第17讲 相似三角形（讲练）（思维导图+3考点+2命题点9种题型（含7种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第四章 三角形 第17讲 相似三角形（8~15分） （思维导图+3考点+2命题点9种题型（含7种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 比例线段的概念与性质 考点二 相似图形的概念与性质 考点三 相似三角形的性质与判定 04题型精研·考向洞悉 命题点一 比例线段的概念与性质 ►题型01 比例的性质 ►题型02 成比例线段 ►题型03 黄金分割 ►题型04 相似多边形的性质 ►题型05 平行线分线段成比例定理 命题点二 相似三角形的性质与判定 ►题型01 相似三角形的判定 ►题型02 选择或添加条件使两个三角形相似 ►题型03 利用相似三角形的性质进行求解 ►题型04 相似三角形的判定与性质综合 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 比例线段的概念与性质 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段； 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 10年2考 相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点.它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察.而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段.需要考生在复习的时候给予加倍的重视! 相似图形的概念与性质 1.通过具体实例认识图形的相似. 2.了解相似多边形和相似比. 近10年连续考查 相似三角形的性质与判定 1.了解相似三角形的判定定理. 2.了解相似三角形判定定理的证明. 3.了解相似三角形的性质定理. 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 比例线段的概念与性质 1.线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比． 2.比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项， 【补充】当比的内项相等时，即或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项. 【解题思路】 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成. 3.比例的性质： （1）基本性质： （2）变形： 核心内容： （3）合、分比性质： 【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： （4）等比性质：如果， 那么. 【补充】根据等比的性质可推出，如果，则. （5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 【注意】① (叫做黄金分割值). 简记为： ②一条线段的黄金分割点有两个. 【扩展】作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： ①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. ②连接AD，在DA上截取DE=DB. ③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. （6）平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. ①已知l3∥l4∥l5, 可得等 ①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况： 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 1. 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 2. 通常四条线段a、b、c、d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另外一个单位也可以. 考点二 相似图形的概念与性质 相似多边形的的概念： 若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形的性质： 1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 点三 相似三角形的性质与判定 1.相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. 2.相似三角形的判定方法： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． （2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 3.相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. （2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. （3）相似三角形周长的比等于相似比. （4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 4.判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： （1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； （2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； （3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； （4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 判断网格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 比例的性质 例题1．（2024·安徽安庆·二模）已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 1.基本性质： 2.合、分比性质： 3.比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立． 4.等比性质：如果， 那么. 5.根据等比的性质可推出，如果，则. 1．（2025·上海崇明·一模）如果，那么的值为 ． 2．（2024·广东深圳·一模）已知，且，那么 ． 3．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则的值为 ． 4．（2024·江西九江·模拟预测）已知，则（其中）的值是 ． ►题型02 成比例线段 例题2．（2024·江苏扬州·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 1．（2024·江苏南通·一模）如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且，，，那么d的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C． D． 4．（2024·浙江宁波·二模）已知两条线段的长度、满足 ，且，若另一线段长度是、的比例中项，则 ． ►题型03 黄金分割 例题3．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号） 1.黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 3. (叫做黄金分割值). 简记为： 4.一条线段的黄金分割点有两个. 1．（2024·湖南·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·广东·模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 3．（2024·安徽合肥·三模）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 ．（结果保留根号） ►题型04 相似多边形的性质 例题4．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ． 1.相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 2.相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 1．（2024·云南昆明·模拟预测）如图与关于点A 成位似图形，若他们的位似比为，则与的面积比为（  ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为，则（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】A 3．（2024·重庆渝北·模拟预测）我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸沿对开后，再把矩形纸沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（    ） A． B． C． D．2 4．（2024·浙江·一模）如图，矩形矩形，连接、、，要求出的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（    ） A．矩形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 ►题型05 平行线分线段成比例定理 例题5．（2025·广东佛山·一模）如图是王先生家的菜团，图2是该菜谱的示意图，该菜谱可看作矩形，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，．已知菱形的面积为6，则阴影部分的面积之和为 ． 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 2.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 1．（2025·上海徐汇·一模）如图，，且和之间的距离是和之间的距离是的三个顶点分别在上，与交于点，如果，那么的长是 ． 2．（2024·四川成都·一模）如图，，则的长为 ． 3．（2022·内蒙古兴安盟·一模）如图，，点在射线上，且，过点作交射线于点，在射线上截取，使得；过点作交射线于点，在射线上截取，使得；；按照此规律进行下去，则长为 ． 4．（2024·浙江温州·一模）如图，在四边形中，．点E在线段上，交于点F，交于点G，交于点H，连结． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的值． (3)若E为的中点，，求的长． 命题点二 相似三角形的性质与判定 ►题型01 相似三角形的判定 例题1．（2023·广西南宁·二模）如图，为边长等于8的等边三角形，点是边上的一个动点（不与点、重合），，，垂足分别是、． (1)求证：； (2)若，四边形面积为S，求出S与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)已知A，D，F、E四点在同一圆上，若，求此圆半径． 1.已知两组对应边成比例，可以找两边的夹角对应相等或再找第三组对应边成比例； 2.已知一组角对应相等，可以再找一组对应角相等，或再找角的两边对应成比例。 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在中，点分别在边上，且，求证：． 证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴． A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④① 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且，，分别与，相交于点，，若，则的面积一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·三模）下列命题中，真命题有（    ）个 ①两个含角的等腰三角形必相似； ②已知线段，点C是AB的黄金分割点，则； ③顺次连接一个四边形各边中点得到一个菱形，则这个四边形的对角线一定垂直； ④方程没有实数解． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． ►题型02 选择或添加条件使两个三角形相似 例题2．（2023·广东阳江·一模）如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，与相交于点 O，要使与相似，可添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·云南昆明·二模）如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件） 4．（2024·云南昆明·二模）如图，已知，添加一个条件使，你添加的条件是 ．(写出一个即可) ►题型03 利用相似三角形的性质进行求解 例题3．（2024·江西·模拟预测）将一把直尺与按如图所示的方式摆放，与直尺的一边重合，，分别与直尺的另一边交于点，．若点，，，分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为，则点C到边的距离为 ． 1.可以根据相似三角形的对应角相等来证明角相等或计算角度； 2.可以根据相似三角形的对应边成比例，求线段的长度或通过比例的性质证明线段相等； 1．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（   ） A．cm B． C． D． 2．（2024·吉林·模拟预测）如图，以点O为位似中心，作的位似图形．已知的面积为3，，则的面积为 ． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，已知，D是AB上一点，连接．若，则的长为 ． 4．（2024·云南·模拟预测）如图，，，则为 ． ►题型04 相似三角形的判定与性质综合 例题4．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 综合利用相似三角形的性质和判定进行解题时，一般先利用相似三角形的判定定理证明相似三角形，再利用相似三角形的性质求解线段或角的度数或证明线段（角）相等； 1．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，，为边上一动点（点除外），以为一边作正方形，连接，则；中，边上的高为；；当面积取最大值时，长为，以上结论正确的有 ．（写序号） 2．（2025·广东广州·一模）如图，在中，，，是边上一点，且，过点作交于点，交于点，过点作于点，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，交于点．记的面积为，四边形的面积为，的面积为，请判断下列结论中正确个数为（   ） ①；②是等腰三角形；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2025·广东广州·一模）如图，是的边上的两点，连接交于点的面积为，的面积为，四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（2025·湖南娄底·一模）如图1，在矩形中，，，点E是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，过点作，垂足为，连接，点是线段的中点，连接． ①求的最小值； ②当取最小值时，求线段的长． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点G是上的一点，且，于点E，，且交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 6．（2024·山东威海·中考真题）如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 10．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 11．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ． 12．（2024·山东济宁·中考真题）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． 13．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 14．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 15．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．    (1)求证：是的切线； (2)求的长． 16．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 能力提升 17．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 18．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 19．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、． (1)求证：； (2)探究与的关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 20．（2024·海南·中考真题）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值． $$第四章 三角形 第17讲 相似三角形（8~15分） （思维导图+3考点+2命题点9种题型（含7种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 比例线段的概念与性质 考点二 相似图形的概念与性质 考点三 相似三角形的性质与判定 04题型精研·考向洞悉 命题点一 比例线段的概念与性质 ►题型01 比例的性质 ►题型02 成比例线段 ►题型03 黄金分割 ►题型04 相似多边形的性质 ►题型05 平行线分线段成比例定理 命题点二 相似三角形的性质与判定 ►题型01 相似三角形的判定 ►题型02 选择或添加条件使两个三角形相似 ►题型03 利用相似三角形的性质进行求解 ►题型04 相似三角形的判定与性质综合 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 比例线段的概念与性质 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段； 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 10年2考 相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点.它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察.而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段.需要考生在复习的时候给予加倍的重视! 相似图形的概念与性质 1.通过具体实例认识图形的相似. 2.了解相似多边形和相似比. 近10年连续考查 相似三角形的性质与判定 1.了解相似三角形的判定定理. 2.了解相似三角形判定定理的证明. 3.了解相似三角形的性质定理. 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 比例线段的概念与性质 1.线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比． 2.比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项， 【补充】当比的内项相等时，即或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项. 【解题思路】 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成. 3.比例的性质： （1）基本性质： （2）变形： 核心内容： （3）合、分比性质： 【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： （4）等比性质：如果， 那么. 【补充】根据等比的性质可推出，如果，则. （5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 【注意】① (叫做黄金分割值). 简记为： ②一条线段的黄金分割点有两个. 【扩展】作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： ①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. ②连接AD，在DA上截取DE=DB. ③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. （6）平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. ①已知l3∥l4∥l5, 可得等 ①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况： 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 1. 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 2. 通常四条线段a、b、c、d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另外一个单位也可以. 考点二 相似图形的概念与性质 相似多边形的的概念： 若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形的性质： 1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 考点三 相似三角形的性质与判定 1.相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. 2.相似三角形的判定方法： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． （2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 3.相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. （2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. （3）相似三角形周长的比等于相似比. （4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 4.判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： （1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； （2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； （3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； （4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 判断网格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 比例的性质 例题1．（2024·安徽安庆·二模）已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，，，结合求出的值即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【解析】解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，． 1.基本性质： 2.合、分比性质： 3.比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立． 4.等比性质：如果， 那么. 5.根据等比的性质可推出，如果，则. 1．（2025·上海崇明·一模）如果，那么的值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了比例的性质．由得到，代入即可求出答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 2．（2024·广东深圳·一模）已知，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，用分别表示的值是解题的关键．设比值为，利用比例的性质得到，故，求出的值即可得到答案． 【解析】解：设， 故， 故， ， ， 故答案为：． 3．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，由已知代数式可以用设比值为一个参数的方法求解． 设，可得，，，代入求解即可． 【解析】设，则， ． 故答案为：6 4．（2024·江西九江·模拟预测）已知，则（其中）的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 设，则，代入原式化简计算即可． 【解析】解：∵， ∴ 设， 则， ∴， 故答案为：． ►题型02 成比例线段 例题2．（2024·江苏扬州·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例中项，根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【解析】解：设a，b的比例中项线段为， ∵线段，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴a，b的比例中项线段等于， 故答案为：． 1．（2024·江苏南通·一模）如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，延长与交于点，设正方形边长为，由，得到等边，由平行线截线段成比例得到，，的长度，在中，应用勾股定理，即可求解， 本题考查了，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，得到等边． 【解析】解：过点作，垂足为，延长与交于点，连接， 设正方形边长为， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴平行于， ∴，，，， 在中，，即：，解得：，（舍）， 故选：D． 2．（2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且，，，那么d的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质求d的值． 【解析】解：根据题意得， 即， 解得． 故选：D． 3．（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【解析】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 4．