第4章 平行四边形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙教版）

第4章 平行四边形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2024春•北仑区校级期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）（2024秋•天台县期末）点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2） 3．（3分）（2024春•吴兴区期中）用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（　　） A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60° 4．（3分）（2024春•上城区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（　　） A．50° B．80° C．100° D．130° 5．（3分）（2024春•瑞安市期中）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AB＝DC B．AB∥DC，AD∥BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，BO＝DO 6．（3分）（2024•杭州二模）如图，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，，D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，则EF的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 7．（3分）（2024春•婺城区期中）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝a，S△BQC＝b，S▱ABCD＝c，则阴影部分的面积为（　　） A．a+b B． C．c﹣2a﹣b D．2a+b 8．（3分）（2024春•萧山区校级月考）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（3分）（2024•柯桥区模拟）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（　　） A．四边形EHFG B．△AEG和△CHF C．四边形EBHO和四边形GOFD D．△AEO和四边形GOFD 10．（3分）（2024春•浙江期中）已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为60°，M，N是平行四边形边上的两点，且MN将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段MN的长度取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2024春•柯城区校级期中）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 　 　． 12．（3分）（2024春•诸暨市期末）已知平行四边形ABCD，AD＝5，∠A，∠C的平分线AE，CF交平行四边形的边于点E，点F，若AF＝1，则平行四边形ABCD的周长是 　 　． 13．（3分）（2024•浙江模拟）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝4，D是AB的中点，则CD的长为 　 　． 14．（3分）（2024•罗湖区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD＝10，则EF的长为 　 　． 15．（3分）（2024春•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，2），B（2，5），在x轴、y轴上分别有两动点C、D，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 　 　． 16．（3分）（2024春•上城区校级期中）已知以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且△ABC为直角三角形，AB＝4，AC＝3，则AD＝　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）（2024春•慈溪市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°． （1）求∠BAD的度数； （2）若AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝55°，求证：AE∥CD． 18．（6分）（2024春•萧山区校级期中）如图，在▱ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长． 19．（8分）（2024春•北仑区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G．求证：OG＝OH． 20．（8分）（2024春•瓯海区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，作DE⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连接CF，使∠A＝∠F． （1）求证：四边形ADFC是平行四边形． （2）连接CD，若E为DF中点，求证：CD＝AD． 21．（10分）（2024春•义乌市期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，点F在BC上，连结EF使EF恰好经过点O． （1）求证：ED＝FB． （2）若AC⊥BD，ED+CF＝5，AC＝6，求BD的长． 22．（10分）（2024•长兴县模拟）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，且AC平分∠DAF．连结AF，CE，AC． （1）判断四边形AFCE的形状，并说明理由． （2）若AB＝AF＝3，求AC的长度． 23．