专题20 相似三角形压轴题的十种类型（解析版+原卷版）-2025年中考数学二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题20 相似三角形压轴题的十种常见类型（解析版） 典例剖析+变式训练 类型一 综合运用全等三角形与三角形的判定和性质求点的坐标 【典例1】（2024秋•义乌市期末）已知过点B（4，1）的抛物线yx2x+c与坐标轴交于点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于点P，当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为 　（，）或（11，36）　． 【思路引领】由两点坐标公式可求AC，BC，AB，由勾股定理可证∠ACB＝90°，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解． 【完整解答】解：如图，过点M作EM⊥AP于E， ∵抛物线yx2x+c过点B（4，1）， ∴1＝8﹣10+c， ∴c＝3， ∴点A（0，3），抛物线解析式为yx2x+3， 当y＝0时，则0x2x+3， ∴x1＝2，x2＝3， ∴点C（3，0）， ∵点A（0，3），点C（3，0），点B（4，1） ∴AC＝3，BC，AB＝2， ∵AC2+BC2＝20＝AB2， ∴∠ACB＝90°， 设点M（m，m2m+3）， ∴ME＝m，AEm2m+3﹣3m2m， 当∠AMP＝∠ACB＝90°，∠ABC＝∠PAM时，△ACB∽△PMA， ∴tan∠ABC＝tan∠PAM， ∴， ∴m， ∴点M（，）， 当∠AMP＝∠ACB＝90°，∠BAC＝∠PAM时，△ACB∽△APM， ∴tan∠BAC＝tan∠PAM， ∴， ∴m＝11， ∴点M（11，36）， 综上所述：点M坐标为（，）或（11，36）． 故答案为：（，）或（11，36）． 【总结提升】本题考查了相似三角形的判定，二次函数的性质，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024秋•金水区校级期中）如图，平面直角坐标系中，A（6，0），B（0，8），C为AB的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与△AOB相似，则D的坐标为（　　） A．（3，0） B．（4，0）或 C．（3，0）或 D．（3，0）或（﹣1，0） 【思路引领】先根据勾股定理求出AB的长，进而可得出AC的长，再根据△AOB∽△ADC与△AOB∽△ACD两种情况进行讨论． 【完整解答】解：∵点A（6，0），B（0，8）， ∴OA＝6，OB＝8， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB10， ∵C为AB中点， ∴AC＝BC＝5， ①如图， 当△AOB∽△ADC时，， 即，解得：AD＝3， ∴OD＝AO﹣AD＝6﹣3＝3， ∴点D（3，0）， ②如图， 当△AOB∽△ACD时，， 即，解得：AD， ∴OD＝AD﹣AO， ∴点D（，0）， 综上可知：D（3，0）或（，0）． 故选：C． 【总结提升】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是要进行分类讨论，不要漏解． 类型二 综合运用相似三角形的判定和性质求线段长的最值 【典例2】（2024秋•包河区期末）如图，点D为△ABC边CB延长线上一点，连接AD，AD＝12，BC＝10，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】过点B作BH⊥AD于点H，根据△DAB∽△DCA相似三角形的性质得到，结合已知条件可得BD＝4，进而可得BD＝AD，根据等腰三角形的性质求得AH，根据勾股定理得到BH，当PQ⊥AB时，PQ最小，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【完整解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于点H， ∵△DAB∽△DCA， ∴， ∴ 解得BD＝8（负值舍去）， ∵△DAB∽△DCA， ∴， ∴， ∵AC2＝AB（AB+BC），BC＝10， ∴（AB）2＝AB（AB+10）， 解得AB＝8或AB＝0（舍去）， ∴AB＝BD＝8， ∵BH⊥AD，AB＝BD， ∴6， 在Rt△ABH中，BH2， ∵AD＝3AP，AD＝12， ∴AP＝4， ∵PQ⊥AB时，PQ最小， ∴∠AQP＝∠AHB＝90°， 又∵∠PAQ＝∠BAH， ∴△PAQ∽△BAH， ∴， 即， ∴PQ， 故选：A． 【总结提升】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024秋•淮北期末）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【思路引领】根据相似三角形的判定与性质，证明∠DCE＝90°，推出CPDE，求出DE的最小值，可得结论． 【完整解答】解：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∵DP＝PE， ∴CPDE， ∵△ABC∽△ADE， ∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小， ∵AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°， ∴BC5， 根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，根据三角形面积得，此时AD， ∵， ∴， ∴DEAD＝4， ∴CP的最小值为4＝2， 故选：D． 【总结提升】本题考查相似三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（2025•佛山一模）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使得∠DCP＝60°，连接OD，则OD的最大值为 　2 1　． 【思路引领】如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，连接OP，则CO＝2CE，OE＝2 ，∠OCP＝∠ECD，由△COP∽△CED，得比例式，从而求得ED＝1（定长），由点E是定点，DE是定长，推出点D在半径为1的⊙E上，由此即可解决问题． 【完整解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，连接OP，则 CO＝2CE，OE＝2 ，∠OCP＝∠ECD， ∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°， ∴CP＝2CD， ∴2 ∴△COP∽△CED， ∴2， 即EDOP＝1（定长）， ∵点E是定点，DE是定长， ∴点D在半径为的⊙E上， ∵OD⩽OE+DE， ∴OD≤21， ∴OD的最大值为21， 故答案为：21． 【总结提升】本题考查了相似三角形的判定与性质及圆的有关概念及性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 类型三 综合运用相似三角形的性质和判定结合二次函数求最值 【典例3】（2024秋•江阴市期末）如图，在⊙O中，直径AB＝4，C是AB上一动点，作CB的垂直平分线，交⊙O于D、E两点，连接CD、BE．当点C与点O重合时，BE＝ 　2　；在点C的运动过程中，AC+BE的最大值为 　　． 【思路引领】当点C与点O重合时，则BC＝CD＝2，根据线段垂直平分线定义得CH＝BH，根据垂径定理得DH＝EH，进而得△DCH和△EBH全等，根据全等三角形的性质得CD＝BE＝2；连接AD，设CH＝BH＝x，则0＜x＜2，BC＝2x，AC＝4﹣2x，AH＝4﹣x，证明△AHD和△EHB相似得EH2＝BH•AH＝x（4﹣x），再由勾股定理得BE，则AC+BE，由此即可得出AC+BE的值． 【完整解答】解：当点C与点O重合时，设DE与BC交于点H，如图1所示： ∵⊙O的直径AB＝4， ∴BC＝CD＝2， ∵DE是CB的垂直平分线， ∴CH＝BH， 根据垂径定理得：DH＝EH， 在△DCH和△EBH中， ， ∴△DCH≌△EBH（SAS）， ∴CD＝BE＝2， 连接AD，设DE与BC交于点H，如图2所示： 设CH＝BH＝x，则0＜x＜2， ∴BC＝2x， ∴AC＝AB﹣BC＝4﹣2x，AH＝AB﹣BH＝4﹣x， ∵∠A＝∠E，∠AHD＝∠EHB， ∴△AHD∽△EHB， ∴， ∵DH＝EH， ∴EH2＝BH•AH＝x（4﹣x）， 在Rt△EHB中，由勾股定理得：BE， ∴AC+BE， ∴当时，AC+BE的值为最大，最大值为． 故答案为：． 【总结提升】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，线段的垂直平分线，理解垂径定理，线段的垂直平分线，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（2024秋•靖江市期末）如图，在等边△ABC中，点D是边BC上一个动点（不与A，B重合），点E在AC上，且∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若等边△ABC的边长为3，求AE的最小值． 【思路引领】（1）由等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，而∠ADE＝60°，所以∠BAD+∠ADB＝∠CDE+∠ADB＝120°，则∠BAD＝∠CDE，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△DCE； （2）由AB＝BC＝AC＝3，得DC＝3﹣BD，CE＝3﹣AE，由相似三角形的性质得，则，整理得AE（BD）2，所以AE的最小值为． 【完整解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝120°，∠CDE+∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°， ∴∠BAD+∠ADB＝∠CDE+∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE． （2）解：∵等边△ABC的边长为3， ∴AB＝BC＝AC＝3， ∴DC＝3﹣BD，CE＝3﹣AE， ∵△ABD∽△DCE， ∴， ∴， 整理得AE（BD）2， ∵（BD）2+≥0， ∴（BD）2， ∴（BD）2的最小值为， ∴AE的最小值为． 【总结提升】此题重点考查等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、非负数的性质等知识，推导出∠BAD＝∠CDE，进而证明△ABD∽△DCE是解题的关键． 类型四 利用相似三角形的判定和性质求线段长的最值 【典例4】（2024秋•东港区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是（　　） A．4 B． C． D．2 【思路引领】过点A作AF⊥BD于F，过点P作PE⊥BD于E，设⊙C与BD相切于点G，连接CG，并延长交⊙C于H，则HG⊥BD，根据勾股定理求出BD＝10，再根据等面积法求出，，进而得到，证明△AFT∽△PET，得到，由于AF是定值，所以若要最大，则PE最大，得出当P与H重合时，GH⊥BD，此时PE有最大值，即，即可求解． 【完整解答】解：过点A作AF⊥BD于F，过点P作PE⊥BD于E，设⊙C与BD相切于点G，连接CG，并延长交⊙C于H，则HG⊥BD， 由题意可得：， ∴，即， ∴， 同理可得：， ∴， ∵AF⊥BD，PE⊥BD， ∴∠AFT＝∠PET＝90°， 又∵∠ATF＝∠PTE， ∴△AFT∽△PET， ∴， ∵AF是定值， ∴若要最大，即最大，则PE最大， ∴当P与H重合时，GH⊥BD，此时PE有最大值，即， ∴的最大值是， 故选：D． 【总结提升】本题考查了切线的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，证明，从而得出若要最大，则PE最大． 类型五 综合运用相似三角形的判定和性质一次函数求坐标 【典例5】（2024•青羊区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B两点，过该函数图象上一点C（6，m）作CD⊥x轴于点D，E是线段AB上一动点，连接BD，EO，若以B，E，O为顶点的三角形与△BCD相似，则点E的坐标为 　（﹣3，1）或　． 【思路引领】设点E，显然t＜0，先求出点A（﹣6，0），点B（0，2），则OB＝2，，再求出点C（6，4），则CD＝4，CB，根据CD∥OB得∠EBO＝∠BCD，因此当以B，E，O为顶点的三角形与△BCD相似时，有以下两种情况：①当时，△BEO∽△CBD，利用相似三角形的性质求出BE，则，由此解出t＝﹣3，进而可得点E的坐标；②当时，△OBE∽△BCD，利用相似三角形的性质求出BE，则，由此解出，进而可得点E的坐标，综上所述即可得出答案． 【完整解答】解：∵点E是线段AB上一动点， ∴设点E，显然t＜0， 对于一次函数，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣6， ∴点A（﹣6，0），点B（0，2）， ∴OA＝6，OB＝2， ∴， ∵点C（6，m），且点C在一次函数的图象上， ∵， ∴点C（6，4）， ∵CD⊥x轴于点D， ∴OD＝6，CD＝4， ∴CB， ∵CD∥OB， ∴∠EBO＝∠BCD， 当以B，E，O为顶点的三角形与△BCD相似时，有以下两种情况： ①当时，△BEO∽△CBD， ∴， ∴BE， ∴， 解得：t＝﹣3，t＝3（不合题意，舍去）， 当t＝3时，， ∴点E的坐标为（﹣3，1）； ②当时，△OBE∽△BCD， ∴， ∴BE， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点E的坐标为． 综上所述：当以B，E，O为顶点的三角形与△BCD相似时，点E的坐标为（﹣3，1）或． 【总结提升】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标，理解满足一次函数表达式的点都在一次函数图象上，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【变式训练】 1．（2015•仙游县校级模拟）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA，tan∠AOC，点B的坐标为（m，﹣2）． （1）反比例函数的解析式是　y　． （2）在y轴上存在一点，使得△PDC与△ODC相似，请你求出点P的坐标． 【思路引领】（1）因为OA，tan∠AOC的值已知，所以可过A作AE垂直x轴，垂足为E，利用三角函数和勾股定理即可求出AE＝1，OE＝3，从而可知A（3，1），又因点A在反比例函数的图象上，由此可求出开k＝3，从而求出反比例函数的解析式； （2）因为在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，而∠PDC和∠ODC是公共角，所以有△PDC∽△CDO，而点C、D分别是一次函数的图象与x轴、y轴的交点，进而可求出PD，OP的长得出P点坐标． 【完整解答】解：（1）过A作AE垂直x轴，垂足为E， ∵tan∠AOC， ∴OE＝3AE， ∵OA，OE2+AE2＝10， ∴AE＝1，OE＝3 ∴点A的坐标为（3，1）． ∵A点在双曲线上， ∴1， ∴k＝3． ∴双曲线的解析式为y， 故答案为：y； （2）∵点B（m，﹣2）在双曲线y上， ∴﹣2， ∴m＝﹣1.5． ∴点B的坐标为（﹣1.5，﹣2）． ∴， ∴ ∴一次函数的解析式为yx﹣1； 过点C作CP⊥AB，交y轴于点P， ∵C，D两点在直线yx﹣1上， ∴C，D的坐标分别是：C（1.5，0），D（0，﹣1）． 即：OC＝1.5，OD＝1， ∴DC． ∵△PDC∽△CDO， ∴， ∴PD， 又∵OP＝DP﹣OD， ∴P点坐标为（0，）． 【总结提升】本题考查的是反比例函数，此类题目往往和三角函数相联系，在考查学生待定系数法的同时，也综合考查了学生的解直角三角形、相似三角形的知识，是数形结合的典型题例，它的解决需要学生各方面知识的灵活运用． 类型刘 综合运用相似三角形的判定和性质一次函数求字母的值 【变式训练】 1．（2024•汉川市模拟）已知一次函数y＝2x+2与x轴y轴分别交于A、B两点，另一直线y＝kx+3交x轴正半轴于E、交y轴于F点，如△AOB与E、F、O三点组成的三角形相似，那么k值为（　　） A．﹣0.5 B．﹣2 C．﹣0.5或﹣2 D．以上都不对 【思路引领】根据直线解析式求出点A、B、F的坐标，再根据相似三角形对应边成比例分OE和OA、OB是对应边两种情况讨论求出OE的长，然后求出直线y＝kx+3的解析式，即可得解． 【完整解答】解：∵一次函数y＝2x+2与x轴y轴交于A、B两点， ∴A（﹣1，0），B（0，2）， ∴OA＝1，OB＝2， ∵直线y＝kx+3交y轴于F点， ∴F（0，3）， ∴OF＝3， ∵△AOB与E、F、O三点组成的三角形相似， ∴或， 即或， 解得OE或OE＝6， 当OE时，y＝﹣2x+3， 或OE＝6时，yx+3， 所以，k＝﹣2或． 故选：C． 【总结提升】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，两直线相交的问题，难点是要分情况讨论． 2．（北京中考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，过C点作CD⊥AB，垂足为D，且AD＝m，BD＝n，AC2：BC2＝2：1，又关于x的方程x2﹣2（n﹣1）x+m2﹣12＝0两实数根的差的平方小于192，求：m，n为整数时，一次函数y＝mx+n的解析式． 【思路引领】根据△ABC∽△ACD，求出m和n之间的关系式；再根据根与系数的关系求出m、n的取值范围，然后估算，即可求得一次函数的解析式． 【完整解答】解：易证△ABC∽△ACD，∴，AC2＝AD•AB，同理BC2＝BD•AB， ∵，∴，∴m＝2n…①， ∵关于x的方程x2﹣2（n﹣1）x+m2﹣12＝0有两实数根， ∴Δ＝[﹣2（n﹣1）]2﹣4（m2﹣12）≥0， ∴4n2﹣m2﹣8n+16≥0，把①代入上式得n≤2…②， 设关于x的方程x2﹣2（n﹣1）x+m2﹣12＝0的两个实数根分别为x1，x2， 则x1+x2＝8（n﹣1），x1•x2＝4（m2﹣12）， 依题意有（x1﹣x2）2＜192，即[8（n﹣1）]2﹣16（m2﹣12）＜192， ∴4n2﹣m2﹣8n+4＜0，把①式代入上式得n③，由②、③得n≤2， ∵m、n为整数，∴n的整数值为1，2， 当n＝1，m＝2时，所求解析式为y＝2x+1，当n＝2，m＝4时，解析式为y＝4x+2． 【总结提升】此题结合了相似三角形和根的判别式，还要对整数值进行估算，难度较大，有利于培养同学们钻研和探索问题的能力． 类型七 利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”（动点D在圆弧上）型的最值（阿氏圆） 【典例7】（2024•肇东市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 　　． 【思路引领】在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQAP，当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，求出BQ即为所求． 【完整解答】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ， ∵AC＝9，CP＝3， ∴， ∵CP＝3，CQ＝1， ∴， ∴△ACP∽△PCQ， ∴PQAP， ∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ， ∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小， 在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1， ∴QB， ∴PA+PB的最小值， 故答案为：． 【总结提升】本题考查阿氏圆求最短距离，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，利用三角形相似将PA转化为PQ是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022•南召县开学）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 　　． 【思路引领】在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，证明△APQ∽△ABP，可得PQPB，则PB+PC＝PC+PQ，当C、Q、P三点共线时，PC+PQ的值最小，求出CQ即为所求． 【完整解答】解：如图，在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ， ∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点， ∴， ∵AP＝2，AQ＝1， ∴， ∵∠PAQ＝∠BAP， ∴△APQ∽△ABP， ∴PQPB， ∴PB+PC＝PC+PQ≥CQ， 在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1， ∴QC．， ∴PB+PC的最小值．， 故答案为：． 【总结提升】本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．（2024•锡山区校级一模）（1）如图①，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是边AC的中点．以点A为圆心，2为半径在△ABC内部画弧，若点P是上述弧上的动点，点Q是边BC上的动点，PQ+QD的最小值是 　　； （2）如图②，矩形ABCD中，BC＝300．E为CD中点，要在以点A为圆心，10为半径的圆弧上选一处点P，边BC上选一处点Q，M、N是以Q为圆心，10为半径的半圆的三等分点处，PM+NE的最小值是 　570　． 【思路引领】（1）作点D关于BC的对称点D′，连接DQ、AP，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于E，则QD＝QD，DK＝DK，当A、P、Q、D在同一条直线上时，PQ+QD＝AD﹣AP取得最小值，由DK∥AB，可得△CDK∽△CAB，运用相似三角形性质可得DK＝3，CK＝4，再由勾股定理即可求得答案； （2）连接MQ，NQ，过点Q作QK⊥MN于K，作点A关于直线MN的对称点A，将E向左平移10得到点E，过点E作EL∥AB，过点A作AL⊥EL于L，连接A′M、A′E′、E′M，由题意得随着圆心Q在 BC上运动，MN在平行于BC且到BC距离为 的 直线上运动，再运用勾股定理可得PM+NE最小值即可． 【完整解答】解：（1）如图①，作点D关于BC的对称点D′，连接DQ、AP，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于E， 则QD＝QD，DK＝DK， ∴PQ+QD＝PQ+QD′＝AQ﹣AP+QD′， 当A、P、Q、D在同一条直线上时，PQ+QD＝AD﹣AP取得最小值， ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴， ∵点D是边AC的中点， ∴， ∵DK∥AB， ∴△CDK﹣△CAB， ∴，即 ， ∴DK＝3，CK＝4， ∴D′K＝3，BK＝4， ∵∠E＝∠EBK＝∠BKD'＝90°， ∴四边形BED′K是矩形， ∴DE＝BK＝4，BE＝DK＝3， ∴AE＝AB+BE＝6+3＝9， ∴， ∵AP＝2， ∴PQ+QD的最小值， 故答案为：； （2）如图②，连接MQ，NQ，过点Q作QK⊥MN于K，作点A关于直线MN的对称点A，将E向左平移10得到点E，过点E作EL∥AB，过点A作AL⊥EL于L，连接A′M、AE′、E′M， ∵M、N是半圆Q的三等分点，且半径为10， ∴△QMN为等边三角形，且MN∥BC，MN＝10， ∵QK⊥MN，QM＝10， ∴， ∴随着圆心Q在BC上运动，MN在平行于BC且到 BC距离为 的直线上运动， ∵EE'∥MN且EE＝MN＝10， ∴四边形EEMN是平行四边形， ∴NE＝ME， ∴PM+NE＝PM+ME≥AM﹣AP+ME′＝AM+ME′﹣10， ∵E是CD的中点， ∴． ， ∴， AL＝BC﹣EE＝300﹣10＝290， 在Rt△AEL中， ， ∴PM+NE最小值＝AE﹣AP＝580﹣10＝570， 故答案为：570． 【总结提升】本题考查了矩形的性质，轴对称—最小值问题，相似三角形的性质与判定等，巧妙的添加辅助线是解题的关键． 类型八 相似三角形与矩形、正方形的综合题 【典例8】（2024秋•成华区校级期中）在矩形ABCD中，BC＞AB．沿过点B的直线折叠矩形，使点C落在AD边上点F处，折痕为BE． 【尝试】 （1）如图1，△ABF与△DFE始终保持相似关系，请说明理由． 【探究】 （2）随着折痕BE位置的变化，F点的位置随之发生变化．当AB＝5时，是否存在点F，使AF•FD＝10？若存在，求出此时BC的长；若不存在，请说明理由． 【延伸】 （3）如图2，折叠△ABF，使边BA落在BF上BG处，折痕为BM．若MF＝AM+FD，求的值． 【思路引领】（1）根据同角的余角相等可得∠AFE＝∠FED，即可证明结论； （2）利用两个角相等证明△FAB∽△EDF，得，从而得出DE＝2，再利用勾股定理解决问题； （3）利用△FGM∽△FAB，得，设AM＝x，FG＝y，则AB＝2x，AF＝2y，利用勾股定理得出x和y的关系，进而解决问题． 【完整解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠C＝∠D＝90°， 由折叠知，∠BFE＝∠C＝90°， ∴∠AFE+∠EFD＝∠EFD+∠FED＝90°， ∴∠AFE＝∠FED， ∴△AFB∽△DFE； （2）存在点F，使AF•FD＝10， ∵将△BCE沿BE翻折，使点C落在AD边上点F处， ∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF， 又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°， ∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°， ∴∠AFB＝∠DEF， ∴△FAB∽△EDF， ∴， ∴AF•DF＝AB•DE， ∵AF•DF＝10，AB＝5， ∴DE＝2， ∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3， ∴EF＝3， ∴DF， ∴AF， ∴BC＝AD＝AF+DF＝2． （3）∵MF＝AM+FD， ∴MFAD， 由折叠知，BC＝BF＝AD，∠FGM＝∠A＝90°， ∴MFBF， ∵∠MFG＝∠BFA， ∴△FGM∽△FAB， ∴， 设AM＝x，FG＝y，则AB＝2x，AF＝2y， ∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2， 解得y或y＝0（舍去）， ∴BF＝2x+y＝2x， ∴． 【总结提升】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据△FGM∽△FAB是解决问题（3）的关键． 【变式训练】 1．（2024春•连云港期中）【实践探究】（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AE⊥BD交BC于点E，则的值是 　　； 【变式探究】（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为AC边上一点，连接BD，AE⊥BD，交BC于点E，若，求BE的长； 【灵活应用】（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝9，点E，F分别在DC，AB上，以EF为折痕，将四边形BCEF翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AN⊥EF交BC于点N，若AB′＝3，设△AC′G的面积为S1，△DEG的面积为S2，△AB′F的面积为S3，若S1﹣27S2＝S3，则的值为 　　． 【思路引领】（1）由同角的余角相等可得∠BAE＝∠ADB，再由矩形性质和垂直定义可得∠ABE＝∠DAB＝90°，可证得△AEB∽△DBA，即可求得答案； （2）过点E作EM⊥AC于点M，先证得△AEM∽△BDA，可求得AM，CM＝AC﹣AM，再证得△CEM∽△CBA，即可求得答案； （3）设AN与EF交于点K，过点B作BH∥EF交CD于点H，由△AFK∽△ANB，可求得AF＝5，B′F＝BF＝4，再证得△AGC′∽△FAB′，可得k，则AC′＝4k，C′G＝3k，AG＝5k，AD＝BC＝B′C′＝3+4k，DG＝AD﹣AG＝3+4k﹣5k＝3﹣k，再证得△DEG∽△C′AG，可得DE（3﹣k），再运用三角形面积公式可求得：S1＝6k2，S2（3﹣k）2，S3＝6，代入S1﹣27S2＝S3，解方程求得k＝2，由△ANB∽△BHC，可得，再利用平行四边形性质可得BH＝EF，即可求得答案． 【完整解答】解：（1）如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝BC＝8， ∴BD10， ∵AE⊥BD， ∴∠ADB+∠DAE＝90°， ∵∠BAE+∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADB， ∵∠ABE＝∠DAB＝90°， ∴△AEB∽△DBA， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过点E作EM⊥AC于点M， 则∠AME＝∠BAD＝90°， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC10， ∵AE⊥BD， ∴∠BAE+∠DAB＝90°， ∵∠BAE+∠EAM＝90°， ∴∠EAM＝∠DAB， ∴△AEM∽△BDA， ∴， ∵， ∴AM， ∴CM＝AC﹣AM＝8， ∵∠CME＝∠BAC＝90°，∠ECM＝∠BCA， ∴△CEM∽△CBA， ∴，即， ∴CE， ∴BE＝BC﹣CE＝10； （3）如图3，设AN与EF交于点K，过点B作BH∥EF交CD于点H， 由对称性可知BF＝B'F，AB'＝BN＝3，AK＝NK， ∴AN3， ∴AKAN， ∵∠AKF＝∠ABN＝90°，∠FAK＝∠NAB， ∴△AFK∽△ANB， ∴，即， ∴AF＝5， ∴B′F＝BF＝4， ∵∠B′＝∠C′＝90°， ∴∠C′AG+∠C′GA＝90°， ∵∠C′AG+∠B′AF＝90°， ∴∠B′AF＝∠C′GA， ∴△AGC′∽△FAB′， ∴，即， 令k， 则AC′＝4k，C′G＝3k，AG＝5k， ∴AD＝BC＝B′C′＝3+4k， ∴DG＝AD﹣AG＝3+4k﹣5k＝3﹣k， ∵∠D＝∠C′，∠DGE＝∠C′GA， ∴△DEG∽△C′AG， ∴，即， ∴DE（3﹣k）， ∴S1＝S△AC′GAC′×C′G4k×3k＝6k2， S2＝S△DEGDE×DG（3﹣k）2（3﹣k）2， S3＝S△AB′FAB′×B′F3×4＝6， ∵S1﹣27S2＝S3， ∴6k2﹣27（3﹣k）2＝6， 解得：k1＝2，k2＝7， ∵C′G＜CD， ∴3k＜9， ∴k＜3， ∴k＝2， ∴AD＝BC＝5k+3﹣k＝3+4×2＝11， ∵EF⊥AN， ∴BH⊥AN， ∴∠BAN+∠ABH＝90°， ∵∠CBH+∠ABH＝90°， ∴∠BAN＝∠CBH， ∵∠ABN＝∠BCH＝90°， ∴△ANB∽△BHC， ∴， ∵BH∥EF，AB∥CD， ∴四边形BFEH是平行四边形， ∴EF＝BH， ∴， 故答案为：． 【总结提升】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 类型九 相似中的“一线三等角”模型 【典例9】（2024•扬州）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB＝2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H． （1）如图，若BE＝10，EF＝12，求点M与点B之间的距离； （2）如图，若BE＝10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值； 【思路引领】（1）易证△MCB∽△HME，再代入边长求解即可； （2）由△MCB∽△HME得出相似比，设未知数代入，得到关于HE的二次函数表达式，进而求最值即可； 【完整解答】解：（1）由题易得∠CBM＝∠CMH＝∠HEM＝90°， ∵∠CMB+∠BCM＝∠CMB+∠HME＝90°， ∴∠BCM＝∠HME， ∴△MCB∽△HME， ∴， ∵BC＝AB＝2，EH＝EF＝12，BE＝10， ∴，解得BM＝4或6， ∴点M与点B之间的距离是4或6． （2）由（1）知， 设EH＝y，BM＝x， ∵BE＝10， ∴EM＝10﹣x， ∴， ∴yx2+5x（x﹣5）2+12.5， ∵0， ∴当x＝5时，ymax＝12.5， 即HE最大值为12.5． 【总结提升】本题主要考查了四边形综合题，熟练掌握相似的判定和性质、二次函数求最值、轴对称等知识点是解题关键． 【变式训练】 1．（2024•中山市一模）【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．易证：△AED∽△BFE．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F． （1）求证：△AED∽△BFE． （2）若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，求BF的长． 【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E为AB边上一点（点E不与点A、B重合），连结CE，过点E作∠CEF＝45°交BC于点F．当△CEF为等腰三角形时，BE的长为 　2或2　． 【思路引领】【探究】（1）利用同角的余角相等得∠ADE＝∠BEF，从而证明结论； （2）由（1）知△AED∽△BFE，得，代入计算即可； 【应用】如果CE＝CF，则∠CEF＝∠CFE＝45°，∠ECF＝90°，则点E与点A重合，点F与点B重合，不符合题意；如果CE＝EF，利用AAS证明△AEC≌△BFE，得BE＝AC，可得答案；如果CF＝EF，则∠CEF＝∠ECF＝45°，则∠CFE＝90°，则CE⊥AB，从而解决问题． 【完整解答】【探究】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∵DE⊥EF， ∴∠DEF＝90°， ∴∠BEF+∠AED＝90°， ∴∠ADE＝∠BEF， 又∵∠A＝∠B， ∴△AED∽△BFE； （2）解：∵E为AB的中点， ∴AE＝BE＝5， 由（1）知△AED∽△BFE， ∴， 即， ∴BF； 【应用】解：如果CE＝CF，则∠CEF＝∠CFE＝45°，∠ECF＝90°，则点E与点A重合，点F与点B重合，不符合题意， ②如果CE＝EF，则∠ECF＝∠EFC， ∵∠EFC为△BEF的外角， ∴∠EFC＝∠B+∠BEF， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°， ∴∠BEF＝∠EFC﹣∠B＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∠ACE＝90°﹣∠ECF＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠ACF＝∠BEF， 又∵∠A＝∠B，CE＝EF， ∴△AEC≌△BFE（AAS）， ∴BE＝AC， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4， ∴AC， ∴BE＝2； 如果CF＝EF，则∠CEF＝∠ECF＝45°， ∴∠CFE＝90°， 在△BEC中，∠B＝∠BCE＝45°， ∴∠BEC＝90°， ∴CE⊥AB， 又∵AC＝BC， ∴点E为AB的中点， ∴BE， 综上，BE的长为2或2， 故答案为：2或2． 【总结提升】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，运用分类思想是解决【应用】的关键． 类型十 相似三角形动态问题 【典例10】（2024•朝阳区校级模拟）如图，在边长为4cm的等边△ABC中，点D从点B开始以每秒2cm的速度沿射线BA方向运动，连结CD，点E在线段CD上（不与端点重合），将射线BE绕点B逆时针旋转60°得到的射线与射线CA交于点F，设点D的运动时间为t秒． （1）如图①，当点D在边AB上时，若BE平分∠ABC，则∠BFC＝　30　°． （2）如图②，当点D在边BA延长线上时，过点D作DH∥BC交BE于点H，若点E为CD中点， ①求证：△BDH≌△FAB； ②当AF＝6cm时，求t的值． （3）若点E是CD的三等分点，当△ABF的面积等于，直接写出t的值． 【思路引领】（1）运用等边三角形性质、角平分线定义、旋转变换性质及直角三角形性质即可求得答案； （2）①利用ASA可证得△DEH≌△CEB，再利用AAS即可证得△BDH≌△FAB； ②根据题意建立方程求解即可得出答案； （3）分两种情况：当CECD时，当DECD时，分别求得t的值即可． 【完整解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE∠ABC＝30°， ∵射线BE绕点B逆时针旋转60°得到的射线与射线CA交于点F， ∴∠EBF＝60°， ∴∠CBF＝∠CBE+∠EBF＝90°， ∴∠BFC＝90°﹣∠ACB＝30°， 故答案为：30． （2）①证明：∵DH∥BC， ∴∠EDH＝∠ECB，∠BDH+∠ABC＝180°， ∵点E为CD中点， ∴DE＝CE， 又∵∠DEH＝∠CEB， ∴△DEH≌△CEB（ASA）， ∴DH＝BC， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴DH＝AB，∠BAF＝180°﹣∠BAC＝120°， ∵∠BDH＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠BDH＝∠BAF， ∵射线BE绕点B逆时针旋转60°得到的射线与射线CA交于点F， ∴∠EBF＝60°，即∠ABF+∠DBH＝60°， 又∵∠ABF+∠AFB＝∠BAC＝60°， ∴∠DBH＝∠AFB， ∴△BDH≌△FAB（AAS）； ②由①知△BDH≌△FAB， ∴BD＝AF＝6cm， 由题意得BD＝2t cm， ∴2t＝6， 解得t＝3， ∴t的值为3． （3）∵点E是CD的三等分点， ∴CECD或DECD， 当CECD时，如图，过点F作FG⊥BD于G，过点D作DK∥BC交BE的延长线于K， 则， ∵△ABF的面积等于4， ∴AB•FG＝4， ∵AB＝4， ∴FG＝2， ∵∠FAG＝∠BAC＝60°， ∴sin60°， ∴AF4， ∴AF＝AB， ∴∠ABF＝∠AFB， ∵∠ABF+∠AFB＝∠BAC＝60°， ∴∠ABF＝∠AFB＝30°， ∴∠DBE＝∠EBF﹣∠ABF＝30°， ∴∠EBC＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DBE＝∠EBC， ∵DK∥BC， ∴∠EBC＝∠K， ∴∠K＝∠DBE， ∴DK＝BD， ∵DK∥BC， ∴△BEC∽△KED， ∴， ∴， ∴BD＝2BC＝8， ∵BD＝2t， ∴2t＝8， 解得t＝4； 当DECD，即时，如图，过点D作DK∥BC交BE的延长线于K， 则∠EBC＝∠DKB， 又∵∠DBE＝∠EBC＝30°， ∴∠DKB＝∠DBE， ∴DK＝BD， ∵DK∥BC， ∴△BEC∽△KED， ∴， ∴DKBC＝2， ∴BD＝2，即2t＝2， 解得：t＝1； 综上所述，t的值为4或1． 【总结提升】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 【变式训练】 1．（2023秋•莱西市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，动点E从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，以AE为直径作⊙O，与AB交于点D，连接DE．设运动时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题： （1）t取何值时，BE平分∠ABC； （2）设△DCE的面积为y，求y与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使CD与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在说明理由． 【思路引领】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ADE＝90°，运用勾股定理可得BC＝3cm，再证得△AED∽△ABC，可得DEt cm，利用角平分线性质可得DE＝CE，建立方程求解即可得出答案； （2）过点D作DG⊥AC于点G，利用相似三角形性质可得ADt cm，再运用面积法求得DGt cm，再根据三角形面积即可求得答案； （3）过点D作DG⊥AC于点G，利用相似三角形性质和圆的性质即可求得答案． 【完整解答】解：（1）由题意得：∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，AE＝2t cm，CE＝（4﹣2t）cm， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ADE＝90°， 在Rt△ABC中，BC3（cm）， ∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∠EAD＝∠BAC， ∴△AED∽△ABC， ∴，即， ∴DEt cm， ∵∠BDE＝∠BCE＝90°， ∴当DE＝CE时，BE平分∠ABC， ∴t＝4﹣2t， 解得：t， ∴当t时，BE平分∠ABC； （2）如图，过点D作DG⊥AC于点G， ∵△AED∽△ABC， ∴，即， ∴ADt cm， ∵DG⊥AE，AD⊥DE， ∴AE•DG＝AD•DE，即2t•DGt•t， ∴DGt cm， ∴y＝S△DCECE•DG（4﹣2t）•tt2t； （3）存在某一时刻t，使CD与⊙O相切．理由如下： 如图，过点D作DG⊥AC于点G， 由（1）（2）知：AE＝2t cm，OA＝OD＝t cm，OC＝（4﹣t）cm，ADt cm，AGt cm，DGt cm， ∴OG＝AG﹣OAt﹣tt， ∴CG＝OC﹣AG＝4t， ∵DG⊥AC， ∵CD与⊙O相切， ∴∠CDO＝90°， ∴∠DGO＝∠CDO， ∵∠DOG＝∠COD， ∴△ODG∽△OCD， ∴，即， 解得：t， ∴当t时，CD与⊙O相切． 【总结提升】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题关键． 2．（2023•南关区四模）如图，AB是⊙O的直径，OA＝3．动点P从点A出发，在⊙O上沿顺时针方向运动到终点B，速度为每秒π个单位．同时动点Q从点B出发，在⊙O上沿顺时针方向运动，速度为每秒3π个单位．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．连结OP、OQ．设点P的运动时间为t秒． （1）⊙O的周长为 　6π　； （2）当点P与点Q重合时，求所在的扇形的面积； （3）当OP⊥OQ时，求t的值； （4）作半径OP的垂直平分线交⊙O于点M、N，连结PQ．当PQ将线段MN分成1：2的两部分时，直接写出t的值． 【思路引领】（1）直接利用圆的周长公式计算即可； （2）当点P与点Q重合时，根据点P走过的弧长+弧AB的长＝点B走过的弧长列出方程，求出t值，于是可求出所在扇形的圆心角度数，进而利用扇形的面积公式求解即可； （3）分两种情况：当点P与点Q重合前，当点P与点Q重合前．根据两点走过的弧长关系列出方程，求解即可； （4）情况一：连接OM，PM，PN，ON，PQ交MN于点H，NH：MH＝1：2，根据线段垂直平分线的性质易得△OPM为等边三角形，△PON为等边三角形，进而得到四边形PMON为菱形，易得△GHN∽△PHM，根据相似三角形的性质可得，由等边三角形三线合一可知PG垂直平分ON，于是可得∠HON＝∠HNO＝30°，则∠AOP＝30°，利用此时的长÷点P的运动速度即可得到时间；情况二：同情况一方法即可求解． 【完整解答】解：（1）⊙O的周长为2π×3＝6π； 故答案为：6π； （2）当点P与点Q重合时， 3π+πt＝3πt， 解得：t， ∴点P走过的圆心角度数为90°， ∴所在的扇形的面积为； （3）当点P与点Q重合前，OP⊥OQ， 则， 解得：t； 当点P与点Q重合后，OP⊥OQ， ， 解得：t； 综上，t或； （4）情况一：如图，连接OM，PM，PN，ON，PQ交MN于点H，NH：MH＝1：2， ∵MN垂直平分OP， ∴OM＝PM， ∵OP＝OM， ∴OP＝OM＝PM， ∴△OPM为等边三角形， ∴∠POM＝60°， 同理可得：△PON为等边三角形， ∴OP＝PN＝ON，∠PON＝60°， ∴∠MON＝120°，PM＝OM＝ON＝PN， ∴四边形PMON为菱形， ∴PM∥ON， ∴△GHN∽△PHM， ∴，即， ∴GN， ∴PG垂直平分ON， ∴NH＝OH，∠HNO＝∠HON， ∵∠MON＝120°，OM＝ON， ∴∠ONM＝30°，即∠HNO＝30°， ∴∠HON＝∠HNO＝30°， ∴∠AOP＝∠PON﹣∠HON＝60°﹣30°＝30°， ∴t； 情况二：连接OM，PM，PN，ON，PQ交MN于点H，NH：MH＝1：2， 同理可得：∠BOP＝30°， ∴∠AOP＝180°﹣∠BOP＝180°﹣30°＝150°， ∴t． 综上，t或． 【总结提升】本题主要考查圆的面积公式、扇形的面积公式、弧长公式、一元一次方程的应用、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等，理清题意，学会利用分类讨论和数形结合思想解决问题是解题关键． 3．（2023•长白县一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点P从点A出发，沿AC方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，PD⊥AC，PD＝PA，点F在射线AC上，FP＝2PA，以PD，PF为邻边构造矩形PDEF，设点P的运动时间为t（s）． （1）AF＝　6t　（用含t的代数式表示）； （2）当点B落在DE上时，求t的值； （3）连接BF，当△ABF是等腰三角形时，求t的值． 【思路引领】（1）由点P的运动可知，AP＝PD＝2t，PF＝2PA＝4t，进而可得AF＝6t； （2）当点B落在DE上，易得四边形DPCB是矩形，则DP＝BC，可求出t的值； （3）先分析Rt△ABC，可知，AB＝4cm；根据题意需要分类讨论，AB＝AF，BA＝BF，FA＝FB三种情况，再结合等腰三角形三线合一的性质，可求解． 【完整解答】解：（1）6t[提示：由点P的运动可知，AP＝2t， ∴PF＝2PA＝4t， ∴AF＝AP+PF＝6t； 故答案为：6t； （2）当点B落在DE上时，如图1所示． 由题意可知，∠DPC＝∠B＝∠BCA＝90°， ∴四边形DPCB是矩形， ∴DP＝BC＝4，即2t＝4， ∴t＝2． （3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝8， 由勾股定理可得，， 若△ABF是等腰三角形，则需要分AB＝AF， BA＝BF，FA＝FB三种情况： ①当 AB＝AF 时，如图2所示， 此时 ，则 ． ②当 BA＝BF时，如图3所示， ∵BC⊥AF， ∴点C是AF的中点，即 CF＝AC＝8， ∴AF＝6t＝16， ∴； ③当FA＝FB时，如图4所示， 此时点F在AB的垂直平分线MN上． ， ∵∠A＝∠A，∠AMN＝∠ACB＝90°， ∴△AMF∽△ACB， ∴AM：AC＝AF：AB，即 ， 解得 ， 综上，当△ABF是等腰三角形时，t的值为t的值为或或． 【总结提升】本题是在三角形背景下的动点问题，主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，垂直平分线的性质等，同时考查分类讨论思想和数形结合思想，结合分类讨论思想画出对应图形是解题关键．本题也可建立平面直角坐标系进行解答． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 相似三角形压轴题的十种常见类型（原卷版） 典例剖析+变式训练 类型一 综合运用全等三角形与三角形的判定和性质求点的坐标 【典例1】（2024秋•义乌市期末）已知过点B（4，1）的抛物线yx2x+c与坐标轴交于点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于点P，当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为 　 　． 【变式训练】 1．（2024秋•金水区校级期中）如图，平面直角坐标系中，A（6，0），B（0，8），C为AB的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与△AOB相似，则D的坐标为（　　） A．（3，0） B．（4，0）或 C．（3，0）或 D．（3，0）或（﹣1，0） 类型二 综合运用相似三角形的判定和性质求线段长的最值 【典例2】（2024秋•包河区期末）如图，点D为△ABC边CB延长线上一点，连接AD，AD＝12，BC＝10，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024秋•淮北期末）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2025•佛山一模）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使得∠DCP＝60°，连接OD，则OD的最大值为 　 ． 类型三 综合运用相似三角形的性质和判定结合二次函数求最值 【典例3】（2024秋•江阴市期末）如图，在⊙O中，直径AB＝4，C是AB上一动点，作CB的垂直平分线，交⊙O于D、E两点，连接CD、BE．当点C与点O重合时，BE＝ 　 　；在点C的运动过程中，AC+BE的最大值为 　 ． 【变式训练】 1．（2024秋•靖江市期末）如图，在等边△ABC中，点D是边BC上一个动点（不与A，B重合），点E在AC上，且∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若等边△ABC的边长为3，求AE的最小值． 类型四 利用相似三角形的判定和性质求线段长的最值 【典例4】（2024秋•东港区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是（　　） A．4 B． C． D．2 类型五 综合运用相似三角形的判定和性质一次函数求坐标 【典例5】（2024•青羊区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B两点，过该函数图象上一点C（6，m）作CD⊥x轴于点D，E是线段AB上一动点，连接BD，EO，若以B，E，O为顶点的三角形与△BCD相似，则点E的坐标为 　 ． 【变式训练】 1．（2015•仙游县校级模拟）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA，tan∠AOC，点B的坐标为（m，﹣2）． （1）反比例函数的解析式是　 ． （2）在y轴上存在一点，使得△PDC与△ODC相似，请你求出点P的坐标． 类型刘 综合运用相似三角形的判定和性质一次函数求字母的值 【变式训练】 1．（2024•汉川市模拟）已知一次函数y＝2x+2与x轴y轴分别交于A、B两点，另一直线y＝kx+3交x轴正半轴于E、交y轴于F点，如△AOB与E、F、O三点组成的三角形相似，那么k值为（　　） A．﹣0.5 B．﹣2 C．﹣0.5或﹣2 D．以上都不对 2．（北京中考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，过C点作CD⊥AB，垂足为D，且AD＝m，BD＝n，AC2：BC2＝2：1，又关于x的方程x2﹣2（n﹣1）x+m2﹣12＝0两实数根的差的平方小于192，求：m，n为整数时，一次函数y＝mx+n的解析式． 类型七 利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”（动点D在圆弧上）型的最值（阿氏圆） 【典例7】（2024•肇东市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 　 ． 【变式训练】 1．（2022•南召县开学）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 　 ． 2．（2024•锡山区校级一模）（1）如图①，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是边AC的中点．以点A为圆心，2为半径在△ABC内部画弧，若点P是上述弧上的动点，点Q是边BC上的动点，PQ+QD的最小值是 　 ； （2）如图②，矩形ABCD中，BC＝300．E为CD中点，要在以点A为圆心，10为半径的圆弧上选一处点P，边BC上选一处点Q，M、N是以Q为圆心，10为半径的半圆的三等分点处，PM+NE的最小值是 　 ． 类型八 相似三角形与矩形、正方形的综合题 【典例8】（2024秋•成华区校级期中）在矩形ABCD中，BC＞AB．沿过点B的直线折叠矩形，使点C落在AD边上点F处，折痕为BE． 【尝试】 （1）如图1，△ABF与△DFE始终保持相似关系，请说明理由． 【探究】 （2）随着折痕BE位置的变化，F点的位置随之发生变化．当AB＝5时，是否存在点F，使AF•FD＝10？若存在，求出此时BC的长；若不存在，请说明理由． 【延伸】 （3）如图2，折叠△ABF，使边BA落在BF上BG处，折痕为BM．若MF＝AM+FD，求的值． 【变式训练】 1．（2024春•连云港期中）【实践探究】（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AE⊥BD交BC于点E，则的值是 　 ； 【变式探究】（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为AC边上一点，连接BD，AE⊥BD，交BC于点E，若，求BE的长； 【灵活应用】（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝9，点E，F分别在DC，AB上，以EF为折痕，将四边形BCEF翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AN⊥EF交BC于点N，若AB′＝3，设△AC′G的面积为S1，△DEG的面积为S2，△AB′F的面积为S3，若S1﹣27S2＝S3，则的值为 　　． 类型九 相似中的“一线三等角”模型 【典例9】（2024•扬州）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB＝2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H． （1）如图，若BE＝10，EF＝12，求点M与点B之间的距离； （2）如图，若BE＝10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值； 【变式训练】 1．（2024•中山市一模）【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．易证：△AED∽△BFE．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F． （1）求证：△AED∽△BFE． （2）若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，求BF的长． 【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E为AB边上一点（点E不与点A、B重合），连结CE，过点E作∠CEF＝45°交BC于点F．当△CEF为等腰三角形时，BE的长为 　 　． 类型十 相似三角形动态问题 【典例10】（2024•朝阳区校级模拟）如图，在边长为4cm的等边△ABC中，点D从点B开始以每秒2cm的速度沿射线BA方向运动，连结CD，点E在线段CD上（不与端点重合），将射线BE绕点B逆时针旋转60°得到的射线与射线CA交于点F，设点D的运动时间为t秒． （1）如图①，当点D在边AB上时，若BE平分∠ABC，则∠BFC＝　 　°． （2）如图②，当点D在边BA延长线上时，过点D作DH∥BC交BE于点H，若点E为CD中点， ①求证：△BDH≌△FAB； ②当AF＝6cm时，求t的值． （3）若点E是CD的三等分点，当△ABF的面积等于，直接写出t的值． 【变式训练】 1．（2023秋•莱西市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，动点E从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，以AE为直径作⊙O，与AB交于点D，连接DE．设运动时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题： （1）t取何值时，BE平分∠ABC； （2）设△DCE的面积为y，求y与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使CD与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在说明理由． 2．（2023•南关区四模）如图，AB是⊙O的直径，OA＝3．动点P从点A出发，在⊙O上沿顺时针方向运动到终点B，速度为每秒π个单位．同时动点Q从点B出发，在⊙O上沿顺时针方向运动，速度为每秒3π个单位．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．连结OP、OQ．设点P的运动时间为t秒． （1）⊙O的周长为 　 　； （2）当点P与点Q重合时，求所在的扇形的面积； （3）当OP⊥OQ时，求t的值； （4）作半径OP的垂直平分线交⊙O于点M、N，连结PQ．当PQ将线段MN分成1：2的两部分时，直接写出t的值． 3．（2023•长白县一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点P从点A出发，沿AC方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，PD⊥AC，PD＝PA，点F在射线AC上，FP＝2PA，以PD，PF为邻边构造矩形PDEF，设点P的运动时间为t（s）． （1）AF＝　6t　（用含t的代数式表示）； （2）当点B落在DE上时，求t的值； （3）连接BF，当△ABF是等腰三角形时，求t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$