专题07 一元函数的导数及其应用章末题型归纳（17种题型）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

专题07 一元函数的导数及其应用章末题型归纳（17种题型） 【题型1 导数的物理意义】 【题型2 导数的几何意义】 【题型3 求曲线切线的斜率(倾斜角)】 【题型4 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)】 【题型5 求过一点的切线方程】 【题型6 已知切线(斜率)求参数】 【题型7 两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题】 【题型8 基本初等函数的导数公式】 【题型9 导数的运算法则】 【题型10 复合函数的导数】 【题型11 函数的单调性与导数（不含参）】 【题型12 函数的单调性与导数（含参）】 【题型13函数的极值与导数（不含参）】 【题型14 函数的极值与导数（含参）】 【题型15 函数的最大（小）值与导数（不含参）】 【题型16 函数的最大（小）值与导数（含参）】 【题型17 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【题型1 导数的物理意义】 1．某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（   ）    A． B． C． D． 3．已知某质点运动的方程是，当t由1变到2时，其路程的增量等于（    ） A． B． C．1 D． 4．物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 5．某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 导数的几何意义】 6．若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 8．已知函数的导函数为，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 9．曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【题型3 求曲线切线的斜率(倾斜角)】 10．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 11．曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 12．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（   ） A．6 B．2 C．3 D． 13．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ）    A． B． C． D． 14．曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．0 B．1 C．e D． 【题型4 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)】 15．已知函数在处的切线方程为，则（     ） A．0 B． C． D． 16．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A．1 B．3 C．6 D．9 17．如图，直线是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 18．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 求过一点的切线方程】 19．已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 20．若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 21．过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 22．过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【题型6 已知切线(斜率)求参数】 23．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 24．若函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 26．已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（    ） A．1 B． C． D． 27．已知函数在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 28．若直线是曲线的一条切线，则实数（    ） A． B． C． D． 29．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 【题型7 两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题】 30．设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 31．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 32．若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 33．曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【题型8 基本初等函数的导数公式】 34．函数，则（   ） A． B．1 C．0 D． 35．下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 36．设函数，则（ ） A． B． C． D．以上均不正确 【题型9 导数的运算法则】 37．已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 38．已知函数，则的导函数为（    ） A． B． C． D． 39．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 40．已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 41．函数的导数（    ） A． B． C． D． 【题型10 复合函数的导数】 42．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 43．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 44．已知，则（　　） A． B． C． D． 45．若函数，则（    ） A． B． C． D． 46．函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【题型11 函数的单调性与导数（不含参）】 47．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 48．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 49．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 50．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 51．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D．和 52．函数的单调递增区间是（    ） A．和 B． C． D． 【题型12 函数的单调性与导数（含参）】 53．函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 54．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 55．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 56．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型13函数的极值与导数（不含参）】 57．函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 58．已知函数，则的极小值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 59．已知函数，则的极小值为（    ） A．2 B． C． D． 60．函数的极小值为（    ） A． B．1 C． D． 【题型14 函数的极值与导数（含参）】 61．已知函数的极值为，则实数（   ） A． B． C． D． 62．已知函数在处有极值，则等于（    ） A． B．16 C．或16 D．16或18 63．函数在处取得极值0，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【题型15 函数的最大（小）值与导数（不含参）】 64．函数，的最小值为（    ） A． B． C．9 D．16 65．函数的最大值是（    ） A． B．0 C．2 D．3 66．函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 67．函数在上的最大值是（    ） A． B．0 C． D． 【题型16 函数的最大（小）值与导数（含参）】 68．设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 69．已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型17 函数单调性、极值与最值的综合应用】 70．已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 71．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：. 72．设函数 是的极值点. (1)求实数的值; (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围． 73．已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)指出极值点的个数，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元函数的导数及其应用章末题型归纳（17种题型） 【题型1 导数的物理意义】 【题型2 导数的几何意义】 【题型3 求曲线切线的斜率(倾斜角)】 【题型4 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)】 【题型5 求过一点的切线方程】 【题型6 已知切线(斜率)求参数】 【题型7 两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题】 【题型8 基本初等函数的导数公式】 【题型9 导数的运算法则】 【题型10 复合函数的导数】 【题型11 函数的单调性与导数（不含参）】 【题型12 函数的单调性与导数（含参）】 【题型13函数的极值与导数（不含参）】 【题型14 函数的极值与导数（含参）】 【题型15 函数的最大（小）值与导数（不含参）】 【题型16 函数的最大（小）值与导数（含参）】 【题型17 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【题型1 导数的物理意义】 1．某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 则该质点在这段时间内的平均速度为（）. 故选：A 2．已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象判断函数增长速度即可得解. 【详解】由图可知，的增长速度越来越慢，所以， 表示在上的平均变化率， 由图可知. 故选：A 3．已知某质点运动的方程是，当t由1变到2时，其路程的增量等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据的定义计算即可. 【详解】. 故选：B 4．物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】C 【分析】利用平均速度的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故AB错误； 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为，，所以， 则在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误． 故选：C. 5．某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据瞬时速度的定义结合导数的定义直接求解即可. 【详解】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以. 故选：C 【题型2 导数的几何意义】 6．若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据导数的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 则. 故选：D 7．已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式先化简，然后由导数定义可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B 8．已知函数的导函数为，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】. 故选：B. 9．曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的定义求得正确答案. 【详解】设， 故选：C 【题型3 求曲线切线的斜率(倾斜角)】 10．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义求斜率，再求倾斜角. 【详解】因为，则，所以， 所以曲线在点处的切线的倾斜角为. 故选：D． 11．曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的大小即可. 【详解】设曲线在处的切线倾斜角为， 因为，则. 所以曲线在处的切线倾斜角是， 故选：D. 12．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（   ） A．6 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可. 【详解】由题意，， 即，故，即曲线在点处的切线的斜率是6. 故选：A 13．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系. 【详解】   设，由图可得， 而， 故， 故选：C. 14．曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．0 B．1 C．e D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，所以， 根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为1. 故选：B 【题型4 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)】 15．已知函数在处的切线方程为，则（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】因为函数在处的切线方程为， 此时直线方程的斜率为， 所以. 故选：B. 16．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用导数的定义及几何意义求解即得. 【详解】依题意，，则，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是9. 故选：D 17．如图，直线是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点斜率公式可得，即可由导数的几何意义求解. 【详解】由图可知：直线与相切于，且经过， 故， 因此 ， 故选：A 18．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导后将代入，求出斜率，再得到切点，运用点斜式即可. 【详解】求导得到, ，将代入原函数，得到，即切点； 将代入导函数，得到，即切线斜率．运用点斜式得到切线方程为，化简得到一般式. 故选：B. 【题型5 求过一点的切线方程】 19．已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，，则切线斜率为， 所以，所求切线方程为， 将原点坐标代入所求切线方程可得，即，解得， 因此，所求切线方程为. 故选：C. 20．若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】①易知P点在曲线上，当P点为切点时，. ②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为. ∵A在曲线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或 (舍去)， ∴，k=3， 此时切线方程为y+1=3(x+1)， 即. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或. 故选：D 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 21．过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【分析】根据过一点作函数图象的切线问题，设切点，得切线方程，再代入定点求解即可. 【详解】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 22．过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【答案】D 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以 ， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1． 故选：D 【题型6 已知切线(斜率)求参数】 23．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】求导，与直线垂直，求出的值. 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 24．若函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义可解. 【详解】根据题意，函数的图象在点处的切线方程是， 即，且， 所以. 故选：C 25．设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【答案】C 【分析】根据切线方程可知，再由导数的定义可得解. 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以斜率， 所以. 故选：C 26．已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求出切线的斜率，从而可求解. 【详解】由题知曲线和曲线在交点处有相同的切线，即斜率相等， 所以对于曲线，求导得，所以在点处的切线斜率为， 对于曲线，求导得， 所以，得，故B正确. 故选：B. 27．已知函数在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】因为函数在点处的切线方程为， 所以，且，所以， 所以． 故选：A. 28．若直线是曲线的一条切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得. 【详解】因为，所以，令，即， 得或（舍去），所以切点是，代入， 得，. 故选：D 29．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 【答案】A 【分析】设切点分别为、，根据导数几何意义及公切线列方程求参数值即可. 【详解】若，则，且， 若，则，且， 又是、的公切线， 设切点分别为、，则， ，则，即. 故选：A 【题型7 两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题】 30．设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据导数求解，由两直线平行斜率相等即可求解. 【详解】由得，故， 由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以， 故选：C 31．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 【答案】D 【分析】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解. 【详解】解：因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， 设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D 32．若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出切点，根据切线与直线垂直，得到切线的斜率，再根据导数的几何意义列出方程，即可求出切点坐标，再由点斜式求出切线方程． 【详解】解：设切点为，， 切线与直线垂直， 切线的斜率为， 又，所以，，解得， ，即切点， 由点斜式可得，切线方程为：，即． 故选：． 33．曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得的方程，解方程可得所求值． 【详解】解：的导数为， 可得在点处的切线的斜率为， 由切线与直线垂直，可得， 解得， 故选：． 【题型8 基本初等函数的导数公式】 34．函数，则（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据导数公式求导，再求值即可. 【详解】根据题意，，则， 所以. 故选：D 35．下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案. 【详解】对于A，，故A错误；     对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确；     对于D，，故D正确. 故选：A. 36．设函数，则（ ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】A 【分析】根据常数导函数为0即可求解. 【详解】，， 故选：A 【题型9 导数的运算法则】 37．已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】求出，代入即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 38．已知函数，则的导函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数四则运算的乘法法则求导即可. 【详解】由可得， 即. 故选：B 39．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，进而得到的值，得到答案. 【详解】由函数，可得，所以. 故选：A. 40．已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求导，再令可得结论. 【详解】因为，令得 . 故选：A 41．函数的导数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的计算公式即可求得． 【详解】由函数求导得，. 故选：A． 【题型10 复合函数的导数】 42．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数求导法则计算即可. 【详解】由可得. 故选：B 43．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简函数，由简单复合函数的求导公式求导. 【详解】因为， 所以. 故选：C． 44．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数求导规则求导即可. 【详解】，则. 故选：B. 45．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，定义域为，所以， 所以. 故选：B 46．函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的求导法则和导数的基本公式计算即可． 【详解】， 故选：A. 【题型11 函数的单调性与导数（不含参）】 47．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导数，利用导数大于0可得答案. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ， 所以 的单调增区间为 . 故选：B. 48．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，再解不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B 49．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出定义域以及导函数，利用导数与函数单调性的关系求解即可 【详解】由题意， 在中，， 当时，解得（舍）或， 当即时，函数单调递减， ∴的单调递减区间为. 故选：B. 50．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得. 【详解】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 51．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再解不等式即得答案. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：D 52．函数的单调递增区间是（    ） A．和 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，令求解即可． 【详解】函数的定义域为， ， 令，可得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 【题型12 函数的单调性与导数（含参）】 53．函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据是的实数根即可求解. 【详解】由可得， 由于的单调递减区间是，故和是的两个根，故，故， 故选：A 54．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围. 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 55．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知在[1,2]上恒成立，将问题再转化为函数的最值问题求解即可. 【详解】 ，若函数在区间上单调递减， 即在上恒成立， 即在[1,2]上恒成立. 令，则在上单调递减，, 所以,, 即 故选：C. 56．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，结合二次函数的零点分布即可求出的取值范围． 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 所以或， 解得或 综上可得， 故选：A 【题型13函数的极值与导数（不含参）】 57．函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据导函数得到函数的单调性与极大值点，再表示出，由求出解析式，最后代入计算可得. 【详解】因为， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 又（为常数）且，所以，解得， 所以，则，即函数的极大值为. 故选：C 58．已知函数，则的极小值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用导数求极值. 【详解】函数的定义域为.导函数. 令，解得：. 列表得： 1 - 0 + 单减 极小值-1 单增 所以的极小值为-1. 故选：B 59．已知函数，则的极小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义即可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为 所以， 令，则，解得或（舍）， x 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 由此表可知，当时，的取得极小值为. 故选：D. 60．函数的极小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据函数求极小值的过程求解：先求的解 ，再判断在两侧的单调性，确定极值. 【详解】因为，所以. 令得， 当时，，当时，. 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 则当时，取得极小值，且极小值为. 故选：C 【题型14 函数的极值与导数（含参）】 61．已知函数的极值为，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值点，利用极值点的函数值为，求参数的值. 【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，． 当时，在上恒成立，所以在上单调递增，无极值；， 当，令，得；令，得． 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减． 则是函数的极大值点，故，解得． 故选：A 62．已知函数在处有极值，则等于（    ） A． B．16 C．或16 D．16或18 【答案】A 【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可. 【详解】， 若函数在处有极值8， 则 且，即 ， 解得：或 ， 当时，，此时不是极值点，故舍去， 当时，， 当或时，，当，故是极值点， 故符合题意， 故， 故， 故选：A 63．函数在处取得极值0，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据极值点的意义，列式求解即可. 【详解】， 所以，解得， 经检验，满足题意， 所以. 故选：A 【题型15 函数的最大（小）值与导数（不含参）】 64．函数，的最小值为（    ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【分析】利用求导判断函数在给定区间上的单调性，即得函数最小值. 【详解】由可得，，由解得，或， 因，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故时，. 故选：A. 65．函数的最大值是（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先求导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，最后求出最大值即可. 【详解】因为，所以， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值是． 故选:A． 66．函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】解法一：求出，令，根据的正负确定的单调性即可求解； 解法二：令，通过求导判断函数的单调性即可求解. 【详解】解法一：，则， 令，则在上单调递增， 且，， 故存在，使得，，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以. 解法二：，令， 则，因为， 所以时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， ，即. 故选：. 【点睛】关键点点睛：求导之后，的零点存在，但无法求出，可采用虚设零点，分析零点所在的区间，结合函数的单调性即可推断. 67．函数在上的最大值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】先求导，根据导数的正负得函数单调性即可求最大值. 【详解】由题， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以. 故选：B. 【题型16 函数的最大（小）值与导数（含参）】 68．设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的单调区间，从而可表示出函数的最小值，然后列方程可求出的值，从而可求出最大值. 【详解】由，得， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为的最小值为，所以， 所以， 因为，， 所以的最大值为. 故选：B 69．已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得，得出函数的单调性，结合题意，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 要使得函数在区间上有最小值， 则满足，即， 因为，可得，即，解得， 所以，即实数的取值为. 故选：D. 【题型17 函数单调性、极值与最值的综合应用】 70．已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)3 (2)⋅ 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【详解】（1）由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． （2）由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 71．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； （2）方法一：由（1）可得函数在处取得最小值，即证，求导得到函数的最值，即可证明；方法二：由条件可得要证，即证，证明构造函数即可证明，从而得证. 【详解】（1）， 当时，在上单调递增， 当时，令得， 当得， 当得， 所以当时，在上单调递增；在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递增. （2）证法一：由（1）知，当时，函数在处取得最小值， ， 要证，即证， 设，， 令， 则， 所以在上单调递增， ，， 设，满足， 则，解得， 当，当， ， 把代入得， 设， ， 在上单调递减， ， 对恒成立，即成立. 所以对恒成立， 所以对恒成立.， （2）证法二： 由（1）知，当时，函数在处取得最小值， ， 要证，即证， 现证，设，， 当令得，当得，当得， 在处取得最小值， 即，，， ， 只需证，即， 显然成立.， 所以对恒成立. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数证明不等式问题，难度较大，解答本题的关键在于找出函数的零点位置，再由隐零点问题，代入计算，求解. 72．设函数 是的极值点. (1)求实数的值; (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据极值点概念性质，求出即可；（2）函数有三个零点，等价曲线与直线有三个不同的交点．通过求导得出单调性，得出极值，大概画出图像，用图像解题即可. 【详解】（1） 因为是极值点，所以，解得 ，   经检验，符合题意，所以. （2） 若函数有三个零点，等价曲线与直线有三个不同的交点， 由（1）可得，， 令，则或. 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增, 所以在和上单调递增，在上单调递减. 所以; . 又时，；，． 画出图像，结合图像 所以 即实数的取值范围为. 73．已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)指出极值点的个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)在，单调递增，在单调递减 (3)2个，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1），求得，结合和，即可求解； （3）由（2）中函数得到单调性，分，和，三种情况讨论，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 可得直线的斜率，且，所以切线方程为，即. （2）解：由（1）知，可得， 令，即，解得或， 当，；当，；当，， 所以函数在，单调递增，在单调递减. （3）解：函数有2个极值点，理由如下： 由（2）知，①当时，函数在区间上单调递增， 且，， 所以存在唯一，使； ②当时，函数在区间上单调递减， 且，， 所以存在唯一，使； ③当时，在区间上单调递增， 且，恒有，故该区间内无零点， 综上可得：当，；当，；当，， 所以当时取到极小值；当时取到极大值；故有2个极值点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$