第四章 因式分解（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第四章 因式分解（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是 （   ） A． B． C． D． 3．下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 6．如果，那么的值为（   ） A．16 B．64 C．32 D．8 7．若，则的值为（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 8．已知为自然数，则一定能被（   ）整除． A．7 B．8 C．9 D．10 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．分解因式： ． 10．因式分解： ． 11．已知，，则的值为 ． 12．已知，，则与的大小关系是 ． 13．如果是多项式的一个因式，则的值为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．因式分解： (1) (2) (3)在数范围内分解因式：． 15．阅读理解：因式分解中的换元法是指将多项式中的相同部分换成另一个未知数，然后再因式分解，最后再将其换回来．下面是小明对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式        （第一步）                   （第二步）                      （第三步）                 （第四步） 回答下列问题． (1)小明第二步到第三步运用了因式分解的 ； A．提公因式法        B．公式法        C．换元法 (2)老师说，小明因式分解的结果不彻底，请你写出因式分解的最后结果： ； (3)请你模仿小明的方法，对多项式进行因式分解． 16．【阅读材料】因式分解： 解：∵ ，∴将看成整体， 令，则原式 将M 还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解： 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时， 的值一定是非负数． 17．设表示一个两位数，其中十位数字为a，个位数字为b，表示的平方．规定：若一个正整数A能写成，且，则称A为“平方差数”，并把式子称为“平方差分解”． 例如：因为，所以56是“平方差数”；其中为“平方差分解”． (1)当时，请写出一个“平方差数”及其“平方差分解”； (2)判断400是否为“平方差数”？若是，写出“平方差分解”；若不是，请说明理由． 18．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片． (1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）． 方法1：____________．方法2：___________． (2)若，求的值． (3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：______． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 20．已知，且，则的值为 ． 21．已知：，，，且，则的值为 ． 22．已知，，，那么的值为 ． 23．若，则 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． ①分解因式：； ②若．，都是正整数且，求的值； （2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值． 25．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 26．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 因式分解（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解-运用公式法，能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差，据此判断． 【详解】解：A、不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意； B、不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意； C、不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意； D、，即能用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． 故选：D． 2．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的定义．因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程，根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、等号右侧不是整式积的形式，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、等号右侧不是整式积的形式，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键：①有三项；②两项符号相同且都可写成两数的平方形式；③另一项应是两数积的倍，符号不限． 根据完全平方式的结构特征逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，该式不是完全平方式，故选项不符合题意； B. ，该式不是完全平方式，故选项不符合题意； C. ，该式不是完全平方式，故选项不符合题意； D. ，该式是完全平方式，故选项符合题意； 故选：． 4．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据因式分解的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B正确； C：不属于因式分解，故C错误； D：，故D错误； 故选：B． 5．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、是因式分解，本选项符合题意； B、的右边不是整式积的形式，不是因式分解，本选项不符合题意； C、的右边不是整式积的形式，不是因式分解，本选项不符合题意； D、的右边不是整式积的形式，不是因式分解，本选项不符合题意； 故选：A． 6．如果，那么的值为（   ） A．16 B．64 C．32 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选B． 7．若，则的值为（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，原式先提取公因式，然后根据完全平方公式因式分解，将整体代入，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：A． 8．已知为自然数，则一定能被（   ）整除． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行合理的变形，再由数的整除性求解是解题的关键．将所求式子用平方差公式分解因式即可进行求解． 【详解】解：∵ ， ∴一定能被8整除． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，的公因式是，提出公因式后括号里剩下，所以分解因式的结果为． 【详解】解：， 故答案为： ． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．已知，，则的值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了因式分解的应用，由题意可得，再将所求式子进行因式分解，整体代入进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12．已知，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键． 根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解： ，， ， 故答案为： ． 13．如果是多项式的一个因式，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系，根据是多项式的一个因式，设=是解题的关键． 设=，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与的对应项的系数相同，据此即可求得a，m的值． 【详解】解：解：设 则， 解得：． 故答案为：8． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．因式分解： (1) (2) (3)在数范围内分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．阅读理解：因式分解中的换元法是指将多项式中的相同部分换成另一个未知数，然后再因式分解，最后再将其换回来．下面是小明对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式        （第一步）                   （第二步）                      （第三步）                 （第四步） 回答下列问题． (1)小明第二步到第三步运用了因式分解的 ； A．提公因式法        B．公式法        C．换元法 (2)老师说，小明因式分解的结果不彻底，请你写出因式分解的最后结果： ； (3)请你模仿小明的方法，对多项式进行因式分解． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握换元法和公式法分解因式是解题关键． （1）根据完全平方公式求解即可得； （2）根据，利用公式法分解因式即可得； （3）设，再利用换元法和完全平方公式分解因式即可得． 【详解】（1）解：因为运用的是完全平方公式， 所以小明第二步到第三步运用了因式分解的公式法， 故选：B． （2）解：设， 原式 ， 故答案为：． （3）解：设， 原式 ． 16．【阅读材料】因式分解： 解：∵ ，∴将看成整体， 令，则原式 将M 还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解： 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时， 的值一定是非负数． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】此题考查了换元法因式分解和完全平方公式． （1）设，则，即可得到，将M 还原，则原式，即可得到答案； （2）设，则，将M 还原，得到，即可证明结论成立． 【详解】解：（1）将看成整体， ∴可设，则， 所以， 将M 还原，则原式， 即； （2）将看成整体， ∴可设，则 将N还原，得： ， 即无论a，b取何值时， 的值一定是非负数． 17．设表示一个两位数，其中十位数字为a，个位数字为b，表示的平方．规定：若一个正整数A能写成，且，则称A为“平方差数”，并把式子称为“平方差分解”． 例如：因为，所以56是“平方差数”；其中为“平方差分解”． (1)当时，请写出一个“平方差数”及其“平方差分解”； (2)判断400是否为“平方差数”？若是，写出“平方差分解”；若不是，请说明理由． 【答案】(1)（不唯一） (2)不是“平方差数”，理由见解析 【分析】本题主要考查因式分解的应用，理解“平方差数”、“平方差分解”的定义是解答的关键． （1）根据“平方差数”、“平方差分解”的定义解答即可； （2）先把写出，然后根据“平方差数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴272是“平方差数”，“平方差分解”为． （2）解：400不是“平方差数”，理由如下： ∵，但， ∴400不是“平方差数”． 18．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片． (1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）． 方法1：__________________________________________________． 方法2：__________________________________________________． (2)若，求的值． (3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：______． 【答案】(1)， (2)20 (3) 【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可； （2）根据非负数的定义可得，再根据进行计算即可； （3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可． 【详解】（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为， 方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为，宽为的长方形面积，因此有； 故答案为：， （2）∵，，， ∵，，即，， ∴． （3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为， 而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得，进而可求周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 20．已知，且，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查完全平方公式的应用，整式减法运算，因式分解等．根据题意利用完全平方公式得到，继而得到，再将提公因式，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴，整理得：， ∴， 故答案为：5． 21．已知：，，，且，则的值为 ． 【答案】或54 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式，先求出，，再求出或，再分情况求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：，，， 由可得：， 由可得：， 由可得：， ∵， ∴由④⑤⑥可得：，， 由可得： ， ∴， ∴或， 当时，，，代入①可得：， 解得：，此时，， ∴； 当时，，，代入①可得：， 解得：，此时，， ∴； 综上所述，的值为或54， 故答案为：或54． 22．已知，，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式的应用，设,根据因式分解的应用，先求的值，再求即可得解，熟练掌握完全平方公式的结构特征并能灵活对所求代数式进行恒等变形是解决此题的关键． 【详解】解：设, , , ， ， ， ， ， 的值为7. 23．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，先提取公因式，再运用平法差公式因式分解即可得到答案． 【详解】解： ∵， ∴， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． ①分解因式：； ②若．，都是正整数且，求的值； （2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值． 【答案】（1）①；②19；（2） 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用： （1）①参照题干，利用分组分解法求解；②由，都是正整数，得，都是整数，且，结合求出a，b的值，代入计算可得答案； （2）将变形为，代入得，可得答案． 【详解】解：（1）① ； ②， ， ，都是正整数， ，都是整数，且， 又， ，或， 解得或（不合题意，舍去）， ； （2）， ， ， ，， ， 整式的最小值为． 25．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 【答案】(1)或 (2) (3)，， 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用； (1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； (2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； (3）根据题意，由“-系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：或； （2）根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， 多项式的另一个零点是； （3）， 的两个零点分别是或， 根据“系多项式”的定义，有， ∴ 把代入， 得 ， ， 故答案为：，，． 26．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值13 (3)84 【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）把变形为即可求解； （2）将原式配方为，根据平方非负性即可求解； （3）将原式因式分解变形为，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值13． （3）解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数， 所以①，，解得：，； ②，，解得：，； ③，，解得：，； ④，，解得：，． 所以所有m的积为． / 学科网（北京）股份有限公司 $$