第一章 集合与常用逻辑用语 章末检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

章末综合检测(一) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题﹁p为(　　) A．某班至多有一个男生爱踢足球 B．某班至少有一个男生不爱踢足球 C．某班所有的男生都不爱踢足球 D．某班所有的女生都爱踢足球 解析：选B.命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，即命题﹁p为“某班至少有一个男生不爱踢足球”． 2．设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 解析：选A.因为Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. 3．下列命题为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＞0 B．∃x∈R，x2＜0 C．∀x∈Q，x2－2≠0 D．∃x∈Q，x2－2＝0 解析：选C.当x＝0时，x2＝0，所以选项A是假命题；因为∀x∈R，x2≥0，所以不存在x∈R，x2＜0，因此选项B是假命题；由x2－2＝0可得x＝±，而±是无理数，所以选项C是真命题，选项D是假命题．故选C. 4．已知集合A中的元素x满足2x－a＞0，且1∉A，2∈A，则(　　) A．a＞4 B．a≤2 C．2＜a≤4 D．2≤a＜4 解析：选D.因为1∉A，所以2×1－a≤0，解得a≥2.又2∈A，所以2×2－a＞0，解得a＜4，所以2≤a＜4. 5．已知a，b∈R，则“a－2b＝0”是“＝2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.当a－2b＝0时，可能a＝b＝0，无法推出＝2，而当＝2时，隐含b≠0，两边同时乘以b，得到a＝2b.故“a－2b＝0”是“＝2”的必要不充分条件．故选B. 6．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M＝{1，3，6}，P＝{3，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{3} B．{1，4，5，6} C．{2，3，7，8} D．{2，7，8} 解析： 选C.因为M＝{1，3，6}，P＝{3，4，5}，所以M∩P＝{3}，M∪P＝{1，3，4，5，6}．因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁U(M∪P)＝{2，7，8}．由题中Venn图易知，Venn图中阴影部分表示的集合是[∁U(M∪P)]∪(M∩P)，故Venn图中阴影部分表示的集合是{2，3，7，8}． 7．已知p：x2＋x－6＝0和q：mx＋1＝0，m≠0，且p是q的必要条件，则实数m的值为(　　) A．－2或3 B．2或－3 C．－或－ D．－或 解析：选D.方法一：{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}．因为p是q的必要条件，所以{x|mx＋1＝0，m≠0}{2，－3}，得－＝2或－＝－3，解得m＝－或m＝.综上可知，m的值为 －或. 方法二(代入法)：{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，因为m≠0，当m＝－时，{x|mx＋1＝0}＝{2}；当m＝时，{x|mx＋1＝0}＝{－3}，均满足题意．故m＝－或m＝. 8．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1≤x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤1} B．{a|a＜1} C．{a|a≥2} D．{a|a＞2} 解析：选C.由题意得∁RB＝{x|x＜1，或x≥2}，因为A∪(∁RB)＝{x|x＜a}∪{x|x＜1，或x≥2}＝R，所以a≥2. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合A＝{1，2，3}，则下列表示方法正确的是(　　) A．∅⊆A B．{1，2}∈A C．A⊆N* D．1⊆A 解析：选AC.因为集合A＝{1，2，3}，则∅⊆A，即A正确；集合A中元素都是正整数，则A⊆N*，即C正确；“∈”只能表示元素与集合之间的关系，故B错误；“⊆”只能表示集合之间的关系，故D错误．故选AC. 10．已知M＝{x|a≤x≤a＋1}，则下列可作为“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题的充分不必要条件的是(　　) A．a＞－1 B．a＞0 C．a＞2 D．a≥－1 解析：选BC.因为M＝{x|a≤x≤a＋1}，所以由“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，可得a＋1>0，即a>－1.要找“∀x∈M，x＋1>0”是真命题的充分不必要条件，即找a＞－1对应集合的真子集，只有选项B，C符合． 11．若集合A具有性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A，则称集合A是“完美集”．下列说法正确的有(　　) A．集合B＝{－1，0，1}是“完美集” B．有理数集Q是“完美集” C．设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x＋y∈A D．设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A 解析：选BCD.选项A中，因为1∈B，－1∈B，1－(－1)＝2∉B，不满足性质②，所以A说法不正确； 选项B中，0∈Q，1∈Q，若x，y∈Q，则x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“完美集”，所以B说法正确； 选项C中，因为0∈A，x，y∈A，所以0－y＝－y∈A，所以x＋y＝x－(－y)∈A，所以C说法正确； 选项D中，任取x，y∈A，当x，y中有0或1时，xy∈A；当x，y中均不含0和1时，由性质②可知，∈A，所以－＝∈A，所以x(x－1)∈A，即x(x－1)＝x2－x∈A，即x2∈A，同理，y2∈A，由选项C知x＋y∈A，则(x＋y)2∈A，因为2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)，所以2xy∈A，所以∈A，所以＋＝∈A，所以xy∈A，所以D说法正确．故选BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a＝________． 解析：由题意可知解得a＝2. 答案：2 13．已知命题“∃x∈R，mx2－x＋1<0”是假命题，则实数m的取值范围是________． 解析：若命题“∃x∈R，mx2－x＋1<0”是假命题，则“∀x∈R，mx2－x＋1≥0”为真命题，显然m＝0时，不满足题意， 故只需满足解得m≥. 答案：{m|m≥} 14．已知集合A＝{x|－4≤x＜5}，B＝{x|a－3＜x＜a＋7}，全集U＝R.若B∪(∁UA)＝R，则实数a的取值范围是________． 解析：因为A＝{x|－4≤x＜5}， 所以∁UA＝{x|x＜－4，或x≥5}， 又B＝{x|a－3＜x＜a＋7}，B∪(∁UA)＝R， 所以解得－2≤a＜－1. 所以实数a的取值范围是{a|－2≤a＜－1}． 答案：{a|－2≤a＜－1} 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断其真假： (1)∀x∈Z，x2与3的和不等于0； (2)三角形的三个内角都为60°； (3)存在一个实数x，使＞2. 解：(1)是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0，假命题． (2)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题． (3)是存在量词命题，否定为：每一个实数x，都满足≤2，假命题． 16．(本小题满分15分)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|0＜x＋1≤4}，P＝{x|x≤0，或x≥5}．求： (1)A∩B； (2)(A∩B)∪(∁UP)． 解：(1)因为A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|0＜x＋1≤4}＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0，或x≥5}，将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示： 所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}． (2)(A∩B)∪(∁UP)＝{x|－1＜x＜2}∪{x|0＜x＜5}＝{x|－1＜x＜5}． 17．(本小题满分15分)若集合A中含有三个元素x，y，z，同时满足①x<y<z，②x＋y>z，③x＋y＋z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合Sn＝{1，2，3，…，2n}(n∈N*，n≥4)，对于集合Sn的非空子集B，若Sn中存在三个元素a，b，c，使得a＋b，b＋c，c＋a均属于B，则称集合B是集合Sn的“期待子集”． (1)判断集合A＝{1，2，3，5，7，9}是否具有性质P，并说明理由； (2)若集合B＝{3，4，m}具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”． 解：(1)集合A＝{1，2，3，5，7，9}不具有性质P，理由如下． 从集合A中任取三个元素x，y，z，当这三个元素均为奇数时，x＋y＋z为奇数，不满足条件③；当这三个元素中有一个为2，另外两个为奇数时，若x＝2，则x＋y≤z恒成立，不满足条件②；若y＝2，则由x<y<z，得x＝1，则z－x≥2，即z－x≥y，不满足条件②.综上，集合A＝{1，2，3，5，7，9}不具有性质P. (2)证明：根据题目中的定义得3＋4＋m是偶数，所以m是奇数．当m<3<4时，由m＋3>4，得1<m<3，即m＝2，矛盾，不符合题意．当3<4<m时，由3＋4>m，得4<m<7，所以m＝5.所以集合B＝{3，4，5}．令a＋b＝3，b＋c＝4，c＋a＝5，得a＝2，b＝1，c＝3，显然a，b，c∈S4＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以集合B是集合S4的“期待子集”． 18．(本小题满分17分)已知∀x∈R，关于x的不等式x2＋4x＋a≥0恒成立，此时实数a的取值集合为M. (1)求M； (2)已知非空集合N＝{x|m－1＜x＜3m}，若“∀x∈N，都有x∈∁RM成立”为真命题，求实数m的取值范围． 解：(1)因为关于x的不等式x2＋4x＋a≥0恒成立，所以Δ＝42－4a≤0， 可得M＝{a|a≥4}． (2)由(1)得∁RM＝{a|a＜4}，若“∀x∈N，都有x∈∁RM成立”为真命题，则N⊆∁RM， 因为N为非空集合，则 解得－＜m≤.所以实数m的取值范围为{m|－<m≤}． 19．(本小题满分17分)从给出的三个条件①a＝1；②a＝2；③a＝3中选出一个合适的条件，补充在下面问题中，并完成解答． 已知集合A＝{0，a＋2}，B＝{0，1，a2}． (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的值； (2)已知________，若集合C含有两个元素且满足C⊆(A∪B)，求集合C. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，当a＋2＝1，即a＝－1时，得B＝{0，1，1}，不符合题意；当a＋2＝a2时，解得a＝2或a＝－1(舍去)，此时A＝{0，4}，B＝{0，1，4}，满足题意．所以a＝2. (2)根据题意，若选择条件①，则B＝{0，1，1}，不符合题意，故可选择条件②或③. 若选择条件②，则A＝{0，4}，B＝{0，1，4}，所以A∪B＝{0，1，4}，所以C＝{0，1}或C＝{0，4}或C＝{1，4}． 若选择条件③，则A＝{0，5}，B＝{0，1，9}，所以A∪B＝{0，1，5，9}，所以C＝{0，1}或C＝{0，5}或C＝{0，9}或C＝{1，5}或C＝{1，9}或C＝{5，9}． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章末综合检测(一) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题﹁p为(　　) A．某班至多有一个男生爱踢足球 B．某班至少有一个男生不爱踢足球 C．某班所有的男生都不爱踢足球 D．某班所有的女生都爱踢足球 2．设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 3．下列命题为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＞0 B．∃x∈R，x2＜0 C．∀x∈Q，x2－2≠0 D．∃x∈Q，x2－2＝0 4．已知集合A中的元素x满足2x－a＞0，且1∉A，2∈A，则(　　) A．a＞4 B．a≤2 C．2＜a≤4 D．2≤a＜4 5．已知a，b∈R，则“a－2b＝0”是“＝2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M＝{1，3，6}，P＝{3，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{3} B．{1，4，5，6} C．{2，3，7，8} D．{2，7，8} 7．已知p：x2＋x－6＝0和q：mx＋1＝0，m≠0，且p是q的必要条件，则实数m的值为(　　) A．－2或3 B．2或－3 C．－或－ D．－或 8．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1≤x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤1} B．{a|a＜1} C．{a|a≥2} D．{a|a＞2} 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合A＝{1，2，3}，则下列表示方法正确的是(　　) A．∅⊆A B．{1，2}∈A C．A⊆N* D．1⊆A 10．已知M＝{x|a≤x≤a＋1}，则下列可作为“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题的充分不必要条件的是(　　) A．a＞－1 B．a＞0 C．a＞2 D．a≥－1 11．若集合A具有性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A，则称集合A是“完美集”．下列说法正确的有(　　) A．集合B＝{－1，0，1}是“完美集” B．有理数集Q是“完美集” C．设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x＋y∈A D．设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a＝________． 13．已知命题“∃x∈R，mx2－x＋1<0”是假命题，则实数m的取值范围是________． 14．已知集合A＝{x|－4≤x＜5}，B＝{x|a－3＜x＜a＋7}，全集U＝R.若B∪(∁UA)＝R，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断其真假： (1)∀x∈Z，x2与3的和不等于0； (2)三角形的三个内角都为60°； (3)存在一个实数x，使＞2. 16．(本小题满分15分)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|0＜x＋1≤4}，P＝{x|x≤0，或x≥5}．求： (1)A∩B； (2)(A∩B)∪(∁UP)． 17．(本小题满分15分)若集合A中含有三个元素x，y，z，同时满足①x<y<z，②x＋y>z，③x＋y＋z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合Sn＝{1，2，3，…，2n}(n∈N*，n≥4)，对于集合Sn的非空子集B，若Sn中存在三个元素a，b，c，使得a＋b，b＋c，c＋a均属于B，则称集合B是集合Sn的“期待子集”． (1)判断集合A＝{1，2，3，5，7，9}是否具有性质P，并说明理由； (2)若集合B＝{3，4，m}具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”． 18．(本小题满分17分)已知∀x∈R，关于x的不等式x2＋4x＋a≥0恒成立，此时实数a的取值集合为M. (1)求M； (2)已知非空集合N＝{x|m－1＜x＜3m}，若“∀x∈N，都有x∈∁RM成立”为真命题，求实数m的取值范围． 19．(本小题满分17分)从给出的三个条件①a＝1；②a＝2；③a＝3中选出一个合适的条件，补充在下面问题中，并完成解答． 已知集合A＝{0，a＋2}，B＝{0，1，a2}． (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的值； (2)已知________，若集合C含有两个元素且满足C⊆(A∪B)，求集合C. 学科网（北京）股份有限公司 $$