专题04 解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组（八大题型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024新教材）

专题04 解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 【题型2 解二元一次方程组-巧用换元法】 【题型3 已知方程组的解，求相关字母的值】 【题型4遮挡问题】 【题型5相同的解】 【题型6错解】 【题型7 二元一次方程组新定义问题】 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 1．解下列方程组： (1) (2) 2．用加减法解下列方程组： (1) (2) 3．解方程组 (1) (2) 4．用代入法解下列方程组： (1)； (2)． 5．解下列方程组： (1) (2) 6．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】 7．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 8．阅读材料：善于思考的小军在解方程时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即， 把方程①代入③得：， 得， 将，代入①得， 方程组的解为， 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程； (2)已知，满足方程组，求的值． 9．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即③ 把方程①代入③得： ， 所代入①得， ∴方程组的解为， 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组， (2)已知满足方程组，求的值． 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】 10．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求的值． 11．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元）．则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可． (1)请用换元法解方程组． (2)某食堂红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份．位同学一起去食堂吃饭，若位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；若位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元．如果小肖同学和小洁同学两人共打了两份红烧肉，一份辣椒炒肉，两份土豆丝，那么两人共需要付多少元？ 12．解方程（组）： (1) (2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，∴   ∴原方程组的解为 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 13．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把，分别看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组： (1)； (2)． 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】 14．已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 15．已知方程组的解满足方程 ，求的值． 16．已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求k的值． 17．已知方程组的解满足，求m的值． 18．已知关于x、y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 19．已知关于的方程组的解也是方程的解，求的值． 【题型5遮挡问题】 20．如果方程组的解为，则被“○”和“■”遮挡的两个数分别是（    ） A．7，9 B．9，7 C．1，－1 D．－1，1 21．亮亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和☆，请你帮他找回这两个数，“●”“☆”表示的数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 22．已知方程组的解为则被遮盖的□、■分别表示数（    ） A．1，2 B．2，4 C．2，3 D．1，3 23．小明同学解方程组时的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了“•”和“*”处的两个数，则“●”，“*”分别代表的数是（　　） A．，1 B．， C．2，1 D．2， 24．小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和★，请你帮他找回这两个数，“”“★”表示的数分别为（ ） A．9， B．，2 C．5，2 D．5，4 25．小强同学解方程组时，求得方程组的解为，由于不慎，将一些墨水滴到了作业本上，刚好遮住了●处和◆处的数，那么●处表示的数应该是 ． 26．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★和●这两个数， ， ． 【题型6 相同的解】 27．已知方程组和的解相同，则 . 28．已知关于x，y的方程组与关于x，y的方程组的解相同，则的值为 ． 29．已知关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 30． 已知关于的二元一次方程组和的解相同，求的平方根． 31．已知方程组和方程组的解相同，求m的值． 【题型7 错解】 32．小明和小文同解一个二元一次方程组小明正确解得，小文因抄错了，解得，已知小文除抄错外没有发生其他错误，求的值． 33．已知方程组的正确解是小马虎因抄错C，解得，请求出A，B，C的值． 34．甲、乙两人同求方程的整数解，甲求出一组解为，而乙把中的7错看成1，求得一组解为，试求、的值． 【题型8 二元一次方程组新定义问题】 35．对于任意有理数、，定义新运算：（其中、是常数）．已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．11 D．15 36．对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 37．一些关于方程组的问题，求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需36元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 38．【阅读感悟】 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果． 39．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.例如，． (1)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 40．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 【题型2 解二元一次方程组-巧用换元法】 【题型3 已知方程组的解，求相关字母的值】 【题型4遮挡问题】 【题型5相同的解】 【题型6错解】 【题型7 二元一次方程组新定义问题】 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 1．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法； （1）用代入法先求出，再代入求得； （2）用加减消元法解得再代入求 【详解】（1） 解：将②代入①，得， ，． 将代入②，得． 所以原方程组的解是 （2） 解：①+②，得． ． 将．代入①，得． 所以原方程组的解是 2．用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程，掌握加减消元法解二元一次方程是解答本题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得：， 将代入，得， 原方程组的解是； （2）解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 原方程组的解是． 3．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组； （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）解： ，得， 解得， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为． 4．用代入法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）首先将方程整理为然后利用代入消元法求解即可． 【详解】（1） 把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解是； （2）原方程可化为 把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解是． 5．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解： ①②，得，解得． 将代入①，得，解得， 原方程组的解是； （2）解： ，得， 将代入①，得，解得， 原方程组的解是． 6．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法； （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． （2）化简②，得，再根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （3）把两个方程组化简后，再根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （4）把两个方程组化简后，再根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：，得． 将代入②，得，解得， ∴方程组的解为 （2）化简②，得．③ ，得，解得． 将代入①，得，解得， ∴方程组的解为 （3）化简①，得．③ 化简②，得．④ ，得，解得． 将代入③，得，解得， ∴方程组的解为 （4）化简①②，得 ，得，解得． 将代入③，得，解得， ∴方程组的解为 【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】 7．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解方程组，掌握代入消元法和整体思想成为解题的关键． （1）由②可得③，然后将①整体代入③可求得，进而求得方程组的解； （2）由①得③，然后将②整体代入③可求解即可． 【详解】（1）解： 由②可得③， 把①代入③，得，解得：． 把代入①，得，解得， 方程组的解为． （2）解：， 由①得③， 把②代入③，得，解得． 8．阅读材料：善于思考的小军在解方程时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即， 把方程①代入③得：， 得， 将，代入①得， 方程组的解为， 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求出的值即可． 【详解】（1）解：将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：由①得：， ， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：，即． 9．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即③ 把方程①代入③得： ， 所代入①得， ∴方程组的解为， 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组， (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组等知识． （1）将方程②变形：即③把方程①代入③得：，可得，再代入①求出即可； （2）①②得到，，可得即可． 解题的关键是学会用整体代入法解决问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：将方程②变形：即③， 把方程①代入③得：， ， 把代入①得， 方程组的解为； （2）解：①②得到，， ． 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】 10．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； （3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：设，则方程化为：， 即， 解得； （3）解：将方程①，变形为， 将方程②代入③得：，解得． 【点睛】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解． 11．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元）．则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可． (1)请用换元法解方程组． (2)某食堂红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份．位同学一起去食堂吃饭，若位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；若位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元．如果小肖同学和小洁同学两人共打了两份红烧肉，一份辣椒炒肉，两份土豆丝，那么两人共需要付多少元？ 【答案】(1) (2)两人共需要付元 【分析】（1）根据材料提示，设，，解关于的二元一次方程组，求出的值，再代入，，即可求解； （2）根据题意中的数量关系列方程组，再运用换元法求解即可． 【详解】（1）解：， 设，， ∴原方程组可化为，解得， ∴，解得， ∴原方程组的解为． （2）解：红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份，位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元， ∴， 设，， ∴原方程组可化为，解得， ∴， ∴（元）， ∴两人共需要付元． 【点睛】本题主要考查换元法解复杂的二元一次方程组，理解题目中换元法，掌握解方程的计算方法是解题的关键． 12．解方程（组）： (1) (2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，∴   ∴原方程组的解为 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用代入消元法进行计算即可得； （2）设，，原方程可化为，进行计算得， 则,用代入消元法进行计算即可得． 【详解】（1）解： ①+②得：， 解得：， 把代入①得： 解得，， 则方程组的解为 ． （2）解： 设，， 原方程可化为， 即， ②-①得，， 把代入②得，， ∴， ∴, ∴原方程组的解为 ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握代入消元法，整体换元法． 13．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把，分别看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法． （1）设，，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解； （2）设，，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 设，，则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得，即， 解得； （2）解：， 设，，则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得，即， 解得． 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】 14．已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，可得，然后列出关于a的方程求解即可． 【详解】解：， ，得，即， 把代入，得， 解得， 的值为5． 15．已知方程组的解满足方程 ，求的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将与联系立方程组求解，再将解代入方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意重新联立方程组，得 由②，得．③ 将③代入①，得，解得． 将代入③，得． 所以原方程组的解为 因为方程组的解满足方程， 所以将代入，解得， 所以的值为5． 16．已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求k的值． 【答案】． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解．把k看作已知数表示出方程组的解得到x与y，代入已知方程计算求出k的值，即可求出原式的值． 【详解】解：， 得：， 得：， 将，代入中，得：， 解得：． 17．已知方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解及其解法、解一元一次方程，先利用加减消元法解方程组得到，再根据解方程即可． 【详解】解：， 由得， 代入①中，得， ∴该方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得． 18．已知关于x、y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】首先根据题意，二元一次方程组的解也是方程的解，应用加减消元法，求出二元一次方程组的解，然后把求出的、的值代入，求出的值即可． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解也是方程的解， 二元一次方程组的解也是方程的解， ①②，可得， 解得， 把代入①，可得， 解得， 二元一次方程组的解是， ， 解得． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用． 19．已知关于的方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】． 【分析】把方程组中的两个方程相减，得到，然后根据同解方程的定义，列出关于k的方程，解答即可． 【详解】解：， ②①得：， ∵关于的方程组的解也是方程的解， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了求二元一次方程组中的参数，解题关键是理解同解方程的定义． 【题型5遮挡问题】 20．如果方程组的解为，则被“○”和“■”遮挡的两个数分别是（    ） A．7，9 B．9，7 C．1，－1 D．－1，1 【答案】A 【分析】将x=-2代入方程2x+y=5中，求出■=9，将x=-2，y=9代入方程x+y=○中，求出○=-2+9=7． 【详解】解：将x=-2代入方程2x+y=5中，得-4+y=5， 解得y=9，即■=9， 将x=-2，y=9代入方程x+y=○中，得○=-2+9=7， 故选：A． 【点睛】此题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． 21．亮亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和☆，请你帮他找回这两个数，“●”“☆”表示的数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解满足方程组，将代入②时，求出y，再代入①式即可得到答案 【详解】解：∵方程组的解为， ∴，解得：， 将，代入①式得， ， 故选：A． 22．已知方程组的解为则被遮盖的□、■分别表示数（    ） A．1，2 B．2，4 C．2，3 D．1，3 【答案】D 【分析】先把代入求出y，再把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了对二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解． 23．小明同学解方程组时的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了“•”和“*”处的两个数，则“●”，“*”分别代表的数是（　　） A．，1 B．， C．2，1 D．2， 【答案】A 【分析】此题主要考查二元一次方程组的解和已知二元一次方程组的解求参数，先把代入求出，把代入即可． 【详解】解：先把代入， 得：， 解得：， 把代入， 则“●”，“*” 分别代表的数是，1． 故选：A． 24．小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和★，请你帮他找回这两个数，“”“★”表示的数分别为（ ） A．9， B．，2 C．5，2 D．5，4 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，把代入，求得的值，进而求出的值，即可得到答案． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴把代入，得， 解得， 把，代入，得， 即， ∴这两个数分别为：9和2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程是解题的关键． 25．小强同学解方程组时，求得方程组的解为，由于不慎，将一些墨水滴到了作业本上，刚好遮住了●处和◆处的数，那么●处表示的数应该是 ． 【答案】 【分析】把代入，解出的值即可，再进行求解即可． 【详解】解：方程组的解为， 把代入， 解得： ●处表示的数应该是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意将值代入方程求出的值是解答本题的关键． 26．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★和●这两个数， ， ． 【答案】 【分析】将代入方程组即可求解． 【详解】解：设●表示的数为a， 把代入方程组得：， 解得：，即 则a这个数为. 即：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解．理解相关定义是解题关键． 【题型6 相同的解】 27．已知方程组和的解相同，则 . 【答案】14 【解析】略 28．已知关于x，y的方程组与关于x，y的方程组的解相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先求出x和y的值，再代入求出m，n的值再求解； 【详解】解：方程组， 解之得， 代入得， 代入得， 故； 29．已知关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组；方程组的解； （1）根据题意得，解方程组，即可求解； （2）将代入得出，解方程组，再将的值代入代数式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得： ∴这两个方程组的相同解为； （2）解：将代入 ∴ 得，， 解得： 将代入得 解得： ∴ 30．已知关于的二元一次方程组和的解相同，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是掌握“消元”的方法． 先解，求出，然后代入得，求出a， b，即可求出的平方根． 【详解】解：根据题意重新联立方程组，得 ①，得③， ②+③，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 方程组的解为， 方程组和的解相同， 将代入得 ④+⑤，得， 解得， 将代入④，得， 解得， ， 的平方根为． 31．已知方程组和方程组的解相同，求m的值． 【答案】． 【分析】根据方程组的解相同，得到新的二元一次方程组，进而求得，再代入含的方程，即可求出m的值． 【详解】解：两个方程组的解相同， 可得方程组， 解得：， 将代入， 解得：． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，解题关键是根据已知条件得到新的方程组并求解． 【题型7 错解】 32．小明和小文同解一个二元一次方程组小明正确解得，小文因抄错了，解得，已知小文除抄错外没有发生其他错误，求的值． 【答案】 【分析】把代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出a与b的值，即可求出的值． 【详解】解：因为小明解法正确， 所以将代入得 故， 因为小文除抄错外没有发生其他错误， 所以应满足第二个方程． 代入得， 由解得 所以． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 33．已知方程组的正确解是小马虎因抄错C，解得，请求出A，B，C的值． 【答案】 【分析】将x与y的两对值代入原方程组中的第一个方程求出A,B的值，将x与y的第一对值代入方程组的第二个方程求出C的值，即可确定所求的值． 【详解】解：由题意得， 由②得C＝1， ①×3+③得14A＝28， 解得A＝2， 把A＝2代入①得B＝3． 所以． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，关键是明白二元一次方程的解的定义以及方程组的解法． 34．甲、乙两人同求方程的整数解，甲求出一组解为，而乙把中的7错看成1，求得一组解为，试求、的值． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的解的定义列方程组，求解即可得到答案． 【详解】解：把代入中，得， 把代入中，得， 由①②组成的方程组得： 解得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题关键． 【题型8 二元一次方程组新定义问题】 35．对于任意有理数、，定义新运算：（其中、是常数）．已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．11 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义和解二元一次方程组及代数式求值，解题关键是理解新定义的含义．根据已知条件和新定义，列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入求解即可． 【详解】解：，且，， 即 解得 ． 故选B． 36．对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了新运算、二元一次方程组的解法、二元一次方程的正整数解，解决本题的关键是把规定的新运算转化为一般的方程组，通过解方程组求出字母的值． 把和分别代入，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可； 由可知，可得：、，根据，可得关于、的方程组，整理可得，再根据、为正整数，分情况讨论确定于、的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， 可得方程组:， 得：， 解得， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为：， 的值为，的值为； （2）解：把，代入， 可得：， ， ， 原方程可化为， 整理得：， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，为负数，不符合题意，舍去； 方程的正整数解为． 37．一些关于方程组的问题，求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需36元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需14元 (3)4 【分析】（1）得：，，再得：，进而即可求解； （2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，1本日记本z元，由题意：买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需36元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，列出方程组，再由整体思想求出，即可求解； （3）由定义新运算：得①，②，求出，即可求解． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 得：， ∴， 故答案为：，； （2）设1支铅笔元，1块橡皮元，1本日记本元， 由题意得：， 得：， 即购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需14元； （3）∵， ∴①，②， ②－①得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识；熟练掌握整体思想和新运算，找准等量关系，列出方程组是解题的关键． 38．【阅读感悟】 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果． 【答案】(1)， (2)丙种钢条长米 (3)3 【分析】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； （3）将，代入，得到三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米； （3）将，代入，得： ， ，得：； ∴． 39．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.例如，． (1)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （2）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，解得：， ∵， ∴， 解得：． （2）解：由题意得：的解为， 由方程组得：， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解等知识点，根据新定义列出二元一次方程组、利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． 40．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2)m (3) 【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由题意得： 方程组的解为， ∴由方程组得方程组， ∴方程组的解满足， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$