（12分）（2024春•下城区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，E，F，H分别是OD，OA，CB的中点，FH交BD于点G． （1）求证：线段FH与线段BE互相平分； （2）若EF＝12，求GH的长度； （3）求OG：CD的值． 24．（12分）（2024春•湖州期末） 探究将任意凸四边形“分割﹣重拼（不重叠、无缝隙）”得到正方形 素材1 取四边形ABCD各边的中点后，有两种方法可将其“分割一重拼”得到平行四边形． 方法一：如图1，沿对边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形； 方法二：如图2，沿邻边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形． 素材2 将平行四边形按图3折叠，并沿折痕分割，再重拼成矩形． 素材3 如图4，在矩形EFGH的EH边上取点M，连结FM，过点G作GN⊥FM于点N，沿FM，NG分割矩形EFGH，将△EFM沿射线EH平移，△FNG沿射线FN平移，重拼得到正方形NGPQ． 问题解决 任务1 请从素材1的两种方法中选择一种重拼得到的四边形是平行四边形； 任务2 根据素材3的操作过程，若EF＝3，FG＝4，求线段EM的长． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 平行四边形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2024春•北仑区校级期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可． 【解答】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2．（3分）（2024秋•天台县期末）点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2） 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案． 【解答】解：点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）． 故选：A． 3．（3分）（2024春•吴兴区期中）用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（　　） A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60° 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【解答】解：反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°， 故选：D． 4．（3分）（2024春•上城区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（　　） A．50° B．80° C．100° D．130° 【分析】由在▱ABCD中，若∠A+∠C＝100°，根据平行四边形的性质，可求得∠A的度数，又由平行线的性质，求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝100°， ∴∠A＝50°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝130°． 故选：D． 5．（3分）（2024春•瑞安市期中）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AB＝DC B．AB∥DC，AD∥BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，BO＝DO 【分析】利用平行四边形的判定方法依次判断可求解． 【解答】解：A、∵AB∥DC，AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由AB＝DC，BO＝DO，不能判定这个四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 6．（3分）（2024•杭州二模）如图，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，，D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，则EF的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DEAB，BDBC＝2，再结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理推出DF＝BD＝2，再代入EF＝DE﹣DF计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， 由勾股定理得：AB5， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBD， ∵D，E分别为BC，AC的中点， ∴DE∥AB，DEAB，BDBC＝2， ∴∠ABF＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠FBD， ∴DF＝BD＝2， ∴EF＝DE﹣DF， 故选：A． 7．（3分）（2024春•婺城区期中）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝a，S△BQC＝b，S▱ABCD＝c，则阴影部分的面积为（　　） A．a+b B． C．c﹣2a﹣b D．2a+b 【分析】根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形EDC的面积，连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFQ＝S△BCQ，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFG＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出四边形EPFQ的面积就是S△APD+S△BQC．再根据面积差可得答案． 【解答】解：连接E、F两点，过点E作EM⊥DC于点M， ∵S△DEC，S▱ABCD＝DC•EM＝c， ∴S△DECc， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC＝S△BCF， ∴S△EFQ＝S△BCQ， 同理：S△EFD＝S△ADF， ∴S△EFP＝S△ADP， ∵S△APD＝a，S△BQC＝b， ∴S四边形EPFQ＝a+b， 故阴影部分的面积为＝S△DEC﹣S四边形EPFQc﹣a﹣b． 故选：B． 8．（3分）（2024春•萧山区校级月考）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由ABBC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S平行四边形ABCD＝AB⋅AC；根据ABBC，OBBD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；可得OE是三角形的中位线，证得④OEBC；由等边三角形的性质得到∠AEC＝120°，根据等腰三角形的性质可得∠AEO∠AEC＝60°． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴AB＝EB， ∵∠ABE＝∠ADC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE＝AE， ∵ABBC， ∴BEBC， ∴BE＝CE＝AE， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°， ∴∠ECA＝30°， ∴∠CAD＝∠ECA＝30°， 故①正确； ∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°， ∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°， ∴AC⊥AB， ∴S▱ABCD＝AB•AC， 故②正确； AB⊥OA， ∴OB＞AB， ∴OB≠AB， 故③错误； ∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD//BC， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°， ∴AE＝CE， ∴BE＝CE， ∵OA＝OC， ∴OEABBC， 故④正确； ∵△ABE是等边三角形， ∴∠AEB＝60°， ∴∠AEC＝120°， ∵CE＝AE，OA＝OC， ∴∠AEO＝∠CEO∠AEC＝60°， 故⑤正确． 故选：D． 9．（3分）（2024•柯桥区模拟）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（　　） A．四边形EHFG B．△AEG和△CHF C．四边形EBHO和四边形GOFD D．△AEO和四边形GOFD 【分析】A、根据平行四边形的对角线平分平行四边形的面积可作判断； B、先根据等式的性质证明S▱BEOH＝S▱GOFD，再由同底边的平行四边形的面积的比是对应高的比可作判断； C、四边形EBHO的面积和四边形GOFD的面积相等，已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积； D、同选项B同理可作判断． 【解答】解：A、在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC， ∵EF∥AD，GH∥AB， ∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD， ∴四边形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四边形， ∴S△EOGS▱AEOG，S△EOHS▱BEOH，S△FOHS▱OHCF，S△FOGS▱OGDF， ∴四边形EHFG的面积▱ABCD的面积， ∴已知四边形EHFG的面积，可求出▱ABCD的面积， 故A不符合题意； B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO， ∴S▱BEOH＝S▱GOFD， ∵， ∴S▱BEOH＝S▱OGDF2， ∴已知△AEG和△CHF的面积，可求出▱ABCD的面积， 故B不符合题意； C、已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积， 故C符合题意； D、∵， ∴， ∴S▱OHCF＝S2▱OGDF•， ∴已知△AEO和四边形GOFD的面积，能求出▱ABCD面积； 故D不符合题意； 故选：C． 10．（3分）（2024春•浙江期中）已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为60°，M，N是平行四边形边上的两点，且MN将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段MN的长度取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可知，MN经过平行四边形的对角线的交点．设此平行四边形为四边形ABCD，其中AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°．则当MN垂直BC时，线段MN的长度最短，当线段MN与线段BD重合时，线段MN的长度最长．利用平行四边形的性质、特殊角的三角函数、勾股定理分别计算线段MN的长度的最小值与最大值，即可得出答案． 【解答】解：设此平行四边形为四边形ABCD，其中AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°．连接AC，BD相交于点O． ∵MN将此平行四边形分成面积相等的两部分， ∴MN过点O． 由题意知，当MN垂直BC时，线段MN的长度最短，当线段MN与线段BD重合时，线段MN的长度最长． 过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD＝AB＝2，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DCE＝∠ABC＝60°． ∴DE＝CD•sin60°＝2，CE＝CD•cos60°1， ∴BE＝BC+CE＝4， ∴BD， 即线段MN的长度的最大值为． 当MN垂直BC时， ∵AD∥BC， ∴MN⊥AD， ∴∠DMN＝∠MNE＝90°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEN＝90°， ∴四边形DENM为矩形， ∴MN＝DE， 即线段MN的长度的最小值为． ∴线段MN的长度取值范围是MN． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2024春•柯城区校级期中）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 　6　． 【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得． 【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°， ∴（n﹣2）×180°＝720°， 解得n＝6， ∴这个多边形的边数是6． 故答案为：6． 12．（3分）（2024春•诸暨市期末）已知平行四边形ABCD，AD＝5，∠A，∠C的平分线AE，CF交平行四边形的边于点E，点F，若AF＝1，则平行四边形ABCD的周长是 　18或22　． 【分析】分两种情况作出图形根据平行四边形的性质以及角平分线的定义求解即可． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DFC＝∠BCF， 又CF平分∠BCD， ∴∠BCF＝∠DCF＝∠DFC， ∴DF＝CD， ∵AD＝5，AF＝1， ∴CD＝DF＝5﹣1＝4， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD+CD）＝2×（5+4）＝18； 如图， 同上法可知，BF＝BC＝AD＝5， ∴AB＝BF+AF＝6， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（5+6）＝22， 综上所述，平行四边形ABCD的周长＝18或22， 故答案为：18或22． 13．（3分）（2024•浙江模拟）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝4，D是AB的中点，则CD的长为 　　． 【分析】方法一：过C作CH⊥AB于H，根据勾股定理即可得到结论； 方法二：延长CD到E使CD＝DE，连接AE，BE，根据线段中点的定义得到AD＝BD，推出四边形ABCD是平行四边形，得到AC＝BE＝6，AE＝BC＝4，根据阿波罗尼奥斯定理解方程即可得到结论． 【解答】解：方法一：过C作CH⊥AB于H， ∴∠AHC＝∠BHC＝90°， ∴AC2﹣AH2＝BC2﹣BH2＝CH2， ∴62﹣AH2＝42﹣（8﹣AH）2， ∴AH， ∴CH， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD＝4， ∴DH， ∴CD； 方法二：延长CD到E使CD＝DE，连接AE，BE， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∵CD＝DE， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝BE＝6，AE＝BC＝4， 由阿波罗尼奥斯定理得，AB2+CE2＝AC2+BC2+AE2+BE2， ∴82+CE2＝2×（62+42）， ∴CE＝2， ∴CDCE， 故答案为：． 14．（3分）（2024•罗湖区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD＝10，则EF的长为 　10　． 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理求解即可． 【解答】解：由题意得：△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线， ∴， 即AB＝2CD＝20， ∵E、F分别是AC、BC的中点， ∴． 故答案为：10． 15．（3分）（2024春•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，2），B（2，5），在x轴、y轴上分别有两动点C、D，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 　（﹣6，0），（6，0）或（﹣2，0）　． 【分析】根据题意，画出相应的图形，然后根据平行四边形的性质和分类讨论的方法，求出点C的坐标． 【解答】解：如图所示，作AM∥x轴，作BM⊥AM轴于点M， ∵A（﹣4，2），B（2，5）， ∴AM＝2﹣（﹣4）＝6， ∵点C、D分别在x轴、y轴上， ∴当AB∥C1D1时，则OC1＝AM，此时点C1的坐标为（﹣6，0）； 当AB∥C2D2时，则OC2＝AM，此时点C2的坐标为（6，0）； 当AB为对角线时，设点C3的坐标为（c，0），则，得c＝﹣2，此时点C3的坐标为（﹣2，0）； 故答案为：（﹣6，0），（6，0）或（﹣2，0）． 16．（3分）（2024春•上城区校级期中）已知以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且△ABC为直角三角形，AB＝4，AC＝3，则AD＝　5或或　． 【分析】当∠BAC＝90°时，根据勾股定理得到BC5．①当BC为对角线时，四边形ACD1B为矩形，②当AB为对角线时，③当AC为对角线时，根据平行四边形 到现在得到结论；当∠ACB＝90°时，BC，①当AB为对角线时，②当AC为对角线时，③当AC为对角线时，根据平行四边形的性质得到结论． 【解答】解：当∠BAC＝90°时，BC5． ①当BC为对角线时，四边形ACD1B为矩形， ∴AD1＝BC＝5； ②当AB为对角线时，AD2＝BC＝5； ③当AC为对角线时，AD3＝BC＝5； 当∠ACB＝90°时，BC， ①当AB为对角线时，AD1＝BC； ②当AC为对角线时，AD2＝BC； ③当BC为对角线时，AD3． 综上所述：AD＝5或或． 故答案为：5或或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）（2024春•慈溪市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°． （1）求∠BAD的度数； （2）若AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝55°，求证：AE∥CD． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD； （2）根据角平分线的定义求出∠DAE，根据平行线的性质求出∠AEB，得到∠AEB＝∠BCD，根据平行线的判定定理证明结论． 【解答】（1）解：∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠B＝180°， ∵∠B＝70°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣70°＝110°， ∴∠BAD的度数是 110°； （2）证明：∵AE平分∠BAD交BC于点E，∠BAD＝110°， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE＝55°， ∠BCD＝55°， ∴∠AEB＝∠BCD， ∴AE∥CD． 18．（6分）（2024春•萧山区校级期中）如图，在▱ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得AD∥BC，AD＝BC．根据平行线的性质，得∠ADB＝∠CBD，则∠ADE＝∠CBF．根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE＝CF，∠AED＝∠CBF，从而证明AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形； （2）根据勾股定理得到BD4，连接AC交EF于O，求得DO＝OBBD＝2，根据平行四边形的性质得到EO＝OFEF，设DE＝BF＝x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC． ∴∠ADB＝∠CBD． ∴∠ADE＝∠CBF． 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． ∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF． ∴AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，BC＝AD＝3， ∴BD4， 连接AC交EF于O， ∴DO＝OBBD＝2， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴EO＝OFEF， ∴DE＝BF， 设DE＝BF＝x， ∴EF＝2x+4， ∵EF﹣AF＝2， ∴AF＝2x+2， ∵AF2＝AD2+DF2， ∴（2x+2）2＝32+（4+x）2， ∴x（负值舍去）， ∴DE的长为． 19．（8分）（2024春•北仑区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G．求证：OG＝OH． 【分析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF＝∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH＝∠OHG，根据等角对等边即可证得． 【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM， ∵M、F分别是BC、CD的中点， ∴MF∥BD，MFBD， 同理：ME∥AC，MEAC， ∵AC＝BD， ∴ME＝MF， ∴∠MEF＝∠MFE， ∵MF∥BD， ∴∠MFE＝∠OGH， 同理∠MEF＝∠OHG， ∴∠OGH＝∠OHG， ∴OG＝OH． 20．（8分）（2024春•瓯海区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，作DE⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连接CF，使∠A＝∠F． （1）求证：四边形ADFC是平行四边形． （2）连接CD，若E为DF中点，求证：CD＝AD． 【分析】（1）由∠ACB＝90°，DE⊥BC，推出AC∥DF，得出∠A＝∠BDF，再证∠BDF＝∠F，则CF∥AB，即可得出结论； （2）根据条件可得BC垂直平分DF，即有CD＝CF，结合四边形ADFC是平行四边形，即可证明． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， 又∵DE⊥BC， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠BDF， ∵∠A＝∠F， ∴∠BDF＝∠F， ∴CF∥AB， 又∵AC∥DF， ∴四边形ADFC是平行四边形； （2）∵E为DF中点，DE⊥BC， ∴BC垂直平分DF， ∴CD＝CF， ∵四边形ADFC是平行四边形， ∴AD＝CF， ∴CD＝AD． 21．（10分）（2024春•义乌市期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，点F在BC上，连结EF使EF恰好经过点O． （1）求证：ED＝FB． （2）若AC⊥BD，ED+CF＝5，AC＝6，求BD的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质推出OD＝OB，AD∥BC，得到∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，即可证明△DEO和△BFO（AAS），推出DE＝BF． （2）求出BC＝5，由平行四边形的性质推出COAC＝3，BD＝2OB，由勾股定理求出OB4，即可得到BD＝2×4＝8． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB，AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO， 在△DEO和△BFO中， ， ∴△DEO和△BFO（AAS）， ∴DE＝BF． （2）由（1）知BF＝DE， ∵ED+CF＝5， ∴BF+CF＝BC＝5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴COAC6＝3，BD＝2OB， ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴OB4， ∴BD＝2×4＝8． 22．（10分）（2024•长兴县模拟）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，且AC平分∠DAF．连结AF，CE，AC． （1）判断四边形AFCE的形状，并说明理由． （2）若AB＝AF＝3，求AC的长度． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，而AEAD，CFBC，所以AE∥CF，且AE＝CF，可证明四边形AFCE是平行四边形，再由∠DAC＝∠FAC，∠DAC＝∠FCA，推导出∠FAC＝∠FCA，则AF＝CF，所以四边形AFCE是菱形； （2）由AB＝AF＝3，且AF＝CF＝BF，得AB＝AF＝CF＝BF＝3，则△ABC是等边三角形，BC＝2BF＝6，∠FAC＝∠FCA，由∠B＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC＝60°，求得∠FAC＝30°，则∠BAC＝90°，由勾股定理求得AC3． 【解答】解：（1）四边形AFCE是菱形， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴ADBC， ∵E，F分别是边AD，BC的中点， ∴AEAD，CFBC， ∴AE∥CF，且AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC平分∠DAF， ∴∠DAC＝∠FAC， ∵∠DAC＝∠FCA， ∴∠FAC＝∠FCA， ∴AF＝CF， ∴四边形AFCE是菱形． （2）∵AB＝AF＝3，AF＝CF＝BF， ∴AB＝AF＝CF＝BF＝3， ∴△ABC是等边三角形，BC＝2BF＝6，∠FAC＝∠FCA， ∴∠B＝∠AFB＝∠BAF＝60°， ∵∠B＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC＝60°， ∴∠FAC＝30°， ∴∠BAC＝∠BAF+∠FAC＝60°+30°＝90°， ∴AC3， ∴AC的长是3． 23．（12分）（2024春•下城区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，E，F，H分别是OD，OA，CB的中点，FH交BD于点G． （1）求证：线段FH与线段BE互相平分； （2）若EF＝12，求GH的长度； （3）求OG：CD的值． 【分析】（1）连接BF，EH，由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由中位线定理可知EF∥AD，，，可得EF∥BH，EF＝BH，可知四边形BFEH是平行四边形，即可证明结论； （2）由（1）知，EF＝12，得AD＝BC＝24，由平行四边形性质结合BD＝2AB，得AB＝OB，根据等腰三角形的性质可知BF⊥OA，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，进而可得； （3）由（1）（2）可知GE＝GB，OB＝AB，设OG＝x，CD＝y，利用平行四边形的性质表示出，GB＝OB﹣OG＝y﹣x，得等式整理即可求解． 【解答】（1）证明：连接BF，EH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵E，F，H分别是OD，OA，CB的中点，即EF为△AOD的中位线， ∴EF∥AD，，， ∴EF∥BH，EF＝BH， ∴四边形BFEH是平行四边形， ∴GH＝GF，GE＝GB， ∴线段FH与线段BE互相平分； （2）解：由（1）知，EF＝12， ∴AD＝BC＝24， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2OB， 又∵BD＝2AB， ∴AB＝OB， ∵F为OA的中点， ∴BF⊥OA， 又∵H为BC的中点， ∴， ∵GH＝GF， ∴； （3）由（1）（2）可知GE＝GB，OB＝AB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，OB＝OD， ∵E为OD的中点， ∴， 设OG＝x，CD＝y，则OB＝OD＝AB＝CD＝y， ， 则，GB＝OB﹣OG＝y﹣x， ∴y+x＝y﹣x， ∴OG：CD＝1：4． 24．（12分）（2024春•湖州期末） 探究将任意凸四边形“分割﹣重拼（不重叠、无缝隙）”得到正方形 素材1 取四边形ABCD各边的中点后，有两种方法可将其“分割一重拼”得到平行四边形． 方法一：如图1，沿对边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形； 方法二：如图2，沿邻边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形． 素材2 将平行四边形按图3折叠，并沿折痕分割，再重拼成矩形． 素材3 如图4，在矩形EFGH的EH边上取点M，连结FM，过点G作GN⊥FM于点N，沿FM，NG分割矩形EFGH，将△EFM沿射线EH平移，△FNG沿射线FN平移，重拼得到正方形NGPQ． 问题解决 任务1 请从素材1的两种方法中选择一种重拼得到的四边形是平行四边形； 任务2 根据素材3的操作过程，若EF＝3，FG＝4，求线段EM的长． 【分析】任务一：从素材1的两种方法中选择一种重拼得到的四边形是平行四边形，选方法一，如图1，依次连结E，F，G，H，连结AC；，如图2，连结AC分别进行推理； 任务二：由题意，得剪拼前后面积保持不变，S正方形GPQN＝S矩形EFGH＝12，，由题意，得△MQP≌△FNG，则FN+NM＝MQ+NM，在Rt△EFM中，由勾股定理得EM． 【解答】解：任务一：选方法一，如图1，依次连结E，F，G，H，连结AC， ∵EF分别为AB，CB的中点， ∴，同理 HG∥AC， ∴EF∥HG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∴HO＝FO，EO＝GO， 由拼接，得 O1O＝O2O3＝2HO．O1O2＝OO3＝2GO， ∴四边形O1OO3O2 是平行四边形． 选方法二，如图2，连结AC， ∵EF分别为AB，CB的中点，， 同理 ， ∴EF＝HG，同理可证EH＝FG， 由拼接，得 E1F1＝HG E1H＝F1G， ∴四边形E1HGF1 是平行四边形． 任务二：由题意，得剪拼前后面积保持不变，S正方形GPQN＝S矩形EFGH＝12，， 由题意，得△MQP≌△FNG， ∴FN＝MQ， ∴FN+NM＝MQ+NM，即 ， 在Rt△EFM中， 由勾股定理得． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$