精品解析：湖南省永州市蓝山县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

湖南省永州市蓝山县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 温馨提示： 本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 亲爱的同学，请你沉着应考、细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功! 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 3.1415 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，算术平方根，解决本题的关键是要熟练掌握无理数的定义． 无理数是无限不循环小数，主要有三种形式：含的数，开方开不尽的数，有规律但不循环的小数，据此求解即可． 【详解】解：A、3.1415是有限小数，不是无理数，故不符合题意； B、是无限不循环小数，是无理数，故符合题意； C、是分数，为有理数，故不符合题意； D、，是整数，为有理数，故不符合题意， 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根是 B. 8的立方根是 C. 没有立方根 D. 9的平方根是3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义进行选择即可． 【详解】A、的平方根是，故A正确； B、的立方根是2，故B错误； C、的立方根是，故C错误； D、的平方根是，故D错误； 故选：A． 3. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 或－2 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键； 根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零得且即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题查了积的乘方运算、幂的乘方以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用积的乘方运算、幂的乘方以及合并同类项法则分别化简得出答案． 【详解】A、，无法计算，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，正确． 故选D． 5. 2018年3月3日，新浪综合网报道：“中科院发明首个抗癌DNA纳米机器人，可精准阻断肿瘤血管饿死肿瘤!”．中国科学家团队研发出的这种可编程、基于 DNA 折纸技术的纳米机器人大小只有90×60×2nm，nm是长度计量单位，1nm=0.000000001米，则2nm用科学记数法表示为（　　） A. 2×109米 B. 20×10-8米 C. 2×10-9米 D. 2×10-8米 【答案】C 【解析】 【详解】分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 详解：0.000000001×2=2×10﹣9． 故选C． 点睛：本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6. 不等式3x﹣1＞x+3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：先移项，然后合并同类项再系数化1即可解得不等式，然后注意在数轴上表示时小于方向向左，包含，应用实心圆点表示． 【详解】3x﹣1＞x+3 移项得：2x>4 解得：x>2. 表示在数轴上，如图所示： 故选D. 【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示一元一次不等式的解集，表示解集时，包含要用实心点表示，不包含要用空心点表示，解题的关键是明确解不等式的方法和解集的表示方法． 7. 当是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是，据此解题． 【详解】二次根式在实数范围内有意义的条件是 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8. 如图，是等边三角形，BD是中线，延长BC至，使，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是等边三角形，得，由，得，则，所以，可判断A正确； 由是等边三角形的中线，得，而，则，可判断B正确； 由，得，可判断C正确； 由，根据垂线段最短得，所以，可判断D错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：A、是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故A正确，不符合题意； B、是等边三角形的中线， ，， ， 故B正确，不符合题意； C、， ， 故正确，不符合题意； D、， ， ， 故D错误，符合题意 故选：D． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、垂线段最短等知识，正确地求出的度数和的度数是解题的关键． 9. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形判定方法对各个选项依次分析，即可得到答案． 【详解】A、添加，不能判定，故A选项符合题意； B、添加，根据，能判定，故B选项不符合题意； C、添加，根据，能判定，故C选项不符合题意； D、添加时，根据，能判定，故D选项不符合题意； 故选：A． 10. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有（　　） A. ①③④⑤ B. ①②④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题是三角形全等的综合题，利用三角形全等逐个解决就可以. 【详解】解:①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上， ∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120° ∴△ACD≌△ECB∴AD=BE，故本选项正确； ②∵△ACD≌△ECB∴∠CBQ=∠CAP， 又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP， ∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形， ∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故本选项正确； ③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ， ∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确； ④已知△ABC、△DCE为正三角形，故∠DCE=∠BCA=60°,∠DCB=60°， 又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°,∠DPC＞60°， 故DP不等于DE，故本选项错误； ⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD=∠CBE， ∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB， ∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故本选项正确． 综上所述，正确的结论是①②③⑤． 故选C. 【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大． 二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 的绝对值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值是它本身求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. 已知，，，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除的逆运算把所求式子变形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除的逆运算，解题关键是结合已知把所求式子适当变形，用幂的运算求解． 13. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．根据分式有意义时，分母不等于零可得，即可求解． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故答案是：． 14. 等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况： 当腰为时，，所以不能构成三角形； 当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：． 故答案为：12． 15. 若，则代数式的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将括号内通分，将除法改写为乘法，各个分子分母因式分解，再进行计算，最后根据得出，即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根的定义，解题关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，得出，代入整式方程求解即可． 【详解】解：将分式方程化为整式方程为， 分式方程有增根， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 不等式组的解集是_____． 【答案】x＞2 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x＞2， ∴不等式组的解集为x＞2， 故答案为：x＞2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式公共解集的方法是解题的关键． 18. 如图，射线线段，垂足为B，，垂足为D，，，．点E为射线l上的一动点，当的周长最小时，_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则，，证明出、为等腰直角三角形，得出，当、、在同一直线上时，的周长最小，最后由三角形面积公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，， 则，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 的周长， 当、、在同一直线上时，的周长最小，， 当的周长最小时，， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，~22题每小题8分，第23，~24题每小题9分，第25，~26题每小题10分，共66分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂、负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、二次根式和绝对值，再计算加减法即可． 【详解】解： ． ． 20. 解下列分式方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 检验，当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 21. 解不等式组并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的整数解为0和1 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，并表示在数轴上，找到公共解集，再解出其中的整数解即可．本题考查解一元一次不等式组的整数解、将不等式组的解集表示在数轴上等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 在数轴上表示不等式①，②的解集： 所以不等式组的解集是， 不等式组的整数解为0和1 22. 如图，点A，F，C，D在同一直线上，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， 即， 在和中， ． 【解析】 【分析】先证明，再证明，最后证明全等即可． 本题考查了平行线的性质，等式性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 23. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化的计算，掌握分式的性质，分式的混合运算法则是关键，根据分式的性质，分式的混合运算法则化简，再代入求值即可 ． 【详解】解： ， 当时，原式． 24. 明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同． （1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元； （2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元；（2）学校有三种购买方案，方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台；方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台；方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台． 【解析】 【分析】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据题意列出方程求解即可； （2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，根据题意列出一元一次不等式组求解即可；再结合m为整数即可得出各种购买方案； 【详解】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元， 根据题意得： ＝ ， 解得：x＝0.3， 经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+0.2＝0.3+0.2＝0.5． 答：每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元． （2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台， 根据题意得： ， 解得：48≤m≤50． 又∵m为整数， ∴m可以取48，49，50． ∴学校有三种购买方案， 方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台； 方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台； 方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键； 25. 观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，． 利用以上结论解答以下问题： （1）________； （2）比较大小：________；（填“”“”或“”） （3）应用上面的结论，求下列式子的值：； （4）拓展提高，求下列式子的值：． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先把分母有理化，然后进行计算即可； （2）先把，写成，，然后比较，的大小，再根据同分子分数比较大小的方法进行比较即可； （3）各个小题均把各个加数的分母有理化，然后进行简便计算即可； （4）各个小题均把各个加数的分母有理化，然后进行简便计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 26. 如图1，点P、Q分别是等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M． （1）求证：； （2）当点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同， ∴， ∴； （2）不变化， （3）不变化， 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求证； （2）由（1）可知：，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：不变化，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 即点P、Q分别在、边上运动时，不变化； 【小问3详解】 解：不变化，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴ 即点P、Q继续运动时，不变化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省永州市蓝山县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 温馨提示： 本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 亲爱的同学，请你沉着应考、细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功! 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 3.1415 B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根是 B. 8的立方根是 C. 没有立方根 D. 9的平方根是3 3. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 或－2 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2018年3月3日，新浪综合网报道：“中科院发明首个抗癌DNA纳米机器人，可精准阻断肿瘤血管饿死肿瘤!”．中国科学家团队研发出的这种可编程、基于 DNA 折纸技术的纳米机器人大小只有90×60×2nm，nm是长度计量单位，1nm=0.000000001米，则2nm用科学记数法表示为（　　） A. 2×109米 B. 20×10-8米 C. 2×10-9米 D. 2×10-8米 6. 不等式3x﹣1＞x+3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 当是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是等边三角形，BD是中线，延长BC至，使，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有（　　） A. ①③④⑤ B. ①②④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④ 二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 的绝对值是______． 12. 已知，，，则__________． 13. 若分式有意义，则的取值范围是______． 14. 等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个等腰三角形的周长为______． 15. 若，则代数式的值为______． 16. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 17. 不等式组的解集是_____． 18. 如图，射线线段，垂足为B，，垂足为D，，，．点E为射线l上的一动点，当的周长最小时，_________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，~22题每小题8分，第23，~24题每小题9分，第25，~26题每小题10分，共66分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算：． 20. 解下列分式方程：． 21. 解不等式组并写出它的整数解． 22. 如图，点A，F，C，D在同一直线上，，．求证：． 23. 先化简再求值：，其中． 24. 明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同． （1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元； （2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？ 25. 观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，． 利用以上结论解答以下问题： （1）________； （2）比较大小：________；（填“”“”或“”） （3）应用上面的结论，求下列式子的值：； （4）拓展提高，求下列式子的值：． 26. 如图1，点P、Q分别是等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M． （1）求证：； （2）当点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $