第一章 相交线与平行线易错题（7考点40题）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024新教材）

第一章 相交线与平行线易错题 一．对顶角、邻补角（共1小题） 1．下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（　　） A．B．C．D． 二．点到直线的距离（共1小题） 2．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三．同位角、内错角、同旁内角（共3小题） 3．如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．∠1和∠4是内错角 B．∠1和∠3是对顶角 C．∠3和∠4是同位角 D．∠2和∠4是同旁内角 4．若直线a，b，c相交如图所示，则∠1的内错角为（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 5．如图，∠1的同位角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 四．平行线的判定（共3小题） 6．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠A＝∠5 C．∠A+∠ADC＝180° D．∠3＝∠4 7．在下面的四个图形中，已知∠1＝∠2，那么能判定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 8．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　 　时，CD∥AB． 五．平行线的性质（共18小题） 9．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BDC′，DC′与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．10° C．15° D．25° 10．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（　　） A．α+β﹣γ＝90° B．β＝α+γ C．α+β+γ＝180° D．β+γ﹣α＝90° 11．如图，直线a∥b，点B在a上，且AB⊥BC．若∠1＝35°，则∠2等于（　　） A．35° B．50° C．55° D．65° 12．将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l1∥l2，则∠α的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．70° 13．如图，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，给出下列结论： ①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图所示，长方形纸片ABCD中，∠1＝65°．现将长方形纸片沿AC折叠，使点B落在点B1处，B1C与AD交于点E；再将三角形EDC沿B1C折叠，使点D落在点D1处．则∠2＝（　　） A．10° B．15° C．17° D．20° 15．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠DEF＝55°，则∠EGB＝（　　） A．65° B．80° C．95° D．110° 16．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．100° B．110° C．115° D．120° 17．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 18．如图，AD∥BC，点E在BD的延长线上，且BE平分∠ABC，若∠ADE＝140°，则∠ABD等于（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 19．如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，当CD平行于地面AE时，则∠ABC+∠BCD＝　 　． 20．有经验的渔夫用鱼叉捕鱼时，不是将鱼叉对准他看到的鱼，这是由于光从空气射入水中时，发生折射现象．如图，水面EF与底面GH平行，光线AB从空气射入水中时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，∠1＝42°，∠2＝60°，则∠CBD 的度数为 　 　． 21．如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C′处．若∠DEF＝68°，则∠C′FD'的度数是 　 　． 22．一副直角三角板如图放置，点A在DE上，若BC∥DE，则∠ACF的度数为 　 　． 23．如图AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝　 　°． 24．如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，∠ACP＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3，点P在线段AB上． （1）若∠1＝20°，∠2＝30°，则∠3＝　 　． （2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由． （3）应用（2）中的结论解答下列问题：如图2，点A在B处北偏东45°的方向上，在C处的北偏西50°的方向上，求∠BAC的度数． （4）如果点P在直线l3上且在A，B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系（点P和A，B两点不重合），直接写出结论即可． 25．如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°． （1）如图1，求∠BEO+∠DFO的值； （2）如图2，当∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点M时，求∠EMF的度数； （3）如图3，直线MN交∠BEO、∠CFO的角平分线分别于点M，N，求∠EMN﹣∠FNM的值． 26．如图，点C在∠AOB的边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C． （1）求证：CG平分∠OCD； （2）若CD平分∠OCF，求∠O的度数． 六．平行线的判定与性质（共13小题） 27．下列说法中：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线互相平行；⑥连接A、B两点的线段的长度就是A、B两点之间的距离，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 28．如图，若∠1＝∠D，∠C＝51°，则∠B＝　 　． 29．如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°． （1）试说明CF∥BD； （2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数． 30．如图，AC平分∠BCF，∠A＝∠ACB，点D是AB上一点，DF交AC于点E． （1）求证：AB∥CF； （2）若∠B＝50°，∠BDF＝150°，求∠AEF的度数． 31．如图，直线EF与CD交于点O，OA平分∠COE交直线l于点A，OB平分∠DOE交直线l于点B，且∠1+∠2＝90°． （1）求∠AOB的度数； （2）求证：AB∥CD； （3）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数． 32．完成下面的证明． 如图，∠DEH+∠EHG＝180°，∠1＝∠2，∠C＝∠A，求证：∠AEH＝∠F． 证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°． ∴ED∥　 　（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠1＝∠C（ 　 　）∠2＝　 　（两直线平行，内错角相等）． ∵∠1＝∠2，∠C＝∠A， ∴∠A＝∠DGC（等量代换）． ∴AB∥DF（ 　 　）． ∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 33．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E．试说明：∠A＝∠EBC．（请按图填空，并补理由．） 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∴　 　∥　 　（　 　）， ∴∠E＝∠　 　（　 　）， 又∵∠E＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠　 　（等量代换）， ∴　 　∥　 　（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠EBC （　 　）． 34．【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？ 【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系． （1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2； （2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1+∠2＝180°； 【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为 　 　； 【拓展应用】 （3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数． （4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为 　 　． 35．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，F，G在BC上，EF与DG交于点O，∠B＝∠3．若∠1+∠2＝180°，∠C＝60°． （1）判断线段DE和BC的位置关系，并说明理由； （2）求∠DEC的度数． 36．【感知】 已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2． 求证：AB∥CD． 将下列证明过程补充完整： 证明： ∵CE平分∠ACD（已知）， ∴∠2＝∠　 　（角平分线的定义）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠　 　（等量代换）， ∴AB∥CD 　 　． 【探究】 已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2． 【应用】 如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数． 37．完成以下推理过程． 如图，已知∠1＝∠2，DF⊥AB，垂足为D，GH⊥AB，垂足为G，求证：∠C+∠CED＝180°． 证明：∵DF⊥AB，GH⊥AB（已知）， ∴∠BDF＝∠BGH＝90°（垂直的定义）． ∴DF∥　 　（ 　 　）， ∴∠1＝　 　（ 　 　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠BFD＝　 　（等量代换）． ∴BC∥　 　（ 　 　）． ∴∠C+∠CED＝180°（ 　 　）． 38．如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且∠EFG＝∠FEG，EF平分∠AEG． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由． （2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点Q，设∠Q＝α，∠EHG＝β ①若∠HEG＝40°，∠QGH＝20°，求∠Q的度数． ②判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，求出α和β的数量关系；若变化，请说明理由． 39．如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD． （1）求证：CE∥GF； （2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠EHF＝70°，∠D＝30°，求∠AEM的度数． 七．生活中的平移现象（共1小题） 40．如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草坪的总面积是　 　m2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 相交线与平行线易错题 一．对顶角、邻补角（共1小题） 1．下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、∠1和∠2不是对顶角，不符合题意； B、∠1和∠2不是对顶角，不符合题意； C、∠1和∠2不是对顶角，不符合题意； D、∠1和∠2是对顶角，符合题意； 故选：D． 二．点到直线的距离（共1小题） 2．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：因为到l1距离为2的直线有2条，到l2距离为1的直线有2条，这4条直线有4个交点，这4个交点就是“距离坐标”是（2，1）的点，因而共有4个． 故选：D． 三．同位角、内错角、同旁内角（共3小题） 3．如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．∠1和∠4是内错角 B．∠1和∠3是对顶角 C．∠3和∠4是同位角 D．∠2和∠4是同旁内角 【答案】D 【解答】解：由图可得，∠1和∠4是内错角，∠1和∠3是对顶角，∠3和∠4是同位角，∠2和∠4是同位角，而不是同旁内角， 故选：D． 4．若直线a，b，c相交如图所示，则∠1的内错角为（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】C 【解答】解：∠1的内错角是∠4． 故选：C． 5．如图，∠1的同位角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】A 【解答】解：∠1的同位角是∠2， 故选：A． 四．平行线的判定（共3小题） 6．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠A＝∠5 C．∠A+∠ADC＝180° D．∠3＝∠4 【答案】A 【解答】解：A．∵∠1＝∠2，∴BC∥AD，故本选项正确； B．∵∠A＝∠5，∴AB∥CD，故本选项错误； C．∵∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，故本选项错误； D．∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本选项错误； 故选：A． 7．在下面的四个图形中，已知∠1＝∠2，那么能判定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A．由∠1＝∠2，能判定AB∥CD，故本选项正确； B．由∠1＝∠2，不能判定AB∥CD，故本选项错误； C．由∠1＝∠2，不能判定AB∥CD，故本选项错误； D．由∠1＝∠2，只能判定AD∥CB，故本选项错误； 故选：A． 8．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　30°或150°　时，CD∥AB． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°； 如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°或30°． 五．平行线的性质（共18小题） 9．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BDC′，DC′与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．10° C．15° D．25° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD∥AB，∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠1＝35°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝55°， 由折叠可得∠DBC'＝∠DBC＝55°， ∴∠2＝∠DBC'﹣∠DBA＝55°﹣35°＝20°， 故选：A． 10．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（　　） A．α+β﹣γ＝90° B．β＝α+γ C．α+β+γ＝180° D．β+γ﹣α＝90° 【答案】A 【解答】解：如图，延长DC交AB于点G，延长CD交EF于点H． 在Rt△MGC中，∠1＝90°﹣α； 在△NHD中，∠2＝β﹣γ， ∵AB∥EF， ∴∠1＝∠2， ∴90°﹣α＝β﹣γ， 即α+β﹣γ＝90°． 故选：A． 11．如图，直线a∥b，点B在a上，且AB⊥BC．若∠1＝35°，则∠2等于（　　） A．35° B．50° C．55° D．65° 【答案】C 【解答】解：∵a∥b，∠1＝35°， ∴∠BAC＝∠1＝35°． ∵AB⊥BC， ∴∠2＝∠BCA＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°． 故选：C． 12．将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l1∥l2，则∠α的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．70° 【答案】C 【解答】解：如图所示，∵l1∥l2， ∴∠A＝∠ABC＝30°， 又∵∠CBD＝90°， ∴∠α＝90°﹣30°＝60°， 故选：C． 13．如图，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，给出下列结论： ①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵GH∥BC， ∴∠1＝∠HGF，∠B＝∠AGH，故①正确； ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠HGF， ∴DE∥GF， ∴∠D＝∠DMF， 根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故③错误； ∵DE∥GF， ∴∠F＝∠AHE， ∵∠D＝∠1＝∠2， ∴∠2不一定等于∠AHE，故④错误； ∵GF⊥AB，GF∥HE， ∴HE⊥AB，故②正确； 即正确的个数是2， 故选：B． 14．如图所示，长方形纸片ABCD中，∠1＝65°．现将长方形纸片沿AC折叠，使点B落在点B1处，B1C与AD交于点E；再将三角形EDC沿B1C折叠，使点D落在点D1处．则∠2＝（　　） A．10° B．15° C．17° D．20° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B＝90°，AB∥CD， ∴∠ACD＝∠1＝65°， ∴∠ACB＝90°﹣∠1＝25°， 由折叠得：∠ACB＝∠ACB1＝25°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACB1＝40°， 由折叠得：∠DCE＝∠D1CE＝40°， ∴∠2＝∠D1CE﹣∠ACB1＝40°﹣25°＝15°， 故选：B． 15．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠DEF＝55°，则∠EGB＝（　　） A．65° B．80° C．95° D．110° 【答案】D 【解答】解：∵长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠DEF＝55°， ∴∠GEF＝∠DEF＝55°， ∴∠GED＝∠GEF+∠DEF＝110°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠EGB＝∠GED＝110°． 故选：D． 16．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．100° B．110° C．115° D．120° 【答案】B 【解答】解：延长BC至点G，如图： 由题意得，AF∥BE，AD∥BC， ∵AF∥BE， ∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）， ∵AD∥BC， ∴∠3＝∠4（两直线平行，同位角相等）， ∴∠4＝∠1＝35°， ∵CD∥BE， ∴∠6＝∠4＝35°（两直线平行，同位角相等）， ∵这条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD， ∴∠5＝∠6＝35°， ∴∠2＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣35°﹣35°＝110°． 故选：B． 17．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β， ∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C＝β﹣α． （2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β， ∴∠AE2C＝α+β． （3）如图，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β， ∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C＝α﹣β． （4）如图，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°， ∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β． ∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β． （5）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α． 故选：D． 18．如图，AD∥BC，点E在BD的延长线上，且BE平分∠ABC，若∠ADE＝140°，则∠ABD等于（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】C 【解答】解：∵∠ADE＝140°， ∴∠ADB＝180°﹣140°＝40°． ∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB＝40°， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝40°． 故选：C． 19．如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，当CD平行于地面AE时，则∠ABC+∠BCD＝　270°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过点B作BF∥AE，如图： ∵CD∥AE， ∴BF∥CD， ∴∠BCD+∠CBF＝180°， ∵AB⊥AE， ∴AB⊥BF， ∴∠ABF＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°． 故答案为：270°． 20．有经验的渔夫用鱼叉捕鱼时，不是将鱼叉对准他看到的鱼，这是由于光从空气射入水中时，发生折射现象．如图，水面EF与底面GH平行，光线AB从空气射入水中时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，∠1＝42°，∠2＝60°，则∠CBD 的度数为 　18°　． 【答案】18°． 【解答】解：如图： ∵EF∥GH， ∴∠PBF＝∠2＝60°， ∵∠1＝42°， ∴∠PBA＝∠PBF﹣∠1＝18°， ∴∠CBD＝∠PBA＝18°， 故答案为：18°． 21．如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C′处．若∠DEF＝68°，则∠C′FD'的度数是 　44°　． 【答案】44°． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF+∠EFC＝180°， ∵∠DEF＝68°， ∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝112°， 由折叠得： ∠EFC′＝∠EFC＝112°， ∵AD∥BC， ∴∠EFD′＝∠DEF＝68°， ∴∠C′FD′＝∠EFC′﹣∠EFD′＝112°﹣68°＝44°． 故答案为：44°． 22．一副直角三角板如图放置，点A在DE上，若BC∥DE，则∠ACF的度数为 　15°　． 【答案】15°． 【解答】解：∵BC∥DE，∠E＝30°， ∴∠ECB＝∠E＝30°， ∵∠BCA＝45°， ∴∠ACF＝∠BCA﹣∠ECB＝45°﹣30°＝15°， 故答案为：15°． 23．如图AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝　130　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C＝50°， ∵BC∥DE， ∴∠C+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣50°＝130°， 故答案为：130． 24．如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，∠ACP＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3，点P在线段AB上． （1）若∠1＝20°，∠2＝30°，则∠3＝　50°　． （2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由． （3）应用（2）中的结论解答下列问题：如图2，点A在B处北偏东45°的方向上，在C处的北偏西50°的方向上，求∠BAC的度数． （4）如果点P在直线l3上且在A，B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系（点P和A，B两点不重合），直接写出结论即可． 【答案】（1）50°； （2）∠1+∠2＝∠3，理由见解答过程； （3）95°； （4）有两种情况，见解答过程． 【解答】解：（1）∵l1∥l2， ∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°， ∵∠3+∠PCD+∠PDC＝180°， ∴∠3＝∠1+∠2， ∵∠1＝20°，∠2＝30°， ∴∠3＝20°+30°＝50°， 故答案为：50°； （2）∠1+∠2＝∠3，理由如下： ∵l1∥l2， ∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°， 在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°， ∴∠1+∠2＝∠3； （3）∵点A在B处北偏东45°的方向上，在C处的北偏西50°的方向上， ∴∠B＝45°，∠C＝50°， 由（2）中的结论可得： ∠BAC＝∠B+∠C＝45°+50°＝95°； （4）当P点在A的外侧时，如图： 过P作PF∥l1，交l4于F， ∴∠1＝∠FPC． ∵l1∥l4， ∴PF∥l2， ∴∠2＝∠FPD ∵∠CPD＝∠FPD﹣∠FPC ∴∠3＝∠2﹣∠1． 当P点在B的外侧时，如图： 过P作PG∥l2，交l4于G， ∴∠2＝∠GPD ∵l1∥l2， ∴PG∥l1， ∴∠1＝∠CPG ∵∠CPD＝∠CPG﹣∠GPD ∴∠3＝∠1﹣∠2． 25．如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°． （1）如图1，求∠BEO+∠DFO的值； （2）如图2，当∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点M时，求∠EMF的度数； （3）如图3，直线MN交∠BEO、∠CFO的角平分线分别于点M，N，求∠EMN﹣∠FNM的值． 【答案】（1）∠BEO+∠DFO＝260°； （2）∠EMN﹣∠FNM的值为40°； （3）40°． 【解答】解：（1）过点O作OG∥AB，如图： ∵AB∥CD，OG∥AB， ∴AB∥OG∥CD， ∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°， ∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°， 即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°， ∵∠EOF＝100°， ∴∠BEO+∠DFO＝260°； （2）过点M作MH∥AB，如图： ∵AB∥CD，MH∥AB， ∴AB∥MH∥CD， ∴∠EMH＝∠BEM，∠FMH＝∠DFM， ∴∠EMF＝∠EMH+∠FMH＝∠BEM+∠DFM， 由（1）中的结论可得： ∠BEO+∠DFO＝260°， ∵EM，FM分别平分∠BEO和∠DFO， ∴∠BEM∠BEO，∠DFM∠DFO， ∴∠BEM+∠DFM（∠BEO+∠DFO）260°＝130°， ∴∠EMF＝130°； （3）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，如图： ∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO， 设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y， ∵∠BEO+∠DFO＝260°， ∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝260°， ∴x﹣y＝40°， ∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD， ∴AB∥MK∥NH∥CD， ∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM， ∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF） ＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y ＝x﹣y ＝40°， ∴∠EMN﹣∠FNM的值为40°． 26．如图，点C在∠AOB的边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C． （1）求证：CG平分∠OCD； （2）若CD平分∠OCF，求∠O的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵CG⊥CF， ∴∠FCG＝90°， ∴∠DCG+∠DCF＝90°， 又∵∠GCO+∠DCG+∠DCF+∠ACF＝180°， ∴∠GCO+∠ACF＝90°， ∵CF平分∠ACD， ∴∠ACF＝∠DCF， ∴∠GCO＝∠DCG， ∴CG平分∠OCD； （2）解：∵CD平分∠OCF， ∴∠OCD＝∠DCF， ∵CF平分∠ACD， ∴∠ACF＝∠DCF， ∴∠ACF＝∠DCF＝∠OCD， ∵∠ACF+∠DCF+∠OCD＝180°， ∴∠ACF＝∠DCF＝∠OCD＝60°， ∵DE∥OB， ∴∠O＝∠OCD＝60°． 六．平行线的判定与性质（共13小题） 27．下列说法中：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线互相平行；⑥连接A、B两点的线段的长度就是A、B两点之间的距离，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 【答案】C 【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法是正确的； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原来的说法是错误的； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原来的说法是错误的； ④平行于同一直线的两条直线互相平行，原来的说法是正确的； ⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线互相平行，原来的说法是错误的； ⑥连接A、B两点的线段的长度就是A、B两点之间的距离，原来的说法是正确的． 故其中正确的有3个． 故选：C． 28．如图，若∠1＝∠D，∠C＝51°，则∠B＝　129°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠1＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣51°＝129°， 故答案为：129°． 29．如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°． （1）试说明CF∥BD； （2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数． 【答案】（1）答案见解析；（2）55°． 【解答】解：（1）∵BC⊥AE，DE⊥AE， ∴BC∥DE． ∴∠3+∠CBD＝180°． 又∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝∠CBD． ∴CF∥DB． （2）由（1）CF∥DB， ∴∠1＝∠ABD． 又∵∠1＝70°， ∴∠ABD＝70°． 又∵BC平分∠ABD， ∴∠DBC∠ABD＝35°， ∴∠2＝∠DBC＝35°． 又∵BC⊥AE， ∴∠ACB＝90°． ∴∠ACF＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°． 30．如图，AC平分∠BCF，∠A＝∠ACB，点D是AB上一点，DF交AC于点E． （1）求证：AB∥CF； （2）若∠B＝50°，∠BDF＝150°，求∠AEF的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）∠AEF的度数为95°． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BCF， ∴∠ACB＝∠ACF， ∵∠A＝∠ACB， ∴∠A＝∠ACF， ∴AB∥CF； （2）∵∠B＝50°，∠A＝∠ACB， ∴∠A＝∠ACB65°， ∵∠BDF＝150°， ∴∠ADE＝180°﹣∠BDF＝30°， ∵∠AEF是△ADE是一个外角， ∴∠AEF＝∠A+∠ADE＝95°， ∴∠AEF的度数为95°． 31．如图，直线EF与CD交于点O，OA平分∠COE交直线l于点A，OB平分∠DOE交直线l于点B，且∠1+∠2＝90°． （1）求∠AOB的度数； （2）求证：AB∥CD； （3）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数． 【答案】（1）∠AOB的度数为90°； （2）证明过程见解答； （3）∠AOF的度数为130°． 【解答】（1）解：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE， ∴，， ∴∠AOE+∠BOE∠COE∠DOE（∠COE+∠DOE）180°＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴∠AOB的度数为90°； （2）证明：由（1）得：∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠2＝180°﹣∠AOB＝180°﹣90°＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠AOC＝∠1， ∴AB∥CD； （3）解：∵OB平分∠DOE， ∴∠2∠DOE， ∵∠2：∠3＝2：5， ∴∠DOE：∠3＝4：5， ∵∠DOE+∠3＝180°， ∴， ∴∠COE＝∠3＝100°， ∵OA平分∠COE， ， ∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°， ∴∠AOF的度数为130°． 32．完成下面的证明． 如图，∠DEH+∠EHG＝180°，∠1＝∠2，∠C＝∠A，求证：∠AEH＝∠F． 证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°． ∴ED∥　AC　（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠1＝∠C（ 　两直线平行，同位角相等　）∠2＝　∠DGC　（两直线平行，内错角相等）． ∵∠1＝∠2，∠C＝∠A， ∴∠A＝∠DGC（等量代换）． ∴AB∥DF（ 　同位角相等，两直线平行　）． ∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 【答案】AC；两直线平行，同位角相等；∠DGC；同位角相等，两直线平行． 【解答】证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°， ∴ED∥AC（同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等）． ∠2＝∠DGC（两直线平行，内错角相等）． ∵∠1＝∠2，∠C＝∠A， ∴∠A＝∠DGC（等量代换）． ∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）． ∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：AC；两直线平行，同位角相等；∠DGC；同位角相等，两直线平行． 33．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E．试说明：∠A＝∠EBC．（请按图填空，并补理由．） 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∴　BD　∥　CE　（　内错角相等，两直线平行　）， ∴∠E＝∠　4　（　两直线平行，内错角相等　）， 又∵∠E＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠　4　（等量代换）， ∴　AD　∥　BE　（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠EBC （　两直线平行，同位角相等　）． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∴BD∥CE（内错角相等，两直线平行）， ∴∠E＝∠4（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠E＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠4（等量代换）， ∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠EBC （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：BD，CE，内错角相等，两直线平行；4，两直线平行，内错角相等；4，AD，BE，两直线平行，同位角相等． 34．【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？ 【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系． （1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2； （2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1+∠2＝180°； 【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为 　相等或互补　； 【拓展应用】 （3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数． （4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为 　相等或互补　． 【答案】【提出问题】（1）见解答过程； （2）见解答过程； 【得出结论】 【拓展应用】（3）相60°，60°或80°，100°； （4）相等或互补． 【解答】【提出问题】（1）证明：如图1， ∵AB∥EF， ∴∠1＝∠3， 又∵BC∥DE， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2； （2）证明：如图2， ∵AB∥EF， ∴∠1＝∠4， 又∵BC∥DE， ∴∠2+∠4＝180°， ∴∠1+∠2＝180°； 【得出结论】解：由（1）（2）我们可以得到的结论是：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补， 故答案为：相等或互补； 【拓展应用】（3）解：设其中一个角为x，则另一角为2x﹣60°， 当x＝2x﹣60°时， 解得x＝60°， 此时两个角为60°，60°； 当x+2x﹣60°＝180°， 解得x＝80°， 则2x﹣60＝100°， 此时两个角为80°，100°； ∴这两个角分别是60°，60°或80°，100°． （4）解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补． 故答案为：相等或互补． 35．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，F，G在BC上，EF与DG交于点O，∠B＝∠3．若∠1+∠2＝180°，∠C＝60°． （1）判断线段DE和BC的位置关系，并说明理由； （2）求∠DEC的度数． 【答案】（1）DE∥BC，理由见解答； （2）∠DEC的度数为120°． 【解答】解：（1）DE∥BC， 理由：∵∠1+∠2＝180°， ∴BD∥EF， ∴∠B＝∠EFG， ∵∠3＝∠B， ∴∠3＝∠EFG， ∴DE∥BC； （2）∵DE∥BC， ∴∠C+∠DEC＝180°， ∵∠C＝60°， ∴∠DEC＝180°﹣∠C＝120°， ∴∠DEC的度数为120°． 36．【感知】 已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2． 求证：AB∥CD． 将下列证明过程补充完整： 证明： ∵CE平分∠ACD（已知）， ∴∠2＝∠　DCE　（角平分线的定义）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠　DCE　（等量代换）， ∴AB∥CD 　内错角相等，两直线平行　． 【探究】 已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2． 【应用】 如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数． 【答案】【感知】DCE；DCE；内错角相等，两直线平行； 【探究】证明见解答过程； 【应用】40°． 【解答】【感知】解：∵CE平分∠ACD（已知）， ∴∠2＝∠DCE（角平分线的定义）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠DCE（等量代换）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：DCE；DCE；内错角相等，两直线平行； 【探究】证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠2＝∠DCE， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠DCE， ∴∠1＝∠2； 【应用】解：∵BE平分∠DBC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵AE∥BC， ∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE， ∵∠ABC：∠BAE＝4：5， ∴∠ABC＝80°， ∴∠CBE＝40°， ∴∠E＝∠CBE＝40°． 37．完成以下推理过程． 如图，已知∠1＝∠2，DF⊥AB，垂足为D，GH⊥AB，垂足为G，求证：∠C+∠CED＝180°． 证明：∵DF⊥AB，GH⊥AB（已知）， ∴∠BDF＝∠BGH＝90°（垂直的定义）． ∴DF∥　GH　（ 　同位角相等，两直线平行　）， ∴∠1＝　∠BFD　（ 　两直线平行，同位角相等　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠BFD＝　∠2　（等量代换）． ∴BC∥　DE　（ 　内错角相等，两直线平行　）． ∴∠C+∠CED＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　）． 【答案】GH；同位角相等，两直线平行；∠BFD；两直线平行，同位角相等；∠2；DE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【解答】证明：∵DF⊥AB，GH⊥AB（已知）， ∴∠BDF＝∠BGH＝90°（垂直的定义）． ∴DF∥GH（同位角相等，两直线平行）， ∴∠1＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠BFD＝∠2（等量代换）． ∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）． ∴∠C+∠CED＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：GH；同位角相等，两直线平行；∠BFD；两直线平行，同位角相等；∠2；DE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 38．如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且∠EFG＝∠FEG，EF平分∠AEG． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由． （2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点Q，设∠Q＝α，∠EHG＝β ①若∠HEG＝40°，∠QGH＝20°，求∠Q的度数． ②判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，求出α和β的数量关系；若变化，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）直线AB与直线CD平行，理由： ∵EF平分∠AEG， ∴∠AEF＝∠GEF， 又∵∠EFG＝∠FEG， ∴∠AEF＝∠GFE， ∴AB∥CD； （2）①∵∠HEG＝40°， ∴∠FEG（180°﹣40°）＝70°， 又∵QG平分∠EGH， ∴∠QGH＝∠QGE＝20°， ∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ＝70°﹣20°＝50°； ②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化， ∵∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角， ∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ，∠EHG＝∠AEG﹣∠EGH， 又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH， ∴∠FEG∠AEG，∠EGQ∠EGH， ∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ （∠AEG﹣∠EGH） ∠EHG， 即αβ． 39．如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD． （1）求证：CE∥GF； （2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠EHF＝70°，∠D＝30°，求∠AEM的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠CED＝∠GHD， ∴CE∥GF； （2）∵CE∥GF， ∴∠C＝∠FGD， ∵∠C＝∠EFG， ∴∠FGD＝∠EFG， ∴AB∥CD， ∴∠AED+∠D＝180°； （3）∵∠DHG＝∠EHF＝70°，∠D＝30°， ∴∠CGF＝70°+30°＝100°， ∵CE∥GF， ∴∠C＝180°﹣100°＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠AEC＝80°， ∴∠AEM＝180°﹣80°＝100°． 七．生活中的平移现象（共1小题） 40．如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草坪的总面积是　880　m2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：S＝44×24﹣2×24×2﹣2×44+2×2×2＝880（m2）． 故答案为：880． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$