第20讲 圆的有关概念与性质（讲练）（思维导图+2考点+2命题点12种题型（含4种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第六章 圆 第20讲 圆的有关概念与性质（13~15分） （思维导图+2考点+2命题点12种题型（含4种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 圆的相关概念 考点二 圆的性质 04题型精研·考向洞悉 命题点一 圆的相关概念 ►题型01 圆的基本概念 ►题型02 求一点到圆上点距离的最值 ►题型03 圆周角的概念 命题点二 圆的性质 ►题型01 利用垂径定理求值 ►题型02 垂径定理的推论 ►题型03 垂径定理的实际应用 ►题型04 利用弧、弦、圆心角关系求解 ►题型05 利用弧、弦、圆心角关系求证 ►题型06 圆周角定理 ►题型07 同弧或等弧所对的圆周角相等 ►题型08 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ►题型09 90°的圆周角所对的弦是直径 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 圆的相关概念 ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念. ②了解等圆、等弧的概念. 10年7考 在中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上.在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在13-15分左右，属于中考中的中档考题. 所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三. 圆的性质 ①理解圆既是轴对称图形，也是中心对称图形. ②探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. ③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等. ④了解并证明圆周角定理及其推论. ⑤理解圆内接四边形的对角互补. 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 考点一 圆的相关概念 定义内容 补充说明 圆 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆.以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O. 由圆的定义可知，确定圆的两个条件 ①圆心，它确定圆的位置. ②半径，它确定圆的大小. 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形. 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦. ①在一个圆上可以画无数条弦和直径. ②直径是弦，但弦不一定是直径. ③直径是最长的弦. 直径 经过圆心的弦叫做直径. 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号：“”表示. 以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. ①半圆是弧,但弧不一定是半圆. ②弧有长度和度数,规定半圆的度数为 180°,劣弧的度数小于180°,优弧的度数大于 180°. 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧 大于半圆的弧叫做优弧. 劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧. 同圆 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆. ①在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧,度数或长度相等的弧不一定是等弧. ②同圆或等圆的半径相同. 等圆 半径相等的圆叫做等圆. 同心圆 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆. 弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可． 圆内接四边形 如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆. 考点二 圆的性质 1. 圆的对称性 内容 补充 圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所没有的性质. ②圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线. ③圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出. 圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 2. 垂径定理及推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 【易错点】求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧． 3. 弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等. 【解题思路】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化． 4. 圆周角定理 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 【补充】圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180° 【解题思路】 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化. （2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”. （3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角． （4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 5. 圆内接四边形 （1）圆内接四边形对角互补. （2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 1.在列代数式时要注意代数式的书写规则； 1.垂径定理模型（知二得三） 如图，可得①AB过圆心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④⑤ 【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足： （1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理. 2.常见辅助线做法（考点）： （1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； （2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 3.圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化. 4.圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化. 5.圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 圆的相关概念 ►题型01 圆的基本概念 例题1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知为的外接圆，，直径交于点E，若，则（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示，连接， ∵为的外接圆， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：A． 1．（2023·江苏宿迁·一模）如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（2022·安徽·三模）如图，是的直径，是弦，交于点，，则 °． 【答案】30 【解析】解：连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 3．（2024·河南南阳·模拟预测）如图，正方形的顶点、在上，顶点、在内，将正方形绕点顺时针旋转，使点落在上．若正方形的边长和的半径相等，则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：连接，，， ， 是等边三角形， ， 同理：是等边三角形，， ， 故答案为：． 4．（2024·江苏盐城·二模）如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，，连接并延长交于点E，若，则的最大值是 ． 【答案】8 【解析】解：如图，连接， ∴， 当O，D不重合时，在中，两边之和大于第三边， ∴． 又，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴当O，D重合时，如图，有， 故综上得：， 故答案为：8． ►题型02 求一点到圆上点距离的最值 例题2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等腰中，，，，点D在边上运动，将沿所在的直线翻折得到，连接，E是线段的中点，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵翻折，∴， 取的中点，连接，，过点作，则：， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点，为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当三点共线时，的值最大为；故选B． 瓜豆原理： 【条件】瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”)； ①有一个定点、两个动点，且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动； ②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角; ③两个动点到定点的距离的比值是定值. 【模型一】如图，点O是定点，点 A、B是动点，∠AOB=α且，如果A点的运动轨迹是直线，那么B点的运动轨迹也是直线. 【模型二】如图，点O是定点，点 A、B是动点，∠AOB=α且，如果A点的运动轨迹是圆，那么B点的运动轨迹也是圆. 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是的直径，弦是下半圆上一个动点，E为的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：连接. ∵ 为的中点, ， ∴点在以为直径的圆上运动. ， 是等边三角形， ， 取的中点， 则 的半径为, ∴的最小值为， 故选A． 2．（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】解：∵中，，，， ∴， 如图，连接， ∵以为直径作， ∴， ∴， ∴如图，动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∴当，，在同一直线上时，最小，， ∴，即的最小值， 故答案为：． 3．（2023·广西南宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【解析】解：连接，如图， 当时，，解得， ∴， ∵E是线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最大时，最大， 而当过圆心C时，最大，如图，点D运动到位置时，最大， ∵， ∴， ∴线段的最大值是． 故选：B． 4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，点C是上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，为的垂直平分线，，若半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，的最大值为 ． 【答案】 【解析】解：过点作交所在直线于点， ∵为的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， 设，则， 在中，， 故当最大时，最大， ∵， ∴时最大，即最大， 此时， 故答案为：． ►题型03 圆周角的概念 例题3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，是以O为圆心的半圆的直径，A是延长线上一点，过A点的直线交半圆于B，E两点，B在A，E之间，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 明确圆周角的概念要点（即顶点在圆上，角的两边与圆相交），要能准确找出圆周角； 1．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：所对的圆周角是与，故选：D． 2．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，A是外一点，切于点B，过圆心O，且交于点D．若，，则的长度为 ． 【答案】 【解析】解：连接， ， ， ， ， ， 切于点B， ， ， ， 解得：， ； 故答案：． 3．（2024·江西上饶·二模）如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，已知点和点，点是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点的坐标为 ． 【答案】，或 【解析】解：点和点，是的一条直径， ，，， ， 半径， 如图，作轴于点交于， ， 则，， ， ，， ， ； 作轴于，交于，则，， ， ，， ， ； 作交轴于，交于，则，， ， 作于，则， ，， ， ， ， ，， ，， ，， ； 综上所述，点的坐标为，或， 故答案为：，或． 4．（2024·北京西城·模拟预测）如图，已知点，点B、C分别是直线，上的动点，以为直径作，则周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】解：， ， 的周长为， 当取得最小值时，的周长最小． 为的直径， ， 点是直线上的动点，点是上的动点， 点的运动轨迹为． 过点作直线的对称点，可知点在直线上， 连接，交直线于点，连接，如图． 此时的最小值即为． 直线与直线相互平行，且， ， 点的坐标为 ∴ ∴周长的最小值为． 故答案为：． 命题点二 圆的性质 ►题型01 利用垂径定理求值 例题1．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，直径与弦交于点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【解析】（1）证明：连接并延长交于H点，如图， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴平分， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 垂径定理及其推论的应用上，通常是设出未知数，表示出半径、弦心距和弦长的一半，运用勾股定理列出方程进行求解。 1．（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：过点O作，如图所示， 由折叠性质可知， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，经过圆心， ∴， 故选：A． 2．（2024·四川广元·一模）如图，线段是的直径，于点 E， 若，则的长是（   ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【解析】解：如图，连接， 线段是的直径，于点E， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（2025·江西·模拟预测）如图，是上的点，，与交于点，，，，的半径为 ． 【答案】 【解析】解：连接，设交于点H，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵ ∴，即A是的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 故答案为：． 4．（2025·广东广州·一模）如图，都是的半径，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：都是的半径，， ， ， ， ， ， ， 故选：B ． ►题型02 垂径定理的推论 例题2．（2024·浙江宁波·二模）如图1，内接于，高经过圆心．若，的半径为5． (1)求的面积． (2)连接并延长，交于点，连接，且是的外角平分线，交延长线于点，如图2所示，求的长度． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴，， ∴， 过F作于H， ∵是的外角平分线，交延长线于点F， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，，，，则的面积是（      ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设的外接圆圆心为点O，作圆的直径，交圆于点G，连接，且与的交点为H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的内心，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的内心， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形， 过点B作于点M, 则， ∴， 故选D． 2．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，中，，，，为的外心，为的内心，延长交于点，连接，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：如图，过点作于点，于点，于点，连接，设与交于点，过点作于点， 在中， ，，， ， 点为的外心， 为外接圆半径，， ∴， 为的内心，设的半径为，，， ，， 四边形是正方形， ，，， ， ，解得， ，， 在中， ，， ， 为的内心， 平分， ， ， ∵ ， ， ，， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ． 3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上的点（不与A，B重合），D为弧中点，连接，，过点D作于点E，交延长线于F． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，，求的长． 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵D为弧中点，是半径， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是半圆O的切线； （2）解：如图，连接， 在中，由勾股定理得，， ∵是直径， ∴， ∵D为弧中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2024·天津红桥·一模）已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)如图①，若为的中点，求的大小； (2)如图②，连接与相交于点，求证：． 【解析】（1）解：连接，如图①， 与相切于点， ， ， 为的中点， ， ， 在中，， ， 点为的中点， ， ， ； （2）证明：连接，如图②， 点为的中点， ， ， ， 又， ， ， ， ． ►题型03 垂径定理的实际应用 例题3．（2025·河北沧州·一模）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影形组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 【解析】（1）解：如图，O为圆弧的圆心，连接与交于点D，连接．    在中，，，， ， 解得， 即这座桥的主拱桥的半径为； （2）解：设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （3）解：如图，水位上升到，连接，连接与交于点E．    在中，，， ， 解得， ，即甲桥此时的水面宽度为； 由，解得，， ∵， 乙桥此时的水面宽度为； （4）解：抛物线在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称． 平移后函数图象的对称轴是直线， 当或时，y的值随x值的增大而减小， 当时，y的值随x值的增大而减小， 结合函数图象，①当且时满足题意，解得； ②当时满足题意，解得（舍）． 综上所述，m的取值范围是， 所以,整数m的值为5，6，7，8 1．（2025·广西柳州·一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，，过圆心，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 2．（2024·广西贵港·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，直径长为6米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（   ） A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】解：连接，交于， 由题意得：米，，米， （米），， （米）， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（    ） A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米 【答案】D 【解析】解：如图，设圆心为点O，过点O作于点C，延长交圆O于点D和，连接， 由圆的性质可知，米，米，水面距管道底部的最大深度为的长， 设圆的半径为， 由垂径定理得：，， 在中，，即， 解得， 即水面距管道底部的最大深度为米， 故选：D． 4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，则赵州桥主桥拱的半径约为 m（结果保留整数）． 【答案】 【解析】解：如图， 由题意可知，，，点是的中点， 由垂径定理可知，，且， 设半径为，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 答：桥拱的半径约为． 故答案为：． ►题型04 利用弧、弦、圆心角关系求解 例题4．（2024·广东佛山·三模）石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用． 如图，拱桥的跨度，拱高，则半径为 ． 【答案】10 【解析】解：由题意可知，， ∴, 在中， ， ∴ ∴ 解得, 即半径为． 故答案为：10 1．（2024·浙江·三模）图1是欢乐谷游乐园门口遮阳伞落地支架，图2是其示意图．支架主体部分是一段圆弧，弧长占所在圆周长的三分之一，且所在圆的圆心恰好在支架顶端B的正下方．若点B离地高度为，则制作支架所需的钢管长度（即弧长）为 （结果保留）． 【答案】 【解析】解：如图所示，过点B作地面的垂线，垂足为C，设圆弧所在圆的圆心为O，连接， ∵支架主体部分是一段圆弧，弧长占所在圆周长的三分之一， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴制作支架所需的钢管长度（即弧长）为， 故答案为：． 2．（2024·云南昆明·一模）如图，是的直径，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·山东泰安·一模）如图，已知点在上，为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，为的直径，弦于点E，点F在圆上，且交于点G，则弦的长为 ，的长为 ． 【答案】 【解析】解：，，， ，， 连接，设，则， 在中，， 解得：， ，， 并延长交于H， ， ∴， ∴由垂径定理可知，， 是所对圆周角，是所对圆心角，且， ， ， ， ， ； 由勾股定理得：， ， ， ， ， ． ►题型05 利用弧、弦、圆心角关系求证 例题5．（2025·广西·模拟预测）如图，是的直径，点、在上．若，，则的度数是 ． 【答案】 【解析】如图所示， 连接， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（2024·吉林松原·二模）如图，在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，连接， ， ， ， ， 故选：C． 2．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【答案】A 【解析】解：如图，过作半径于，连接； 由垂径定理知：，； ； 在中，，则； ，即； 故选：A． 3．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，的直径垂直弦于点 E，F是圆上一点，D是的中点，连接 交 于点 G， 连接 ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【解析】（1）证明：∵是的中点， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵直径， ∴． 4．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：连接、， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴E、O都在的垂直平分线上， ∴ ►题型06 圆周角定理 例题6．（2024·四川广元·一模）如图是的直径，弦与相交于点E，与相切于点A，交的延长线于点F，，，． (1)求的度数； (2)求的长度； (3)判定四边形的形状，并证明你的结论． 【解析】（1）解：∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，由勾股定理得：， 即， ∴， ∴． （3）解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 1.同弧或等弧所对的圆周角相等； 2.同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半； 3.直径所对的圆周角为90°； 1．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【解析】解：连接、， 点A是的中点， ，设垂足为点， ， ， 和所对的弧都是， ， ，且， ， ， ， 在中，,，，， ， 是的直径， ， 故选D． 2．（2025·广东揭阳·一模）如图，为的直径，C，D为上的两个点，交于点E，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．（2025·陕西·模拟预测）如图，内接于，为的直径，交于点．若，则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：连接，则， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，，为的角分线，，，点E为内一点，，点F为边上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】作点D关于的对称点G，连接， ∴， ∴．当G、F、E三点共线时，得最小值． ， 作的外接圆O，连接交于点J，过点O作于点H． ∵， ∴， ∵为的角平分线，， ∴，． -在等腰中，， 作， ∴， 在中 ， ∴． ∵在中，， ∴， ∵， ，在中，，， ∴， 在中 ． 在中，，， ∴． ∵（为外接圆半径）， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． ►题型07 同弧或等弧所对的圆周角相等 例题7．（2024·安徽合肥·三模）如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，求的长． 【解析】（1）证明：， ， 平分， ， 又， ， 又， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （2）解：如图，连接，，，， ，， ， ， 又， 为的中点． 由（1）知，， 为的中点， 是的中位线， ． ， ， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∵是直径，是弦，于点E， ∴， ∴； 故选D． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，连接． ， ， ， ． 故选：． 3．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点是内一点，过点作，，，垂足分别为，，． （1）若点是的重心，则的长为 ； （2）连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】解：（1）如图，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， ∵点是的重心， ∴是上的中线，是边上的中线， ∴点是的中点，点是的中点， ∵，，， ∴即， 此时点与点重合，即， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接，，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形和四边形都是圆内接四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴为定值， ∴点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动， ∴当时，取得最小值，此时点、、共线，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 4．（2024·浙江金华·二模）如图，在扇形中，点为圆心，点在上，过点作于点，交弦于点，且，连接． （1）设，则 ．（用的代数式表示） （2）已知的长为，若为等腰三角形，则扇形的半径长为 ． 【答案】 或． 【解析】解：（1）连接，交于，则， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）由（1）可知，设，则， ， 当， ， ， ， ， ， ， ， ． 当时，同理可得. 故答案为：或． ►题型08 半圆（直径）所对的圆周角是直角 例题8．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，是的直径，圆上的点与点，分布在直线的两侧，，则 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（2025·陕西·一模）如图，是的直径，弦交于点E，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，连接． ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故选B． 2．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知钝角内接于，过点作交于点，若，则的半径为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【解析】解：连结并延长交于点，连结， 为直径， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 的半径为． 故选A． 3．（2025·陕西西安·一模）如图，为的直径，、为上的两点，若，则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接． ∵是直径， ∴．而， ∴． ∴． 故答案为：． 4．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ． 【答案】 【解析】解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型09 90°的圆周角所对的弦是直径 例题9．（2024·山东济宁·二模）如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ． 【答案】8 【解析】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，如图， 设与的交点为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：8． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，点E、F为正方形的边上两个动点，且，，于M，连，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】解：延长交的延长线于点H，如图， 在正方形中， ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ 即点M在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点O，连接交于点，则， 当三点共线时，，此时，值最小， 过点O作于点G，则， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴的最小值为 故答案为： 2．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 【答案】6或或 【解析】解：， 是的直径， ， ， ①当时， ， ②当时， ③当时， ， 综上所述，若为等腰三角形，线段的长度为6或或， 故答案为：6或或． 3．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形中，，点E是矩形内部一动点，且，已知的最小值等于2，则矩形的周长= ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， 点E在以为直径的半上运动， 如图， ∴当点O，E，D三点共线时，取最小值2， 设，则，，， 由勾股定理得，，即， 解得，． ∴， 矩形的周长， 故答案为：． 4．（2024·贵州·模拟预测）如图，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之停止运动，请求出点的运动路径长为 ． 【答案】 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，即， 连接，交于点，如下图， ∵点在运动中保持， ∴点的运动路径在以为直径的圆上， 又∵当点运动到点时，点到达点， ∴此时点与点重合，即点的运动路径为圆心角为的圆弧， ∴点的运动路径长为． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·安徽合肥·一模）如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若的半径为4，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵为的直径， 弦 ∴， ， ， 在中， 则， ， ， 故选： D． 2．（2023·浙江·模拟预测）如图，是的直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， ，， 的半径都相等， 那么， 不能得出． 故选B． 3．（2025·湖北十堰·一模）“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，． 已知，碗深，则的半径为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵D是的中点， ∴, ∴, ∵,， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴， ∴，解得：，即的半径为． 故选：A． 4．（2024·陕西西安·三模）如图，是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．（2024·河南南阳·模拟预测）如图，为的直径，、为上的点，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图，连接，，   ， ， ， ， ， ， 故选：A 6．（2025·陕西·模拟预测）如图，在半径为5的中，弦所对的圆心角分别是．若，则弦的长等于（    ） A．8 B．9 C．9.6 D．10 【答案】A 【解析】解：如解图，作直径，连接，则， ∵，而， ∴. ∴. ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴. 故选：A． 7．（2025·广东佛山·一模）如图，点、、、在上，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（2024·浙江温州·三模）如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：弦， ， 由圆周角可知，， ， ， ， ， 故选：A 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在直角三角形中，，．分别是、上两点，以为直径作圆与相切于点，且，，若，，则的长度为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】A 【解析】解:连接， ， ， 为的直径， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选A ． 10．（2024·河北·模拟预测）如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且为的中点，连接．若，对于结论I，Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论I：连接必得到等腰梯形； 结论Ⅱ：连接的最大值为8． A．I，Ⅱ都对 B．I，Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对 【答案】A 【解析】连接， 当，为对角线时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据对角线相等的梯形是等腰梯形，四边形为等腰梯形； 当，为边长时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据不相邻的两条边相等的梯形是等腰梯形，可得四边形为等腰梯形； 综上所述，结论I：连接必得到等腰梯形，正确； 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴，， ∴， ∴当在上时取得最大值，最大值为8．故结论Ⅱ正确； 综上所述，两个结论都正确； 故选：A． 11．（2024·新疆克孜勒苏·一模）如图，是的直径，弦于点M，若，，则直径的长为 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点M，若， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 12．（2024·吉林·二模）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点，连接，．若，则阴影部分图形周长的最小值为 （结果保留）． 【答案】 【解析】解：在上取，连接，，则与交于点F，连接，如图所示： ∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点与点E关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，阴影部分周长最小， ∵， ∴最小时，最小时，阴影部分周长最小， ∵两点之间线段最短， ∴当B、D、E三点共线时，最小，即阴影部分周长最小， ∴当点D在点F处时，最小，且最小值为， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴阴影部分周长最小值为． 故答案为：． 13．（2024·江苏徐州·三模）如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则 °． 【答案】56 【解析】解：连接，如图 是的直径 ，则 故答案为：56． 14．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知是等边三角形且内接于是 上的一点，作点关于直线 的对称点 ，连结.若的半径为， ，则 ． 【答案】 【解析】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 连结，过点B作于H，则， ∴， ∴， ∴， ∵点D和点E关于直线对称， ∴， 将绕点逆时针旋转至 ，连结． ∴， ∴为等边三角形， ∴ ，， ∴, 过点A作交的延长线于点G，则 ∴ ∴ ∴， 在中，， ∴ 故答案为： 15．（2025·陕西·模拟预测）如图，已知直线与相切于点，点是上一点，连接并延长，分别交于两点，连接，过点作，交于点，连接，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 【解析】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵的半径为5， ∴， 由（1）已得：，即， ∴（垂径定理）， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 16．（2025·安徽·模拟预测）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【解析】（1）证明：∵，是的半径， ∴，（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） ∴（同弧或等弧所对的圆周角相等）； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴（相似三角形对应边成比例）， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 即， ∴． 17．（2024·湖北·模拟预测）如图，在中，弦，相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，，若是的直径，，求的长． 【解析】（1）证明：， ， ， ； （2）解：如图，是的直径， ， ， ， ∴在中，由勾股定理得， ， 设，则， ∵， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得， ， ，， ， 在中由勾股定理得． 18．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，点在上，作，连接交于点，交于点，过点作的切线，交于点，当时； (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【解析】（1）解：连接， ∵与相切于点， ∴，即， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， 又∵， ∴， 在中 ，， ∴的半径为． 19．（2025·广东揭阳·一模）如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，为上一点，延长交于点，已知，为的切线． (1)求的度数； (2)过点作，垂足为，若，求． 【解析】（1）解：如图所示，连接， 设，，则， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴，则， 又∵是直径，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵是直径，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分，则， ∴是的中点， ∴， ∴，， ∵，，则， ∴， 如图所示，延长至使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 20．（2025·陕西·一模）如图，内接于，是的直径，过点B作的切线，交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【解析】（1）证明：连接． ， ． 与相切于点， ，则． 是的直径， ，则， ． （2）解：， ， ，即， ， ， 的半径是2． 能力提升 21．（2024·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦，连结，为上一点，，连结并延长交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求． (3)若，判断的值是否会改变，若会改变，请说明理由；若不会改变，则用含的代数式表示． 【解析】（1）证明：如图1，连接， ， ， 由同弧所对的圆周角相等得， 是的直径，且， ， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ； （2）解：∵， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ． （3）解：的值不会改变， 设，则， ， ， ， ∴， ， ， ． 22．（2024·广东东莞·一模）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求和的长． 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵是⊙O的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵是的直径，，， ∴， 在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为，的长为． 23．（2024·湖南长沙·一模）如图，锐角内接于，的平分线交于点，交于点，连接，，过点作的垂线交于点，点在上，连接，，若且． (1)求证：； (2)求的度数； 求证：； (3)如图，延长交于点，若且恰好等于，求线段的长． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（）得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）由（）得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（2025·广东广州·一模）如图，是的直径，是上的点，弦和交于点，且是的切线，，连结． (1)求证：； (2)求证：是的内心； (3)若，求直径的长． 【解析】（1）证明：， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图①，连结． 是的切线， ， ， ． 又在中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是的直径， ， ， ，即平分． 由（1）得：， 设， ， ， ，即平分． 是的内心． （3）解法一：如图②，过点作于点，过点作交的延长线于点． 平分， ． 由（2）得， ， ， ． 在和中，， ． ． ， 四边形是正方形． 在正方形中，， ， ， ． 在中，由勾股定理得． 直径的长为10． 解法二：如图③，将绕点逆时针旋转得到． 由（2）设， ， ， ． 由旋转的性质得， ， 三点共线． ， ． ． 在中，由勾股定理得． 直径的长为10． 25．（2024·河北·模拟预测）如图1，在，，点D是射线上一动点，连接，以为边在右侧作正方形，连接． (1)若G为的中点，连接，求的最小值； (2)当点D在线段上运动时． ①求的度数； ②连接交线段于点H，若，求的长； (3)如图2，当点D在线段的延长线上时，延长交于点M，连接．若，直接写出的值． 【解析】（1）解：取的中点， G为的中点，是的中点， ，， ， ， 四边形是正方形， ，， 在， ，， ， ， ， ， 当最小时，最小， 当时，最小， 在中，， 的最小值为； （2）①解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图3，当点E在下方时，设交于点K， 交于点L， ， ， 四点共圆， 四边形是正方形， 四点共圆， 五点共圆， ， ； 如图4， 当点E在上方时，设交于点O， ， 四点共圆， 四边形是正方形， 四点共圆， 五点共圆， ， ， 综上所述，当点D在线段上运动时，的度数为或； ② 交线段于点H， 点E在下方，如图5， 由①知， ， ， ， 在中， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图6，过点C作于点P， 过点E作于点Q，于点T， ， 在中，， ， ， ，， ， 由（2）①得，， ， 四边形是正方形， ， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 26．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，是的直径，点是圆上一点（不与，重合），的平分线交于点，交于点，过点作于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)如图，连接交于点． ①若，求的值； ②若，求的最大值． 【解析】（1）证明：∵是的平分线，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②连接，，作于点， ∵， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 要求的最大值，即求的最大值， 设，则， ∴， ∵， 当不重合时，， 当重合时，， ∴的最小值为1， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为1，即的最大值为1． $$第六章 圆 第20讲 圆的有关概念与性质（13~15分） （思维导图+2考点+2命题点12种题型（含4种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 圆的相关概念 考点二 圆的性质 04题型精研·考向洞悉 命题点一 圆的相关概念 ►题型01 圆的基本概念 ►题型02 求一点到圆上点距离的最值 ►题型03 圆周角的概念 命题点二 圆的性质 ►题型01 利用垂径定理求值 ►题型02 垂径定理的推论 ►题型03 垂径定理的实际应用 ►题型04 利用弧、弦、圆心角关系求解 ►题型05 利用弧、弦、圆心角关系求证 ►题型06 圆周角定理 ►题型07 同弧或等弧所对的圆周角相等 ►题型08 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ►题型09 90°的圆周角所对的弦是直径 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 圆的相关概念 ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念. ②了解等圆、等弧的概念. 10年7考 在中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上.在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在13-15分左右，属于中考中的中档考题. 所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三. 圆的性质 ①理解圆既是轴对称图形，也是中心对称图形. ②探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. ③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等. ④了解并证明圆周角定理及其推论. ⑤理解圆内接四边形的对角互补. 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 考点一 圆的相关概念 定义内容 补充说明 圆 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆.以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O. 由圆的定义可知，确定圆的两个条件 ①圆心，它确定圆的位置. ②半径，它确定圆的大小. 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形. 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦. ①在一个圆上可以画无数条弦和直径. ②直径是弦，但弦不一定是直径. ③直径是最长的弦. 直径 经过圆心的弦叫做直径. 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号：“”表示. 以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. ①半圆是弧,但弧不一定是半圆. ②弧有长度和度数,规定半圆的度数为 180°,劣弧的度数小于180°,优弧的度数大于 180°. 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧 大于半圆的弧叫做优弧. 劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧. 同圆 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆. ①在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧,度数或长度相等的弧不一定是等弧. ②同圆或等圆的半径相同. 等圆 半径相等的圆叫做等圆. 同心圆 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆. 弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可． 圆内接四边形 如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆. 考点二 圆的性质 1. 圆的对称性 内容 补充 圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所没有的性质. ②圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线. ③圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出. 圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 2. 垂径定理及推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 【易错点】求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧． 3. 弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等. 【解题思路】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化． 4. 圆周角定理 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 【补充】圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180° 【解题思路】 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化. （2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”. （3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角． （4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 5. 圆内接四边形 （1）圆内接四边形对角互补. （2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 1.在列代数式时要注意代数式的书写规则； 1.垂径定理模型（知二得三） 如图，可得①AB过圆心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④⑤ 【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足： （1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理. 2.常见辅助线做法（考点）： （1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； （2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 3.圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化. 4.圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化. 5.圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 圆的相关概念 ►题型01 圆的基本概念 例题1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知为的外接圆，，直径交于点E，若，则（  ）． A． B． C． D． 1．（2023·江苏宿迁·一模）如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 2．（2022·安徽·三模）如图，是的直径，是弦，交于点，，则 °． 3．（2024·河南南阳·模拟预测）如图，正方形的顶点、在上，顶点、在内，将正方形绕点顺时针旋转，使点落在上．若正方形的边长和的半径相等，则的度数为 ． 4．（2024·江苏盐城·二模）如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，，连接并延长交于点E，若，则的最大值是 ． ►题型02 求一点到圆上点距离的最值 例题2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等腰中，，，，点D在边上运动，将沿所在的直线翻折得到，连接，E是线段的中点，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 瓜豆原理： 【条件】瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”)； ①有一个定点、两个动点，且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动； ②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角; ③两个动点到定点的距离的比值是定值. 【模型一】如图，点O是定点，点 A、B是动点，∠AOB=α且，如果A点的运动轨迹是直线，那么B点的运动轨迹也是直线. 【模型二】如图，点O是定点，点 A、B是动点，∠AOB=α且，如果A点的运动轨迹是圆，那么B点的运动轨迹也是圆. 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是的直径，弦是下半圆上一个动点，E为的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 3．（2023·广西南宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，点C是上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，为的垂直平分线，，若半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，的最大值为 ． ►题型03 圆周角的概念 例题3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，是以O为圆心的半圆的直径，A是延长线上一点，过A点的直线交半圆于B，E两点，B在A，E之间，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 明确圆周角的概念要点（即顶点在圆上，角的两边与圆相交），要能准确找出圆周角； 1．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，A是外一点，切于点B，过圆心O，且交于点D．若，，则的长度为 ． 3．（2024·江西上饶·二模）如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，已知点和点，点是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点的坐标为 ． 4．（2024·北京西城·模拟预测）如图，已知点，点B、C分别是直线，上的动点，以为直径作，则周长的最小值为 ． 命题点二 圆的性质 ►题型01 利用垂径定理求值 例题1．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，直径与弦交于点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 垂径定理及其推论的应用上，通常是设出未知数，表示出半径、弦心距和弦长的一半，运用勾股定理列出方程进行求解。 1．（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川广元·一模）如图，线段是的直径，于点 E， 若，则的长是（   ） A．16 B．14 C．12 D．10 3．（2025·江西·模拟预测）如图，是上的点，，与交于点，，，，的半径为 ． 4．（2025·广东广州·一模）如图，都是的半径，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． ►题型02 垂径定理的推论 例题2．（2024·浙江宁波·二模）如图1，内接于，高经过圆心．若，的半径为5． (1)求的面积． (2)连接并延长，交于点，连接，且是的外角平分线，交延长线于点，如图2所示，求的长度． 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，，，，则的面积是（      ） A．10 B． C． D． 2．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，中，，，，为的外心，为的内心，延长交于点，连接，则的值为 ． 3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上的点（不与A，B重合），D为弧中点，连接，，过点D作于点E，交延长线于F． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，，求的长． 4．（2024·天津红桥·一模）已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)如图①，若为的中点，求的大小； (2)如图②，连接与相交于点，求证：． ►题型03 垂径定理的实际应用 例题3．（2025·河北沧州·一模）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影形组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 1．（2025·广西柳州·一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西贵港·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，直径长为6米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（   ） A．1米 B．2米 C．米 D．米 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（    ） A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米 4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，则赵州桥主桥拱的半径约为 m（结果保留整数）． ►题型04 利用弧、弦、圆心角关系求解 例题4．（2024·广东佛山·三模）石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用． 如图，拱桥的跨度，拱高，则半径为 ． 1．（2024·浙江·三模）图1是欢乐谷游乐园门口遮阳伞落地支架，图2是其示意图．支架主体部分是一段圆弧，弧长占所在圆周长的三分之一，且所在圆的圆心恰好在支架顶端B的正下方．若点B离地高度为，则制作支架所需的钢管长度（即弧长）为 （结果保留）． 2．（2024·云南昆明·一模）如图，是的直径，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东泰安·一模）如图，已知点在上，为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，为的直径，弦于点E，点F在圆上，且交于点G，则弦的长为 ，的长为 ． ►题型05 利用弧、弦、圆心角关系求证 例题5．（2025·广西·模拟预测）如图，是的直径，点、在上．若，，则的度数是 ． 1．（2024·吉林松原·二模）如图，在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 3．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，的直径垂直弦于点 E，F是圆上一点，D是的中点，连接 交 于点 G， 连接 ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． ►题型06 圆周角定理 例题6．（2024·四川广元·一模）如图是的直径，弦与相交于点E，与相切于点A，交的延长线于点F，，，． (1)求的度数； (2)求的长度； (3)判定四边形的形状，并证明你的结论． 1.同弧或等弧所对的圆周角相等； 2.同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半； 3.直径所对的圆周角为90°； 1．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 2．（2025·广东揭阳·一模）如图，为的直径，C，D为上的两个点，交于点E，已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西·模拟预测）如图，内接于，为的直径，交于点．若，则的度数为 ． 4．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，，为的角分线，，，点E为内一点，，点F为边上一动点，则的最小值为 ． ►题型07 同弧或等弧所对的圆周角相等 例题7．（2024·安徽合肥·三模）如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，求的长． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点是内一点，过点作，，，垂足分别为，，． （1）若点是的重心，则的长为 ； （2）连接，若，则的最小值为 ． 4．（2024·浙江金华·二模）如图，在扇形中，点为圆心，点在上，过点作于点，交弦于点，且，连接． （1）设，则 ．（用的代数式表示） （2）已知的长为，若为等腰三角形，则扇形的半径长为 ． ►题型08 半圆（直径）所对的圆周角是直角 例题8．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，是的直径，圆上的点与点，分布在直线的两侧，，则 ． 1．（2025·陕西·一模）如图，是的直径，弦交于点E，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知钝角内接于，过点作交于点，若，则的半径为（    ） A． B． C．6 D．8 3．（2025·陕西西安·一模）如图，为的直径，、为上的两点，若，则的度数为 ． 4．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ． ►题型09 90°的圆周角所对的弦是直径 例题9．（2024·山东济宁·二模）如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，点E、F为正方形的边上两个动点，且，，于M，连，则的最小值为 ． 2．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 3．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形中，，点E是矩形内部一动点，且，已知的最小值等于2，则矩形的周长= ． 4．（2024·贵州·模拟预测）如图，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之停止运动，请求出点的运动路径长为 ． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·安徽合肥·一模）如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若的半径为4，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江·模拟预测）如图，是的直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北十堰·一模）“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，． 已知，碗深，则的半径为（      ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·三模）如图，是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河南南阳·模拟预测）如图，为的直径，、为上的点，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西·模拟预测）如图，在半径为5的中，弦所对的圆心角分别是．若，则弦的长等于（    ） A．8 B．9 C．9.6 D．10 7．（2025·广东佛山·一模）如图，点、、、在上，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江温州·三模）如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． ， 由圆周角可知，， ， ， ， ， 故选：A 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在直角三角形中，，．分别是、上两点，以为直径作圆与相切于点，且，，若，，则的长度为（　　） A． B． C．5 D． 10．（2024·河北·模拟预测）如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且为的中点，连接．若，对于结论I，Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论I：连接必得到等腰梯形； 结论Ⅱ：连接的最大值为8． A．I，Ⅱ都对 B．I，Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对 11．（2024·新疆克孜勒苏·一模）如图，是的直径，弦于点M，若，，则直径的长为 ． 12．（2024·吉林·二模）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点，连接，．若，则阴影部分图形周长的最小值为 （结果保留）． 13．（2024·江苏徐州·三模）如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则 °． 14．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知是等边三角形且内接于是 上的一点，作点关于直线 的对称点 ，连结.若的半径为， ，则 ． 15．（2025·陕西·模拟预测）如图，已知直线与相切于点，点是上一点，连接并延长，分别交于两点，连接，过点作，交于点，连接，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 16．（2025·安徽·模拟预测）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 17．（2024·湖北·模拟预测）如图，在中，弦，相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，，若是的直径，，求的长． 18．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，点在上，作，连接交于点，交于点，过点作的切线，交于点，当时； (1)求证：； (2)若，，求的半径． 19．（2025·广东揭阳·一模）如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，为上一点，延长交于点，已知，为的切线． (1)求的度数； (2)过点作，垂足为，若，求． 20．（2025·陕西·一模）如图，内接于，是的直径，过点B作的切线，交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 能力提升 21．（2024·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦，连结，为上一点，，连结并延长交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求． (3)若，判断的值是否会改变，若会改变，请说明理由；若不会改变，则用含的代数式表示． 22．（2024·广东东莞·一模）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求和的长． 23．（2024·湖南长沙·一模）如图，锐角内接于，的平分线交于点，交于点，连接，，过点作的垂线交于点，点在上，连接，，若且． (1)求证：； (2)求的度数； 求证：； (3)如图，延长交于点，若且恰好等于，求线段的长． 24．（2025·广东广州·一模）如图，是的直径，是上的点，弦和交于点，且是的切线，，连结． (1)求证：； (2)求证：是的内心； (3)若，求直径的长． 25．（2024·河北·模拟预测）如图1，在，，点D是射线上一动点，连接，以为边在右侧作正方形，连接． (1)若G为的中点，连接，求的最小值； (2)当点D在线段上运动时． ①求的度数； ②连接交线段于点H，若，求的长； (3)如图2，当点D在线段的延长线上时，延长交于点M，连接．若，直接写出的值． 26．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，是的直径，点是圆上一点（不与，重合），的平分线交于点，交于点，过点作于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)如图，连接交于点． ①若，求的值； ②若，求的最大值． $$