第21讲 点、直线、圆的位置关系（讲练）（思维导图+3考点+2命题点11种题型（含8种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第六章 圆 第21讲 点、直线、圆的位置关系（13~15分） （思维导图+3考点+2命题点11种题型（含8种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 点和直线与圆的位置关系 考点二 切线的性质与判定 考点三 三角形的内切圆与外接圆 04题型精研·考向洞悉 命题点一 点和直线的位置关系 ►题型01 判断点与圆的位置关系 ►题型02 利用点与圆的位置关系求半径 ►题型03 三角形外接圆的概念辨析 ►题型04 求特殊三角形外接圆的半径 命题点二 切线的性质与判定 ►题型01 判断直线和圆的位置关系 ►题型02 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 ►题型03 证明直线是圆的切线 ►题型04 切线的性质定理 ►题型05 切线的性质和判定的综合运用 ►题型06 三角形的内切圆 ►题型07 圆的内接四边形 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 点、直线与圆的位置关系 ①探索并掌握点与圆的位置关系. ②能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆. ③了解直线与圆的位置关系. 10年2考 本专题内容也是安徽中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，以圆的证明计算为主，难度中等偏上.关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分． 切线的性质与判定 ①掌握切线的概念. ②探索并证明切线长定理. 10年3考 三角形内切圆与外接圆 ①了解三角形的内心与外心. ②通过尺规作作三角形的外接圆、内切圆. 10年2考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 点和直线与圆的位置关系 1. 点和圆的位置关系 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 d > r 点P在圆外 点在圆上 点在圆周上 d = r 点P在圆上 点在圆内 点在圆的内部 d < r 点P在圆内 【说明】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 2. 直线和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 相离 没有公共点 d > r直线l与⊙O相离 相切 有唯一公共点 d = r直线l与⊙O相切 相交 有两个公共点 d < r直线l与⊙O相交 【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 3. 圆和圆之间的位置关系 设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 外离 无 两圆外离 外切 1个切点 两圆外切 相交 两个交点 两圆相交 内切 1个切点 两圆内切 内含 无 两圆内含 两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦. 1. 由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进行分类讨论，否则比较容易漏解． 2. 经过一个点作圆,圆心的位置具有任意性；经过两个点作圆,圆心的位置就有了规律性,即圆心位于两点连线的垂直平分线上. 3. 直线和圆的位置关系可以转化为直线与圆的公共点的个数来研究；也可转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来研究，这两个角度的论述其实是等价的. 4. 圆与圆之间的有些位置关系有两种情况，做题时要分类讨论，防止漏解：①两圆没有交点：外离或内含；②两圆有一个交点：外切或内切；③两圆有两个交点：两圆心在公共弦同侧或异侧． 考点二 切线的性质与判定 1.切线的性质与判定 定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 性质 圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．） 解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明． 判定 1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切. 3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时， 1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； 3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． 2.切线长定理 定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解． 3. 三角形内切圆与外接圆 三角形外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 4. 三角形内心与外心 圆心的名称 圆心的确定方法 图形 圆心的性质 外心 三角形三边中垂线的交点 1)OA=OB=OC 2)外心不一定在三角形的内部． 内心 三角形三条角平分线的交点 1)到三边的距离相等； 2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； 3)内心一定在三角形内部． 5.常见结论 1）三角形内切圆半径公式：，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长. 2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长. 【解题思路】解三角形的内切圆问题，通常分别连接．内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解． 1. 一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数个外切三角形. 2. 三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,镜角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部. 3. 三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,镜角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 点和直线与圆的位置关系 ►题型01 判断点与圆的位置关系 ；例题1．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，，是以点为圆心，4为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为 【答案】7 【解析】解：作的中点，连接、，， 在中，， 是斜边上的中点， ， 是的中点，是的中点， ， 在中，，即， 最大值为7． 故答案为：7． 判断点与直线的位置关系通常是计算点到圆心的距离，如果等于半径则点在圆上，如果大于半径则点在圆外，如果小于半径则点在圆内 1．（2024·云南怒江·一模）平面内，的半径为，若点P在内，则的长可以是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径是解题的关键． 根据点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径判断作答即可． 【解析】解：∵点P在内， ∴， ∴的长可以是8， 故选：A． 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键． 【解析】解：由题意，得， 解得， ∴，则点在外， 故选：． 3．（2023·浙江金华·三模）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最小值是（　　） A． B．6 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积，勾股定理；过作于，连接，则由三角形面积公式得，，可求圆上点到直线的最短距离，由此求得答案． 【解析】解：过作于，连接， 直线与轴、轴分别交于、两点， 令，则；令，则； 点为，点为， ； ，， 则由三角形面积公式得，， ， ， 圆上点到直线的最小距离是 ， 面积的最小值是 故选：A． 4．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，，点E是线段上的动点，连接，点D关于的对称点为F，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，过点C作于点G，先根据平行四边形的性质，解， 再对运用勾股定理求得，由对称确定点F的轨迹，由，确定当A、F、C三点共线时，最小，即可求解． 【解析】解：连接，过点C作于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在中，利用勾股定理可得， ∵点D与点F关于对称， ∴， ∴点F在以C为圆心，为半径的（平行四边形内部）上， ∵， ∴当A、F、C三点共线时，最小，最小值为． 故答案为：． ►题型02 利用点与圆的位置关系求半径 例题2．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】以为斜边向上作等腰直角，连接，．利用相似三角形的性质证明，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据，可得结论． 【解析】解：以为斜边向上作等腰直角，连接，． ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴ ，同理， ，， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， ， 故线段长度的最大值为． 故选：D． 1．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识． 点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解． 【解析】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b， ∴圆的直径是，因而半径是， 故选：B． 2．（2024·新疆·一模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识．如图，取的中点，连接，，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小． 【解析】解：如图，取的中点，连接，，． ， ， 点在以为圆心，为半径的上， 当、、共线时，的值最小， 是直径， ， ， ， 的最小值为． 故选：C． 3．（2023·辽宁抚顺·一模）在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（    ） A．3 B．4或6 C．2或3 D．6 【答案】C 【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离；②当点在圆外时，直径=最大距离-最小距离． 【解析】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径, 半径 ②当点在圆外时，如图2， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径, 半径 故选：C 4．（2023·四川南充·模拟预测）如图，在中，，，，点是上一点，且，点为上一动点，将沿翻折得到，连接，则的最小值为 【答案】6 【分析】本题主要考查最短距离问题，连接，由勾股定理求出，由折叠得，当三点共线时，值最小，从而可求出的最小值为6， 【解析】解：连接，如图， ∵，， ∴， 在中，， 根据折叠得，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当三点共线时，值最小， ∴的最小值为， 故答案为：6 ►题型03 三角形外接圆的概念辨析 例题3．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，点、分别是正方形的边、上的动点，且，过原点作，垂足为，连接、，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识．先证明，再证点在以直径的圆上运动，则当点在的延长线上时，点到的距离最大，由相似三角形的性质可求，的长，由三角形的面积公式可求解． 【解析】解：如图，连接，交于，连接，取的中点，连接，过点作于，交于点，作与点， 直线分别与轴、轴相交于点、， 点，点， ，， ， 四边形是正方形， ∴，，，， ，， 又， ， ，， 点是的中点，即点是的中点， ， ， ， 点在以直径的圆上运动， 当点在的延长线上时，点到的距离最大， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 点到的最大距离为， 面积的最大值， 故答案为：． 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，已知，，是的中点，点是的外接圆圆心，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的应用，连接，以为半径作的外接圆，由等腰三角形的性质可得，，，进而由圆周角定理可得，即得，得到，再利用勾股定理得到，解之即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】解：连接，以为半径作的外接圆，    ∵是的外接圆， ∴， ∵是的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：． 2．（2024·江苏盐城·三模）如图，中，，点是的外心，且，延长交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题是圆的综合题，涉及圆的相关性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．由点是的外心，可得，证明，得到，证明，得到，设，则，得到，，根据列方程求解即可． 【解析】解：点是的外心， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，， ， 整理得：， 即， 解得：（舍去），（舍去），， ， 故答案为：． 3．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为 【答案】 【分析】设，得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据平角的定义即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形内角和公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 【解析】解：连接， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2023·安徽安庆·一模）如图，在三角形纸片ABC中，，，垂直平分，平分，将沿在上，在上）折叠，点C与点O恰好重合， （1） ；   （2）若，则 ． 【答案】54° 【分析】（1）连接，根据角平分线性质和中垂线性质得到O是的外心，得出；进而得出，然后根据三角形外角定理求出的度数； （2）根据三角形的相似的判定定理易得，进而相似三角形对应边成比例解题即可． 【解析】（1）连接 ∵平分 ∴ ∵平分 ∴所在的直线垂直平分 ∴O是的外心 即 ∴， ∵沿在上，在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴ ∴ ∴ （2）连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴，（负根舍去），经检验符合题意． 故答案为：（1），（2） ►题型04 求特殊三角形外接圆的半径 例题4．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【解析】作的外接圆，连接，，，过点作于点，   ， ， ， ， 设的半径为，则，， ， ， ， 解得：， ， ， 的面积的最小值为， 故答案为：. 1.等边三角形的外接圆圆心为等边三角形三条高（或中线或角平分线）是边长的倍； 2.等腰直角三角形的外接圆的圆心位于斜边的中点，其外接圆的圆心等于斜边的一半。 1．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心．熟练掌握三角形内心性质，三角形外心性质，切线长定理，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 过点P作，，，根据三角形的内心性质得到，根据切线长定理得到，，，得到四边形是正方形，根据勾股定理求出，得到，求出，得到，得到，即得． 【解析】过点P作，，， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，，，， ∴四边形是正方形， ∵中，， ，， ∴， 设，，， 则， ，得， ∴， ∴， ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2024·安徽合肥·一模）如图，内接于，为的直径，，，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论． 【解析】解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 3．（2024·江苏徐州·二模）如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正三角形的性质、勾股定理的应用，三角形的外接圆的含义，圆周角定理的应用，菱形的判定与性质，难度较大．如图，作的外接圆，当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D，连接，再进一步求解即可． 【解析】解：如图，作的外接圆，    ∴当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵为等边三角形， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：； 4．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，，为上一动点，于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，由题意易知，动点Q在以为直径的圆上；连接,交于点E，当点Q运动至点E处，取最小值，即长；易证是等边三角形，进而求出，从而求得长． 【解析】如图，点P运动过程中，    ∴ ∴A、Q、D在以为直径的圆上，即点Q在以为直径的圆上 设的中点为O，连接，交于点E 当点Q运动至点E处，取最小值，即长 菱形中， ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ 即最小值为 故答案为． 命题点二 切线的性质与判定 ►题型01 判断直线和圆的位置关系 例题1．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象和性质，直线与圆的位置关系； 设，则，可得，进而得当直线与半圆相切时，，当直线过点时，，进而得到答案 【解析】解：设，则 ∵B在直线上， ∴，即， ∵点A在x轴的上方，且， ∴， ∴是直线与半圆的交点， 当直线与半圆相切时， ∴中，，即， 当直线过点时，， ∴ 故答案为： 1.可通过直线与圆的交点的个数来判断； 2.通过计算圆心到直线的距离d来判断： ；； 1．（2024·云南·模拟预测）“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意∶已知O的半径为r，如果圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交． 【解析】解：把餐盘看成圆形的半径，餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d． ∴， ∴直线和圆相交， 故选∶B． 2．（2024·江苏南京·二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 【答案】A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可． 【解析】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交； 故选：A． 3．（2024·江西九江·二模）如图，在矩形的对称轴上找点，使得均为直角三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的轴对称性，圆周角定理等知识，由可以判定以为直径的与矩形的对称轴l有两个交点，由圆周角定理的推论以及矩形的轴对称性判定即可． 【解析】解∶设矩形的对称轴l与相交于，与相交于， 当P与或重合时，是直角三角形， 由对称性知，对应的也是直角三角形； ∵， ∴以为直径的与矩形的对称轴l有两个交点，设为，， ∴当P与或重合时，是直角三角形， 由对称性知，对应的也是直角三角形； 故符合题意的点P有4个， 故选：C． 4．（2023·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点． （1）直线与的位置关系为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】相离 17 【分析】（1）根据矩形的性质得出点到距离为 ，根据圆心到直线大于半径即可得出结论； （2）根据题意得出在以为圆心，为半径的圆上运动，根据轴对称的性质连接，交于点，则此时取得最小值，勾股定理即可求解． 【解析】解：（1）∵在矩形中，，， ∴,点到距离为， ∵， ∴直线与的位置关系为相离， 故答案为：相离． （2）如图所示，连接， ∵，， ∴为的中点， ∵线段的中点为， ∴， 即在以为圆心，为半径的圆上运动， 作点关于的对称轴点，则 连接，交于点，则此时取得最小值， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型02 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 例题2．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得． 【解析】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 过圆心做直线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理、相似三角形或锐角三角函数进行求解； 1．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【解析】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 2．（2023·广西梧州·二模）已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一般地，直线到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当时，直线与圆没有交点；当时，直线与圆有一个交点；当时，直线与圆有两个交点，据此求解即可． 【解析】解：∵直线l与圆有公共点， ∴直线l与圆的圆心的距离小于等于半径， ∵的半径为， ∴， 故选：B． 3．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时 点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 【解析】解：∵点, ∴, 过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦的距离最大为， ∴点D的坐标为， 故选A． ． 4．（2024·广西玉林·三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 【答案】A 【分析】本题考查矩形中的动点问题，连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，由四边形是矩形，得，又，点G是的中点，即得，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，根据，，可得，，，可得，从而，得四边形面积的最小值是142． 【解析】解：连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点G是的中点， ∴， ∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即四边形面积的最小值是142． 故选：A． ►题型03 证明直线是圆的切线 例题3．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，是的外接圆，连接并延长交于点．点是的内心，连接并延长交于点，过点作直线，延长交于点，连接，过点作的平行线交于点．已知． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的半径； (3)求证：． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)3 (3)证明过程见详解． 【分析】（1）连接并延长交于，连接，根据直径所对的圆周角是直角得，即，进而得，即可证明直线是的切线； （2）连接，根据三角形外角的性质及角和和差关系证明，进而得，再根据勾股定理即可求解； （3）由两角相等两三角形相似证明，得，进而可得，由，证明四边形是平行四边形，得，，即可得 ． 【解析】（1）证明：连接并延长交于，连接， 是的直径， ，即， ，， ， 即， ， 直线是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， 点是的内心， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 即的半径为3； （3）证明：， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ． 1.连接直线与圆的交点与圆心的连线或连接圆心与直线上一点（确保直线上的该点在圆上）； 2.证明半径与直线垂直（证明垂直的方法）： （1）平行线的性质； （2）三角形两锐角互余； （3）等腰三角形的三线合一性质； （4）菱形（正方形）的对角线互相垂直； （5）直径所对的圆周角是直角； （6）相似或全等的方法； （7）勾股定理的逆定理； 1．（2025·广西柳州·一模）如图，是的直径，四边形内接于，连接，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）如图，连接，由，是半径，可得，由是的直径，可得，则，，进而结论得证； （2）由勾股定理得，，由是的直径，可得，证明，则，代入数据计算求解即可． 【解析】（1）证明：如图，连接，， ，是半径， ， 是的直径， ，即， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：由题意知，， 由勾股定理得，； 是的直径， ； ， ， ， ，即， 解得，； 的长为． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，点是的中点，． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆的切线，圆周角定理、相似三角形的判定及性质； （1）连接，由平分，，可得，，根据，得，即可证明是的切线； （2）由是的中位线，得，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接，如图： 平分， ． ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是的中点，且， 是的中位线，， ， ． 是的直径， ． 又， ， ，即， ． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，过点作于点，交于点，且满足． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）根据垂直定义可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质，可得，从而可得，进而可得，即可得证； （2）由得，由及三角形中位线定理得，，由，设，，由得，则，即可得的值． 【解析】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵ ， ∵， ，； ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心作与相切于D，交于点F，在上取点E，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求点C到的距离． 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用等角的余角相等可得，然后利用证明，从而可得即可解答； （2）过点C作，垂足为G，在中，利用勾股定理求出的长，再利用（1）的结论可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而在中，利用勾股定求出的长，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用两角相等的两个三角形相似证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解析】（1）证明：如图：连接， ∵与相切于D， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点C作，垂足为G， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴点C到的距离为． ►题型04 切线的性质定理 例题4．（2025·陕西·模拟预测）如图，内接于是的直径，是的中点，过点作的切线分别交、的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．证明是等腰直角三角形得．由是的切线得，求出，然后证明可得； （2）证明得，证明得，求出，再求出，代入比例式即可求解． 【解析】（1）证明：连接． ∵是的中点， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（2025·陕西西安·一模）如图，已知内接于，以、、为顶点在上方作，且边与相切于点，连接并延长交于点，对角线与相交于点． (1)求证：； (2)若的半径，，求的面积． 【答案】(1)见详解(2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等； （1）由切线的性质及平行四边形的性质得，由判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）过作交于，由垂径定理得，由勾股定理得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； 掌握切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【解析】（1）证明：边与相切于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，， 在和中 ， （）， ， ； （2）解：过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ， ． 2．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，为的直径．与相交于点．过点作于点，延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握切线的判定． （1）根据已知条件证得即可得到结论； （2）如图，过点O作于点H，则，构建矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线 （2）解：如图，过点作于点，则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的直径， ． 3．（2025·贵州·模拟预测）如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由切线的性质推出半径，又，推出，得到，由等腰三角形的性质得到，因此，得到，求出． （2）求出，由勾股定理得到，由，判定，列出比例式，即可求出，，得到，由勾股定理求出． 【解析】（1）解：切圆于， 半径， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 4．（2022·北京西城·模拟预测）如图，是的直径，点P是外一点，连接交于点C，作，分别切于点B，D，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了切线的性质、全等直角三角形的证明、圆周角定理、解直角三角形的相关计算等知识点，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据切线的性质可得，从而证明，进而可得，然后根据圆周角定理可得，从而可得，最后利用平行线的判定即可解答； （2）连接，利用（1）的结论可得，然后在，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，进而在等腰直角三角形中求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可得，再利用勾股定理进行计算即可解答． 【解析】（1）证明：连接，        ∵，分别切于点B，D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，    ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴线段的长为． ►题型05 切线的性质和判定的综合运用 例题5．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，平分．点 O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点 E，交于点 F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)的长为 【分析】（1）连接，证明，得到，即可求证； （2）由，，可得垂直平分，，进而可得，即可求出，再利用勾股定理得到的长即可． 【解析】（1）如图，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 切线的性质与判定的综合应用通常是先证明切线，再求线段或角度的值，前面已经介绍了证明切线的方法，这里重点说明求线段或角度的常用方法： （1）利用垂径定理构建直角三角形，列出方程，进行求解； （2）构造直角三角形，运用勾股定理进行求解； （3）构造直角三角形，运用锐角三角函数进行求解； （4）构造直角三角形运用直角三角形的性质进行求解（例如：30°锐角所对的直角边是斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） （5）构造相似三角形，利用相似三角形对应角相等、对应边成比例进行求解。 1．（2024·贵州铜仁·一模）如图，已知点是以为直径的上一点，于点，过点作的切线交直线于点，点为的中点，连接并延长交于点，射线交的延长线于． (1)则与的数量关系为_________； (2)求证：是的切线； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)． 【分析】（1）利用圆的切线的性质定理，平行线的判定得到，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用线段中点的定义解答即可； （2）连接，，，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，全等三角形的判定与性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）连接，，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质和等角的余角相等的性质得到，，利用等腰三角形的性质得到，设圆的半径为，则，，，利用勾股定理求得，则，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论． 【解析】（1）解：与的数量关系为． 过点作的切线交直线于点， ， ， ， ，， ，， ， 点为的中点， ， ． 与的数量关系为． 故答案为：． （2）证明：连接，，，如图， 为圆的切线， ， ， 为直径， ． 由（1）知：， 为斜边上的中线， ． 在和中， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （3）解：连接，，如图， 由（2）知：， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设圆的半径为，则，，． 在中， ， ， ． 在中， ， ， （不合题意，舍去）或． ． 在中，． 2．（2024·贵州贵阳·二模）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径；． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径为 【分析】（1）连，由切线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出，可得出结论； （2）由锐角三角函数可求的长，由勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求的长，即可求解． 【解析】（1）证明：连OD， 与相切于点D， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：连接OD， ，， ， ， ， ， ， ， ， 半径为； 3．（2024·贵州贵阳·一模）如图，在中，是的直径，是上一点，是外一点，交于点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题主要考查切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，等量代换，求得，根据切线的判定定理得到结论． （2）由 (1) 可知，是的切线，解直角三角形即可得到答案． 【解析】（1）证明：如图，在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线． （2）解：由 (1) 可知，是的切线，， ∴， ∴， ∴， 即的半径为． 4．（2024·广东佛山·三模）综合与运用：如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，． (1)求证：直线为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由垂直于，利用垂径定理得到D为的中点，即垂直平分，可得出，再由，得，由为圆的切线，得到垂直于，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到垂直于，即可得出结论； （2）先证明，得出，通过等量代换即可得证． （3）根据，求出．设，表示出，在中，由勾股定理求得x后即可求得半径，从而求得直径． 【解析】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ． 于D ． 又， ． , ， 为的半径， ∴直线为的切线． （2）， ． ， ， 即． 又， ； （3）， ． 设 ． 在中，由勾股定理，得． 解得，（不合题意，舍去）． ． 是的直径， ． ►题型06 三角形的内切圆 例题6．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，内接于，的平分线交于点，过作分别交，的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)已知，，点为的内心，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握． （1）连接，根据角平分线的定义得到，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接，，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接，   的平分线交于点， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：连接，， 点为的内心， 平分，平分， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 等边三角形的内切圆半径为边长的倍； 1．（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，可证明，得，则平分，再由点I是的内心，证明平分，所以与在同一条直线上，即可证明所在的直线经过点I； （2）连接，推导出，则，再证明，则，再推导出，则，由，，证明，则，所以，即可证明点D是的中点． 【解析】（1）证明：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴与在同一条直线上， ∴所在的直线经过点I． （2）证明：连接，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点D是的中点． 2．（2024·浙江嘉兴·三模）已知 内接于，为 的内心，延长交于点，交于点．连结 ， ， ． (1)若 求 的度数； (2)设 四边形的面积记为， 连结， 当时，请完成下列问题． ①求证∶ ②已知 求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据圆周角定理可得，根据三角形内心的性质可得，即可求解； （2）①过点作的垂线，垂足为，根据垂径定理可得，则，，进而根据三角形的面积公式，即可求解； ②过点作于点，证明得出，根据得出，则，解方程得出，进而根据三角形的面积公式得出，即可求解． 【解析】（1）解：∵ ∴ 又∵为 的内心，， ∴ （2）①证明：如图所示，过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； ②解：如图所示，过点作于点， ∵是的内心 ∴， 设 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴，则 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵，则到的距离相等，设到的距离为，设到的距离为， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） 由①可得 又． ∴． 3．（2024·江苏无锡·三模）如图，内接于，的平分线交于点G，过G作∥BC分别交，的延长线于点D，E． (1)求证：是的切线； (2)已知，，点I为的内心，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形三线合一得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接， ，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接，，， ∵的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵点I为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负根舍去）， ∴． 4．（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 【答案】(1)证明见解析； (2)；； (3)线段为定值，且． 【分析】（）由点是的内心，则，再由圆周角定理可得，从而求证； （）连接，，过点作于点，由点是的内心，得，再由勾股定理即可求解； 连接，过点作于点，过点作于点，由内心和线段和差即可求解； （）连接，，，，通过性质和圆周角定理证明为等边三角形即可． 【解析】（1）∵点是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由题意知，，直径， ∴由勾股定理得， 连接，，过点作于点， ∵点是的内心， ∴， ∴， 在中， ， ； 连接，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接，，，， ∵点是的内心， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∴， 连接，， 同理可得，，， 但，随着点的运动而变化， ∴线段为定值，且． ►题型07 圆的内接四边形 例题7．（2024·云南昆明·一模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，过点的直线与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)以下与线段，线段，线段有关的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)②正确，理由见解析 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质． （1）先由圆的性质得，即，，再由推出，进而得，即，即可得出结论； （2）证明，得到，，则，进而求解． 【解析】（1）证明：如图1，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：②正确，理由如下： 过点B作交延长线于点G，如图2， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴． 圆的内接四边形对角互补； 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，四边形内接于，，，交于点，，，三点共线． (1)图中与相等的是_______； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，求出结果即可； （2）由得，根据等边对等角得，则，由圆周角定理得到，则，即可得到结论； （3）连接，过点作于点，证明，得出，根据等腰三角形的性质求出，根据，得出，求出，最后求出结果即可． 【解析】（1）解：∵， ∴； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． （3）解：如图，连接，过点作于点， ，， ． ， ． 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，点，，，都在上，，是弧的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明都是等边三角形，得出，即可得证； （2）过点作于点，连接交于点，设的半径为，根据（1）的结论得出，进而解，，求得，即可求解． 【解析】（1）证明：如图所示，连接， ∵点，，，都在上，， ∴，， ∵是弧的中点， ∴， 又∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，过点作于点，连接交于点， 设的半径为， ∵四边形是菱形，， ∴，， 在中，， 在中，，，， ∴ ∴， ∵， ∴． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）已知四边形是的内接四边形，是的直径，是四边形的一个外角，平分． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，过点D作的切线交的延长线于点F，，，求的长． 【答案】(1) (2)的长为2 【分析】（1）由圆内接四边形的性质得到．由角平分线得到．是的直径，则．即可得到．进一步求出的度数； （2）连接，过点O作于点G．由是的直径得到．根据勾股定理得到．则．证明四边形是矩形．即可得到． 【解析】（1）解：∵是的内接四边形的外角，， ∴． 又∵平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． （2）如图，连接，过点O作于点G． ∵是的直径， ∴． 在中，，， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴是的中位线． ∴． ∵是的切线，是的半径， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． ∴，即的长为2． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，，过的延长线上的点D作的垂线，与过A，C，D三点的圆O交于点E，连结，． (1)求的值； (2)设，， ①求y关于x的函数关系式； ②若是等腰三角形，求y的值； (3)若点B关于的对称点F为弧的中点，求圆O的半径． 【答案】(1) (2)①；②或或 (3) 【分析】（1）作，交点为H，根据等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求得，由圆内接四边形的性质可得，进而可得，即可求解； （2）①过点A作，交点为G，证明四边形是矩形，可得，进而可得，由（1）可得，，即，在中，利用锐角三角函数求解即可； ②先利用y的代数式表示的三条边，再利用分类讨论思想分三种情况：、、，即可求解； （3）利用对称轴的性质和等腰三角形的性质点A、F为半圆的三等分点，再利用圆周角定理和直角三角形的性质求解即可． 【解析】（1）解：作，交点为H， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：过点A作，交点为G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， 在中，， 则，即． ②由（2）①得，，， ∴，， 由题意得，， 当时，， 解得（负值舍去）， 当时，， 解得，（舍去）， 由得，， 解得， 综上所述，若是等腰三角形，y的为或或； （3）解：连接， ∵， ∴， ∴是的直径， ∴， ∵点B关于的对称点F为弧的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即点A、F为半圆的三等分点， ∴， ∴， ∴的半径为5． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，是的直径，，是上的点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【解析】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（2024·浙江宁波·二模）如图，在以 为直径的半圆中，弦，若 ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质以及圆内接四边形的性质，连接，根据平行线的性质求出，利用三角形内角和求出，再利用圆内接四边形的性质即可求解． 【解析】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3．（2024·山西·模拟预测）如图，与相切于点A，点E在上，连接，与相交于点C，与相交于点D，已知，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接．证明得，求出，然后根据阴影部分的面积即可求解． 【解析】解：如图，连接． 是的切线， ． ． ， ， 阴影部分的面积． 故选A． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，点在上，且，过点作的切线，交 的延长线于点，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，连接，由可得，由圆周角定理可得，即得，又由切线的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】解：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：．    5．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，求出，进而求出的长，的长度即的最小值．此时最小，且等于的长．连接，，，利用垂径定理，得出，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质和锐角三角函数求解即可． 【解析】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长． 连接，，， ， ， 是弧的中点， ， ， 由轴对称可知，， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：B． 6．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，以为直径的交于点，过点作切线，交于点，连接．若的半径为2，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理及推论、等边对等角、弧长公式等，解题关键是会根据切线作出辅助线．连接，由切线的性质得，由圆周角定理的推论得，由等角的余角相等得，由等边对等角得，最后得，然后利用弧长公式计算即可． 【解析】解：连接，如图所示： ∵为的切线， ∴， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴． ∴， ∴． ∴． ， ∴， ∴． ，， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的长． 故选：A． 7．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，，点M在以点为圆心，3为半径的圆上，点N在直线上，若是的切线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质，坐标与图形，勾股定理等知识，连接由点A的坐标可求出由得，由是的切线知，由勾股定理得，因为所以当最小时最小，即时最小，运用等积法求出，代入可得结论． 【解析】解：连接如图， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵是的切线， ∴， ∴ ∵， ∴当最小时最小，即时最小， ∵ ， 又 ∴， ∴， 故选：C 8．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，是的切线，切点为C，连接，，分别与圆相交于点D，E，连接，，，若，，则的半径为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质及其判定，掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质及其判定是解本题的关键． 取上一点为，连接，，，利用圆周角定理得到，再根据切线的性质得出，进而证得，即可解出． 【解析】解：取上一点为，连接，，， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 故选：A． 9．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，是的弦，是过点的切线，若，则所对的圆周角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，，由，求出，再分当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时和当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时讨论，即可求解． 【解析】解：连接，，如图所示： 是过点的切线， ， ， ， ， ， ， ， 当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，它的度数为， 当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，它的度数为， 综上可知，弦所对的圆周角的度数为或， 故答案为：或． 10．（2024·云南昆明·模拟预测）在边长为10的正方形中，点E是的中点，作射线，在射线上有一点 P，若以点P为圆心，半径长为4的与正方形的其中一边相切，则的长为 ． 【答案】或或或或 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．分五种情况讨论，分别作出图形，利用切线的性质，相似三角形的判定和性质即可求解． 【解析】解：∵正方形的边长为10，点E是的中点， ∴，，，， 当与边相切时，点为切点，则，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，点为切点，则，如图， 同理， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，点为切点，则，延长交的延长线于点，如图， 此时，， 同理， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，点为切点，则，如图， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，点为切点，则，延长交的延长线于点，如图， 此时，， 同理， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或或或或， 故答案为：或或或或． 11．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【解析】解：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， 即的长为4． 故答案为：4． 12．（2024·吉林·模拟预测）如图，是的直径，与相切于点A，，连接交于点D，连接，若，则的长为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题关键． 先根据切线的性质得到，则利用互余计算出，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，接着计算出，然后利用弧长公式求解． 【解析】是的直径，与相切于点A， ， ， ， 在中 ， ， 的长 故答案为：． 13．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理及切线的性质结合，证明是等腰直角三角形，再根据直角三角形的性质即可解答． 【解析】解：是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， 又， ， 是等腰直角三角形， 为的中线， ， ， ， 故答案为：． 14．（2024·山西长治·模拟预测）如图，为的直径，，是它的两条切线，与相切于点，并与，分别相交于，两点，，相交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点作于点，交于点，先根据勾股定理求出，根据切线长定理求出，进而得出和，由得出，求出，最后根据即可解答． 【解析】过点作于点， ∵，是它的两条切线， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ∵， ∴， 根据切线长定理得：，， ∴， ， ， ∴，， ， ∴， ，即， 解得， ， ∴， ，即， 解得． 故答案为：． 15．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F， 连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若， ，求的长 ． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据三线合一性质得出，则可得出，然后结合三角形内角和定理可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【解析】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 16．（2025·湖北黄石·一模）如图，内接于，为直径，作交于点E，且． (1)求证：直线是的切线． (2)如果，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，可得，然后推导，即可解题； （2）先根据正弦得到，即可求出，然后根据解题即可． 【解析】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（2023·北京东城·模拟预测）已知：如图，在中，是边上一点，圆过、、三点，． (1)求证：直线是圆的切线； (2)若，，圆的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质可得，结合，通过角与角之间的关系可得，此时即可得证；   （2）首先由勾股定理得到的长，根据已知可得，作于点，则，根据锐角三角比即可解答； 【解析】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是圆的切线． （2）解：∵，，， ∴，． ∵， ∴， 作于点，则， ∴． ∵， ∴， ∴． 18．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】（1）连接，根据中位线性质得出，根据，得出，即可证明是的切线； （2）根据直径所对的圆周角为直角得出，证明为的垂直平分线，得出，根据勾股定了求出，即可得出答案． 【解析】（1）证明：连接，如图，    ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵D是的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的直径，半径为2， ∴， 在中，， ∴， ∴． 19．（2024·贵州·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，切线交的延长线于点，，垂足为点，延长交于点，连接，． (1)若，则_________度； (2)求证：平分； (3)若的半径为，，求的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由圆周角定理得，，最后由直角三角形的性质即可求解； （）连接，由是的直径，于点，证明，则，由切线的性质得，则 ，从而求证； （）先证明，则，则，再由勾股定理得，最后利用正切的定义即可求解． 【解析】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，连接，则， ∵是的直径，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵的半径为，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 20．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直角三角形中两锐角互余得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据直角三角形中两锐角互余得出，根据等角的余角相等得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等即可证明； （2）连接，过点G作，垂足为K，过点G作，垂足为M，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，根据等腰直角三角形的性质和特殊角的三角函数值求出，，根据锐角三角函数的定义和同弧所对的圆周角相等求出，，根据三角形的面积求出，，即可求出． 【解析】（1）证明：连接，   ， ， 是直径， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：如图，连接，过点G作，垂足为K，过点G作，垂足为M，   是直径， ， 又平分，， ，， 在等腰直角中，， ， ， ，， ， ，则， ， ， ，即， ， ， ． 能力提升 21．（2024·广东东莞·一模）如图1，是中的平分线，，以为半径的与相交于点，且． (1)求证：是切线； (2)如图2，设与的切点为，连接．当时，求的半径； (3)若是线段的中点，连与交于，在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质得出，根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，即可证得是切线； （2）连接，根据切线得出，根据“直径所对的圆周角是直角”，得出，推出，根据等边对等角，由，得出，则，公共角，证明，得出，由，得，计算求出、，计算，最后根据，计算即可求得的半径； （3）连接，过点作，交的延长线于，由（2）得，，，，，得出，，结合勾股定理得出，求出、，根据，求出，根据勾股定理计算，根据与的切点为，得出，，根据勾股定理计算，得出，由，得出，求出，根据是线段的中点，求出，推出，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，得出，，结合，计算，根据计算，求出的值，根据的边上的高和的边上的高相等，则，得出答案即可． 【解析】（1）证明：如图，过点作于， ∵是的平分线，，，为半径， ∴，点也在圆上，即也为半径， 又∵， ∴是切线； （2）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为； （3）解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵由（2）得，，，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与的切点为， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相等， ∴． 22．（2024·河北邢台·一模）如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，． (1)求点到的距离； (2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．． ①当与相切时，求的长； ②当时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)①；②5或11 【分析】（1）由勾股定理求出的长，然后根据三角函数的定义求出到的距离即可； （2）①连接，由（1）以及可以求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理求出的长即可； ②过作与，所以四边形为矩形，在中运用勾股定理即可求出的长，从而可以求出的长． 【解析】（1）解：过作于，如图： ，，， ， 在中，， ， 即点到的距离为4； （2）解：①连接，如图： 由（1）知，， ， ， ， ，，， ， 是的切线， ， ； ②过作于，如图：   ，， 四边形为矩形， ，， 在中，， ； 同理，， 或11． 23．（2024·安徽·三模）如图，中，，以为直径的经过点C，交的角平分线于点D，是的切线，交延长线于点E． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点F，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，交于点M．由角平分线的定义可得出，进而可得出，进而可得出，由圆的切线性质可得出，进而可判定． （2）先得出为的中位线，由三角形中位线的性质可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，由（1）得结论可得出，，进而证明四边形是矩形，由矩形的性质可得出，由正切的定义得出，设，则，由勾股定理得，进而可求出，，最后根据即可求出答案． 【解析】（1）证明：连接，交于点M． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴． （2）由（1）可知，点M为中点， ∴为的中位线， ∴ ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， 设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴． 24．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，等腰三角形和无重叠地拼接在一起，且，的外接圆与边交于点E（点E不与点C，D重合），过点E作线段的垂线，交的延长线于点F，交线段于点H，连接． (1)求证； (2)若的半径为5， ①若，求的长； ②连接，若平分，求的值； (3)若，对于任意长度，都有的值是一个定值，求这个定值． 【答案】(1)见解析 (2)①   ② (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再由圆内接四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）①连接，并延长交于点，连接，可得，从而得到，进而得到，继而得到，设，，可求出的值，从而得到，，再由勾股定理求出，再由，即可求解；②由平分，得到，由，得到，根据等量代换得到，，设，得到：，解得：，设，则，在中，在中，应用勾股定理，解得，代入，即可求解， （3）过点作于点，可得，再由平行四边形的性质可得，根据题意可得，从而得到，，再由，可得，可得，再由对于的任意长度，都有的值是一个定值，求出的值，即可求解， 本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接，并延长交于点M，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵的半径为5， ∴，即，∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ② ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，即： 设，则：，即：，解得：，，（舍）， 设，则， 在中，， 在中，，即：，整理得：， ∴， （3）如图，过点A作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵对于的任意长度，都有的值是一个定值， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴当时，的值是一个定值，为． $$第六章 圆 第21讲 点、直线、圆的位置关系（13~15分） （思维导图+3考点+2命题点11种题型（含8种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 点和直线与圆的位置关系 考点二 切线的性质与判定 考点三 三角形的内切圆与外接圆 04题型精研·考向洞悉 命题点一 点和直线的位置关系 ►题型01 判断点与圆的位置关系 ►题型02 利用点与圆的位置关系求半径 ►题型03 三角形外接圆的概念辨析 ►题型04 求特殊三角形外接圆的半径 命题点二 切线的性质与判定 ►题型01 判断直线和圆的位置关系 ►题型02 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 ►题型03 证明直线是圆的切线 ►题型04 切线的性质定理 ►题型05 切线的性质和判定的综合运用 ►题型06 三角形的内切圆 ►题型07 圆的内接四边形 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 点、直线与圆的位置关系 ①探索并掌握点与圆的位置关系. ②能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆. ③了解直线与圆的位置关系. 10年2考 本专题内容也是安徽中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，以圆的证明计算为主，难度中等偏上.关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分． 切线的性质与判定 ①掌握切线的概念. ②探索并证明切线长定理. 10年3考 三角形内切圆与外接圆 ①了解三角形的内心与外心. ②通过尺规作作三角形的外接圆、内切圆. 10年2考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 点和直线与圆的位置关系 1. 点和圆的位置关系 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 d > r 点P在圆外 点在圆上 点在圆周上 d = r 点P在圆上 点在圆内 点在圆的内部 d < r 点P在圆内 【说明】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 2. 直线和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 相离 没有公共点 d > r直线l与⊙O相离 相切 有唯一公共点 d = r直线l与⊙O相切 相交 有两个公共点 d < r直线l与⊙O相交 【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 3. 圆和圆之间的位置关系 设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 外离 无 两圆外离 外切 1个切点 两圆外切 相交 两个交点 两圆相交 内切 1个切点 两圆内切 内含 无 两圆内含 两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦. 1. 由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进行分类讨论，否则比较容易漏解． 2. 经过一个点作圆,圆心的位置具有任意性；经过两个点作圆,圆心的位置就有了规律性,即圆心位于两点连线的垂直平分线上. 3. 直线和圆的位置关系可以转化为直线与圆的公共点的个数来研究；也可转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来研究，这两个角度的论述其实是等价的. 4. 圆与圆之间的有些位置关系有两种情况，做题时要分类讨论，防止漏解：①两圆没有交点：外离或内含；②两圆有一个交点：外切或内切；③两圆有两个交点：两圆心在公共弦同侧或异侧． 考点二 切线的性质与判定 1.切线的性质与判定 定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 性质 圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．） 解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明． 判定 1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切. 3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时， 1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； 3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． 2.切线长定理 定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解． 3. 三角形内切圆与外接圆 三角形外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 4. 三角形内心与外心 圆心的名称 圆心的确定方法 图形 圆心的性质 外心 三角形三边中垂线的交点 1)OA=OB=OC 2)外心不一定在三角形的内部． 内心 三角形三条角平分线的交点 1)到三边的距离相等； 2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； 3)内心一定在三角形内部． 5.常见结论 1）三角形内切圆半径公式：，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长. 2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长. 【解题思路】解三角形的内切圆问题，通常分别连接．内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解． 1. 一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数个外切三角形. 2. 三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,镜角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部. 3. 三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,镜角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 点和直线与圆的位置关系 ►题型01 判断点与圆的位置关系 ；例题1．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，，是以点为圆心，4为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为 判断点与直线的位置关系通常是计算点到圆心的距离，如果等于半径则点在圆上，如果大于半径则点在圆外，如果小于半径则点在圆内 1．（2024·云南怒江·一模）平面内，的半径为，若点P在内，则的长可以是（    ） A．8 B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 3．（2023·浙江金华·三模）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最小值是（　　） A． B．6 C．8 D． 4．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，，点E是线段上的动点，连接，点D关于的对称点为F，连接，则的最小值为 ． ►题型02 利用点与圆的位置关系求半径 例题2．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D． 1．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·新疆·一模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023·辽宁抚顺·一模）在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（    ） A．3 B．4或6 C．2或3 D．6 4．（2023·四川南充·模拟预测）如图，在中，，，，点是上一点，且，点为上一动点，将沿翻折得到，连接，则的最小值为 ►题型03 三角形外接圆的概念辨析 例题3．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，点、分别是正方形的边、上的动点，且，过原点作，垂足为，连接、，则面积的最大值为 ． 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，已知，，是的中点，点是的外接圆圆心，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024·江苏盐城·三模）如图，中，，点是的外心，且，延长交于点，若，则 ． 3．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为 4．（2023·安徽安庆·一模）如图，在三角形纸片ABC中，，，垂直平分，平分，将沿在上，在上）折叠，点C与点O恰好重合， （1） ；   （2）若，则 ． ►题型04 求特殊三角形外接圆的半径 例题4．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ． 1.等边三角形的外接圆圆心为等边三角形三条高（或中线或角平分线）是边长的倍； 2.等腰直角三角形的外接圆的圆心位于斜边的中点，其外接圆的圆心等于斜边的一半。 1．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（2024·安徽合肥·一模）如图，内接于，为的直径，，，则 ． 3．（2024·江苏徐州·二模）如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 4．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，，为上一动点，于点，则的最小值为 ． 命题点二 切线的性质与判定 ►题型01 判断直线和圆的位置关系 例题1．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 1.可通过直线与圆的交点的个数来判断； 2.通过计算圆心到直线的距离d来判断： ；； 1．（2024·云南·模拟预测）“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 2．（2024·江苏南京·二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 3．（2024·江西九江·二模）如图，在矩形的对称轴上找点，使得均为直角三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 4．（2023·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点． （1）直线与的位置关系为 ； （2）的最小值为 ． ►题型02 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 例题2．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 过圆心做直线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理、相似三角形或锐角三角函数进行求解； 1．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 2．（2023·广西梧州·二模）已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　） A． B． C． D． 3．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广西玉林·三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 ►题型03 证明直线是圆的切线 例题3．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，是的外接圆，连接并延长交于点．点是的内心，连接并延长交于点，过点作直线，延长交于点，连接，过点作的平行线交于点．已知． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的半径； (3)求证：． 1.连接直线与圆的交点与圆心的连线或连接圆心与直线上一点（确保直线上的该点在圆上）； 2.证明半径与直线垂直（证明垂直的方法）： （1）平行线的性质； （2）三角形两锐角互余； （3）等腰三角形的三线合一性质； （4）菱形（正方形）的对角线互相垂直； （5）直径所对的圆周角是直角； （6）相似或全等的方法； （7）勾股定理的逆定理； 1．（2025·广西柳州·一模）如图，是的直径，四边形内接于，连接，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，点是的中点，． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，过点作于点，交于点，且满足． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 4．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心作与相切于D，交于点F，在上取点E，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求点C到的距离． ►题型04 切线的性质定理 例题4．（2025·陕西·模拟预测）如图，内接于是的直径，是的中点，过点作的切线分别交、的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 1．（2025·陕西西安·一模）如图，已知内接于，以、、为顶点在上方作，且边与相切于点，连接并延长交于点，对角线与相交于点． (1)求证：； (2)若的半径，，求的面积． 2．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，为的直径．与相交于点．过点作于点，延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 3．（2025·贵州·模拟预测）如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 4．（2022·北京西城·模拟预测）如图，是的直径，点P是外一点，连接交于点C，作，分别切于点B，D，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． ►题型05 切线的性质和判定的综合运用 例题5．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，平分．点 O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点 E，交于点 F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 切线的性质与判定的综合应用通常是先证明切线，再求线段或角度的值，前面已经介绍了证明切线的方法，这里重点说明求线段或角度的常用方法： （1）利用垂径定理构建直角三角形，列出方程，进行求解； （2）构造直角三角形，运用勾股定理进行求解； （3）构造直角三角形，运用锐角三角函数进行求解； （4）构造直角三角形运用直角三角形的性质进行求解（例如：30°锐角所对的直角边是斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） （5）构造相似三角形，利用相似三角形对应角相等、对应边成比例进行求解。 1．（2024·贵州铜仁·一模）如图，已知点是以为直径的上一点，于点，过点作的切线交直线于点，点为的中点，连接并延长交于点，射线交的延长线于． (1)则与的数量关系为_________； (2)求证：是的切线； (3)若，求的值． 2．（2024·贵州贵阳·二模）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径；． 3．（2024·贵州贵阳·一模）如图，在中，是的直径，是上一点，是外一点，交于点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 4．（2024·广东佛山·三模）综合与运用：如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，． (1)求证：直线为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． ►题型06 三角形的内切圆 例题6．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，内接于，的平分线交于点，过作分别交，的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)已知，，点为的内心，求的长． 等边三角形的内切圆半径为边长的倍； 1．（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 2．（2024·浙江嘉兴·三模）已知 内接于，为 的内心，延长交于点，交于点．连结 ， ， ． (1)若 求 的度数； (2)设 四边形的面积记为， 连结， 当时，请完成下列问题． ①求证∶ ②已知 求的值． 3．（2024·江苏无锡·三模）如图，内接于，的平分线交于点G，过G作∥BC分别交，的延长线于点D，E． (1)求证：是的切线； (2)已知，，点I为的内心，求的长． 4．（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． ►题型07 圆的内接四边形 例题7．（2024·云南昆明·一模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，过点的直线与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)以下与线段，线段，线段有关的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 圆的内接四边形对角互补； 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，四边形内接于，，，交于点，，，三点共线． (1)图中与相等的是_______； (2)求证：； (3)若，，求的长． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，点，，，都在上，，是弧的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的半径． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）已知四边形是的内接四边形，是的直径，是四边形的一个外角，平分． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，过点D作的切线交的延长线于点F，，，求的长． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，，过的延长线上的点D作的垂线，与过A，C，D三点的圆O交于点E，连结，． (1)求的值； (2)设，， ①求y关于x的函数关系式； ②若是等腰三角形，求y的值； (3)若点B关于的对称点F为弧的中点，求圆O的半径． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，是的直径，，是上的点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江宁波·二模）如图，在以 为直径的半圆中，弦，若 ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西·模拟预测）如图，与相切于点A，点E在上，连接，与相交于点C，与相交于点D，已知，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，点在上，且，过点作的切线，交 的延长线于点，则的度数为（      ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，以为直径的交于点，过点作切线，交于点，连接．若的半径为2，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，，点M在以点为圆心，3为半径的圆上，点N在直线上，若是的切线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，是的切线，切点为C，连接，，分别与圆相交于点D，E，连接，，，若，，则的半径为（    ） A．6 B． C． D． 9．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，是的弦，是过点的切线，若，则所对的圆周角的度数为 ． 10．（2024·云南昆明·模拟预测）在边长为10的正方形中，点E是的中点，作射线，在射线上有一点 P，若以点P为圆心，半径长为4的与正方形的其中一边相切，则的长为 ． 11．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 12．（2024·吉林·模拟预测）如图，是的直径，与相切于点A，，连接交于点D，连接，若，则的长为 （结果保留）． 13．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为 ． 14．（2024·山西长治·模拟预测）如图，为的直径，，是它的两条切线，与相切于点，并与，分别相交于，两点，，相交于点，若，，则的长为 ． 15．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F， 连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若， ，求的长 ． 16．（2025·湖北黄石·一模）如图，内接于，为直径，作交于点E，且． (1)求证：直线是的切线． (2)如果，，求图中阴影部分的面积． 17．（2023·北京东城·模拟预测）已知：如图，在中，是边上一点，圆过、、三点，． (1)求证：直线是圆的切线； (2)若，，圆的半径为，求的长． 18．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 19．（2024·贵州·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，切线交的延长线于点，，垂足为点，延长交于点，连接，． (1)若，则_________度； (2)求证：平分； (3)若的半径为，，求的值． 20．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 能力提升 21．（2024·广东东莞·一模）如图1，是中的平分线，，以为半径的与相交于点，且． (1)求证：是切线； (2)如图2，设与的切点为，连接．当时，求的半径； (3)若是线段的中点，连与交于，在（2）的条件下，求的值． 22．（2024·河北邢台·一模）如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，． (1)求点到的距离； (2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．． ①当与相切时，求的长； ②当时，直接写出的长． 23．（2024·安徽·三模）如图，中，，以为直径的经过点C，交的角平分线于点D，是的切线，交延长线于点E． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点F，，求的长． 24．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，等腰三角形和无重叠地拼接在一起，且，的外接圆与边交于点E（点E不与点C，D重合），过点E作线段的垂线，交的延长线于点F，交线段于点H，连接． (1)求证； (2)若的半径为5， ①若，求的长； ②连接，若平分，求的值； (3)若，对于任意长度，都有的值是一个定值，求这个定值． $$