精品解析：山东省济南市莱芜区2024-2025学年上学期八年级期末数学试题 -

莱芜区2024—2025学年度第一学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 3. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 7 7 8 1 1.1 1 1.6 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校为落实五项管理工作有关要求，随机抽查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，制作如下统计图，则所抽查的学生每天睡眠时间的众数、中位数分别是（ ） A. 7，8 B. 7，10 C. 8，8 D. 8，8.5 6. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，是边长为2的等边三角形，取边中点，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作．则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 8. 某校八年级的同学乘坐大巴车去研学，目的地距离该校14千米．1号车出发6分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.4倍，求2号车的平均速度．设1号车的平均速度为千米/小时，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，，是边上的高上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 非选择题部分共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分．请填在答题卡上） 11. 分式的值为0，则x的值是 __． 12. 如图，点的坐标为，点在轴上，把线段沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为______． 13. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为___________． 14. 若关于的分式方程有增根，则______． 15. 如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 先化简：，再从，0，1中选择一个你喜欢的代入求值． 18. 如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 19. 如图，将逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． （1）若，指出旋转中心，并求出的值； （2）若，求的长． 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出向右平移4个单位长度的； （2）画出关于原点成中心对称． 21. 2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱成功着陆，这创造了中国航天员“太空出差”时长新纪录，也激发了我们的爱国热情和民族自豪感，将激励更多的年轻人投身于航天事业．为了弘扬航天精神，某中学从八年级学生中随机抽取了20名学生进行了航天知识竞赛，并对竞赛成绩（百分制）进行整理，描述，分析． 部分信息如下： ：八年级学生成绩统计表和扇形统计图如下： 等级 成绩（分） 人数 2 6 60分以下 2 ：八年级学生成绩中C等级数据分别是：71，76，76，74，75，78． 根据以上信息，回答下列问题： （1）______； （2）组数据的众数是______； （3）参与测试的八年级学生成绩的中位数是______； （4）求组数据的方差． 22. 阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： （1）分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） （2）将分式化成带分式； （3）当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 23. 现有，两种商品，的进价比的进价多20元，某商场购进商品花费了2400元，购进商品花费了1200元，购进的数量是购进的数量的倍． （1），两种商品的进价各是多少元？ （2）该商场商品的售价为138元，若两种商品销售完毕，要使经营活动获利不少于636元，种商品最低售价为每件多少元？ 24. 我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 25. 【尝试探究】 在中，，，将线段绕点按顺时针旋转得到线段，连接交射线于点． （1）如图1，点为线段（不与重合）上一点，的度数是______； （2）如图2，若点在的内部，其他条件不变，交射线于点，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，延长交于点，，若，其他条件不变，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莱芜区2024—2025学年度第一学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、，左右两边不相等，分解错误，不符合题意； C、，是因式分解，符合题意； D、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意， 故选：C． 2. 下列各式中，与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，对四个选项一一计算，即可判断求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不符； 、，该选项不符； 、，该选项不符； 、，该选项符合； 故选：． 3. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 7 7 8 1 1.1 1 1.6 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用平均数与方差进行决策．解题关键在于明确进行决策需要考虑的因素．根据平均数和方差综合决定即可求解． 【详解】解：由表格可知，甲和丁的平均数一样，且最高，而甲的方差小，则稳定， ∴选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选甲， 故选：A． 4. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 5. 某校为落实五项管理工作的有关要求，随机抽查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，制作如下统计图，则所抽查的学生每天睡眠时间的众数、中位数分别是（ ） A. 7，8 B. 7，10 C. 8，8 D. 8，8.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的求法是解题的关键． 根据中位数和众数的定义即可求解． 【详解】解：调查学生的总人数为：人， 则第17个数和第18个数的平均数是中位数， ∴由表格得第17个数和第18个数都是8， ∴中位数是8， 由表格可得出现次数最多的也是8， ∴众数为8， 故选：C． 6. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 7. 如图，是边长为2的等边三角形，取边中点，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作．则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形以及菱形的判定与性质是解题的关键． 先得到四边形为平行四边形，通过证明得到，继而可知四边形为菱形，而可得为等边三角形，则，那么，同理可证明为菱形，且，那么． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴， ， ∵取边中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴等边三角形， ∴， ∴， 同理可证明为菱形，且， ∴， 故选：B． 8. 某校八年级的同学乘坐大巴车去研学，目的地距离该校14千米．1号车出发6分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.4倍，求2号车的平均速度．设1号车的平均速度为千米/小时，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设1号车的平均速度为千米/小时，则2号车的平均速度千米/小时，根据路程表示出时间，再由1号车出发6分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达建立方程． 【详解】解：设1号车的平均速度为千米/小时，则2号车的平均速度千米/小时， 由题意得：， 故选：A． 9. 如图，在中，，，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质及平行线的性质，利用三角形内角和定理先求出，由旋转的性质得到，，，再根据平行线的性质推出，进而求出，，由三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在等边中，，是边上的高上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，连接，证明，则，那么当时，最小，即最小，再由角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：取中点，连接，则， ∵等边， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∴此时， ∴最小值为1， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质等知识点，解题的关键在于构造全等三角形进行问题转化． 非选择题部分共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分．请填在答题卡上） 11. 分式的值为0，则x的值是 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据，且计算即可． 本题考查了分式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：分式的值为0， 故，且， 解得且， 经检验，是原方程的根， 故答案：． 12. 如图，点的坐标为，点在轴上，把线段沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得C的坐标． 【详解】解：∵把线段沿轴向右平移得到， ∴四边形是平行四边形， ∴，A和C的纵坐标相同， ∵四边形的面积为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 13. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式（n−2）•180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论． 【详解】解：设它是n边形，则 （n−2）•180°＝1080°， 解得n＝8． 360°÷8＝45°， 故答案为． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 14. 若关于的分式方程有增根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的方法与分式方程的增根的含义是解题的关键．分式方程的增根：使分式方程最简公分母为 0 的未知数的值，根据增根的含义可得答案． 【详解】解：∵， 方程两边都乘以得，， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴增根为； 将代入解得：， 故答案为：． 15. 如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 【答案】3或5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，四边形是平行四边形， ∵P在上运动， 根据题意，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， 分为以下情况：①点Q的运动在上时，方程为， 解得， ②点Q的运动在上时，方程为， 解得：； 故答案为：3或5． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式法分解因式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：． 17. 先化简：，再从，0，1中选择一个你喜欢的代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法，最后取原式有意义的a的值代入计算． 【详解】解： ， 由分式有意义得条件得到且， ∴当时，． 18. 如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 如图，将逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． （1）若，指出旋转中心，并求出的值； （2）若，求长． 【答案】（1）旋转中心为点C，旋转角度为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转中心为点C，旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． 【小问1详解】 解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转中心点C，旋转角度为； 【小问2详解】 解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴． 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出向右平移4个单位长度的； （2）画出关于原点成中心对称的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称： （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所作： 【小问2详解】 解：如上图，即为所作． 21. 2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱成功着陆，这创造了中国航天员“太空出差”时长新纪录，也激发了我们的爱国热情和民族自豪感，将激励更多的年轻人投身于航天事业．为了弘扬航天精神，某中学从八年级学生中随机抽取了20名学生进行了航天知识竞赛，并对竞赛成绩（百分制）进行整理，描述，分析． 部分信息如下： ：八年级学生成绩的统计表和扇形统计图如下： 等级 成绩（分） 人数 2 6 60分以下 2 ：八年级学生成绩中C等级的数据分别是：71，76，76，74，75，78． 根据以上信息，回答下列问题： （1）______； （2）组数据的众数是______； （3）参与测试的八年级学生成绩的中位数是______； （4）求组数据的方差． 【答案】（1）4 （2）76 （3）74.5 （4） 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布表，中位数，众数，方差，扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据抽取的总数减去组的频数即可求解； （2）根据众数的定义即可得出答案； （3）根据中位数的定义即可得出答案； （4）根据方差的定义即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， 故答案为：4； 小问2详解】 解：根据组数据可知组数据的众数是76， 故答案为：76； 【小问3详解】 解：抽取的20名学生竞赛成绩的中位数是第10和第11个的数据的平均数； 故答案为：74.5； 【小问4详解】 解：组数据的平均数为：， ∴组数据的方差． 22. 阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： （1）分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） （2）将分式化成带分式； （3）当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）假分式 （2） （3）时，最大值为7 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【小问1详解】 解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 23. 现有，两种商品，的进价比的进价多20元，某商场购进商品花费了2400元，购进商品花费了1200元，购进的数量是购进的数量的倍． （1），两种商品的进价各是多少元？ （2）该商场商品的售价为138元，若两种商品销售完毕，要使经营活动获利不少于636元，种商品最低售价为每件多少元？ 【答案】（1）种商品的进价是120元，种商品的进价是100元 （2）种商品最低售价为每件123元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设种商品的进价是元，则种商品的进价是元，根据某商场购进商品花费了2400元，购进商品花费了1200元，购进的数量是购进的数量的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设种商品的售价为每件元，根据要使经营活动获利不少于636元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设种商品的进价是元，则种商品的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：种商品的进价是120元，种商品的进价是100元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，种商品的数量为（件），种商品的数量为（件）， 设种商品的售价为每件元， 由题意得：， 解得：， 答：种商品最低售价为每件123元． 24. 我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）四边形是平行四边形得到，由翻折可证明是的中位线，则，即可证明； （2）过点E作于点H，则，，，由得到，则由勾股定理得，可得为等腰直角三角形，则，继而． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点为中点， ∴， 由翻折得：， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）过点E作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由翻折得：， ∵， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，角直角三角形的性质，折叠的性质等知识点，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 25. 【尝试探究】 在中，，，将线段绕点按顺时针旋转得到线段，连接交射线于点． （1）如图1，点为线段（不与重合）上一点，的度数是______； （2）如图2，若点在的内部，其他条件不变，交射线于点，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，延长交于点，，若，其他条件不变，求线段的长． 【答案】（1）；（2）不变化，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）证明即可； （3）过点作于点，先导角得到，在中，由勾股定理得，可得，在中，，设，则，由勾股定理得，，解得：（舍负），则，在中，由勾股定理得，由上知：，而，故． 【详解】（1）解：由旋转得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：不变化，理由见解析， 由旋转得，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， ∴结论不变化； （3）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，设，则， ∴由勾股定理得， 解得：（舍负）， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 由上知：，而， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键在于把握旋转的不变性和全等三角形的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $