专题06 函数与导数重点难点题型归纳（14种考法）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

专题06 函数与导数重点难点题型归纳（14种考法） 题型一 切线型 1.求在某处的切线方程 2.求过某点的切线方程 3.已知切线方程求参数 题型二 单调型 1.主导函数需“二次求导”型 2.主导函数为“一次函数”型 3.主导函数为“二次函数”型 4.已知函数单调性，求参数范围 题型三 极值最值型 1.求函数的极值 2.求函数的最值 3.已知极值求参数 4.已知最值求参数 题型四 零点型 1.零点(交点，根)的个数问题 2.极值点偏移问题 题型五 恒成立与存在性问题 题型一 切线型 【解题技巧】 （1）已知函数，在点的切线方程； ① ② （2）已知函数，过点的切线方程 ①设切点 ②求斜率 ③利用两点求斜率 ④利用求出切点，再回带求出斜率，进而利用点斜式求切线。 1.求在某处的切线方程 1．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．函数，则函数在点处的切线方程为 . 2. 求过某点的切线方程 4．已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 5．已知函数，则曲线经过点的切线方程是 ． 6．已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 3.已知切线方程求参 7．已知函数在处的切线方程为，则 ． 8．已知函数在处的切线方程为，求 ． 9．已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A．2 B．1 C．-2 D．-5 10．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 题型二 单调型 1. 主导函数需“二次求导”型 11．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 12．若，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 13．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 14．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 15．曲线的单调增区间是（   ） A． B． C．和 D．和 2.主导函数为“一次函数”型 16．已知函数，则单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 17．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 18．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3.主导函数为“二次函数”型 19．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D．和 20．函数的单调递增区间是（    ） A．和 B． C． D． 21．函数在上的图象大致为（　　） A． B． C． D． 22．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 23．函数的递减区间为（    ） A． B． C． D． 4.已知函数单调性，求参数范围 24．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 26．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 28．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 极值最值型 1. 求函数的极值 31．函数 的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 32．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 33．函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 34．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 35．已知函数，则的极小值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 2. 求函数的最值 36．函数在上的最大值为（    ） A．0 B． C． D． 37．函数的最大值是（    ） A． B．0 C．2 D．3 38．函数，的最小值为（    ） A． B． C．9 D．16 39．函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3. 已知极值求参数 40．若函数存在极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 41．已知函数，当时，有极大值．则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 42．若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．已知在处的极大值为5，则（ ） A． B．6 C．或6 D．或2 44．若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 已知最值求参数 45．若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 46．已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 47．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 零点型 1. 零点(交点，根)的个数问题 49．已知函数的图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 52．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 2.极值点偏移问题 53．设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 54．设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 55．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：. 56．已知函数. (1)若在区间上单调递增，求a的取值范围; (2).当时，恒成立，求实数a的取值范围 57．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，对任意，有成立，求实数b的取值范围． 58．已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 题型五 恒成立与存在性问题 59．若不等式对任意正实数x恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 60．已知对恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 61．已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 62．设函数，若恒成立，求a的取值范围 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数与导数重点难点题型归纳（14种考法） 题型一 切线型 1.求在某处的切线方程 2.求过某点的切线方程 3.已知切线方程求参数 题型二 单调型 1.主导函数需“二次求导”型 2.主导函数为“一次函数”型 3.主导函数为“二次函数”型 4.已知函数单调性，求参数范围 题型三 极值最值型 1.求函数的极值 2.求函数的最值 3.已知极值求参数 4.已知最值求参数 题型四 零点型 1.零点(交点，根)的个数问题 2.极值点偏移问题 题型五 恒成立与存在性问题 题型一 切线型 【解题技巧】 （1）已知函数，在点的切线方程； ① ② （2）已知函数，过点的切线方程 ①设切点 ②求斜率 ③利用两点求斜率 ④利用求出切点，再回带求出斜率，进而利用点斜式求切线。 1.求在某处的切线方程 1．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导后将代入，求出斜率，再得到切点，运用点斜式即可. 【详解】求导得到, ，将代入原函数，得到，即切点； 将代入导函数，得到，即切线斜率．运用点斜式得到切线方程为，化简得到一般式. 故选：B. 2．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，对函数进行求导，得到，求出切线方程； 【详解】已知，函数定义域为， 可得， 此时， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 故选：B. 3．函数，则函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求出函数的导数以及的值，由函数导数的几何意义可得切线方程. 【详解】根据题意，， 则， 又因为， 所以由点斜式方程得， 化解得. 故答案为：. 2. 求过某点的切线方程 4．已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 【答案】 【分析】设切点坐标为，根据切线所过的点得到的方程，解出后可得所求的切线方程. 【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上， 所以 ，整理得到， 解得，所以切线方程为． 故答案为: . 5．已知函数，则曲线经过点的切线方程是 ． 【答案】或. 【分析】设切点，然后求导函数，进而得到该点处的切线方程，再代入点即可. 【详解】设切点为对求导得： ， 切线方程为：， 切线过， 解之：或1，所以斜率或， 又过， 代入点斜式得切线方程为：或， 故答案为：或. 6．已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解； （2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解. 【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． （2）由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 3.已知切线方程求参 7．已知函数在处的切线方程为，则 ． 【答案】14 【分析】由导数的几何意义知，在处，切线方程的斜率等于切点处的导函数值，和切点不仅在函数，还在切线方程上，即可求出，从而得到的值. 【详解】由导数的几何意义知，在处，切线方程的斜率等于切点处的导函数值， 可得， 又切点，在切线方程上，则， 因此，. 故答案为：14. 8．已知函数在处的切线方程为，求 ． 【答案】5 【分析】根据导数的几何意义求解，根据切点在曲线也在直线上求解． 【详解】因为函数在处的切线斜率为，又在处的切线方程为， 所以，因为函数在处的切点为，且切点也在切线上， 所以． . 故答案为：5 9．已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A．2 B．1 C．-2 D．-5 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义可求，切线过切点可求，可得结论. 【详解】因为函数在点处的切线方程为， 所以，且，所以. 故选：D. 10．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】由题意可得，， 故. 故选：B. 题型二 单调型 1. 主导函数需“二次求导”型 11．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出定义域以及导函数，利用导数与函数单调性的关系求解即可 【详解】由题意， 在中，， 当时，解得（舍）或， 当即时，函数单调递减， ∴的单调递减区间为. 故选：B. 12．若，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，令，求解再结合定义域即可． 【详解】由题可知，定义域为， ， 令得，所以的增区间为， 故选：B． 13．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过求导，令导函数大于，即可求解. 【详解】函数的定义域为， ， 令，即，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：. 14．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求定义域，再利用导数大于零可得增区间. 【详解】定义域为，，令得，即， 所以增区间为. 故选：B 15．曲线的单调增区间是（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】B 【分析】求函数的导函数，令，可求单调递增区间. 【详解】由，可得， 令，可得，因为，所以，则有， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 2.主导函数为“一次函数”型 16．已知函数，则单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为且， 令，解得，所以单调递增区间是. 故选：B 17．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数导数，令可得解. 【详解】因为， 所以令可得，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 18．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，根据导数与0的关系得出减区间. 【详解】函数的定义域为， ，令， 则单调递减区间为. 故选：B 3.主导函数为“二次函数”型 19．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】首先求函数的导数，求解的解集，即是函数的单调递减区间. 【详解】由题意得， 令，得，所以的单调递减区间为． 故选：A 20．函数的单调递增区间是（    ） A．和 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，令求解即可． 【详解】函数的定义域为， ， 令，可得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 21．函数在上的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质，判断函数图象的形状. 【详解】因为，所以， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD， 又，， 设，，则，. 所以在上为增函数，又， 所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B. 故选：A 22．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：D 23．函数的递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数与原函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】， 由， 所以函数的递减区间为， 故选：C 4.已知函数单调性，求参数范围 24．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数与函数单调性的关系列出关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围. 【详解】，则 由函数在区间上是增函数， 可得在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又由，可得，则 故选：D 25．函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据的单调递减区间为，而的定义域为，的一个极值点为1，利用即可得解，然后再代入验证是否满足题意即可. 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 26．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围. 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 27．已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以没有单调递增区间，不符合题意； 当时，单调递增，令，解得， 所以的单调递增区间为（或）， 依题意可得，解得. 故选：C 28．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得. 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 29．已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小值，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知，函数的定义域为，. 由在定义域内单调递减，所以在上恒成立， 即，可转化为在上恒成立，所以． 因为，所以，所以． 因此实数a的取值范围是． 故选：D． 【点睛】思路点睛：求出函数的导函数，然后根据函数的单调区间得到不等式恒成立的问题.分离参数或二次求导求出最值即可得出答案. 30．若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果. 【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ． 故选:B． 题型三 极值最值型 1. 求函数的极值 31．函数 的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】利用导函数直接求解单调区间，即可得到极小值. 【详解】由题知函数的定义域为， 则 . 令，得（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 32．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，则或，所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为． 故选：D． 33．函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 【答案】D 【分析】求导，令，，可求得极大值. 【详解】因为，令，得时；令，得， 所以当时，函数取得极大值． 故选：D. 34．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，再根据极大值与导数的关系即可得到答案. 【详解】，当时，， 当时，. 所以的极大值为. 故选：B. 35．已知函数，则的极小值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用导数求极值. 【详解】函数的定义域为.导函数. 令，解得：. 列表得： 1 - 0 + 单减 极小值-1 单增 所以的极小值为-1. 故选：B 2. 求函数的最值 36．函数在上的最大值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的性质判断函数的单调性，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】， 当时，有单调递增， 当时，有单调递减， 所以， 故选：C 37．函数的最大值是（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先求导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，最后求出最大值即可. 【详解】因为，所以， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值是． 故选:A． 38．函数，的最小值为（    ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【分析】利用求导判断函数在给定区间上的单调性，即得函数最小值. 【详解】由可得，，由解得，或， 因，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故时，. 故选：A. 39．函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】解法一：求出，令，根据的正负确定的单调性即可求解； 解法二：令，通过求导判断函数的单调性即可求解. 【详解】解法一：，则， 令，则在上单调递增， 且，， 故存在，使得，，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以. 解法二：，令， 则，因为， 所以时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， ，即. 故选：. 【点睛】关键点点睛：求导之后，的零点存在，但无法求出，可采用虚设零点，分析零点所在的区间，结合函数的单调性即可推断. 3. 已知极值求参数 40．若函数存在极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导后，对进行分类讨论，分、、以及四种情况讨论即可求解. 【详解】， ， 当时，二次函数开口向上，且， 此时，即恒成立， 所以在上单调递增，此时不存在极大值，故不满足题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故符合题意； 当时，或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 41．已知函数，当时，有极大值．则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据题中条件列出方程组，解出，，验证即可； 【详解】由题意得， 因为时，有极大值， 所以，解得，， 经检验，当，时，, 故当在上单调递减， 当在上单调递减， 故在时有极大值，符合题意，所以成立． 故选：B． 42．若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 因为函数有极值，所以在上有变号零点， 即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等）， 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 所以只需，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 43．已知在处的极大值为5，则（ ） A． B．6 C．或6 D．或2 【答案】B 【分析】求出函数的导数，利用极大值及极大值点求出并验证即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得或， 当时，， 当或时，，当时，，因此在处取得极小值，不符题意； 当时，， 当时，，当或时，，因此在处取得极大值，符合题意， 所以，所以. 故选：B 44．若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得在上有零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再验证是否满足即可. 【详解】的定义域为，， 要函数在上有极值， 则在上有零点，即在上有实数根. 令， 则，当且仅当时等号成立， 所以. 当时，，函数单调递增， 则函数在上没有极值， 故. 故选:D. 4. 已知最值求参数 45．若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行求导，并通过讨论 的取值范围，利用导数求出函数的最大值即可得解. 【详解】由题意得， 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取得极大值，也是最大值，为， 解得，不符合题意； 若，则当时，，且不恒为0， 故在上单调递减，，不符合题意； 若，则当时，，在上单调递减， ，解得，符合题意. 故选：D. 46．已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，解方程组可得的值，验证单调性记即可得的值. 【详解】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意， 所以. 故选：C. 47．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导数，判断单调性，结合函数图象，求出的范围即可． 【详解】求导，令，得． 易知函数在单调递增，在单调递减，且，，由图象知 故选：D. 48．已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得，得出函数的单调性，结合题意，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 要使得函数在区间上有最小值， 则满足，即， 因为，可得，即，解得， 所以，即实数的取值为. 故选：D. 题型四 零点型 1. 零点(交点，根)的个数问题 49．已知函数的图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为且图象有两个交点，利用导数研究的性质并画出函数图象草图，数形结合求参数范围. 【详解】由题，方程有两个实数根，即， 所以且图象有两个交点， 设，则，令，解得， 当在上单调递减， 当在上单调递增， 所以有极小值， 当时，且，当时，， 作出函数的大致图象， 故，解得. 故选：C 50．已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，分析可知，直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，可得， 令，则直线与函数的图象有三个交点， ，令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数的图象有三个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 51．已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果. 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示：    由函数图象可得. 故选：A. 52．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，可得，构建，若函数有三个不同的零点，即与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果. 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示： 由函数图象可得. 故答案为：. 2.极值点偏移问题 53．设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）（1）对求导数，分和两类情况讨论，得到函数的单调区间； （2）由（1）得a的取值范围，构造，证明不等式， 通过证明，证明. 【详解】（1）由，，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增； （2）①因为函数有两个零点，由（1）得， 此时的递增区间为，递减区间为，有极小值 当，，当，在上有一个零点， 当，，当，在上有一个零点， 所以由可得 ②证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设． 设，， 可得，， 所以在上单调递增，所以， 即，则，， 所以当时，，且． 因为当时，单调递增，所以，即 设，，则，则，即． 所以，． 设，则，所以在上单调递减， 所以，所以，即． 综上， 【点睛】方法点睛：构造，应用单调性证明不等式，再通过证明，证明即可. 54．设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数研究及的单调性后，由函数的最小值可分及进行讨论，结合零点的存在性定理可得时不符合要求； （3）结合极值点定义计算可得，结合函数单调性可得只需证，构造相应函数，结合导数证明其恒成立即可得. 【详解】（1）当时，，则，则， 又，则切线方程为，即； （2），令， 则，当时，有， 故在上单调递增，即在上单调递增， 则， 当时，，则在上单调递增， 有，满足要求； 当时，则，又， 则必存在，使，即， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则 ，令， 则， 则在上单调递减，则， 即，故此时不符合题意，故舍去， 综上所述，； （3）由（2）得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数存在两个极值点，则，即， 则有，要证，即证， 又，，在上单调递增， 即只需证，又， 即只需证， 令 ，， 则 ， 即在上恒成立，即在上单调递减， 则， 即，即得证. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到、的范围，从而结合函数单调性，将证明转化为证明，从而可构造相应函数，利用导数研究其单调性. 55．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，结合得到，即在内恒成立，所以在内单调递增； （2），求导，得到函数单调性，得到，构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到，两式结合得到答案. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， ， 令，可得，当时，即， ，可知在上恒成立， 即在上恒成立，所以在上单调递增. （2）当时，可得， ， 或 故在上单调递增，在上单调递减， 由题意可得：， 因为， 令， 则， 可知在上单调递增， 则，可得在上恒成立， 因为，则， 且在上单调递减 则，即； 令， 则 ， 可知在上单调递增，则， 可得在上恒成立， 因为，则， 且在上单调递增， 则，即； 由和可得. 【点睛】关键点点睛：构造两次差函数，解决极值点偏移问题，即构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到. 56．已知函数. (1)若在区间上单调递增，求a的取值范围; (2).当时，恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1). (2). 【分析】（1）把在区间上单调递增，转化成在给定区间上恒成立，再通过分离参数，转化成求函数最值问题，再利用导数求解即可. （2）通过构造函数，把函数在给定区间上恒成立问题转化成函数最值问题，再利用导数求解，关键是要根据式子的正负分情况讨论. 【详解】（1）若在区间上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，令，， 所以在(上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以，即a的取值范围为. （2）令 ， 所以在区间上恒成立， 即函数在区间上恒成立. 又， 令， 则. ①当时，， 所以函数在区间上单调递减，所以， 所以函数在区间上单调递减，又， 所以时，在区间上恒成立； ②当时， 令，则， 因为，所以， 故函数在区间上单调递减，又， 所以函数在区间上单调递减，且， 所以函数在区间上单调递减，又， 所以当时，在区间上恒成立； ③当时，构造函数，其中，因为， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，所以，即， 所以， 所以， 又，所以存在使得， 即当时，，此时函数在上单调递增， 又，所以函数在上单调递增， 又，不合题意. 综上所述，实数a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：把函数在给定区间上恒成立转化成求函数最值，再利用导数求最值是解决恒成立问题最常用的解题思路. 57．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，对任意，有成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增： (2)． 【分析】（1）把代入的表达式，利用导数求出函数的单调区间． （2）根据给定条件，把不等式转化为，求出函数在指定区间上的最大最小值，建立不等式并求解即得． 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，求导得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． （2）由对任意，有成立， 而，则， 由，得， 于是，所以． 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，， 而与，则， 设，求导得， 即函数在上单调递增，则，即有， 从而，于是，即， 设，求导得，函数在上单调递增， 而，因此不等式，即为，而，解得， 所以b的取值范围为． 【点睛】关键点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 58．已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）求出，利用导数的几何意义，根据斜率之积为求解即可； （2）求出函数的导数，分类讨论，解不等式即可得出单调性区间； （3）利用导数确定，分离参数后，再利用导数求函数最小值即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又在处的切线与直线垂直，所以， 即，所以. （2），. ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，令，得，又，所以. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由，得在上恒成立. 令，，则，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 则在上恒成立. 令，， 则 . 因为，所以，则， 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 题型五 恒成立与存在性问题 59．若不等式对任意正实数x恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式化为，构造，利用导数研究函数的单调性得，进而问题化为对任意正实数t恒成立，构造，导数求函数的最大值，即可得参数范围. 【详解】由，不等式，即， 即，即， 设，则上式为， 由，则在R上单调递增，可得， 由，得，令，则， 因此对任意正实数x恒成立，即对任意正实数t恒成立， 令，则， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以时，取得最大值，则. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由题设有，构造并利用导数研究单调性，进一步有对任意正实数t恒成立为关键. 60．已知对恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式进行变形，然后构造函数，根据其单调性得到，进而转化为恒成立问题，最后通过求函数在上的最大值来确定的取值范围. 【详解】设，对求导，可得. 因为时，，，所以，这表明在上单调递增. 已知对恒成立，当时，，则有， 当时，可变形为. 因为在上单调递增，且，（），所以由可得，即对恒成立. 设，对求导，可得. 当时，，所以，，则. 这说明在上单调递减，那么在上的最大值为. 因为对恒成立，所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 61．已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用分离参数得恒成立，设，利用导数求函数最大值，即可得解. 【详解】根据题意，，因为， 所以由恒成立，即恒成立， 设， 则在上恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围是． 故答案为： 62．设函数，若恒成立，求a的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意得，对求导，对分和讨论，利用导数分析单调性，求出函数的最值即可求解. 【详解】， 由题意恒成立，则， ①当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得 ②当时，存在，不满足题意， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$