第六章平面向量及其应用章末检测-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《第六章 平面向量及其应用》章末检测 (考试时长120分钟,共150分) 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.) 1.(2024 甘肃临夏高二月考)对于下列命题:①向量与平行,则与的方向相同或相反;②两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;③零向量是没有方向的;④有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为 ( ) A. B. C. D. 2.(2024 河南周口高二月考)已知在中, ,分别为,的中点, , ,则可以用含,的式子表示为 ( ) A. B. C. D. 3.(2024 福建莆田高二月考)已知向量和的夹角为,且,,则 ( ) A. B. C. D. 4.(2024 山东德州高三期中)已知向量,,若与平行,则 ( ) A. B. C. D. 5.(2024 黑龙江大庆高二开学考试)在中,角的对边分别为,若,,则的形状为 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 6.(2023 新课标 卷)已知向量,若,则 ( ) A. B. C. D. 7.(2024 浙东北联盟高一联考)在中,角的对边分别为,其面积,,则边长为 ( ) A. B. C. D. 8.(2024 贵州铜仁高二开学考试)在中,,,,为的中点,为上一点, 且,则 ( ) A. B. C. D. 二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.(2024 河北张家口高一期中)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为,,,则另一个顶点的坐标可以是 ( ) A. B. C. D. 10.(2024 广东珠海高一期中)已知点是的重心,则下列说法中正确的有 ( ) A. B. C. D. 11.(2024 吉林长春高一月考)中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”,即:以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.把以上文字写成公式,即(为三角形的面积,为三角形的三边).现有满足,且的面积,则下列结论正确的是 ( ) A.的周长为 B.的中线的长为 C.的三个内角满足 D.的外接圆半径为 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.(2024 山西朔州高一联考)如果一架飞机向西飞行,再向东飞行,记飞机飞行的路程为,位移为,那么 . 13.(2024 浙江绍兴高一期中)在中,角所对的边分别为,已知,,若有两解,则的取值范围是 . 14.(2024 河南直辖县级单位高一月考)如图,四边形是边长为的正方形,延长至,使得.动点从点出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点,.则的取值范围为 . 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(2024 上海高一课堂例题)化简下列向量线性运算: (1); (2); (3). 16.(2023 天津高考真题)在中,角所对的边分别是.已知. (1)求的值; (2)求的值; (3)求的值. 17.(2023 重庆万州高一月考)要航测某座山的海拔高度,如图,飞机的航线与山顶在同一个铅垂面内,已知飞机的飞行高度为海拔米,速度为,航测员先测得对山顶的俯角为,经过飞过点后又测得对山顶的俯角为. (1)求的长度;(结果带根号) (2)求山顶的海拔高度.(精确到) (可能要用到的数据:) 18.(2024 河南周口高一月考)已知平行四边形中,,,,点是线段的中点. (1)求的值; (2)若,且,求的值. 19.(2024 东北三省三校高三联考)如图,在平面内,四边形的对角线交点位于四边形内部,,,为正三角形,设. (1)求的取值范围; (2)当变化时,求四边形面积的最大值. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 《第六章 平面向量及其应用》章末检测 一、单选题 1.（2024·甘肃临夏高二月考）对于下列命题： ①向量与平行，则与的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③零向量是没有方向的； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线， 故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题； 对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题； 对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题； 对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题. 2.（2024·河南周口高二月考）已知在中， ，分别为，的中点， ， ，则可以用含，的式子表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，，，故， 故. 3．（2024·福建莆田高二月考）已知向量和的夹角为，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 4.（2024·山东德州高三期中）已知向量，，若与平行，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 由与平行可知，解得. 5.（2024·黑龙江大庆高二开学考试）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因为，由正弦定理可得. 因为，所以，所以，又， 所以或， 又因为，所以，故为等边三角形. 6.（2023·新课标Ⅰ卷）已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得． 7．（2024·浙东北联盟高一联考）在中，角的对边分别为，其面积，，则边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，又， 所以，即，因为为的内角，所以，又，所以. 由得， 即，所以，即， 所以，因此，故，即， 因为，所以. 8．（2024·贵州铜仁高二开学考试）在中，，，，为的中点，为上一点， 且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为的中点，所以， 又，所以， 因为三点共线，设， 即， 故，所以，解得， 则，两边平方得 ，故. 二、多选题 9．（2024·河北张家口高一期中）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则另一个顶点的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B、C、D 【解析】记点分别为，第个顶点为， 当线段为平行四边形对角线时，，则点，选项B符合题意； 当线段为平行四边形对角线时，，则点，选项D符合题意； 当线段为平行四边形对角线时，，则点，选项C符合题意. 10.（2024·广东珠海高一期中）已知点是的重心，则下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】A、B 【解析】记为中点，则为靠近点的三等分点， 因为，所以，A正确； 又，所以，B正确，C错误； 又，所以，故D错误. 11．（2024·吉林长春高一月考）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（ ） A．的周长为 B．的中线的长为 C．的三个内角满足 D．的外接圆半径为 【答案】A、C、D 【解析】由正弦定理可知， 设，， 所以 ， 解得，所以的周长为，故A正确； 由可知， 在中，， 在中，， 所以，故B错误； 在中，，又， 所以，所以，即，故C正确； 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 即，故D正确. 三、单空题 12.（2024·山西朔州高一联考）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么 . 【答案】 【解析】作表示向西飞行，表示向东飞行， 则，， 所以，所以.    13.（2024·浙江绍兴高一期中）在中，角所对的边分别为，已知，，若有两解，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】在中，由正弦定理得，即，所以. 因为中，所以. 当时，，此时只有一个解，不符合题意； 又有两解，则有两个值，故，所以， 综上可知，若有两解，则的取值范围是. 14.（2024·河南直辖县级单位高一月考）如图，四边形是边长为的正方形，延长至，使得．动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，．则的取值范围为 ．    【答案】 【解析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，∵正方形的边长为，则，    ， 因为 ． 当在线段上时，有且，∴，∴； 当在线段上时，有且，∴； 当在线段上时，有且，∴； 当在线段上时，有且，∴. 综上，的取值范围为. 四、解答题 15.（2024·上海高一课堂例题）化简下列向量线性运算： （1）； （2）； （3）． 【答案】见解析 【解析】（1）. （2）. （3）. 16．（2023·天津高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）由正弦定理可得，即，解得. （2）由余弦定理可得，即， 解得或（舍去）． （3）由正弦定理可得，即，解得，而， 所以都为锐角，因此，， ． 17.（2023·重庆万州高一月考）要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔米，速度为，航测员先测得对山顶的俯角为，经过飞过点后又测得对山顶的俯角为.    （1）求的长度；（结果带根号） （2）求山顶的海拔高度．（精确到） （可能要用到的数据：） 【答案】见解析 【解析】（1）因为飞机的速度为，经过飞过点， 所以， 在中， ， 由正弦定理可知 . （2）如下图所示：    过作，垂足为， 因为， 所以， 因此山顶的海拔高度为. 18.（2024·河南周口高一月考）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，， 则，，所以. （2），， 因为，所以，解得． 19.（2024·东北三省三校高三联考）如图，在平面内，四边形的对角线交点位于四边形内部，，，为正三角形，设.    （1）求的取值范围； （2）当变化时，求四边形面积的最大值. 【答案】见解析 【解析】（1）因为四边形的对角线交点位于四边形内部， 所以，又因为为正三角形，， 所以. 在中，由余弦定理得， 又因为，将，代入并整理得且，解得，所以的取值范围是. （2）在中，由余弦定理可得 ， 由（1）知，所以， 又因为为正三角形，所以， 又， 所以四边形的面积 ， 所以当，即时，且成立， 四边形的面积取得最大值，最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$