专题01 数与式、方程与不等式（6大题型解题攻略精讲精练+中考练场）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题01 数与式、方程与不等式 目录 热点题型归纳 题型01 实数计算 1 题型02 代数式的运算 15 题型03 分式方程、无理方程 43 题型04 一元二次方程 59 题型05 二元二次方程组 75 题型06 解一元一次不等式（组） 85 题型01 实数计算 1.考查分值：10-14分。 2.考查题型：常以填空或计算题形式出现。 2.能力要求：近年中考注重运算过程规范性，建议强化基础训练，避免因计算失误失分。 【提分秘籍】 （1）绝对值化简：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数： （2）根式化简：； （3）指数化简：不会改变原数的正负性； （4）特殊的三角函数值要记牢。 三角函数 30° 45° 60° 1 【典例分析】 例1．（2024·上海·模拟预测）下列运算正确的是（  ） A． B． C．= D． 例2．（2024·上海·二模）下列数是有理数的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·上海·模拟预测）数轴上到0距离为3的点表示的数为 例4．（2024·上海·模拟预测）实数中绝对值最小的数是 例5．（2024·上海静安·二模）计算： ． 例7．（2024·上海·模拟预测）的平方根为a，若，则 °． 例8．（2024·上海黄浦·二模）计算：． 【变式演练】 1．（2024·上海徐汇·二模）下列实数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海静安·三模）下列实数中，不是有理数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海嘉定·二模）下列实数中．属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海静安·三模）下列四个选项中所表示的的取值范围与图中表示的的取值范围相同的是（    ） A．满足的 B．代数式中的 C．的三边长分别为和 D．到所表示的点的距离不大于的点所表示的 5.（2024·上海·三模）如图，在数轴上，点A，B分别表示数2，．如果点B在点A的右侧，那么x的取值范围是 ． 6．（2024·上海徐汇·二模）计算：． 7．（2024·上海嘉定·二模）计算： ． 8．（2024·上海·模拟预测）计算： 9．（2024·上海金山·三模）计算：． 10．（2024·上海闵行·三模）计算：． 1．（2025·上海静安·一模）下列各组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（2024·上海·中考真题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科学记数法表示） 3．（2024·上海·中考真题）计算：． 4．（2023·上海·中考真题）计算： 5．（2024·上海长宁·二模）计算： 6．（2024·上海长宁·三模）计算： ． 7．（2024·上海·模拟预测）计算： 8．（2024·上海松江·三模）计算： 9．（2025·上海徐汇·模拟预测）计算： 10．（2024·上海·模拟预测）新定义：无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，在平面直角坐标系中建立点为的青一坐标，同理可得的青一区间为，为的青一坐标，两坐标的距离，叫做的青一距． (1)的青一坐标与的青一坐标关于_________对称； (2)的青一区间为_______，的青一区间为_________，的青一距为_______； (3)实数x，y满足关系式：，若直线过的青一坐标和的青一坐标，求：的青一距和直线与x轴夹角的正弦值． 题型02 代数式的运算 1.考查分值：4-12分，且贯穿于方程、函数、几何等综合题型中。 2.考查题型： 化简求值（含整式、分式）、因式分解常以填空或计算题形式出现； 乘法公式（如平方差、完全平方公式）的应用是必考重点。 3.易错点：符号处理、运算顺序、公式误用。建议强化基本法则训练，避免因细节失误丢分。 【解题策略】 幂的运算：①同底数幂的乘法：am·an=am+n；②幂的乘方：(am)n=amn； ③积的乘方：(ab)n=anbn；④同底数幂的除法：am÷an=am-n。 整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b² ； ②完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²。 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的，先算括号内的，去括号时，先去小括号，再去中大括号 二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） 二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 【典例分析】 例1．（2024·上海·三模）在实数范围内因式分解： ． 例2．（2024·上海徐汇·三模）当时， ． 例3．（2024·上海嘉定·三模）化简：= 例4．（2024·上海·模拟预测）若，则 例5．（2025·上海徐汇·模拟预测）某零件厂接到要铸造5000个铁质工件的订单，从三个方向看到的这种铁质工件的形状图如图所示（单位：），已知铸造这批铁质工件的原料是生铁，每立方厘米的生铁重克，忽略损耗．那么铸造这批铁质工件需要生铁 吨 例6．（2024·上海杨浦·模拟预测）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”： 则从上往下数第行，左边第二个数是 ． 例7．（2024·上海虹口·二模）先化简，再求值：，其中． 例8．（2024·上海徐汇·三模）已知：，求：值． 例9．（2024·上海·模拟预测）先化简，再从不等式组的解集中选择合适的整数解代入求值 【变式演练】 1．（2024·上海徐汇·二模）下列单项式中，与单项式是同类项的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海浦东新·三模）下列二次根式，被开方数中各因式的指数都为1的是 （    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海静安·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海静安·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海黄浦·二模）多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是（    ） A．提取公因式法 B．公式法 C．十字相乘法 D．分组分解法 6．（2024·上海普陀·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·上海浦东新·三模）下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 8．（2024·上海杨浦·三模）单项式的次数是 ． 9．（2024·上海杨浦·一模）计算： ． 10．（2024·上海·三模）计算： ． 11．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，观察方框中数字的规律，并根据你得到的规律，猜想字母e表示的数为 12．（2024·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0： 13．（2024·上海崇明·三模）计算 ． 14．（2024·上海徐汇·三模）在实数范围内分解因式， ． 15．（2024·上海·模拟预测）在实数范围内因式分解： ． 16．（2024·上海·模拟预测）因式分解： . 17．（2024·上海·模拟预测）因式分解： ． 18．（2024·上海嘉定·三模）因式分解： 19．（2024·上海杨浦·模拟预测）因式分解： ． 20．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 21．（2024·上海·模拟预测）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，第一次对折后的图形面积为，第二次对折后面积为，以此类推，第n次对折后得到图形面积为，则 ． 22．（2024·上海闵行·二模）先化简，再求值：，其中． 23．（2024·上海·模拟预测）已知，先化简：，再求它的值 1．（2025·上海静安·一模）下列代数式中，不是单项式的是（    ） A． B． C．0 D． 2．（2023·上海·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·上海·中考真题）下列运算正确的是……（  ） A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（a-b）=a² -b2 4．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 5．（2024·上海·中考真题）计算： ． 6．（2024·上海·中考真题）计算 ． 7．（2023·上海·中考真题）化简：的结果为 ． 8．（2024·上海嘉定·二模）计算： ． 9．（2025·上海静安·一模）计算： ． 10．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 11．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 12．（2025·上海宝山·模拟预测）分解因式： 13．（2025·上海徐汇·模拟预测）天干地支纪年法是我国的文化瑰宝．其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2024年是“甲辰”年，那么据此推算，2224年用天干地支纪年法对应的年份是 年 14．（2024·上海杨浦·三模）先化简，再求值：，其中． 15．（2024·上海·模拟预测）小吴将方程组：的解代入代数式：时，误将y的值解错，但答案依然正确，请你简要描述原因，并求出答案． 16．（2024·上海·模拟预测）小杨同学正在研究关于某一个数是否能被7整除的相关规律，他以整数7为代表，他发现，根据去尾相加法，可以得知，以下是他对数字1176的探究过程： 1176去掉个位6得117，并加上6的5倍得到147，去掉147的个位7，加上7的5倍，得到，故1176可以被7整除． (1)请判断4165是否能被7整除，并证明小杨方法的正确性 (2)小浦同学在小杨同学研究的基础上，发现了去尾相减法，请写出小浦同学的方法，并判断数字9163是否能被7整除 (3)你还能探究出其他判断一个数能否被7整除的方法吗，请直接写出你的方法（无需证明） 17．（2024·上海·模拟预测）计算： 18．（2024·上海·模拟预测）求：方程所有解的和与方程所有解的和的比值 题型03 分式方程、无理方程 1.考查分值：4-8分 2.分式方程易错点： 去分母产生增根：去分母时，方程两边同乘的最简公分母可能为零，导致产生增根，而学生往往忽略对增根的检验。 忽略分母不能为零的条件：在求解分式方程的过程中，有时会忽略分母不能为零的隐含条件。 分式方程解题技巧 检验增根：解分式方程一定要检验，将求得的根代入最简公分母，若最简公分母为零，则为增根，应舍去。 化整求解：通过去分母将分式方程化为整式方程求解，去分母时要准确找到最简公分母。 3.无理方程易错点： 检验增根：无理方程检验分两步，第一步看根式是否有意义，第二步看等式两边是否相等。 【提分秘籍】 解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 解分式方程应用题 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 解无理方程的一般步骤 （1）方程两边平方，化成整式方程； （2）解这个整式方程，求出整式方程的根； （3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解． 【典例分析】 例1．（2024·上海·三模）下列方程中有实数根的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·上海长宁·三模）用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（　　） A． B． C． D． 例3．（2024·上海宝山·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对 例4．（2024·上海金山·二模）已知关于x的方程，则 ． 例5．（2024·上海长宁·二模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 例6．（2024·上海虹口·三模）解分式方程：． 【变式演练】 1．（2024·上海·模拟预测）野豪猪内卷会用6000元购进一批试卷，每套试卷含数理化三科，每套以比进价高10元的优惠价格卖给成员，在销售过程中，因多出5套试卷，以每套10元的白菜价送给了其他同学，最后野豪猪内卷会盈利950元，则一套试卷的进价为（    ） A．50元 B．100元 C．120元 D．240元 2．（2024·上海静安·二模）方程的根为 ． 3．（2024·上海杨浦·三模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 4．（2024·上海·模拟预测）解方程：的解为 ． 5．（2024·上海崇明·模拟预测）解方程： 6．（2024·上海普陀·二模）解方程：． 1．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海·中考真题）已知关于的方程，则 3．（2024·上海浦东新·三模）方程的解是 ． 4．（2024·上海·模拟预测）解方程：的解为 ． 5．（2024·上海闵行·二模）分式方程的解是 ． 6．（2024·上海嘉定·二模）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ． 7．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ． 8．（2024·上海松江·三模）若分式方程有增根，则k的值为 9．（2024·上海嘉定·三模）解方程： 10．（2024·上海金山·二模）解方程：． 11．（2024·上海·模拟预测）某品牌新能源汽车原厂年销售总额为万元，年销售总额为万元，年每辆车的销售价格比年降低万元，年销售量是年销售量的倍 (1)求年每辆车的销售价格 (2)若年某汽车专卖店从该新能源汽车原厂进购辆车，每售出一辆车要交税万元，则为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于多少元？ 题型04 一元二次方程 1.考查分值：4-8分 2.易错点 判别式使用错误：在判断一元二次方程根的情况时，对判别式b2 - 4ac的计算或判断不准确。 忽略二次项系数不为零：在确定方程是一元二次方程时，有时会忽略二次项系数不能为零的条件。 3. 解题技巧 牢记公式：熟练掌握一元二次方程的求根公式，以及判别式与根的关系。 合理配方：对于一些一元二次方程，可以通过配方的方法将其化为完全平方式，方便求解 【提分秘籍】 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【典例分析】 例1．（2024·上海·模拟预测）关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．无实数根 D．由于不知道m的值，无法确定 例2．（2024·上海杨浦·三模）下列关于的方程，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·上海普陀·二模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为，，足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ） A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系 例5．（2024·上海杨浦·一模）根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程 ． 例6．（2024·上海黄浦·二模）现有一张矩形纸片，其周长为厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为厘米的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是立方厘米，设原矩形纸片的长是厘米，那么可列出方程为 ． 例7．（2024·上海·模拟预测）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元． 【变式演练】 1．（2024·上海嘉定·二模）关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 2．（2024·上海静安·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．取一切实数 D． 3．（2024·上海普陀·三模）在解答“一元二次方程的根的判别式为 ”的过程中，小普同学的作业中出现了下面几种答案，其中正确的答案是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·上海奉贤·二模）下列关于的方程中有实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海宝山·三模）下列说法正确的是（   ） A．若，则只需满足 B．方程的两根之积为1 C．边长为5的菱形的两条对角线交于O点，且、的长分别是关于x的方程的两根，则m等于 D．关于x的方程有实数根，则a满足且 6．（2024·上海黄浦·二模）已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 7．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根． 8．（2024·上海松江·二模）如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么k= ． 9．（2024·上海浦东新·三模）如果关于x的一元二次方程有实数根，那么实数m的取值范围是 ． 10．（2024·上海·二模）如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是 ． 11．（2024·上海松江·二模）我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为 万辆． 12．（2025·上海青浦·一模）某公司10月份产值是120万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为，如果12月份的产值为万元，那么关于的函数解析式为 ． 1．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海·中考真题）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是 ． 3．（2022·上海·中考真题）已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 4．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为 ． 5．（2024·上海·模拟预测）关于x的方程：，有两个相等实数根，则 ，有两个不相等实数根，k的取值范围为 ，两根之和为 ，两根之积为 ． 6．（2024·上海宝山·一模）一次函数不经过第三象限，关于x的方程的解的个数为 ． 7．（2024·上海·模拟预测）若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为 ． 8．（2024·上海·模拟预测）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元． (1)求这种玩具的进价． (2)求平均每次降价的百分率（精确到0.1﹪） 题型05 二元二次方程组 1.考查分值：4-10分 2.易错点 消元方法选择不当：在解二元一次方程组时，不能根据方程组的特点灵活选择消元方法，导致计算繁琐或出错。 代入消元时计算错误：代入消元时，对含未知数的式子进行代入时，容易出现计算错误。 3.解题技巧 观察方程组特点：根据方程组中未知数的系数特点，选择合适的消元方法，如代入消元法或加减消元法。 回代检验：求出方程组的解后，要将解代入原方程组进行检验，确保答案的正确性。 【提分秘籍】 解二元二次方程组的基本方法： （1）对于二元二次方程组有一个方程是一次方程时，选用代入消元法； （2）对于能够将二次方程进行因式分解成两个一次因式乘积为零的方程，选择因式分解法降次． 【典例分析】 例1．（2024·上海奉贤·二模）解方程组： 例2．（2024·上海嘉定·二模）解方程组： 例3．（2024·上海·二模）解方程组：． 【变式演练】 1．（2024·上海徐汇·二模）方程组的解是 ． 2．（2024·上海·模拟预测）方程的解为 ． 3．（2024·上海青浦·二模）解方程组： 4．（2024·上海杨浦·一模）解方程组：． 5．（2024·上海长宁·二模）解方程组： 1．（2022·上海·中考真题）解方程组的结果为 ． 2．（2024·上海宝山·三模）若，则关于x、y的方程组的解为 3．（2024·上海·三模）解方程组． 4．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 5． （2024·上海松江·二模）解方程组：． 6． 题型06 解一元一次不等式（组） 1.考查分值：4-10分 2.解题技巧 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【提分秘籍】 解一元一次不等式的一般步骤： ①去分母：防止漏乘不含分母的项，乘以（或除以）负数时，不等号要改变方向，分子是多项式时，须加括号； ②去括号：防止漏乘括号内的项和出现符号错误； ③移项：过了不等号的项要变号； ④合并同类项：防指计算错误； ⑤系数化为1：除以负数时要改变不等号的方向。 一元一次不等式组的解法： 第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。 3. 一元一次不等式（组）的应用：审题设未知数找不等关系列不等式（组）解不等式（组）检验回答 【典例分析】 例1．（2024·上海杨浦·一模）已知，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·上海虹口·模拟预测）不等式的解集为 ． 例3．（2024·上海普陀·二模）不等式组的解集是 ． 例4．（2024·上海静安·二模）解不等式组，并写出它的整数解． 例5．（2024·上海·模拟预测）解不等式组：并把它的解集表示在数轴上 【变式演练】 1．（2024·上海松江·二模）如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（　） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·上海金山·二模）不等式的解集是 ． 4．（2024·上海闵行·二模）不等式组的解集是 ． 5．（2024·上海奉贤·二模）不等式组的解集是 ． 6．（2024·上海黄浦·二模）解不等式组： 7．（2024·上海·三模）解不等式组：． 8．（2024·上海·三模）解不等式组：并写出其整数解 9．（2024·上海虹口·三模）解不等式组并将其解集表示在所给数轴上． 1．（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）不等式的解集为 ． 3．（2024·上海嘉定·二模）不等式的最小整数解是 ． 4．（2024·上海徐汇·二模）不等式组的解集是 ． 5．（2024·上海徐汇·三模）不等式组的整数解是 ． 6．（2025·上海宝山·模拟预测）最近我校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为 7．（2022·上海·中考真题）解关于x的不等式组 8．（2024·上海·模拟预测）解不等式组：，并在数轴上画出解集． 9．（2024·上海宝山·三模）解不等式组：，并直接写出它的整数解 10．（2024·上海·模拟预测）解不等式组：，并写出这个不等式组的自然数解． 11．（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数与式、方程与不等式 目录 热点题型归纳 题型01 实数计算 1 题型02 代数式的运算 15 题型03 分式方程、无理方程 43 题型04 一元二次方程 59 题型05 二元二次方程组 75 题型06 解一元一次不等式（组） 85 题型01 实数计算 1.考查分值：10-14分。 2.考查题型：常以填空或计算题形式出现。 2.能力要求：近年中考注重运算过程规范性，建议强化基础训练，避免因计算失误失分。 【提分秘籍】 （1）绝对值化简：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数： （2）根式化简：； （3）指数化简：不会改变原数的正负性； （4）特殊的三角函数值要记牢。 三角函数 30° 45° 60° 1 【典例分析】 例1．（2024·上海·模拟预测）下列运算正确的是（  ） A． B． C．= D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据平方根的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意． B、，则B不符合题意． C、，则C符合题意． D、，则D不符合题意． 故选：C． 例2．（2024·上海·二模）下列数是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数的概念，根据有理数包括整数和分数求解即可． 【详解】解：A．是无理数，故本选项不符合题意； B．是无理数，故本选项不符合题意； C．是无理数，故本选项不符合题意； D．是分数，属于有理数，故本选项符合题意； 故选：D． 例3．（2024·上海·模拟预测）数轴上到0距离为3的点表示的数为 【答案】 【分析】本题考查了数轴上到点距离的问题．根据数轴上两点间的距离公式，即可求解． 【详解】解：数轴上到0距离为3的点表示的数为． 故答案为： 例4．（2024·上海·模拟预测）实数中绝对值最小的数是 【答案】0 【分析】本题考查了实数的性质，绝对值的概念，正确理解实数的性质及绝对值的概念是解题的关键．根据绝对值的定义，绝对值是数轴上表示一个数的点到原点的距离，距离是非负数进行解答． 【详解】实数中绝对值最小的数是0． 故答案为：0． 例5．（2024·上海静安·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的化简，运用绝对值垢性质进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 例7．（2024·上海·模拟预测）的平方根为a，若，则 °． 【答案】45 【分析】本题主要考查锐角三角函数，先求的立方根和平方根，再结合被开方数的特点得到a的值，进一步计算得到的值，根据其值倒退得到余弦值的角度． 【详解】解：∵的平方根为a， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， 故答案为： 例8．（2024·上海黄浦·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值以及二次根式的分母有理话，计算零次幂，最后再算加减法． 【详解】解： 【变式演练】 1．（2024·上海徐汇·二模）下列实数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数的分类及算术平方根，熟练掌握实数的分类及算术平方根是解题的关键；根据实数的分类可进行排除选项． 【详解】解：∵， ∴是有理数，而、、是无理数； 故选B． 2．（2024·上海静安·三模）下列实数中，不是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，根据定义判定即可：整数和分数统称为有理数；无理数即无限不循环小数． 【详解】解：A、是有理数，故本选项不符合题意； B、为循环小数，是有理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、是有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（2024·上海嘉定·二模）下列实数中．属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数和分数统称有理数，计算判断即可． 本题考查了有理数，无理数的区别，熟练掌握概念是解题的关键． 【详解】A. 是有理数，符合题意；     B. 是无理数，不符合题意；     C. 是无理数，不符合题意；     D. 是无理数，不符合题意； 故选A． 4．（2024·上海静安·三模）下列四个选项中所表示的的取值范围与图中表示的的取值范围相同的是（    ） A．满足的 B．代数式中的 C．的三边长分别为和 D．到所表示的点的距离不大于的点所表示的 【答案】D 【分析】由数轴可知，解集为，然后根据解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的应用，数轴上两点之间的距离对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由数轴可知，解集为， A中的解集为，故不符合要求； B中，， 解得，，故不符合要求； C中第三边长的取值范围为，即，故不符合要求； D中， 解得，，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示解集，解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的应用，数轴上两点之间的距离等知识．熟练掌握在数轴上表示解集，解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的应用，数轴上两点之间的距离是解题的关键． 5.（2024·上海·三模）如图，在数轴上，点A，B分别表示数2，．如果点B在点A的右侧，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解一元一次不等式，根据数轴上越靠近正方向的数越大可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵在数轴上，点A，B分别表示数2，．点B在点A的右侧， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（2024·上海徐汇·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．先计算零指数幂、化简二次根式、绝对值，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 7．（2024·上海嘉定·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是实数的运算，根据二次根式的化简，分数指数幂的运算，绝对值的性质即可求解． 【详解】解： 8．（2024·上海·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用绝对值的性质、负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 9．（2024·上海金山·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角形函数值、二次根式的性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先运用乘方、绝对值、负整数次幂、二次根式、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 10．（2024·上海闵行·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 原式第一项利用立方根的定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项分母有理化，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 【详解】 ． 1．（2025·上海静安·一模）下列各组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，求一个数的立方根，根据有理数的乘方运算法则和立方根定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．和，相等，故A不符合题意； B．和，，故B符合题意； C．和，相等，故C不符合题意； D．和，相等，故D不符合题意． 故选：B． 2．（2024·上海·中考真题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【详解】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的倍， 故答案为：． 3．（2024·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 4．（2023·上海·中考真题）计算： 【答案】 【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键． 5．（2024·上海长宁·二模）计算： 【答案】 【分析】先求一个数的立方根，化简绝对值，分母有理化，求一个数的零指数幂，依次计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，立方根的性质、绝对值的性质、分母有理化、零指数幂的性质，正确化简是解题的关键． 6．（2024·上海长宁·三模）计算： ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了分母有理化，实数的运算，负整数指数幂和分数指数幂，先计算分数指数幂，负整数指数幂和分母有理化，再去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 7．（2024·上海·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算负整数指数幂、立方根、绝对值、零指数幂，再进行加减计算即可． 【详解】解： 8．（2024·上海松江·三模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可解答； 【详解】解：原式 ． 9．（2025·上海徐汇·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，涉及含特殊角的三角函数值，零次幂，分母有理化．先代入特殊角的三角函数值，分母有理化，计算零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 10．（2024·上海·模拟预测）新定义：无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，在平面直角坐标系中建立点为的青一坐标，同理可得的青一区间为，为的青一坐标，两坐标的距离，叫做的青一距． (1)的青一坐标与的青一坐标关于_________对称； (2)的青一区间为_______，的青一区间为_________，的青一距为_______； (3)实数x，y满足关系式：，若直线过的青一坐标和的青一坐标，求：的青一距和直线与x轴夹角的正弦值． 【答案】(1)原点 (2)，， (3)， 【分析】本题考查坐标与中心对称，无理数的估算，求一次函数的解析式，求正弦值： （1）根据点的坐标特征，进行判断即可； （2）根据青一区间和青一距的定义，进行求解即可； （3）非负性求出的值，进而求出青一区间和青一距，待定系数法求出函数解析式，数形结合求出角的正弦值即可． 【详解】（1）解：和的横纵坐标均为相反数， 故的青一坐标与的青一坐标关于原点对称； 故答案为：原点； （2）∵， ∴的青一区间为； ∵ ∴的青一区间为； ∵， ∴的青一区间为，的青一区间为； ∴的青一距为； 故答案为：，，； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的青一区间为：，的青一区间为：， ∴的青一距为； ∵直线过的青一坐标和的青一坐标，即直线过和， ∴，解得：， ∴， 如图：不妨设，过点作轴，则：， ∴， ∴． 题型02 代数式的运算 1.考查分值：4-12分，且贯穿于方程、函数、几何等综合题型中。 2.考查题型： 化简求值（含整式、分式）、因式分解常以填空或计算题形式出现； 乘法公式（如平方差、完全平方公式）的应用是必考重点。 3.易错点：符号处理、运算顺序、公式误用。建议强化基本法则训练，避免因细节失误丢分。 【解题策略】 幂的运算：①同底数幂的乘法：am·an=am+n；②幂的乘方：(am)n=amn； ③积的乘方：(ab)n=anbn；④同底数幂的除法：am÷an=am-n。 整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b² ； ②完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²。 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的，先算括号内的，去括号时，先去小括号，再去中大括号 二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） 二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 【典例分析】 例1．（2024·上海·三模）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是在实数范围内分解因式，先提取公因式，再利用公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为： 例2．（2024·上海徐汇·三模）当时， ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握是解题的关键． 根据的进行计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 例3．（2024·上海嘉定·三模）化简：= 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 先化简小括号内分式，再将除法转化为乘法计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 例4．（2024·上海·模拟预测）若，则 【答案】1 【知识点】完全平方公式分解因式、零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂的运算，利用完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先计算的值，得到，再根据完全平方公式将化为，最后将代入，即得答案． 【详解】解：， ， ． 故答案为：1． 例5．（2025·上海徐汇·模拟预测）某零件厂接到要铸造5000个铁质工件的订单，从三个方向看到的这种铁质工件的形状图如图所示（单位：），已知铸造这批铁质工件的原料是生铁，每立方厘米的生铁重克，忽略损耗．那么铸造这批铁质工件需要生铁 吨 【答案】312 【知识点】列代数式、已知三视图求侧面积或表面积 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求几何体的体积；难点是得到几何体的形状，关键是得到所求的等量关系的相对应的值． 【详解】解：工件的体积为, 重量为（克）（千克）， 铸造5000件工件需生铁，（千克）（吨）． 故答案为：312． 例6．（2024·上海杨浦·模拟预测）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”： 则从上往下数第行，左边第二个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律题，根据题意可知第行左边第个数为，由此可得第行第个数为，据此求解即可，正确找到规律是解题的关键． 【详解】解：由第行左边第个：， 第行左边第个：， 第行左边第个：， 第行左边第个：， 第行左边第个：， ∴第行左边第个：， 则第行第个数为， 故答案为：． 例7．（2024·上海虹口·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值、分母有理化 【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，． 例8．（2024·上海徐汇·三模）已知：，求：值． 【答案】2 【知识点】运用完全平方公式进行运算、负整数指数幂、分母有理化 【分析】本题考查了负整数指数幂、分母有理化以及完全平方公式的运算，先整理得出，，，再运用完全平方公式展开代入数值，进行计算即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴ 例9．（2024·上海·模拟预测）先化简，再从不等式组的解集中选择合适的整数解代入求值 【答案】， 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了分式的化简求值、解一元一次不等式组、分式有意义的条件，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，解一元一次不等式组，得出的取值范围，结合分式有意义的条件得出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：， ∵，， ∴，0，， ∴当时，原式． 【变式演练】 1．（2024·上海徐汇·二模）下列单项式中，与单项式是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据字母相同，字母的指数也相同的项叫做同类项，进行判断即可． 【详解】解：与单项式是同类项的是； 故选C． 2．（2024·上海浦东新·三模）下列二次根式，被开方数中各因式的指数都为1的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、因为，4的指数不是1，故本选项不符合题意； B、被开方式的指数为1，故本选项符合题意； C、的指数为2，故本选项不符合题意； D、的指数为5，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（2024·上海静安·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是同底数幂的除法，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方，合并同类项．分别根据同底数幂的除法法则，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，正确，本选项符合题意； B、，原计算错误，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项不符合题意； D、，原计算错误，本选项不符合题意． 故选：A． 4．（2024·上海静安·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分数指数幂、幂的乘方运算、同底数幂相乘、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考好了同底数幂乘除法计算，分数指数幂，积的乘方的逆运算，幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5．（2024·上海黄浦·二模）多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是（    ） A．提取公因式法 B．公式法 C．十字相乘法 D．分组分解法 【答案】A 【知识点】单项式乘多项式的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法． 【详解】解：多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法． 故选∶A． 6．（2024·上海普陀·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查合并同类项，单项式乘以单项式以及单项式除以单项式，运用相关运算法则求出各选项的结果，再进行判断即可 【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，计算正确，符合题意； D. ，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C 7．（2024·上海浦东新·三模）下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式除以单项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式．根据合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘单项式的法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 8．