第18讲 多边形与平行四边形（讲练）（思维导图+3考点+2命题点9种题型（含7种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第五章 四边形 第18讲 多边形与平行四边形（5~8分） （思维导图+3考点+2命题点9种题型（含7种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 多边形的概念与性质 考点二 平行四边形的性质与判定 考点三 三角形的中位线 04题型精研·考向洞悉 命题点一 多边形的概念与性质 ►题型01 多边形的对角线 ►题型02 多边形的内角和 ►题型03 多边形的外角和 命题点二 平行四边形的性质与判定 ►题型01 利用平行四边形的性质求解 ►题型02 利用平行四边形的性质证明 ►题型03 判断是否构成平行四边形 ►题型04 添一个条件成为平行四边形 ►题型05 证明四边形是平行四边形 ►题型06 综合平行四边形的性质与判定进行求解 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 多边形的概念与性质 1.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线. 2.探索并掌握多边形内角和与外角和公式. 10年2考 本考点内容是考查重点，，分值为10分左右，预计2025年中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大．中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形综合应用的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。 平行四边形的性质与判定 1.探索并证明平行四边形的性质定理. 2.探索并证明平行四边形的判定定理. 10年5考 三角形的中位线 探索并证明三角形中位线定理 10年2考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 多边形的概念与性质 1.多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  3.多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形，n边形的对角线条数为 4.多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. （1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°. （2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍. （3）利用多边形内角和定理可解决三类问题： ①已知多边形的边数求内角和； ②已知多边形的内角和求边数； ③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数． 5.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 6.正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形. （1）正n边形的每个内角为，每一个外角为． （2）正n边形有n条对称轴． （3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 1.多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误： ①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）. ②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条2.对角线计算了两次，因此n边形共有 条对角线. ③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2. ④n边形的外角和是360°. ⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°. ⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形． 考点二 平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 3.平行四边形的性质： （1）对边平行且相等； （2）对角相等、邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 【解题技巧】 （1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半． （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题． （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长． （4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． （5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE． （6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 4.平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路： （1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明； （2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明； （3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明． 点三 三角形的中位线 1.三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 3.三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行. 数量关系：可以证明线段的倍分关系. 常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半. 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形. 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分. 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 多边形的概念与性质 ►题型01 多边形的对角线 例题1．（2024·陕西咸阳·三模）如果过某多边形的一个顶点有条对角线，这个多边形是 边形． 从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形，n边形的对角线条数为 1．（2024·上海·模拟预测）正六边形的对角线条数为 条． 2．（2024·上海金山·三模）正n边形的一个外角为，则它的对角线条数为 3．（2024·陕西咸阳·二模）已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线． ►题型02 多边形的内角和 例题2．（2025·河北沧州·一模）如图，正六边形的边长为2，连接，，点M，N分别在和上．若是等边三角形，则满足上述条件的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．5个以上 熟记多边形内角和公式：，n表示多边形的边数； 1．（2025·山西长治·模拟预测）冰翼纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，被广泛应用于建筑装饰和瓷器，图2是从图1中提取的多边形，则这个多边形的内角和是 ． 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，直线与正六边形的边分别相交于点，则的大小为 ． 3．（2025·广东·模拟预测）如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点E．则线段的长为 ． ►题型03 多边形的外角和 例题3．（2024·山东泰安·一模）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的内角和为 度． 任意n变形的外角和为360° 1．（2023·山东济南·三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ． 2．（2024·福建福州·模拟预测）正六边形 与正五边形 按如图方式摆放，点A，B，G在一条直线上，则的度数为 ． 3．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，孔明在驾校练车，他由点出发向前行驶米到处，向左转．继续向前行驶同样的路程到处，再向左转．按这样的行驶方法，第一次回到点总共行驶了 ． 命题点二 平行四边形的性质与判定 ►题型01 利用平行四边形的性质求解 例题1．（2025·广东揭阳·一模）如图，四边形为平行四边形，E，F分别为和的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 熟练掌握平行四边形的性质： ①两组对边分别相等，可以用来求线段长度； ②两组对角分别相等，可以用来求解角度； ③对角线互相平分，可以用来求线段长度。 1．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，，是对角线的中点，是边上一点，连接并延长交于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（   ） A． B．3 C．3．5 D．4 2．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线上，且．求证：． ►题型02 利用平行四边形的性质证明 例题2．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，，为上两点，连接，，且，． (1)求证：． (2)判定四边形的形状，并说明理由． ①定义：两组对边分别平行，可以证明两直线平行； ②两组对边分别相等，可以用来证明线段相等进而证明三角形全等； ③两组对角分别相等，可以用来证明角度相等，进而证明平行线或三角形全等； ④对角线互相平分，可以用来证明线段相等，进而证明全等。 1．（2025·上海金山·一模）已知：如图，点是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求证：四边形是菱形． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得四边形为矩形．（不需要证明） 3．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． ►题型03 判断是否构成平行四边形 例题3．（2024·广东·模拟预测）如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山西太原·三模）在记忆平行四边形的判定时，为了方便，我们是这样记忆的：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．在这个记忆方法中，体现的主要的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．类比思想 2．（2023·河南周口·模拟预测）如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 ►题型04 添一个条件成为平行四边形 例题4．（2025·河北沧州·一模）图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 1.先跟据条件判断出已知的条件； 2.再根据已知条件确定应该使用的判定定理，根据判定定理添加条件； 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 2．（2024·河北邯郸·二模）如图，在中，M，N分别是边上的点，延长至点P，连接，，要使四边形为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加； 乙：添加； 丙：添加． 则正确的方案（    ） A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形中，，，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． ►题型05 证明四边形是平行四边形 例题5．（2024·江苏南京·模拟预测）如图．线段与分别为的中位线与中线． (1)求证：与互相平分； (2)当线段与满足怎样的数量关系时，四边形为矩形？请说明理由． 证明四边形是平行四边形的方法有： ①定义法：即两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若，，，求四边形的面积． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在梯形中，，点P在四边形内部，，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)已知点Q在上，连接，请写出一个条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） ►题型06 综合平行四边形的性质与判定进行求解 例题6．（2025·广东深圳·三模）【问题提出】 （1）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接与交于点，若，求证：； 【迁移应用】 （2）如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接交于点，且，求的值； 【拓展提高】 （3）如图，在四边形中，点是边上的一点，连接与交于点，，，，请直接写出的值． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明． 【基础巩固】 （1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论； （2）A、B、C、D是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分； 【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值； 【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）． 3．（2024·贵州贵阳·一模）问题解决：（1）如图①，在中，分别是边上的一点，，，若，，求的长； 类比探究：（2）如图②，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，与交于点． ①求出与的位置关系，并说明理由； ②若，，求的长； 拓展延伸：（3）如图③，在四边形中，，点分别在边上，，若，，求的值． ►题型07 综合平行四边形的性质与判定进行证明 例题7．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在四边形中，，连接，以为边作，使得，，过点C作交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积是10，，求的长． 1．（2025·安徽·模拟预测）如图①，在四边形中，，E为上一点，且，过点B作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)如图②，连接交于点G． ①若，求证：平分； ②若，求的值． 2．（2024·四川内江·二模）在中，于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若平分，且，，判断四边形的形状，并求其面积． 3．（2024·贵州遵义·二模）如图1，某兴趣小组学习了全等三角形后，作了以下探究：在同一条直线上取B，作，连接．分别以，为边作正方形，，记它们的面积分别为，，过点作于点，以为边作正方形，记它的面积为． (1)初步探究：直接写出，，之间的数量关系 　　　　　； (2)继续探究：如图2，连接，过点作交于点，求证：； (3)拓展延伸：如图3，已知为直角三角形，，将，分别沿，方向平移相同距离，，的对应线段分别为，，分别以，为边作正方形，，连接，过点作于点，交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，求证：点为的中点． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·辽宁抚顺·二模）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．任意画一个三角形，其外角和是 B．打开电视，正在播放跳水比赛 C．经过有交通信号的路口时遇见绿灯 D．若，则 2．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，在正五边形中，经过两点的分别与相切于点，连接，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海松江·一模）如图，在中，是边的中点，交于点，如果的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2023·四川达州·模拟预测）已知点、的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段上，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），若四边形为平行四边形，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，是边上一点，若分别是的平分线，若的周长为18，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，点在边上，平分，，分别是，的中点，，，则的值为（    ） A． B． C． D．3 8．（2024·河北·模拟预测）在中，，是的中点，求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接，． …… ， ． 下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∵；③∵，；④∴四边形是矩形，则正确的顺序是（      ）． A．③①②④ B．③②①④ C．②③①④ D．②①③④ 9．（2024·广东清远·模拟预测）如图，中，，，，将沿着直线向右平移到的位置，与相交于点G，连接．下列结论： ①； ②是直角三角形； ③四边形的面积是； ④四边形是菱形； ⑤．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，的对角线交于点O，E是边上的动点，连接交于点F．若，则下列结论中错误的是（　　） A．的最小值是 B．总小于 C．当点E是的中点时，的面积是 D．周长的最小值是 11．（2025·陕西西安·二模）如图，直线与正五边形的边，分别相交于点，则的度数为 ． 12．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图所示，把一个四边形纸片的四个顶角分别向内折叠，折叠之后，4个顶点不重合，那么图中的度数是 ． 13．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 14．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，，点D在边上，且，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，以为边，作平行四边形，连接，则点A到线段的距离是 ，的最大值与最小值分别是 ． 15．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，对角线，相交于点，，在对角线上，且 (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形(不需要证明 16．（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且． (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 17．（2024·贵州遵义·模拟预测）小杰在学习了特殊的平行四边形后，对平行四边形进行了如下作图：①分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点和点； ②连接分别交，，于点，，； ③连接，． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求证：； (2)若恰为的中点，，，求的长． 18．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，中，相交于点分别是的中点. (1)求证：； (2)设，直接写出 时，四边形是矩形. 能力提升 19．（2025·上海黄浦·一模）已知平行四边形中，，，，是边上一动点，过点作，交射线于点，交于点，是上的点，，连接． (1)求证：； (2)当时，求线段的长； (3)当时，求的值． 20．（2024·湖南·模拟预测）如图，将等腰的斜边向上平移至（点B和A重合），连接，M为线段上一点（不与点C重合），连接并将其绕点A顺时针旋转至，连接交于点E，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，分别取的中点连接，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 21．（2024·湖北十堰·模拟预测）综合与实践 【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 22．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，的延长线交于点F． (1)求的长； (2)如图2，的角平分线交于点P，点Q在上； ①当为等腰三角形时，求的长； ②如图3，当点Q在线段上，连接，将沿翻折得到，点M恰好落在边上，试求线段的长． $$第五章 四边形 第18讲 多边形与平行四边形（5~8分） （思维导图+3考点+2命题点9种题型（含7种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！64 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 多边形的概念与性质 考点二 平行四边形的性质与判定 考点三 三角形的中位线 04题型精研·考向洞悉 命题点一 多边形的概念与性质 ►题型01 多边形的对角线 ►题型02 多边形的内角和 ►题型03 多边形的外角和 命题点二 平行四边形的性质与判定 ►题型01 利用平行四边形的性质求解 ►题型02 利用平行四边形的性质证明 ►题型03 判断是否构成平行四边形 ►题型04 添一个条件成为平行四边形 ►题型05 证明四边形是平行四边形 ►题型06 综合平行四边形的性质与判定进行求解 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 多边形的概念与性质 1.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线. 2.探索并掌握多边形内角和与外角和公式. 10年2考 本考点内容是考查重点，，分值为10分左右，预计2025年中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大．中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形综合应用的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。 平行四边形的性质与判定 1.探索并证明平行四边形的性质定理. 2.探索并证明平行四边形的判定定理. 10年5考 三角形的中位线 探索并证明三角形中位线定理 10年2考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 多边形的概念与性质 1.多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  3.多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形，n边形的对角线条数为 4.多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. （1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°. （2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍. （3）利用多边形内角和定理可解决三类问题： ①已知多边形的边数求内角和； ②已知多边形的内角和求边数； ③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数． 5.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 6.正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形. （1）正n边形的每个内角为，每一个外角为． （2）正n边形有n条对称轴． （3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 1.多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误： ①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）. ②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条2.对角线计算了两次，因此n边形共有 条对角线. ③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2. ④n边形的外角和是360°. ⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°. ⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形． 考点二 平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 3.平行四边形的性质： （1）对边平行且相等； （2）对角相等、邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 【解题技巧】 （1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半． （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题． （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长． （4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． （5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE． （6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 4.平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路： （1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明； （2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明； （3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明． 考点三 三角形的中位线 1.三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 3.三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行. 数量关系：可以证明线段的倍分关系. 常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半. 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形. 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分. 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 多边形的概念与性质 ►题型01 多边形的对角线 例题1．（2024·陕西咸阳·三模）如果过某多边形的一个顶点有条对角线，这个多边形是 边形． 【答案】 【解析】解：∵过某多边形的一个顶点的对角线有条， ∴， ∴， 故答案为：． 从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形，n边形的对角线条数为 1．（2024·上海·模拟预测）正六边形的对角线条数为 条． 【答案】9 【解析】解：正六边形的对角线条数为条， 2．（2024·上海金山·三模）正n边形的一个外角为，则它的对角线条数为 【答案】54 【解析】解：根据题意得：，解得：， 所以它的对角线的条数为：． 3．（2024·陕西咸阳·二模）已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线． 【答案】9 【解析】解：多边形的外角和都是， 内角和等于， 设这个多边形有条边， ，解得：， 从这个正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线． 故答案为：9． ►题型02 多边形的内角和 例题2．（2025·河北沧州·一模）如图，正六边形的边长为2，连接，，点M，N分别在和上．若是等边三角形，则满足上述条件的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．5个以上 【答案】D 【解析】解：连接，如图， 在正六边形中， ， ， ， 当点M、N分别与B、F重合时，为等边三角形； 当M、N分别在线段上运动时，连接，如图， 则，， 若，则， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 则当M、N在线段上左右摆动时，只需保证，就是等边三角形， 即存在无数个等边的情况， 综上所述，满足条件的有无数个， 故选：D． 熟记多边形内角和公式：，n表示多边形的边数； 1．（2025·山西长治·模拟预测）冰翼纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，被广泛应用于建筑装饰和瓷器，图2是从图1中提取的多边形，则这个多边形的内角和是 ． 【答案】 【解析】解：由题意可知，多边形是六边形， ∴这个多边形的内角和是， 故答案为：． 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，直线与正六边形的边分别相交于点，则的大小为 ． 【答案】 【解析】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵在四边形中，， ∴， 由对顶角相等得：，， ∴， 故答案为：． 3．（2025·广东·模拟预测）如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点E．则线段的长为 ． 【答案】 【解析】解：如图，过点F作于G， 根据正八边形可得， 由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， ， 同理， ， 故答案为：． ►题型03 多边形的外角和 例题3．（2024·山东泰安·一模）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的内角和为 度． 【答案】720 【解析】解：多边形的边数是：， ∴这个多边形的边数是6． ∴这个多边形的内角和为 故答案为：720． 任意n变形的外角和为360° 1．（2023·山东济南·三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ． 【答案】 【解析】解：图中五边形为正六边形， ， ， 正方形中， ， ， 故答案为：． 2．（2024·福建福州·模拟预测）正六边形 与正五边形 按如图方式摆放，点A，B，G在一条直线上，则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：∵在正六边形和正五边形中， ， ， ∴， 故答案为：． 3．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，孔明在驾校练车，他由点出发向前行驶米到处，向左转．继续向前行驶同样的路程到处，再向左转．按这样的行驶方法，第一次回到点总共行驶了 ． 【答案】米 【解析】解：根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为的多边形的周长， 该多边形的边数为：， 第一次回到点总共行驶了：（米）， 故答案为：米． 命题点二 平行四边形的性质与判定 ►题型01 利用平行四边形的性质求解 例题1．（2025·广东揭阳·一模）如图，四边形为平行四边形，E，F分别为和的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：过点作，交于一点，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵E，F分别为和的中点， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 则， 故是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 熟练掌握平行四边形的性质： ①两组对边分别相等，可以用来求线段长度； ②两组对角分别相等，可以用来求解角度； ③对角线互相平分，可以用来求线段长度。 1．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，，是对角线的中点，是边上一点，连接并延长交于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（   ） A． B．3 C．3．5 D．4 【答案】B 【解析】解：在中，，，是对角线的中点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：B 2．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线上，且．求证：． 【解析】证明：∵，； ∴四边形是平行四边形； ∴； ∴； ∵O为AC的中点； ∴； ∴在和中； ； ∴（）； ∴； ∴； 即． ►题型02 利用平行四边形的性质证明 例题2．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，，为上两点，连接，，且，． (1)求证：． (2)判定四边形的形状，并说明理由． 【解析】（1）证明：，，， ． 四边形是平行四边形， ． 在和中， ． （2）解：四边形为矩形． 理由如下： ， ． 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是矩形． ①定义：两组对边分别平行，可以证明两直线平行； ②两组对边分别相等，可以用来证明线段相等进而证明三角形全等； ③两组对角分别相等，可以用来证明角度相等，进而证明平行线或三角形全等； ④对角线互相平分，可以用来证明线段相等，进而证明全等。 1．（2025·上海金山·一模）已知：如图，点是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求证：四边形是菱形． 【解析】（1）证明：平行四边形 ，  ， ∴，，                                   ，                                                                                     ； （2）证明：如图，连接， ， ，又， ， ，                                            ，， ，，   ，                                             平行四边形， ， ， ， ， ，                                               ，又，    ，                                             即，   ，                                                     平行四边形， 四边形是菱形． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得四边形为矩形．（不需要证明） 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：添加（答案不唯一），理由如下： 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为矩形． 3．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【解析】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，证明如下： 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． ►题型03 判断是否构成平行四边形 例题3．（2024·广东·模拟预测）如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵ ∴ 选项A不能判定四边形是平行四边形． ∵ ∴ 选项B不能判定四边形是平行四边形． ∵， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形． 选项C不能判定四边形是平行四边形． ∵， ∴． 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 故选：D 1．（2024·山西太原·三模）在记忆平行四边形的判定时，为了方便，我们是这样记忆的：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．在这个记忆方法中，体现的主要的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．类比思想 【答案】B 【解析】根据分类讨论思想， 故A不符合题意； B符合题意； C不符合题意； D不符合题意； 故选B． 2．（2023·河南周口·模拟预测）如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、， ，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 【答案】D 【解析】解：A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意； B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意； C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意； D．由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以D选项符合题意． 故选：D． ►题型04 添一个条件成为平行四边形 例题4．（2025·河北沧州·一模）图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：D． 1.先跟据条件判断出已知的条件； 2.再根据已知条件确定应该使用的判定定理，根据判定定理添加条件； 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 【答案】D 【解析】解：A、由，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、由，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ， ∴不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D．∵， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2024·河北邯郸·二模）如图，在中，M，N分别是边上的点，延长至点P，连接，，要使四边形为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加； 乙：添加； 丙：添加． 则正确的方案（    ） A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对 【答案】B 【解析】解：， ， 甲：添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形为平行四边形； 乙：添加后，满足两组对边平行，能证明四边形为平行四边形； 丙：添加后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形为平行四边形； 综上可知，只有乙、丙才对， 故选B． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形中，，，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； （2）添加条件为：（答案不唯一），理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ►题型05 证明四边形是平行四边形 例题5．（2024·江苏南京·模拟预测）如图．线段与分别为的中位线与中线． (1)求证：与互相平分； (2)当线段与满足怎样的数量关系时，四边形为矩形？请说明理由． 【解析】（1）证明：线段与分别为的中位线与中线， 分别是的中点， 线段与也为的中位线． ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． （2）解：当时，四边形为矩形，理由如下： 线段为的中位线， ， ， 平行四边形为矩形， 当时，四边形为矩形． 证明四边形是平行四边形的方法有： ①定义法：即两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若，，，求四边形的面积． 【解析】（1）解：四边形为平行四边形． 证明如下：， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在梯形中，，点P在四边形内部，，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)已知点Q在上，连接，请写出一个条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【解析】（1）证明：∵， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ∴， ∵， ∵四边形是等腰梯形， ∴四边形是平行四边形． ►题型06 综合平行四边形的性质与判定进行求解 例题6．（2025·广东深圳·三模）【问题提出】 （1）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接与交于点，若，求证：； 【迁移应用】 （2）如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接交于点，且，求的值； 【拓展提高】 （3）如图，在四边形中，点是边上的一点，连接与交于点，，，，请直接写出的值． 【解析】（）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴的值为； （）如图所示，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形， ∴，，， 同（）可得， ∵， ∴设，， 在上取一点使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 【答案】(1) (2) (3)或或 【解析】（1）解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴矩形ABCD的“度量值”为， （2）解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； ∴； ∴的“度量值”为； （3）解：由题意知，分C点与邻边上的顶点重合，B点与邻边上的顶点重合，A点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，，， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的值为或或． 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明． 【基础巩固】 （1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论； （2）A、B、C、D是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分； 【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值； 【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）． 【解析】（1）证明：如图1，    作，交的延长线于E， ，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：如图2，        延长至T，使，连接，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，    延长至Q，使，作， ， ， 平分， ， 不妨设，， 由上知：， ， ， ， 故答案为：． 3．（2024·贵州贵阳·一模）问题解决：（1）如图①，在中，分别是边上的一点，，，若，，求的长； 类比探究：（2）如图②，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，与交于点． ①求出与的位置关系，并说明理由； ②若，，求的长； 拓展延伸：（3）如图③，在四边形中，，点分别在边上，，若，，求的值． 【答案】（1）3；（2）①，理由见解析；②16；（3） 【解析】解：（1）如下图，过点作，交延长线于点，设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 在中，； （2）①，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； ②如下图，过点作，交于点，交于点， ∵，由①知， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形，则， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）如下图，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，过点作，交于点，交于点，连接，设交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∵，， ∴，， 联立，解得， ∴，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ►题型07 综合平行四边形的性质与判定进行证明 例题7．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在四边形中，，连接，以为边作，使得，，过点C作交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积是10，，求的长． 【解析】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）可知，垂直平分，四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（2025·安徽·模拟预测）如图①，在四边形中，，E为上一点，且，过点B作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)如图②，连接交于点G． ①若，求证：平分； ②若，求的值． 【解析】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ． （2）解：①证明：如图，连接， 由（1）得：， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形， ∴平分； ②解：由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， 两边除以得：， 解得：，或（舍去）， ∴． 2．（2024·四川内江·二模）在中，于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若平分，且，，判断四边形的形状，并求其面积． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，即， ， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； ∵平分， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 又， ， ． 3．（2024·贵州遵义·二模）如图1，某兴趣小组学习了全等三角形后，作了以下探究：在同一条直线上取B，作，连接．分别以，为边作正方形，，记它们的面积分别为，，过点作于点，以为边作正方形，记它的面积为． (1)初步探究：直接写出，，之间的数量关系 　　　　　； (2)继续探究：如图2，连接，过点作交于点，求证：； (3)拓展延伸：如图3，已知为直角三角形，，将，分别沿，方向平移相同距离，，的对应线段分别为，，分别以，为边作正方形，，连接，过点作于点，交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，求证：点为的中点． 【解析】（1）解：，， ， ，， ， ，， ； 故答案为：； （2）证明：由（1）知，，， 则， 即是的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∴点P是的中点， ； （3）证明：过点组交于点，交于点，过点作交于点，交于点， 由（1）知，， 则， 同理可得：， 且， 则四边形为平行四边形，则， 同理可得：， 则， 同理可得：， ，， ， ， 即点为的中点． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·辽宁抚顺·二模）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．任意画一个三角形，其外角和是 B．打开电视，正在播放跳水比赛 C．经过有交通信号的路口时遇见绿灯 D．若，则 【答案】A 【解析】解：、任意画一个三角形，其外角和是，是必然事件，该选项符合题意； 、打开电视，正在播放跳水比赛，是随机事件，该选项不合题意； 、经过有交通信号的路口时遇见绿灯，是随机事件，该选项不合题意； 、若，当时，则；当，则；当，则， ∴该选项事件是随机事件，不合题意； 故选：． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵正五边形纸片， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， 故选：B． 3．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，在正五边形中，经过两点的分别与相切于点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵与相切于点N， ∴，即， 在四边形中，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·上海松江·一模）如图，在中，是边的中点，交于点，如果的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：四边形是平行四边形， 且， ， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故选：B． 5．（2023·四川达州·模拟预测）已知点、的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段上，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），若四边形为平行四边形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵点、的坐标分别为、， ∴轴，， ∵抛物线的顶点在线段上，抛物线与轴交于、两点（在的左侧）， ∴抛物线的开口向下，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 令， ∴， ∵在的左侧， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，是边上一点，若分别是的平分线，若的周长为18，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】解：∵、分别是、的平分线， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ， 平行四边形的周长． ， ， 故选：C． 7．（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，点在边上，平分，，分别是，的中点，，，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】解：四边形矩形， ∴，， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是的中点，， ， ， 为的中点，，， ， 在中，， ， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 故选：D． 8．（2024·河北·模拟预测）在中，，是的中点，求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接，． …… ， ． 下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∵；③∵，；④∴四边形是矩形，则正确的顺序是（      ）． A．③①②④ B．③②①④ C．②③①④ D．②①③④ 【答案】A 【解析】解:根据提示，先由对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再由平行四边形证明是矩形， 证明过程应为：③，； ①四边形是平行四边形； ②； ④四边形是矩形． ， ． 即证明过程为 ③①②④， 故选：A． 9．（2024·广东清远·模拟预测）如图，中，，，，将沿着直线向右平移到的位置，与相交于点G，连接．下列结论： ①； ②是直角三角形； ③四边形的面积是； ④四边形是菱形； ⑤．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：由平移的性质得：，，，， 四边形是平行四边形， 则，，故①不正确； ， 即， ， ， 是直角三角形，故②正确； 设的边上的高为， 则， ， ，故③正确； ， 平行四边形是菱形，故④正确； ， ，， ， 与不全等，故⑤不正确； 综上所述，正确结论的个数为3， 故选：C． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，的对角线交于点O，E是边上的动点，连接交于点F．若，则下列结论中错误的是（　　） A．的最小值是 B．总小于 C．当点E是的中点时，的面积是 D．周长的最小值是 【答案】B 【解析】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， 过点D作交于点H，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， A．当时，取最小值，可得的最小值，该选项正确； B．如图1，过点作交于， 连接，则， ， ， ， ． 以为直径画交于点，    当与或重合时，， 当点在线段上(不含端点)，大于，故该选项错误； C．的面积为， 当是的中点时， 则的面积， ， ， ， 可得的面积是为，故该选项正确； D．如图2，作关于的对称点，    连接，交于，则， ∴， 当三点共线时，此时的周长取最小值， 则， ， ， 此时的周长，故该选项正确． 故选：B． 11．（2025·陕西西安·二模）如图，直线与正五边形的边，分别相交于点，则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：∵五边形为正五边形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 12．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图所示，把一个四边形纸片的四个顶角分别向内折叠，折叠之后，4个顶点不重合，那么图中的度数是 ． 【答案】 【解析】解：连接，如图， 则 ∴， 同理，，，， 那么， 由折叠知，，，，， ． 13．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，． ∵平分， ∴． ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．故①正确； ∵，， ∴是的中位线． ∴． ∴， ∴． ∴．故②正确； 在中，， ∴． ∴． ∴．故③正确； ∵是的中点， ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴．故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 14．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，，点D在边上，且，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，以为边，作平行四边形，连接，则点A到线段的距离是 ，的最大值与最小值分别是 ． 【答案】 ， 【解析】解：过点A作的垂线，垂足为F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 根据勾股定理得：； ∴点A到线段的距离是， ∴， 如图所示，作点A关于的对称点O，连接， ∵点A与点O关于对称， ∴， ∴四边形是菱形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是菱形，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点E在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，则， ∴当A、O、E三点共线，且点E在下方时，有最大值， 如图，此时的交点与点F重合， 则最大值为； 当A、O、E三点共线，且点E在上方时，有最小值． 则最小值为； 故答案为：；，． 15．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，对角线，相交于点，，在对角线上，且 (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形(不需要证明 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：当时，四边形为矩形， 理由：由（）知：，则，， 故四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形； 当时，四边形为矩形， 理由：由（）知：，则，， 故四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形． 由上可得，当时或当时，四边形为矩形． 16．（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且． (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【解析】（1）解：四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 四边形的面积为48， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 17．（2024·贵州遵义·模拟预测）小杰在学习了特殊的平行四边形后，对平行四边形进行了如下作图：①分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点和点； ②连接分别交，，于点，，； ③连接，． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求证：； (2)若恰为的中点，，，求的长． 【解析】（1）解：证明：由作图可得垂直平分， ，， ，， 平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ； （2）垂直平分 ，是的中点， 是的中点， ， ， 是的中点，， ， 平行四边形， ， 在中， ， ， 则的长为． 18．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，中，相交于点分别是的中点. (1)求证：； (2)设，直接写出 时，四边形是矩形. 【解析】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， 若四边形是矩形，则， 由（1）可知，， ∴， ∴，即， ∴当时，四边形是矩形， 故答案为：． 能力提升 19．（2025·上海黄浦·一模）已知平行四边形中，，，，是边上一动点，过点作，交射线于点，交于点，是上的点，，连接． (1)求证：； (2)当时，求线段的长； (3)当时，求的值． 【解析】（1）解：过点作，垂足为点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：过点作，垂足为点， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 当点在线段的延长线上时， 由，可得， 设， ，，， ，， ， ， ； 当点在线段上时，可得， 设， ，，， ，， ， ， ， 综上所述的值为或． 20．（2024·湖南·模拟预测）如图，将等腰的斜边向上平移至（点B和A重合），连接，M为线段上一点（不与点C重合），连接并将其绕点A顺时针旋转至，连接交于点E，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，分别取的中点连接，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【解析】（1）证明：∵将等腰的斜边向上平移至（点B和A重合），连接， ∴ ， ∴四边形是平行四边形，， ∵连接并将其绕点A顺时针旋转至，连接交于点E，连接． ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）证明：如图：在线段取点，连接，使得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）解：如图：连接取的中点，连接， ∵点P，Q分别是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵连接并将其绕点A顺时针旋转至，连接交于点E，连接． ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设, 则在中，；在中，； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 21．（2024·湖北十堰·模拟预测）综合与实践 【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ； （2）①证明：延长至，使，连接，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， 垂直平分， ， 为的中点，， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线； ②解：由①知是的中位线， ， ， ； （3）解：． 理由：延长至，使，连接，， 同（2）可知是的中位线， ， 同（2）可知，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ． 22．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，的延长线交于点F． (1)求的长； (2)如图2，的角平分线交于点P，点Q在上； ①当为等腰三角形时，求的长； ②如图3，当点Q在线段上，连接，将沿翻折得到，点M恰好落在边上，试求线段的长． 【答案】(1)； (2)①或或②． 【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形， （2）解：①如图1，作于G， 当时， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， 设 在中， 由得， 如图2， 当时， 由上知： 如图3， 当时， 综上所述：或或 ②如图，将沿翻折得到， ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． $$