（2024·浙江宁波·二模）已知两条线段的长度、满足 ，且，若另一线段长度是、的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，比例中项，熟练掌握解二元一次方程组的方法和比例中项的定义是解题的关键．由题给出了关于、满足的二元一次方程组，可以解得，由比例中项的定义即可求解． 【解析】解：根据题意得， 解得：， ∵是、的比例中项，∴，∴， 故答案为：． ►题型03 黄金分割 例题3．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键．设，则，由得，解方程求出的长，同理求出的长，进而可求出点C，D之间的距离． 【解析】解：设，则， ， ， 解得（舍）， ， 同理可求， ， ∴， ∴． 故答案为：． 1.黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 3. (叫做黄金分割值). 简记为： 4.一条线段的黄金分割点有两个. 1．（2024·湖南·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点及黄金分割比，涉及无理数的估算，理解题意，根据黄金分割点及分割比的定义列式求出，再由无理数的估算即可得到答案，理解题意，准确列式求出是解决问题的关键． 【解析】解：是线段的黄金分割点， 如图所示： ， ， ， ， ，则， 故选：B． 2．（2024·广东·模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的意义，无理数的估算．先估算得出，据此求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 3．（2024·安徽合肥·三模）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【解析】解：∵，支撑点是靠近点的一个黄金分割点， ∴， 故选：C． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义分别求出，，再根据线段的和差关系进行计算即可解答． 【解析】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点D是靠近点A的黄金分割点，， ∴ ∴， ∴支撑点C，D之间的距离为， 故答案为：． ►题型04 相似多边形的性质 例题4．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，设，由折叠的性质可得到，利用矩形的性质得到，最后利用相似多边形的性质计算即可求解，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【解析】解：设， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 1.相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 2.相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 1．（2024·云南昆明·模拟预测）如图与关于点A 成位似图形，若他们的位似比为，则与的面积比为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到与相似，根据相似多边形的性质计算，得到答案． 【解析】解：∵与关于点A 成位似图形，他们的位似比为， ∴与相似，他们的相似比为， ∴与的面积比为， 故选：A． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为，则（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的性质，解分式方程的运用，根据相似的性质“对应边成比例”即可求解． 【解析】解：根据题意，大矩形的长为：（），宽为：， ∵大矩形与原矩形画相似， ∴或， 解得，或（不符合题意，舍去）， 检验，当时，原分式方程的分母不为0，有意义， ∴， 故选：A ． 3．（2024·重庆渝北·模拟预测）我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸沿对开后，再把矩形纸沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】该题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质． 根据矩形与矩形相似，且矩形的面积是矩形面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得； 【解析】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ， ， 故选：C． 4．（2024·浙江·一模）如图，矩形矩形，连接、、，要求出的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（    ） A．矩形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形对应边成比例是解题关键．根据矩形相似，得出，再结合三角形面积公式，即可得到答案． 【解析】解：矩形矩形， ， ， ， 知道的面积，即可求出的面积， 故选：D． ►题型05 平行线分线段成比例定理 例题5．（2025·广东佛山·一模）如图是王先生家的菜团，图2是该菜谱的示意图，该菜谱可看作矩形，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，．已知菱形的面积为6，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】5 【分析】连接交于点，设交于点，交于点，连接，先证明四边形是矩形，得到，，证明，推出四边形为平行四边形，推出三点共线，且，再证明，得到，证明四边形，四边形均为平行四边形，得到，平行线分线段成比例，推出，根据菱形的面积分别求出四边形和的面积，分割法求出阴影部分的面积即可． 【解析】解：连接交于点，设交于点，交于点，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴三点共线，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的面积为6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：5． 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 2.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 1．（2025·上海徐汇·一模）如图，，且和之间的距离是和之间的距离是的三个顶点分别在上，与交于点，如果，那么的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，过点作，，交于点，根据平行线分线段成比例，得到，证明，求出的长，勾股定理求出的长，锐角三角形函数求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【解析】解：过点作，，交于点，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：5． 2．（2024·四川成都·一模）如图，，则的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．根据平行线分线段成比例，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：18． 3．（2022·内蒙古兴安盟·一模）如图，，点在射线上，且，过点作交射线于点，在射线上截取，使得；过点作交射线于点，在射线上截取，使得；；按照此规律进行下去，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理、规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法．解直角三角形求出，，，，探究出规律利用规律即可解决问题． 【解析】解：在中， ，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， 由此规律可知， 故答案为：． 4．（2024·浙江温州·一模）如图，在四边形中，．点E在线段上，交于点F，交于点G，交于点H，连结． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的值． (3)若E为的中点，，求的长． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，由，可得，则，证明，则，进而可证； （2）证明，则，证明，则，可得，可求，证明，，则，计算求解即可； （3）由（1）知，，由E为的中点，可得，由（1）可知，则，即，计算求解即可． 【解析】（1）解：，理由如下； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）知，， ∵E为的中点， ∴， 由（1）可知， ∴，即， 解得，， ∴的长为6． 命题点二 相似三角形的性质与判定 ►题型01 相似三角形的判定 例题1．（2023·广西南宁·二模）如图，为边长等于8的等边三角形，点是边上的一个动点（不与点、重合），，，垂足分别是、． (1)求证：； (2)若，四边形面积为S，求出S与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)已知A，D，F、E四点在同一圆上，若，求此圆半径． 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定，解直角三角形，列二次函数关系式等，解题的关键是： （1）证明两组对角相等即可； （2）通过解，求出，，则； （3）连接，利用圆周角定理得出，则，设，则，，，利用三角形的边长求出a的值，即可求解． 【解析】（1）证明：为边长等于4的等边三角形， ， ，， ， ； （2）解：为边长等于4的等边三角形，， ， 在中，，， ，， ， 同理， ， ， 点F是BC边上的一个动点， ， ． （3）解∶连接， A，D，F、E四点在同一圆上， ， 又 ， 又， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ，， 圆半径为． 1.已知两组对应边成比例，可以找两边的夹角对应相等或再找第三组对应边成比例； 2.已知一组角对应相等，可以再找一组对应角相等，或再找角的两边对应成比例。 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在中，点分别在边上，且，求证：． 证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴． A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④① 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤； 【解析】证明：②， ④， ①又， ③， ． 故选：B． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且，，分别与，相交于点，，若，则的面积一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，过作于，设，设，，，由，得，，再证，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边性质，得，，，，，进而利用面积公式即可得解． 【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，过作于，设，设，，，    ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边性质， ∴，，，， ∴， ∵于，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即，． ∵， ∴， ∴． 故选B． 3．（2024·广东深圳·三模）下列命题中，真命题有（    ）个 ①两个含角的等腰三角形必相似； ②已知线段，点C是AB的黄金分割点，则； ③顺次连接一个四边形各边中点得到一个菱形，则这个四边形的对角线一定垂直； ④方程没有实数解． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理．角可以是等腰三角形的顶角或底角，可判断①是假命题；由黄金分割相关概念可判断②是真命题；根据三角形中位线定理及菱形的性质可判断③是假命题；求出，可判断④是真命题；从而可得答案． 【解析】解：角可以是等腰三角形的顶角或底角， 两个含角的等腰三角形不一定相似，故①是假命题； 线段，点是的黄金分割点， ，故②是真命题； 顺次连接一个四边形各边中点得到一个菱形，则这个四边形的对角线一定相等；故③是假命题； 方程的判别式， 方程没有实数解，故④是真命题； 正确的有2个； 故选：C． 4．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【解析】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． ►题型02 选择或添加条件使两个三角形相似 例题2．（2023·广东阳江·一模）如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解析】解：A、根据，，并不满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，不能判断，故本选项符合题意； B、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意； C、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意； D、因为，，满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，，故本选项不符合题意． 故选：A． 1．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【解析】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，与相交于点 O，要使与相似，可添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法，进行判断即可． 【解析】解：（对顶角相等）， A、当时，则与相似，符合题意； B、当时，无法证明与相似，不符合题意； C、当时，无法证明与相似，不符合题意； D、，无法证明与相似，不符合题意； 故选：A． 3．（2024·云南昆明·二模）如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件） 【答案】或或 【分析】 由是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使，可添加：或或等． 此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，答案不唯一．注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题的关键． 【解析】 解：是公共角， 要使，可添加：或或等． 故答案为：如或或等（此题答案不唯一）． 4．（2024·云南昆明·二模）如图，已知，添加一个条件使，你添加的条件是 ．(写出一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，利用相似三角形的判定方法即可解答本题，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决此题的关键． 【解析】∵， ∴， ∴， ∴当，或时，， 故答案为：（答案不唯一）． ►题型03 利用相似三角形的性质进行求解 例题3．（2024·江西·模拟预测）将一把直尺与按如图所示的方式摆放，与直尺的一边重合，，分别与直尺的另一边交于点，．若点，，，分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为，则点C到边的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了点到直线的距离，相似三角形的判定和性质，证，可得，已知点，，，分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，可得、的长，即得的值，设，则，可得的长，即得点到边的距离，关键是掌握相似三角形对应边成比例． 【解析】解：过作，交于点，交于点， ， 由题意得，，， ，， ，， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， ． 故答案为：2． 1.可以根据相似三角形的对应角相等来证明角相等或计算角度； 2.可以根据相似三角形的对应边成比例，求线段的长度或通过比例的性质证明线段相等； 1．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（   ） A．cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．连接，，过点作于点，于点，先判定，即可得对应高比之比等于相似比，即可得，即可求解． 【解析】解：如图，连接，，过点作于点，于点，    由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∴相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故选：C． 2．（2024·吉林·模拟预测）如图，以点O为位似中心，作的位似图形．已知的面积为3，，则的面积为 ． 【答案】27 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出面积比与相似比的关系是解题关键． 直接利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，进而得出答案． 【解析】解：由题意，，， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为：27． 故答案为：27． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，已知，D是AB上一点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【解析】解：∵， ∴可设， ∵， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴ 故答案为：． 4．（2024·云南·模拟预测）如图，，，则为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方，可得，从而可得答案． 【解析】， ， 相似比为，即， ， ； 故答案为：3． ►题型04 相似三角形的判定与性质综合 例题4．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，关键是掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据角平分线定义、直角三角形的性质及平角定义求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． （2）先用勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的对应边成比例，即可求解． 【解析】（1）证明：是的平分线， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ， ，即， ． 综合利用相似三角形的性质和判定进行解题时，一般先利用相似三角形的判定定理证明相似三角形，再利用相似三角形的性质求解线段或角的度数或证明线段（角）相等； 1．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，，为边上一动点（点除外），以为一边作正方形，连接，则；中，边上的高为；；当面积取最大值时，长为，以上结论正确的有 ．（写序号） 【答案】 【分析】过作于点，分别过作，交延长线于点，由等腰三角形的性质和勾股定理，解直角三角形，等面积可判断，过作于点，连接，当点与点重合时，即三点共线时，由为中点，则，可判断，证明则，求出，，设，则，再证明，所以，故，然后由二次函数的性质即可判断． 【解析】解：过作于点，分别过作，交延长线于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故正确； 如图，过作于点，连接，当点与点重合时，即三点共线时， ∵为中点， ∴， ∴，故不一定正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，即时，面积取最大值， 此时，故正确； 综上可知：正确， 故答案为：． 2．（2025·广东广州·一模）如图，在中，，，是边上一点，且，过点作交于点，交于点，过点作于点，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，交于点．记的面积为，四边形的面积为，的面积为，请判断下列结论中正确个数为（   ） ①；②是等腰三角形；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．由作图知，是线段的垂直平分线，从而判断结论①；利用等角的余角相等求得，再利用三角形的外角性质，证明，利用等角对等边判断结论②；证明，利用相似三角形的性质，结合等量代换，从而判断结论③；证明，利用全等三角形的性质判断结论④． 【解析】解：由作图知，是线段的垂直平分线， ∴，，， ∵， ∴，结论①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，结论②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，显然， ∴，结论③错误； ∵，，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴，结论④错误； 故选：C． 3．（2025·广东广州·一模）如图，是的边上的两点，连接交于点的面积为，的面积为，四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题为相似三角形和平行四边形的综合题，利用平移的性质做出辅助线是解题的关键．将向左平移，使边与边重合，已知，且，根据相似三角形的性质可得，从而得，继而得，所以，再由的面积为，可得，再求得，由即可得图中阴影部分的面积． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 如图，将沿向左平移，使边与边重合，、、的对应点为，则 ∵的面积为，的面积为， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2025·湖南娄底·一模）如图1，在矩形中，，，点E是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，过点作，垂足为，连接，点是线段的中点，连接． ①求的最小值； ②当取最小值时，求线段的长． 【分析】（1）证明出即可求解； （2）①连接，先证明．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中利用勾股定理即可求出，则问题得解． ②过点M作交于点N，即有，进而有．设，则，．再根据，得到，得到，则有，解方程即可求出． 【解析】（1）证明：如图1， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①解：如图2-1，连接AM． ∵， ∴是直角二角形． ∵点是线段的中点， ∴． 当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：， 当A，G，M三点共线时，． 此时，取最小值．在中，． ∴的最小值为5． ②如图2-2，过点M作交于点N， ∴． ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， 由①知的最小值为5、即， 又∵， ∴． ∴，解得， 经检验，是分式方程的解， 即． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点G是上的一点，且，于点E，，且交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形性质可求出的长，进而求出的长，证，利用相似三角形对应边成比例可求得、的长，证，得，根据线段的和差求得的长即可． 【解析】解：四边形是正方形，， ，，， ， ， ， 在中，， 则由勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ，， 又， ， 又，， ， ， ， ， 故选：A． 2．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【解析】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键． 过点E作，则，设，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值． 【解析】过点E作，则， ∴， ∴ 设， ∵ ∴， ∴ ∴ 即，解得： 故选D 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可． 【解析】解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 过点作，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求得各角的度数，再逐一判断各项，即可求解． 【解析】解：∵，， ∴，， 由旋转的性质得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ①点B在旋转过程中经过的路径长是；①说法正确； ②∵，∴；②说法正确； ③∵， ∴， ∴；③说法正确； ④∵，， ∴， ∴．④说法正确； 综上，①②③④都是正确的， 故选：A． 6．（2024·山东威海·中考真题）如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A，根据题意可得四边形是的角平分线，进而判断四边形是菱形，证明可得则垂直平分，即可判断B选项，证明四边形是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上，则成立，据此，即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A. 若，即，又， ∴ ∴ ∴，故A选项正确， B. 若，，， ∴是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，故B选项正确， C. ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴，故C选项正确； D. 若，则四边形是菱形， 由，且时， 可得垂直平分， ∵ ∴，故D选项不正确 故选：D． 7．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【解析】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 8．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【解析】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 9．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 【答案】 【分析】设交与点E，过点作轴于点H．利用矩形的性质、折叠的性质和勾股定理等可求出，，，，，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，则可出求的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【解析】解：如图，设交与点E，过点作轴于点H． 四边形是矩形，，， ，，， 点是的中点， ． 在中， ，， ， 矩形沿直线折叠， ，，， ，， ，即， 解得， ， ， ， ， ． ， ． 又， ， ，即， 解得，， ， 点的坐标为， ． 故答案为：． 10．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【解析】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 11．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 易得，则，得出，代入数据即可求出；根据，得出，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出 关于的函数表达式． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∵， ∴，即， 整理得：， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， 故答案为：2，． 12．（2024·山东济宁·中考真题）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含角的直角三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 根据等腰三角形的性质即可判断出①；过作于点，证出四边形为矩形，即可通过边的比值关系求出，即可求出判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行比较即可判断③；设，则，用含的式子分别表达出和的长度后即可判断④；判定出即可判断⑤． 【解析】解：∵，， ∴三角形为等腰直角三角形，， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 根据题意作图可得：，， 过作于点，则，如图所示： ∵是的角平分线，由三线合一可得：，即， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误； 设，则， ∵， ∴， ∴，即，，即， ∴，故④错误； ∵， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②⑤； 故答案为：①②⑤． 13．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定即可得到是平行四边形； （2）求得是等边三角形，得到，，证明，求得，作于点，在中，求得，据此求解即可． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点， 在中，，， ∴， ∴． 14．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【解析】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2）连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 15．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．    (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是直径，是弦，且， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 16．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【解析】（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 能力提升 17．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【解析】（1）解：∵矩形中，， ∴，，， ∵点E在的中点 ∴， ∴，， ∵点B、E、F在同一直线上， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图：过B作交于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． （3）解：存在，的最小值，最大值． 如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则 设． ∵四边形和四边形都是矩形， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ， ∴在中，， 即，                 当时，y有最小值为．                      ， ∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值． 18．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数； （2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数； （3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到． 【解析】（1）解：由旋转的性质得． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：的大小不发生变化，，理由如下： 连接交于点O， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点C作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， 设， ∵， ∴， 如图所示，过点D作于G， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴, ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴或（舍去）； ∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合）， ∴，即， ∴， ∴． 19．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、． (1)求证：； (2)探究与的关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 【分析】（1）利用矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定解答即可； （2）利用证明，可得出，，结合三角形内角和与对顶角的性质可得出； （3）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质可求出，，的长度，证明，利用相似三角形的性质求出的长度，证明，得出，即可求解． 【解析】（1）证明∶∵四边形是矩形， ∴，，，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，理由： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵F是的中点， ∴，，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（2024·海南·中考真题）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值． 【分析】（1）利用即可证明； （2）①证明是等腰直角三角形，再推出四点共圆，求得，据此即可证明结论成立； ②由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，证明，根据相似三角形的性质即可求解； ③证明四边形是平行四边形，推出和都是等腰直角三角形，设，则，，由，得到，据此求解即可． 【解析】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）①证明：连接，    由（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上； ②，理由如下： 由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ③由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∴， 同理四点共圆，则， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， 设平行四边形的对角线的交点为，且， ∵是等腰直角三角形， ∴和都是等腰直角三角形， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． $$