，不符合题意； D、是分式方程，符合题意； 故选：D． 4．要使分式有意义，的取值应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围． 【详解】要使分式有意义， ∴ ∴． 故选：B． 5．已知分式的值等于零，那么x的值是（   ） A．4 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式有意义的条件，利用平方根解方程，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握分式值为零的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 根据分子为零且分母不为零的条件进行解答即可． 【详解】解：由题意可得： 且， 解得：， 故选：． 6．如果，那么代数式的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 由可得，根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的加法，再算乘法，然后将分式的计算结果化成最简分式，再将整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 7．如果方程有增根，那么m的值等于（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，． 故选：A． 8．某快递公司请了甲、乙两名搬运工搬运包裹，甲比乙每小时多搬运包裹，甲搬运包裹所用的时间与乙搬运包裹所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少包裹？若设甲每小时搬运货物，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答时根据甲搬运包裹所用时间与乙搬运包裹所用时间相等建立方程是关键． 设甲每小时搬运千克包裹，则乙每小时搬运千克包裹，根据甲搬运包裹所用时间与乙搬运包裹所用时间相等建立方程． 【详解】解：设甲每小时搬运包裹，则乙每小时搬运千克包裹， 那么可列方程． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．、、的公分母是 ． 【答案】 【分析】此题考查了最简公分母的取法，确定最简公分母的方法有三步，分别为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，三步得到的因式的积即为最简公分母．根据确定最简公分母的方法进行解答即可． 【详解】解：、、， 系数的最小公倍数是12； x的最高次数是2； y与的最高次数是1； 所以最简公分母是． 故答案为：． 10．已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，设，将其代入，即可解答． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 11．若关于x的方程的解是，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解分式方程，把代入，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 故答案为：． 12．关于的分式方程的解是正数，则的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解分式方程，解本题时注意考虑分式的分母不为0这一条件．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为正数列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围． 【详解】解：， 分式方程去分母得：， ∴， 根据分式方程解为正数，得到， 解得， 又∵， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 13．若关于的方程无解，则k的值为 ． 【答案】0或1 【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程无解分的两种情况“①整式方程本身无解；②分式方程产生增根”成为解题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：原方程可化为：， 当，即时，方程无解，原分式方程无解． 当，即时，分式方程有增根或， 当时，代入可得，解得：； 当时，代入可得，该方程无解． 故答案为：0或1． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）方程两边同乘，可去分母，得到关于的一元一次方程，求解并检验即可； （2）方程两边同乘，可去分母，得到关于的一元一次方程，求解并检验即可． 【详解】（1）方程两边同乘， 得：， 解得：． 检验：当时， 所以，原分式方程的解为． （2）方程两边同乘， 得：， 解得：． 检验：当时， 因此不是原分式方程的解， 所以，原分式方程无解． 15．如图，老师在黑板上出示了一道分式计算题： 计算： (1)嘉嘉用或代替，计算的结果为．你认为她用的是________，写出详细的计算过程； (2)在（1）的条件下，若是16的平方根，求的值． 【答案】(1)，详见解析 (2)，当时，原式，当时，原式， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算和平方根的定义，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （1）根据分式的运算法则计算即可； （2）根据平方根的定义求出，分别代入计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉用的是代替，理由如下， ， 故答案为：； （2）解：是16的平方根， ， 当时，原式， 当时，原式， 式子的值为或． 16．关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的解． (2)若这个方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法，注意解分式方程要进行检验是解题关键． （1）直接利用解分式方程的方法求解即可； （2）先解分式方程，然后依据题意求解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 方程两边同乘， 解得， 检验：当时，， 所以当时， 分式方程的解为； （2）， 方程两边同乘， 解得， 这个方程的解为正数， 且， 解得且． 17．发现规律： 我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：． 运用规律 (1)如果，那么的值是_______，的值是_________； (2)如果． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（）根据多项式的乘法法则计算即可求解； （）①由多项式的乘法法则可得，，再把值代入展开后的结果中计算即可求解；②先通分，再利用积的乘法的逆运算及完全平方公式的变形运算转化，最后把①所得值代入计算即可求解； 本题考查了分式的求值，整式的运算，掌握分式和整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴，， ∴ ； ② ． 18．阅读下面材料并解决有关问题： 材料一：由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于，所以，即，所以，并且当时，； 材料二：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)比较大小：______（其中），______（其中），（填“”、“”或“”）； (2)在分式中，属于假分式的是______（填序号）； (3)把以下假分式化成整式与真分式的和的形式，并求当时，分式的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式，利用做差法比较代数式的大小等知识点，能正确根据完全平方公式进行变形是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式即可求出答案； （2）根据题意给出的定义即可求出答案； （3）根据题意给出的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 故答案为：； （3）解：， 当时，原式． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．当时，分式无意义，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟知分式无意义的条件是分母为零．根据分式无意义的条件是分母为零即可解答． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，分母为零，即， 解得． 故答案为：． 20．已知关于的不等式的解集是，则 ． 【答案】 【分析】先求出的解集，结合不等式的解集是，建立等式解答即可． 本题考查了解不等式，解方程，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不等式的解集是， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故答案为：． 21．若，则的值是 ． 【答案】4 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可以得到，再根据分母不能为0确定出x的值，从而得到y的值，代入即可.本题主要考查了二次根式的非负性及分式有意义的条件当时由意义，分式的分母不为0时分式有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ，且， ，且， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：4 22．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解．再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【详解】解：原分式方程可化为： 去分母得： 解得 又分式方程的解是非负数 且 的取值范围是：且 23．对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式、分式的混合运算．解决本题的关键是根据乘法公式进行运算． （1）把等式两边同时进行平方，可得：，然后再把常数项移到等号的右边、合并同类项即可得出结果； （2）首先把括号里面的分式通分相减，再根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法，可得：原式，然后再进行约分，可得化简后的结果为：原式，根据分式有意义的条件和除数不为可知，所以只能取，把代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ； （2）解： ， 且， 且， 当时， 原式． 25．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如： ，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“________阶分式”； (2)已知正数x，y满足，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b均为正数），求的值． 【答案】(1)5 (2)详见解析 (3) 【分析】本题主要考查了新定义，分式的化简，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义的含义是解决此题的关键． (1)根据新定义计算即可得解； (2)将代入得，求证计算结果为2即可； (3)列出等式,再根据分式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：， 分式与互为“5阶分式” 故答案为：5； （2）证明：把代入得， , 与互为“2阶分式”； （3）解：分式与互为”1阶分式”, , , ,即, 又为正数， ， 的值为． 26．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【答案】(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 分式与分式方程（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．给出下列分式：．其中不是最简分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．约分的结果是（   ） A． B． C． D． 3．下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 4．要使分式有意义，的取值应满足（   ） A． B． C． D． 5．已知分式的值等于零，那么x的值是（   ） A．4 B． C． D．0 6．如果，那么代数式的值为（    ） A．1 B． C． D． 7．如果方程有增根，那么m的值等于（    ） A． B．4 C．5 D． 8．某快递公司请了甲、乙两名搬运工搬运包裹，甲比乙每小时多搬运包裹，甲搬运包裹所用的时间与乙搬运包裹所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少包裹？若设甲每小时搬运货物，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．、、的公分母是 ． 10．已知，则分式的值为 ． 11．若关于x的方程的解是，则m的值为 ． 12．关于的分式方程的解是正数，则的取值范围 ． 13．若关于的方程无解，则k的值为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．解分式方程： (1)；(2)． 15．如图，老师在黑板上出示了一道分式计算题： 计算： (1)嘉嘉用或代替，计算的结果为．你认为她用的是________，写出详细的计算过程； (2)在（1）的条件下，若是16的平方根，求的值． 16．关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的解． (2)若这个方程的解为正数，求的取值范围． 17．发现规律： 我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：． 运用规律 (1)如果，那么的值是_______，的值是_________； (2)如果． ①求的值； ②求的值． 18．阅读下面材料并解决有关问题： 材料一：由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于，所以，即，所以，并且当时，； 材料二：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)比较大小：______（其中），______（其中），（填“”、“”或“”）； (2)在分式中，属于假分式的是______（填序号）； (3)把以下假分式化成整式与真分式的和的形式，并求当时，分式的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．当时，分式无意义，则 ． 20．已知关于的不等式的解集是，则 ． 21．若，则的值是 ． 22．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 23．对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 25．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如： ，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“________阶分式”； (2)已知正数x，y满足，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b均为正数），求的值． 26．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 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