第一章 集合与常用逻辑用语 章末综合质量检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章《集合与常用逻辑用语》章末综合质量检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C B D A B C BC AD ABD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【解析】C ，，因此，. 2. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【解析】D 由题意可知，存在量词命题“，使得”的否定形式为全称量词命题“，使得”． 3. 已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 【解析】C 因为，，所以，故， 此时集合为，根据集合相等，必有，解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 4. 若命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】B 由题可知：：， 所以， 所以是的必要不充分条件. 5. 设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解析】D ，，又， 则，解得，故的取值范围是． 6. 已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】A 由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是. 7. 已知集合，，，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【解析】B ， ， ， . 8. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A. B. C. D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【解析】C 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数， 所以，又， 故，C正确； 对于D，若， 则， 若，则， 不妨设， 则， 所以，， 所以除以后余数相同， 所以属于同一“类” 所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，若，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【解析】BC 因为， 所以，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾. 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【解析】AD 选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 选项B，当时，，故B错误； 对C，由且能推出，充分性成立，故C错误； 对D，且，则由无法得到，但是由可以得到，故D正确. 11. 用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 【解析】ABD 对，有， 故，则或， 当时，由， 故，则有，即， 此时，符合要求； 当时，则，故， 对于，若，解得， ① 当时，，解得， 此时，符合要求； ② 当时，，解得， 此时，符合要求. 若，则有一根属于，另一根不属于， 当时，有，故不是的根， 当时，有，故不是的根， 故时，不合题意； 综上所述，实数的值可能为或． 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则__________． 【解析】；经检验满足题意. 13. 已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【解析】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 14. 设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________. 【解析】由题意，得 ，所以 . 由于 中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此时集合有共同元素1， 若 ，则 ，于是 ； 此时且 ，无正整数解； 若，集合有共同元素1和9，则， 所以 ，且，而， 所以， 当 时， ； 当 时， ； 因此满足条件的共有2个，分别为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值的集合． 【解析】（1）当时，，所以， ,； （2），， 则，解得：． 故实数取值的集合为. 16. 已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）由题意，，所以， 集合，所以或， 所以或， 所以或. 故实数m的取值范围为或. 17. 已知集合，且. （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. 18. （1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【解析】（1）①若，则，符合题意； 若，且集合A中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得， 综上，实数的所有取值可能为：； ②中有两个元素，意味着一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，则且 故的取值范围是； （2）.， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，， 若要，则或，解得或； 综上所述，实数的值是. 19. 已知集合为非空数集，定义：. （1）若集合，直接写出集合， （2）若集合，且，求证：； （3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【解析】（1）由，根据定义：， 所以. （2）由于集合，且， 所以也只有四个元素，即， 因为，， 所以，， 所以，即. （3）设，其中， 不妨设， 则， 所以， 因为， 又因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 所以， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设， 则，， 依题意有，解得， 故的最小值为，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. ( 第 1 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章《集合与常用逻辑用语》章末综合质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 4. 若命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6. 已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. 已知集合，，，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A. B. C. D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，若，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 11. 用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则__________． 13. 已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 14. 设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值的集合． 16. 已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 17. 已知集合，且. （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. （1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2） 已知集合，若，求实数的值. 19. 已知集合为非空数集，定义：. （1）若集合，直接写出集合， （2）若集合，且，求证：； （3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值. ( 第 1 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $