第22讲 与圆有关的计算（讲练）（思维导图+2考点+2命题点12种题型（含5种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第六章 圆 第22讲 与圆有关的计算（5~8分） （思维导图+2考点+2命题点12种题型（含5种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 正多边形与圆 考点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 正多边形与圆 ►题型01 求正多边形的中心角 ►题型02 正多边形与圆综合 命题点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算 ►题型01 弧长公式的应用 ►题型02 求扇形面积 ►题型03 求图形旋转后扫过的面积 ►题型04 求弓形的面积 ►题型05 求其他不规则图形的面积 ►题型06 求圆锥的侧面积 ►题型07 求圆锥底半径 ►题型08 求圆锥的高 ►题型09 求圆锥侧面展开图的圆心角 ►题型10 圆锥的实际应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 正多边形与圆 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 10年2考 与园有关的计算在中考中的考查难度一般不是很大，多以选择题或填空题，属于基础题，有时也会以综合题的形式进行考察，难度中等，复习时要求考生熟练掌握有关的计算公式（包括弧长的计算公式，扇形的面积公式等）。 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算 会计算圆的弧长、扇形的面积. 10年3考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 正多边形与圆 1. 正多边形的相关概念 正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 2. 正多边形的常用公式 边长 （Rn为正多边形外接圆的半径） 周长 Pn=n⋅an 外角/中心角度数 面积 对角线条数 边心距 内角和 （ n-2 ）×180°. 内角度数 n边形的边数 （内角和÷180°）＋2 （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解.） 【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算． 3. 正多边形常见边心距与边长的比值 图形 OA:AB:OB 内切圆与外接圆半径的比 等边三角形 1:: 2 1:2 正方形 1:1: 1: 正六边形 : 1:2 :2 考点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算 设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则 扇形弧长公式 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．） 扇形面积公式 圆锥侧面积公式 （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的高h，圆锥的底面半径r 1. 利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量． 2.在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或 S扇形=R中求解即可． 3.扇形面积公式S扇形=R 与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形、把弧长l看成底，R看成底边上的高即可. 4.根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 5.在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即 2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式来解决问题． 6.求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 正多边形与圆 ►题型01 求正多边形的中心角 例题1．（2024·四川广元·一模）如图，将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是12，则大正六边形的面积是 ． 【答案】108 【分析】题目主要考查正多边形的性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．由正六边形的性质，可知图中每个三角形都为等边三角形且全等，再确定每个小正三角形得面积，即可得出结果． 【解析】解：如图连线： ∵多边形为正六边形， ∴图中每个三角形都为等边三角形且全等， ∵小正六边形的面积是12， ∴每个三角形的面积为， 由图得共有54个等边小三角形， 故大正六边形的面积是， 故答案为：． 1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质并能准确计算是解题关键．连接、、、，过点作于点，利用求出圆的半径，再求出和，利用直角三角形性质和勾股定理求出，即可求出． 【解析】解：连接、、、，过点作于点，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵等边三角形内接于， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024·河北邯郸·三模）题目：“如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，依次操作下去．若经过多次操作可得到首尾顺次相接的正边形，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：或，则正确的是 （       ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、正多边形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键． 【解析】解：分3种情况讨论，①当落在点时，如图所示， 此时， ②当落在边上时，如图所示， 此时， ②当落在边上时，如图所示， 此时， 故选：C． 3．（2024·山东青岛·二模）正八边形如图所示，与交于点O，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和和正多边形的性质，根据正多边形的性质可得多边形的内角和公式求出，再求出即可解决问题． 【解析】解：∵正八边形，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2024·上海·三模）如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角的余弦值是 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，然后求出中心角是，然后根据余弦的定义即可求解． 【解析】解：， ∴， ∴， ∴多边形的外角为， ∴多边形的边数为：， ∴正多边形的中心角是， ∴． ∴这个正多边形的中心角的余弦值是． 故答案为：． ►题型02 正多边形与圆综合 例题2．（2024·陕西渭南·三模）如图，点是正八边形的中心，连接、，若，则该正八边形的面积为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，等腰直角三角形的性质，先求出，作于点H，构造等腰直角，求出，进而可依次求出和该正八边形的面积． 【解析】解：如图，作于点H， 该多边形为正八边形，， ，， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 该正八边形的面积， 故答案为：． 1．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论，设的半径为，分别根据勾股定理，即可求解． 【解析】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点， ∴， 当经过的中点，则， ∴，， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） 当经过的中点，即经过的中点，设的中点为， ∴ ∴ 解得： 综上所述，半径为、、 故答案为：或或． 2．（2024·山西太原·模拟预测）如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，首先根据正多边形的性质得到，然后证明出，得到，然后切线的性质得到，进而求解即可． 【解析】如图所示，连接，， ∵四边形是正五边形 ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵与相切于点C， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，进行下列尺规作图：①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，是两弧的一个交点；③从点引出的切线与所在的直线围成三角形．此三角形的面积是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图、正多边形与圆、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 如图，连接交于H．解直角三角形求出求出的长，再利用等腰三角形的性质及勾股定理即可的长，如图：从点引出的切线其延长线交直线于M、N,然后运用勾股定理、等腰三角形的性质求得、,进而得到，最后运用三角形面积公式求解即可． 【解析】解：如图，连接交于H． ∵将半径为的六等分， ∴,,三点共线且, ∴， ∴， 在中， ∵， ∴, ∴, ∵, ∵ ∴， ∴, 如图：从点引出的切线其延长线交直线于M、N, ∴, ∵， ∴,即， ∵ ∴， ∴，同理：, ∴， ∴三角形的面积是． 故选A． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，正六边形边长为半径画，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质、扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识点，连接，作，可推出四边形是菱形；根据正六边形的性质可得，进一步推出均为等边三角形；根据阴影部分的面积即可求解． 【解析】解：连接，作如图所示： 由题意得：， ∴四边形是菱形， ∵是正六边形， ∴， ∴， ∴均为等边三角形， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积， 故答案为： 命题点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算 ►题型01 弧长公式的应用 例题1．（2024·湖南·模拟预测）如图，是半圆O的直径，，点A（靠近点M）是半圆O的三等分点，点B是弧上一动点，交于点C，当点B从A运动至点N时，点C运动的路径长是 ． 【答案】 【分析】根据题意得，利用圆周角定理求得，则，可确定点C的轨迹为圆弧，过点A和M分别作和的垂线相交于点G，过点G作于点H，则，且点G为的圆心，有，，结合已知得，，结合勾股定理求得，利用弧长公式即可求得其路径长． 【解析】解：连接和，如图， ∵点A（靠近点M）是半圆O的三等分点， ∴， ∵点B是弧上一动点， ∴， ∴， 则点C的轨迹为圆弧， 过点A和M分别作和的垂线相交于点G，过点G作于点H，则，且点G为的圆心， 那么，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则点C运动的路径长是，且， 故答案为：． 利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量 1．（2024·四川眉山·二模）个半径均为的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长的计算的应用等知识点，根据题意确定运动路径是由由4个孤1与8个孤2组成，然后利用弧长公式计算即可得解，熟练掌握弧长的计算是解决此题的关键． 【解析】如图， 该硬币圆心路径由4个孤1与8个孤2组成， ∴由圆半径相等得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴弧1的长，弧2的长， ∴总路径长， 故选：C． 2．（2024·甘肃兰州·模拟预测）随着时代的进步，汽车的普及，现在的汽车设计可以说是日新月异，出现了极具前瞻性的设计，其中很重要的一个组成部分就是车门设计．好的车门主要体现在它的防撞性能、密封性能、开合便利性等．如图，某汽车车门的底边长为，车门打开后的最大角度为，若将一扇车门打开，则这扇车门底边扫过区域的最大路径长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长计算公式的运用，求车门底边扫过区域的最大路径长，由汽车车门的底边长是半径，车门侧开后的最大角度是圆心角，根据弧长计算公式计算即可，熟记弧长计算公式是解答本题的关键． 【解析】解： ， 答：这扇车门底边扫过区域的最大路径长是． 故选：． 3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）传送带是一种传送工具，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为，如果该转动轮转动了两周后又转过，那么传送带上的物体被传送的距离为（物体A始终在传送带上） ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 根据弧长公式求出答案即可． 【解析】解∶传送带上的物体A被传送的距离为 故答案为：． 4．（2023·湖南岳阳·模拟预测）以为直径的上三点A、B、C，作的平分线交于D点，如图，过点D作交的延长线于E点，交的延长线于F点，若 （1）若，则的弧长为 ． （2）若，则 ． 【答案】 【分析】（1）连接，，设，则，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而可得，最后列出关于的方程进行计算，可求出，从而利用圆周角定理可得，再利用弧长公式进行计算，即可解答； （2）先根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，进而可得，再利用角平分线的定义可得，从而可得，即可解答． 【解析】解：（1）连接，，    设， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， 的弧长， 故答案为：； （2）， ， 平分， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． ►题型02 求扇形面积 例题2．（2024·甘肃·模拟预测）鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆O的直径，C，D是弧上两点，．张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，扇形的面积，利用圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理可得，利用扇形面积公式计算即可求解，掌握圆内接四边形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【解析】解：连接，如图所示： 由圆内接四边形的性质可得，， ∴， ∴， ∴这块扇形玉石的面积， 故答案为：． 1.在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或 S扇形=R中求解即可． 2.扇形面积公式S扇形=R 与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形、把弧长l看成底，R看成底边上的高即可. 3.根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 1．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，扇形的面积公式为．作于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可． 【解析】解：作于H，如图所示： ∵，，， ∴， 由旋转，得， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积 ． 故选：D． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，用一个半径为的滑轮将物体G向上拉升，若物体G的上升速度为，上升的时间为，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则图中线段在这段时间内扫过的面积（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式以及扇形面积公式，先得出物体G的上升距离是，再设点P旋转路径所对的圆心角为，列式，解出，最后运用扇形面积公式列式计算，即可作答． 【解析】解：∵物体G的上升速度为，上升的时间为， ∴物体G的上升距离是， 则在这个时间内，设点P旋转路径所对的圆心角为， ∴， 解得， ∴线段在这段时间内扫过的面积， 故选：C． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，斜边，是的中点，以为圆心，线段的长为半径画圆心角为的扇形，经过点，则图中阴影部分的面积为 . 【答案】 【分析】本题考查了三角形的全等的判定、扇形的面积、解直角三角形．作，，证明，则，求得扇形的面积，则阴影部分的面积即可． 【解析】解：作，，垂足分别为，连接． ，，点为的中点， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， 则扇形的面积是：． ， ， 则在和中， ， ， ． 则阴影部分的面积是：． 故答案为：． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算及长方形的性质，明确是解答本题的关键． 用长方形的面积加上扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积． 【解析】解：在长方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ►题型03 求图形旋转后扫过的面积 例题3．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点在反比例函数的图象上，若线段绕点逆时针旋转，使点的对应点落在轴上，若线段扫过的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据扇形面积计算公式求出半径，继而求出点A坐标，可得k值． 【解析】解：由得：， 解得：， 如图，作轴，垂足为C， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：． 明确旋转后的图形是扇形还是不规则图形： （1）旋转后的图形是扇形，明确旋转角度和旋转半径，根据扇形的面积公式进行求解； （2）如果旋转后的图形是不规则的图形，可采用割补法，分别进行求解，再求和或求差。 1．（2024·贵州黔东南·二模）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积是（　　） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．求线段扫过的图形的面积，即求扇形的面积． 【解析】解：由题意，知． 由旋转的性质，得． 在中，． ∴． ∴扇形的面积为． 即线段扫过的图形的面积为． 故选：D． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）一个闹钟的时针长是，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．先求出从1点到下午4点扫过的角度，再根据扇形面积的计算公式计算即可． 【解析】解：由题知，时针从1点到下午4点扫过， 闹钟的时针长是， ． 故答案为：． 3．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，以及扇形的面积，掌握“旋转前后的两个图形全等，旋转前后的面积相等”，以及扇形的面积公式是解题的关键．根据题意可知边在旋转过程中所扫过的面积是扇形的面积减去扇形的面积，根据扇形的面积公式进行计算即可． 【解析】解：如图， 由旋转的性质得，， 则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形的面积加上减去扇形的面积再减去， 即边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形的面积减去扇形的面积， ，， ， 故答案为：． 4．（2024·吉林长春·一模）如图为风力发电机的示意图，叶片外端A到旋转中心O的距离为20米，叶片当前在塔筒左侧且与塔筒夹角为．当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最大时，叶片扫过的面积至少为 平方米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，根据题意可得当A、O、B三点共线时，点A与塔筒底端B距离最大，则叶片扫过的扇形圆心角度数最少为，据此利用扇形面积计算公式求解即可． 【解析】解；当A、O、B三点共线时，点A与塔筒底端B距离最大， ∴叶片扫过的扇形圆心角度数最少为， ∴叶片扫过的面积至少为平方米， 故答案为：． ►题型04 求弓形的面积 例题4．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，弦长为cm，瓶内液体的最大深度，则截面圆中液体的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用、弓形面积计算，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，根据弓形面积等于扇形面积减去三角形面积即可得出结论． 【解析】解：由题意得：，弦长为 ，， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ， ， 截面圆中液体的面积为． 故答案为：． 1.根据扇形的面积公式求出扇形面积； 2.利用垂径定理或勾股定理求出三角形面积； 3.用扇形面积减去三角形面积。 1．（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，过点作于点，先证出是等边三角形，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【解析】解：如图，连接，过点作于点，    由题意可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ， 故选：A． 2．（2024·山西临汾·二模）如图，两个半径均为4的圆形纸片完全重合叠放在一起，让其中的一张圆形纸片绕着直径的一端按逆时针方向旋转后得到直径为的圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、旋转变换的性质、解直角三角形等知识点，连接，作，根据旋转变换的性质求出的度数，再根据扇形面积公式、三角形面积公式，结合图形计算即可，熟练掌握其性质合理作出辅助线是解决此题的关键． 【解析】如图，连接，，作， 由旋转知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解． 【解析】解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 4．（2024·河南南阳·一模）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键． 如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案． 【解析】解：如图，连接，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，    ∴，， ∴， ∴扇形与扇形重合， ∴， ∵为等边三角形，，过作于， ∴，，， ∴； 故答案为：． ►题型05 求其他不规则图形的面积 例题5．（2024·四川广元·一模）如图，在中，， ，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好上（点E，F不与点C重合）， 半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积公式，连接，作于，于，证明，四边形为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解． 【解析】解：连接，作于，于， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∵在中，， ，D是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 1．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，且E为的中点，若的长度为π，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积，弧长公式，平行四边形的面积，三角函数，熟练掌握扇形的面积公式，弧长公式是解题的关键；过B作于F，根据弧长公式求出，根据扇形面积公式，求出，利用三角函数求出，进而求出，再求阴影部分的面积即可． 【解析】解：过B作于F，   ，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E， ， E为的中点， ， 设所对的圆心角为， 的长度为π， ，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正六边形的性质和扇形的面积计算，连接，过点B作，先计算正六边形的面积，再计算扇形的面积，相减即可得出答案． 【解析】解：连接，过点B作，如图， ∵正六边形的边长为4， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴ 同理可证，， ∴， ∴， 又， ∴图中阴影部分的面积为 故选：A 3．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，正六边形的边长为2，射线与射线交于点，以点为圆心，为半径构造扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定，锐角三角函数，扇形面积计算．先证是等边三角形，再根据阴影部分的面积求解． 【解析】解：多边形为正六边形， ， ， 是等边三角形， 正六边形的边长为2， ，， ， ， 阴影部分的面积: ， 故答案为：． 4．（2025·山东临沂·一模）如图，扇形的圆心角为，，点C在弧上，以，为邻边构造平行四边形，边交于点E，平分，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，求解扇形的面积，根据平行四边形得到，，证明为等边三角形，，如图，过作于，根据含30度直角三角形的性质得到，由勾股定理得，结合扇形面积公式减去梯形面积公式直接求解即可得到答案． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ， ∴，， ∵扇形的圆心角为，平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 如图，过作于， ∴， ∵， ∴，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：； ►题型06 求圆锥的侧面积 例题6．（2025·湖南娄底·模拟预测）派对帽（如实物图）可以看做一个圆锥，它是由纸制作而成．它的底面直径是，将它的侧面展开（如图），已知，则需要面积为 的纸去制作它． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的面积，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长，再根据求出半径，再根据求解即可得到答案． 【解析】解：∵底面直径是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1.在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式来解决问题． 2.求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）圆锥的底面圆的半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【解析】解：依题意，圆锥的底面圆的半径为，高为， ∴这个圆锥的母线长， 则这个圆锥的侧面积． 故选：B． 2．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知圆锥的高为，母线长为，则其侧面展开图的面积为（  ） A．60π B．70π C．80π D．90π 【答案】A 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据公式计算圆锥的侧面展开图的面积即可； 本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图面积公式是解题的关键． 【解析】解：圆锥的高为，母线长为 圆锥的底面圆的半径为， 圆锥的侧面展开图的面积      故选：A． 3．（2024·山东东营·模拟预测）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【解析】解：根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3， ∴母线长为， ∴圆锥模型的侧面积为． 故选：B． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为，，新几何体的最大横截面圆的半径，则新几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式，，据此即可求解． 【解析】解：由图可知：新几何体的表面积， 故答案为： ►题型07 求圆锥底半径 例题7．（2024·黑龙江大庆·二模）有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆、扇形、圆锥、锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的性质、扇形的性质、圆周角定理、锐角三角函数、弧长公式是解题的关键．连接，延长交于点，连接、，根据扇形性质，得，根据在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的弧相等，可得，结合圆周角定理，得，进而得到，通过三角函数计算，求得，根据弧长公式，计算得，由此即可得解． 【解析】解：如图，连接，延长交于点，连接、， 扇形 ， ， ， 为直径， ， ， ， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．1 C．π D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可． 【解析】解：依题意， 解得： 故选：B． 2．（2024·山东济宁·三模）用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查求圆锥的底面直径，熟记公式的灵活应用是解题的关键．先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可． 【解析】解：扇形的弧长：， 则圆锥的底面直径：． 故选：B． 3．（2024·四川德阳·三模）已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题是圆锥的计算，主要考查了圆锥的侧面积和底面积公式，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 设出圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积和底面积之间的倍数关系求得圆锥的底面半径即可． 【解析】解：设圆锥的底面半径为， 根据题意得：， 解得：． 故选：B． 4．（2024·四川德阳·二模）如图，正六边形的边长为6，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，含30度直角三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形弧长计算，圆的周长公式等知识；涉及的知识点较多．过点B作于H；由正六边形的性质得，；在中，由勾股定理求得，从而求得，则可求得的长，再根据圆锥底面周长等于扇形弧长，即可求得圆锥底面圆的半径． 【解析】解：如图，过点B作于H， ∵正六边形， ， 又， ，； 同理可知， ， 在中，， 则，由勾股定理得：， ， 的长， ∴圆锥底面圆的半径为， 故答案为：． ►题型08 求圆锥的高 例题8．（2024·江苏淮安·一模）如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的相关计算，易得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，加上母线长6，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：， ∴圆锥的底面半径为， ∴该圆锥的高为：． 故答案为：． 1．（2024·黑龙江大庆·一模）一个圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的体积以及勾股定理，先根据勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算即可． 【解析】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的高为， ∴圆锥的体积为， 故答案为：． 2．（2024·江苏无锡·二模）若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 已知半径为6 的半圆形纸片，就可以求出半圆形的弧长，即圆锥的底面周长，从而可以求出底面半径，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，就可以根据勾股定理求出圆锥的高． 【解析】解：半圆形弧长为：， 设圆锥底面半径为r， 则：，所以，， 圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边， 设圆锥高为h，所以， 解得， 故答案为：． 3．（2024·云南楚雄·一模）一个圆锥的侧面展开图是半径为12的半圆，则该圆锥的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的结构特征，是基础题．求出圆锥的底面半径r，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【解析】解：设圆锥的底面半径为r， 根据圆锥的侧面展开图是半径为12的半圆， 可得，解得， 所以此圆锥的高为， 故答案为：． 4．（2024·山东临沂·二模）如图，是的外接圆，，，若扇形（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理、圆锥的计算，解答本题的关键是求出圆锥的半径和母线长． 根据题意作出合适的辅助线，然后根据，可以得到的度数，从而可以得到的度数，然后根据，可以得到的长，再根据圆锥和侧面展开图的关系，即可求得圆锥的高． 【解析】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 设扇形围成的圆锥的底面半径为， 则， 解得， ∴该圆锥的高为：， 故答案为：． ►题型09 求圆锥侧面展开图的圆心角 例题9．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，熟练掌握圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解题关键．将圆锥沿母线展开，根据两点之间线段最短可知：即为盘山公路的长度；设展开图的圆心角为，根据圆锥的底面周长是展开的扇形的弧长，可得，从而求得n的值；再利用勾股定理即可求得的长，从而完成解答． 【解析】解：如图，将圆锥展开得展开图，为的中点，连接，则是这条盘山公路的长度，设展开图的圆心角为． ∴， ∵圆锥的底面半径是， ∴的长为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 1．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【解析】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 2．（2024·湖南常德·模拟预测）若一个圆锥的底面圆的半径是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【解析】解：圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数是度．则， 解得：． 故选：C． 3．（2024·四川绵阳·二模）如图，圆锥的底面半径为，母线的长为，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（）度． A．120 B．150 C．135 D．125 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子．先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数圆锥底面周长计算． 【解析】解：圆锥底面周长， ∴这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为圆锥底面周长． 故选:． 4．（2024·山东济宁·二模）现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式和圆锥相关计算，熟知两者之间的对应关系是解题关键．圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．据此计算出制作圆锥形纸帽的扇形纸片的圆心角，即可获得答案． 【解析】解：设制作圆锥形纸帽的扇形纸片的圆心角为， 由题意，剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽， 可得， 解得， ∵扇形彩纸片是圆周，因而圆心角是， ∴剪去的扇形纸片的圆心角为． 故答案为：． ►题型10 圆锥的实际应用 例题10．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【解析】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， ∵点C为圆锥母线的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 1．（2024·云南昆明·一模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长和勾股定理．根据弧长公式列方程求解即可． 【解析】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， ∴， 解得， ∴母线长是． 故选：D． 2．（2024·江苏扬州·一模）已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开圆心角的度数为，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】3 【分析】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解． 【解析】解：设母线长为，则， 解得：． 故答案为：3． 3．（2023·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛． 【答案】22 【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数． 【解析】解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，由题意，得：， ∴， ∴米堆的体积为：， ∴米堆的斛数为：； 故答案为：22． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，先计算底面半径和母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．熟知圆锥的侧面是扇形以及扇形的面积计算方法是关键． 【解析】解：∵底面周长为米 ∴底面半径为： 母线长为：米 故粮仓的侧面积为：， 故答案为：． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·河北·模拟预测）如图，正六边形和正六边形均以点O为中心，连接（A，G，H三点共线），若，则正六边形的边长为（   ） A． B．5 C． D．19 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，连接，，，，根据正六边形的性质证明，得到，，即可得到B，I，H三点共线，同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且，然后在三角形中计算即可． 【解析】连接，，，，过作于， ∵正六边形和正六边形均以点O为中心， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵A，G，H三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴B，I，H三点共线， 同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边长为， 故选：C． 2．（2024·山西长治·模拟预测）如图，在的内接正六边形中，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．20 【答案】B 【分析】连接，，过点作于点，根据正六边形的性质可知阴影的面积等于扇形减去的面积．本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【解析】解：连接，，连接交于点， 多边形是正六边形， ，，，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在的内接正六边形中，， ， ． 故选：B． 3．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，正八边形的中心与原点重合，顶点A，在轴上，连接，过点A作的垂线，垂足为，将绕点顺时针旋转，每次旋转．已知，则第106次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆、坐标与图形变化—旋转，解直角三角形，准确识图探索规律是解题关键． 将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每旋转8次回到初始位置，从而得到第106次旋转结束时，点的位置为第二次旋转结束时的位置（即点）。在中通过解直角三角形得到的长，由旋转的性质得到，过点P作轴于点Q，在中，通过解直角三角形即可求出，的长，即可解答． 【解析】解：如图，设点，，，……是第n次选择后点P的位置， ∵每次旋转，而， ∴每旋转8次回到初始点P的位置， ∵， ∴第106次旋转结束时，点P旋转到点的位置． ∵多边形是正八边形， ∴， ∴在中，， 由旋转可得， 如图，过点P作轴于点Q，      ∴在中，， ， ∴ ∴第106次旋转结束时，点P的坐标为． 故选：B 4．（2024·浙江·模拟预测）2023年8月24日，金砖国家宣布扩容，新增六个国家，使金砖国家数量变为十一个．如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，由是正五边形可得，，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出，从而得解． 【解析】解：五边形是正五边形， ，， ， ， 故选：C． 5．（2024·河南·模拟预测）2024年春节期间，河南多地大范围降雪． 如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形 ）的图形，放在平面直角坐标系中，若 与 轴垂直，顶点 的坐标为 ，则顶点 的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查图形与坐标、正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．设正六边形的中心为点，连接、、，连接 交 与点，则 ．利用正多边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等可求，，证明轴，结合点A的坐标即可求解． 【解析】解∶设正六边形的中心为点，连接、、，连接 交 与点，则 ． 正六边形 的边长为4， ，，， ，，， ， ， ． ，， 是等边三角形， ， 又轴， 轴， ． 故选∶D． 6．（2024·浙江温州·一模）点A、B、C在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式，先根据圆周角定理求出，然后根据弧长计算公式进行计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 7．（2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，由是等边三角形，得，，过作于点，然后由勾股定理得，求出，，然后代入求值即可，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【解析】解：∵是等边三角形， ∴，， 设， 如图，过作于点， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∴，即， 则， ∴， 故选：． 8．（2024·山西·二模）如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式，直角三角形的特征，旋转的性质，连接，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到，进而得到，则，易知点E 与点C 第一次重合时，旋转角为，根据旋转的性质得到，点A 运动路径的长为，利用弧长公式求解即可． 【解析】解：如图，连接， 在中，点O是的中点，， ， ， ， ， 点E与点C第一次重合时，旋转角为， ， 由旋转的性质得到， 点A运动路径的长为， 点A运动路径的长为：， 故选：A． 9．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，点O为上一点，以5为半径作分别与相切于D，E两点，与交于点M，连接交于点F，连接．若D为的中点，给出下列结论∶ ①平分；②E为的中点；③；④的长度为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】如图，连接，根据切线的性质得到，根据角平分线的性质得到圆心在的平分线上，故①正确；根据平行线的判定定理得到，于是得到，故点为的中点，故②正确；由①知，，得到，求得，故③正确；根据弧长公式得到的长度为，故④正确． 【解析】解：如图，连接， ∵以5为半径作分别与，相切于两点， ∴， ∴圆心在的平分线上， ∴平分，故①正确； ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， 故点为的中点，故②正确； 由①知，， ， ∴，故③正确； 由③可知， ∵， ∴的长度为，故④正确． 故选：D． 10．（2024·山西大同·二模）如图，将扇形纸片沿方向平移一定距离得到扇形纸片，点O的对应点恰好在的中点处，与交于点C．若，，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据已知条件可得出，由平移的性质可得出，由线段中点可得出，由勾股定理可得出，再根据正弦的定义得出，根据弧长公式求出，最后由可得出结果． 【解析】解：连接， ∵， ∴， 由平移的性质可知， ∵恰好在的中点处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为：， 故选：B． 11．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，是边长为2的正六边形的对角线，以为圆心，的长为半径画弧，得，则图中阴影部分的面积为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 由正六边形的边长为2，可得，进而求出，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积． 【解析】解：∵正六边形的边长为2， ， ， ， 过作于， ， 在中，， ， 同理可证，， ， ， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 12．（2024·广东广州·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握圆的相关性质及正方形的相关性质、准确的辅助线及计算是本题的解题关键． （1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径； （2）连接，，以、为边作，连接，证明出，，当、、共线时，最小，即为的最小值，利用勾股定理求出即可解答此问． 【解析】解：（1）的面积为， ， 的直径长为， 故答案为：； （2）如图，连接，，以、为边作，连接， 四边形为正方形， ，， 四边为平行四边形， ， ， ， 当、、共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：4． 13．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，已知，半圆的直径，为圆心，点是半圆上的一点，将沿直线折叠后的弧经过圆心，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，过点O作于点D，交于点E，连接，则可判断点O为的中点，由折叠的性质可得，在中求出，继而得出，求出扇形的面积即可得出阴影部分的面积． 【解析】解：过点O作于点D，交于点E，连接，则点E是的中点， 由折叠的性质可得点O为的中点， ∴， 在中，， ∴, ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（2024·重庆·一模）如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据切线的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，根据扇形、正方形、三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】解：与切于， ， 由题意可知：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 为边中点， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， 阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积， 故答案为：． 15．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了圆内接正六边形，圆周角定理，切线性质，求三角形面积等知识点，熟练应用基本性质和定理是解题的关键． （1）连接，根据圆内接正六边形性质求出，进而由圆周角定理得出度数； （2）由切线性质得，在中，利用三角函数即可求解； （3）分别表达，再求和即可． 【解析】（1）解：如图1，连接， 正六边形为的内接正六边形， 是的直径，， ， ； （2）与相切，是的直径， ， 正六边形为的内接正六边形， ， 在中，， ； （3）正六边形为的内接正六边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，是的内接三角形，，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理、扇形的面积公式，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，证明即可得证； （2）过点O作，垂足为点E，求出，，再根据计算即可得解． 【解析】（1）证明：如答图1，连接，   ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ，即， 是半径， 是的切线． （2）解：过点O作，垂足为点E，   ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 答：图中阴影部分的面积为． 17．（2024·福建福州·一模）（1）如图①，已知圆上两点A，B，用直尺和圆规求作以为边的圆内接等腰三角形（保留作图痕迹，不写画法）． （2）如图②，若圆O的直径为6，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了尺规作图、垂径定理和扇形面积公式，解题关键是熟练运用尺规作图方法和圆的相关性质求解； （1）作的垂直平分线即可； （2）过O点作于H点，求出扇形面积和三角形面积，再相减即可． 【解析】解：（1）如图1，和为所作； （2）过O点作于H点，连接，如图2，则，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 18．（2024·云南怒江·一模）如图，为⊙的直径，点C在⊙上，的平分线交⊙于点D，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可证，进而可证，由平行线的性质可证，可得是⊙的切线； （2）求出得，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． 【解析】（1）解：连接，   是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线； （2），， ， ， 在中，，即， 解得：， ， ， ． 19．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，点D在的延长线上，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，求不规则图形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用： （1）连接由是直径，可得，再证从而有，即可证明； （2）阴影部分的面积即为直角三角形的面积减去扇形的面积． 【解析】（1）证明：连接 ∵是直径， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：由（1）得 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 20．（2024·山西朔州·一模）如图，是的直径，过点作的切线，使．点为上一点，连接交于点，连接，过点作，与的延长线交于点． (1)判断与的数量关系，并说明理由． (2)若的半径为2，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，三角形全等的判定与性质． （1）利用切线的性质得到，利用同角的余角相等证明，利用证明，即可得到； （2）求得，再利用弧长公式求解即可． 【解析】（1）解：．理由如下： 与相切于点，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， 的长． 能力提升 1．（2024·上海·三模）如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设． (1)如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值； (2)如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)连接，如果与相似，求的长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）如图①，连接，由正六边形，可得，，证明是等边三角形，则，，，由Q为弧的中点，可得，，则，由圆周角定理可得，，如图①，作的延长线于，则，，设，则，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，根据，计算求解即可； （2）如图②，在上取点，使，连接，证明是等边三角形，则，，，，证明，则，即，可求，由点G不与点C、D重合，可得； （3）由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解；①点在边上时，如图③，由题意知，，当与相似，分，两种情况求解；当时，，即，联立，计算求出满足要求的解即可；当时，，即，联立，计算求出满足要求的解即可；②当点在边的延长线上，如图④，同理（3）①，求解作答即可． 【解析】（1）解：如图①，连接， ∵正六边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵Q为弧的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 如图①，作的延长线于， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴的正弦值为； （2）解：如图②，在上取点，使，连接， ∵正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得，， ∵点G不与点C、D重合， ∴， ∴，； （3）解：由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解； ①点在边上时，如图③， 由题意知，， ∴当与相似，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，， ∵， ∴， 解得，或，均不符合要求，舍去； 当时，，即， 解得，， ∵， ∴， 解得，或均不符合要求，舍去； ②当点在边的延长线上，如图④， 当时，，即， 解得，， 同理，解得，或，均不符合要求，舍去； 当时，，即， 解得，， 同理，解得，（不符合要求，舍去）或， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； 综上所述，的长为． 2．（2025·江西·模拟预测）如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接． (1)求证：是的切线； (2)当时（如图2），求的长； (3)若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图1，连接，则有，再证明可得，根据切线的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）如图2，连接 ，由（1）可知， ，再证明四边形为正方形，再求出，由勾股定理可得，再根据线段的和差即可解答； （3）如图3，连接，设，则，根据菱形的性质、切线的性质可得，进而得到，最后根据以及扇形的面积公式即可解答． 【解析】（1）证明：如图1，连接，则有．    在和中， ∴， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴，即， ∴是的切线． （2）解：如图2，连接 ，由（1）可知， ．    当时，四边形为矩形． 又∵， ∴四边形为正方形． ∵， ∴，即 ∴， ∴． （3）解：如图3，连接，设，则，    ∵四边形是菱形， ∴．则， ∵是的切线，即． ∴，即． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 3．（2024·河北·模拟预测）如图1，正方形与斜边为的按如图所示的方式放在同一平面内，使点与A重合，点D在上，，其中，正方形固定不动． (1)求的长和的度数． (2)将绕点A按顺时针方向旋转，当与重合后，立刻沿射线方向平移，点D在边上时停止． ①求边旋转结束时扫过的面积； ②求平移结束时，正方形与重叠部分的面积S． (3)如图2，若将（2）中的旋转和平移同时进行，设边与边的交点为M，边与边的交点为N，，，直接写出在运动过程中的值．（用含a，k的式子表示） 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】（1）过点作于点H，先根据正方形的性质和解直角三角形求得，再由等腰直角三角形性质求得，从而由，即可求解； （2）①求扇形的面积即可；②设交于点P， 过点D作于点E．先证明是等腰直角三角形，得到，再解得，解得，则平移的距离为，即可由求解； （3）连接，过点A作交于点F，证明，得．则．然后在中， 由勾股定理得．在中，由勾股定理得． 【解析】（1）解：如图1，过点作于点H． 在正方形中， ，， ， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中， ， ∴， ∴． （2）解：①如图2， 边旋转结束扫过的面积为扇形的面积． ∵， ∴旋转角． 在中， ， ， ∴， ∴扇形的面积． ②如图3，设交于点P， ∵，， 是等腰直角三角形， ∴， 过点D作于点E． ∵在中，，， ∴． ∵在中，， ∴， ∴平移的距离为， ∴ ． （3）解：DM2+DN2=(k+1)a2． 如图4，连接，过点A作交于点F， 则为等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中， ． 在中， ． 4．（2024·贵州黔南·模拟预测）如图，在中，，．过点，与交于点，连接并延长，交于点，交于点，连接并延长，刚好过的中点，交弦于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出，再证明，得到，则可证明，进而推出，据此可证明结论； （2）先由同弧所对的圆周角相等得到．再由，即可证明． （3）连接．可得，则．即可证明是等边三角形，则，再根据进行求解． 【解析】（1）证明：，， ． ，且为的中点， ， ， ， ，即． 又为的直径， 为的切线． （2）证明：， ． 又， ． （3）解：如图，连接． ， ， ∵， ∴ ． 又， 是等边三角形， ， ， ． $$第六章 圆 第22讲 与圆有关的计算（5~8分） （思维导图+2考点+2命题点12种题型（含5种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 正多边形与圆 考点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 正多边形与圆 ►题型01 求正多边形的中心角 ►题型02 正多边形与圆综合 命题点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算 ►题型01 弧长公式的应用 ►题型02 求扇形面积 ►题型03 求图形旋转后扫过的面积 ►题型04 求弓形的面积 ►题型05 求其他不规则图形的面积 ►题型06 求圆锥的侧面积 ►题型07 求圆锥底半径 ►题型08 求圆锥的高 ►题型09 求圆锥侧面展开图的圆心角 ►题型10 圆锥的实际应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 正多边形与圆 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 10年2考 与园有关的计算在中考中的考查难度一般不是很大，多以选择题或填空题，属于基础题，有时也会以综合题的形式进行考察，难度中等，复习时要求考生熟练掌握有关的计算公式（包括弧长的计算公式，扇形的面积公式等）。 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算 会计算圆的弧长、扇形的面积. 10年3考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 正多边形与圆 1. 正多边形的相关概念 正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 2. 正多边形的常用公式 边长 （Rn为正多边形外接圆的半径） 周长 Pn=n⋅an 外角/中心角度数 面积 对角线条数 边心距 内角和 （ n-2 ）×180°. 内角度数 n边形的边数 （内角和÷180°）＋2 （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解.） 【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算． 3. 正多边形常见边心距与边长的比值 图形 OA:AB:OB 内切圆与外接圆半径的比 等边三角形 1:: 2 1:2 正方形 1:1: 1: 正六边形 : 1:2 :2 考点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算 设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则 扇形弧长公式 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．） 扇形面积公式 圆锥侧面积公式 （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的高h，圆锥的底面半径r 1. 利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量． 2.在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或 S扇形=R中求解即可． 3.扇形面积公式S扇形=R 与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形、把弧长l看成底，R看成底边上的高即可. 4.根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 5.在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即 2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式来解决问题． 6.求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 正多边形与圆 ►题型01 求正多边形的中心角 例题1．（2024·四川广元·一模）如图，将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是12，则大正六边形的面积是 ． 1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·三模）题目：“如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，依次操作下去．若经过多次操作可得到首尾顺次相接的正边形，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：或，则正确的是 （       ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 3．（2024·山东青岛·二模）正八边形如图所示，与交于点O，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海·三模）如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角的余弦值是 ． ►题型02 正多边形与圆综合 例题2．（2024·陕西渭南·三模）如图，点是正八边形的中心，连接、，若，则该正八边形的面积为 ．（结果保留根号） 1．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ． 2．（2024·山西太原·模拟预测）如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，进行下列尺规作图：①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，是两弧的一个交点；③从点引出的切线与所在的直线围成三角形．此三角形的面积是（    ） A．4 B． C．6 D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，正六边形边长为半径画，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ． 命题点二 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算 ►题型01 弧长公式的应用 例题1．（2024·湖南·模拟预测）如图，是半圆O的直径，，点A（靠近点M）是半圆O的三等分点，点B是弧上一动点，交于点C，当点B从A运动至点N时，点C运动的路径长是 ． 利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量 1．（2024·四川眉山·二模）个半径均为的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃兰州·模拟预测）随着时代的进步，汽车的普及，现在的汽车设计可以说是日新月异，出现了极具前瞻性的设计，其中很重要的一个组成部分就是车门设计．好的车门主要体现在它的防撞性能、密封性能、开合便利性等．如图，某汽车车门的底边长为，车门打开后的最大角度为，若将一扇车门打开，则这扇车门底边扫过区域的最大路径长是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）传送带是一种传送工具，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为，如果该转动轮转动了两周后又转过，那么传送带上的物体被传送的距离为（物体A始终在传送带上） ． 4．（2023·湖南岳阳·模拟预测）以为直径的上三点A、B、C，作的平分线交于D点，如图，过点D作交的延长线于E点，交的延长线于F点，若 （1）若，则的弧长为 ． （2）若，则 ． ►题型02 求扇形面积 例题2．（2024·甘肃·模拟预测）鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆O的直径，C，D是弧上两点，．张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是 ． 1.在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或 S扇形=R中求解即可． 2.扇形面积公式S扇形=R 与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形、把弧长l看成底，R看成底边上的高即可. 3.根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 1．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，用一个半径为的滑轮将物体G向上拉升，若物体G的上升速度为，上升的时间为，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则图中线段在这段时间内扫过的面积（单位：）是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，斜边，是的中点，以为圆心，线段的长为半径画圆心角为的扇形，经过点，则图中阴影部分的面积为 . 4．（2024·广东·模拟预测）如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． ►题型03 求图形旋转后扫过的面积 例题3．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点在反比例函数的图象上，若线段绕点逆时针旋转，使点的对应点落在轴上，若线段扫过的面积为，则 ． 明确旋转后的图形是扇形还是不规则图形： （1）旋转后的图形是扇形，明确旋转角度和旋转半径，根据扇形的面积公式进行求解； （2）如果旋转后的图形是不规则的图形，可采用割补法，分别进行求解，再求和或求差。 1．（2024·贵州黔东南·二模）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积是（　　） A． B．6 C． D． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）一个闹钟的时针长是，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是 ． 3．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ． 4．（2024·吉林长春·一模）如图为风力发电机的示意图，叶片外端A到旋转中心O的距离为20米，叶片当前在塔筒左侧且与塔筒夹角为．当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最大时，叶片扫过的面积至少为 平方米．（结果保留） ►题型04 求弓形的面积 例题4．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，弦长为cm，瓶内液体的最大深度，则截面圆中液体的面积为 ． 1.根据扇形的面积公式求出扇形面积； 2.利用垂径定理或勾股定理求出三角形面积； 3.用扇形面积减去三角形面积。 1．（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西临汾·二模）如图，两个半径均为4的圆形纸片完全重合叠放在一起，让其中的一张圆形纸片绕着直径的一端按逆时针方向旋转后得到直径为的圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（2024·河南南阳·一模）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为 ． ►题型05 求其他不规则图形的面积 例题5．（2024·四川广元·一模）如图，在中，， ，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好上（点E，F不与点C重合）， 半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 1．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，且E为的中点，若的长度为π，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，正六边形的边长为2，射线与射线交于点，以点为圆心，为半径构造扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（2025·山东临沂·一模）如图，扇形的圆心角为，，点C在弧上，以，为邻边构造平行四边形，边交于点E，平分，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） ►题型06 求圆锥的侧面积 例题6．（2025·湖南娄底·模拟预测）派对帽（如实物图）可以看做一个圆锥，它是由纸制作而成．它的底面直径是，将它的侧面展开（如图），已知，则需要面积为 的纸去制作它． 1.在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式来解决问题． 2.求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）圆锥的底面圆的半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知圆锥的高为，母线长为，则其侧面展开图的面积为（  ） A．60π B．70π C．80π D．90π 3．（2024·山东东营·模拟预测）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为，，新几何体的最大横截面圆的半径，则新几何体的表面积为 ． ►题型07 求圆锥底半径 例题7．（2024·黑龙江大庆·二模）有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径 ． 1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．1 C．π D．2 2．（2024·山东济宁·三模）用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 3．（2024·四川德阳·三模）已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（   ） A． B．1 C． D． 4．（2024·四川德阳·二模）如图，正六边形的边长为6，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为 ． ►题型08 求圆锥的高 例题8．（2024·江苏淮安·一模）如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的高为 ． 1．（2024·黑龙江大庆·一模）一个圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的体积为 ． 2．（2024·江苏无锡·二模）若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为 ． 3．（2024·云南楚雄·一模）一个圆锥的侧面展开图是半径为12的半圆，则该圆锥的高是 ． 4．（2024·山东临沂·二模）如图，是的外接圆，，，若扇形（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为 ． ►题型09 求圆锥侧面展开图的圆心角 例题9．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 1．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南常德·模拟预测）若一个圆锥的底面圆的半径是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川绵阳·二模）如图，圆锥的底面半径为，母线的长为，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（）度． A．120 B．150 C．135 D．125 4．（2024·山东济宁·二模）现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为 ． ►题型10 圆锥的实际应用 例题10．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 1．（2024·云南昆明·一模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·一模）已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开圆心角的度数为，则该圆锥的母线长为 ． 3．（2023·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·河北·模拟预测）如图，正六边形和正六边形均以点O为中心，连接（A，G，H三点共线），若，则正六边形的边长为（   ） A． B．5 C． D．19 2．（2024·山西长治·模拟预测）如图，在的内接正六边形中，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．20 3．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，正八边形的中心与原点重合，顶点A，在轴上，连接，过点A作的垂线，垂足为，将绕点顺时针旋转，每次旋转．已知，则第106次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江·模拟预测）2023年8月24日，金砖国家宣布扩容，新增六个国家，使金砖国家数量变为十一个．如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河南·模拟预测）2024年春节期间，河南多地大范围降雪． 如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形 ）的图形，放在平面直角坐标系中，若 与 轴垂直，顶点 的坐标为 ，则顶点 的坐标为 （    ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江温州·一模）点A、B、C在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山西·二模）如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，点O为上一点，以5为半径作分别与相切于D，E两点，与交于点M，连接交于点F，连接．若D为的中点，给出下列结论∶ ①平分；②E为的中点；③；④的长度为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2024·山西大同·二模）如图，将扇形纸片沿方向平移一定距离得到扇形纸片，点O的对应点恰好在的中点处，与交于点C．若，，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，是边长为2的正六边形的对角线，以为圆心，的长为半径画弧，得，则图中阴影部分的面积为 ．（用含的式子表示） 12．（2024·广东广州·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 13．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，已知，半圆的直径，为圆心，点是半圆上的一点，将沿直线折叠后的弧经过圆心，则图中阴影部分的面积是 ． 14．（2024·重庆·一模）如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 15．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 16．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，是的内接三角形，，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号） 17．（2024·福建福州·一模）（1）如图①，已知圆上两点A，B，用直尺和圆规求作以为边的圆内接等腰三角形（保留作图痕迹，不写画法）． （2）如图②，若圆O的直径为6，，求图中阴影部分的面积． 18．（2024·云南怒江·一模）如图，为⊙的直径，点C在⊙上，的平分线交⊙于点D，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 19．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，点D在的延长线上，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 20．（2024·山西朔州·一模）如图，是的直径，过点作的切线，使．点为上一点，连接交于点，连接，过点作，与的延长线交于点． (1)判断与的数量关系，并说明理由． (2)若的半径为2，，求的长． 能力提升 1．（2024·上海·三模）如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设． (1)如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值； (2)如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)连接，如果与相似，求的长． 2．（2025·江西·模拟预测）如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接． (1)求证：是的切线； (2)当时（如图2），求的长； (3)若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 3．（2024·河北·模拟预测）如图1，正方形与斜边为的按如图所示的方式放在同一平面内，使点与A重合，点D在上，，其中，正方形固定不动． (1)求的长和的度数． (2)将绕点A按顺时针方向旋转，当与重合后，立刻沿射线方向平移，点D在边上时停止． ①求边旋转结束时扫过的面积； ②求平移结束时，正方形与重叠部分的面积S． (3)如图2，若将（2）中的旋转和平移同时进行，设边与边的交点为M，边与边的交点为N，，，直接写出在运动过程中的值．（用含a，k的式子表示） 4．（2024·贵州黔南·模拟预测）如图，在中，，．过点，与交于点，连接并延长，交于点，交于点，连接并延长，刚好过的中点，交弦于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，求图中阴影部分的面积． $$