（2024·上海杨浦·三模）单项式的次数是 ． 【答案】4 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式次数的定义，在单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：单项式的次数， 故答案为：4． 9．（2024·上海杨浦·一模）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了单项式的除法，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是关键． 根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（2024·上海·三模）计算： ． 【答案】/ 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查的是合并同类项，直接把同类项的系数相加减即可． 【详解】解：， 故答案为： 11．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，观察方框中数字的规律，并根据你得到的规律，猜想字母e表示的数为 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，能根据题意发现各方框中数字之间的关系是解题的关键． 根据所给图形，观察各方框中数字之间的关系，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由图可知： ， ， ， ， 故答案为：． 12．（2024·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0： 【答案】 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件及分式不为零的条件，由有意义时，即可得到答案，熟记分式有意义的条件及分式不为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：有意义， ，即， 解得，且， ，则是一个含的二次分式，当它有意义时，可能大于0，可能小于0，不可能等于0， 故答案为：． 13．（2024·上海崇明·三模）计算 ． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查分式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据平方差公式，完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（2024·上海徐汇·三模）在实数范围内分解因式， ． 【答案】 【知识点】十字相乘法、二次根式的乘法 【分析】本题考查因式分解，二次根式的乘法，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键．根据题意，利用十字相乘因式分解． 【详解】解： ． 15．（2024·上海·模拟预测）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了在实数范围内因式分解．熟练掌握在实数范围内因式分解是解题的关键． 利用公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 16．（2024·上海·模拟预测）因式分解： . 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、分组分解法 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法进行因式分解成为解题的关键. 将分成，然后各组分别因式分解，最后提取公因式即可. 【详解】解： 故答案为： 17．（2024·上海·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，根据立方和公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 18．（2024·上海嘉定·三模）因式分解： 【答案】 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查运用分组分解法和公式法分解因式，原式先去括号，再运用公式法进行因式分解即可 【详解】解： 故答案为： 19．（2024·上海杨浦·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，直接利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 20．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了提取公因式法和公式法分解因式，首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，正确运用乘法公式分解因式是解题的关键． 【详解】解： ． 21．（2024·上海·模拟预测）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，第一次对折后的图形面积为，第二次对折后面积为，以此类推，第n次对折后得到图形面积为，则 ． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形中的规律问题．掌握“错位相减法”是解题关键．由题意可得，据此即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，… 故 ∴ 得： 故答案为： 22．（2024·上海闵行·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分式加减乘除混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查分式的四则运算以及二次根式的化简求值，根据分式的加法法则，除法法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 23．（2024·上海·模拟预测）已知，先化简：，再求它的值 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先利用分式的减法法则进行化简，再求出，代入计算即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 1．（2025·上海静安·一模）下列代数式中，不是单项式的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的定义，较为简单，要准确掌握定义．数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【详解】解：解：A．是单项式； B．，是单项式； C．0，是单项式； D．，是多项式． 故选：D． 2．（2023·上海·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可． 【详解】解：A、，故正确，符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 3．（2022·上海·中考真题）下列运算正确的是……（  ） A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（a-b）=a² -b2 【答案】D 【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方差公式计算并判定D． 【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意； B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意； C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意 D.（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 4．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 5．（2024·上海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（2024·上海·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 7．（2023·上海·中考真题）化简：的结果为 ． 【答案】2 【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可． 【详解】解：； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键． 8．（2024·上海嘉定·二模）计算： ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查的是多项式乘多项式的运算法则．第一个整式的每一项与另一个整式的每一项相乘再相加即可．熟练掌握多项式乘多项式的运算方法是解决此题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 9．（2025·上海静安·一模）计算： ． 【答案】 【知识点】幂的混合运算、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据幂的乘方和同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟悉完全平方公式和因式分解的概念，是解题的关键．根据完全平方公式分解因式，即可． 【详解】解： 故答案为：． 11．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查特殊角的三角函数，因式分解等知识，先利用化简，再用平方差公式分解即可，掌握特殊角三角函数是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（2025·上海宝山·模拟预测）分解因式： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，根据因式分解的方法：1、提公因式法；2、公式法（完全平方式，平方差公式）；3、“十字相乘”法对其分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（2025·上海徐汇·模拟预测）天干地支纪年法是我国的文化瑰宝．其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2024年是“甲辰”年，那么据此推算，2224年用天干地支纪年法对应的年份是 年 【答案】甲子 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探究．由题意可知天干10年为一周期，地支十二年为一周期，分别用200除以两个周期得到余数，再根据余数判断即可． 【详解】解：由题意可知天干10年为一周期，地支十二年为一周期， ， 则，则2224年的天干为甲， 余8 ，则2224年的地支为子， 则2224年是甲子年， 故选：甲子． 14．（2024·上海杨浦·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值．先计算小括号内的减法，再计算括号外的除法，最后将代入化简的式子进行分母有理化即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 15．（2024·上海·模拟预测）小吴将方程组：的解代入代数式：时，误将y的值解错，但答案依然正确，请你简要描述原因，并求出答案． 【答案】原因见解析，5 【知识点】分式化简求值、代入消元法、解分式方程 【分析】此题考查了二元一次方程组，解分式方程，分式的化简求值， 首先求出方程组的解为，然后化简分式，然后将代入求解即可． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴将代入，解得 ∴方程组：的解为 ∵化简后的式子中不含y， ∴化简后的式子的值和y的值无关 将代入原式． 16．（2024·上海·模拟预测）小杨同学正在研究关于某一个数是否能被7整除的相关规律，他以整数7为代表，他发现，根据去尾相加法，可以得知，以下是他对数字1176的探究过程： 1176去掉个位6得117，并加上6的5倍得到147，去掉147的个位7，加上7的5倍，得到，故1176可以被7整除． (1)请判断4165是否能被7整除，并证明小杨方法的正确性 (2)小浦同学在小杨同学研究的基础上，发现了去尾相减法，请写出小浦同学的方法，并判断数字9163是否能被7整除 (3)你还能探究出其他判断一个数能否被7整除的方法吗，请直接写出你的方法（无需证明） 【答案】(1)能，证明见解析 (2)见解析，能 (3)见解析 【知识点】有理数四则混合运算、因式分解的应用 【分析】本题考查有理数运算，因式分解的应用： （1）根据去尾相加法，进行判断和证明即可； （2）一个数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除，利用此种方法判断9163能够被7整数即可； （3）去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除． 【详解】（1）解：4165去掉个位5得416，并加上5的5倍得到441，去掉441的个位1，加上1的5倍，得到，故4165可以被7整除； 证明：一个数，若，则：， ∴， 即：可以被7整数； （2）解：方法为：一个数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除； 9163去掉个位3，得到916，再减去3的2倍得到910，去掉910的个位0，减去0的2倍，得到，故9163能被7整除； （3）解：去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除． 17．（2024·上海·模拟预测）计算： 【答案】2019 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理化、平方差公式的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．将原式整理为，化简后利用平方差公式求解即可． 【详解】解：原式 ． 18．（2024·上海·模拟预测）求：方程所有解的和与方程所有解的和的比值 【答案】 【知识点】二次根式的应用、二次根式有意义的条件、因式分解法解一元二次方程、 求比值 【分析】本题考查了利用二次根式解方程，换元法，解一元二次方程，二次根式有意义的条件，分别求出两个方程的解，再求出比值即可求解，掌握二次根式的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由方程得，， ∴， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴方程的解为； 令，则， ∴， ∴原方程变形为， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，，均为原方程的解， ∴， ∴两个方程所有解的和的比． 题型03 分式方程、无理方程 1.考查分值：4-8分 2.分式方程易错点： 去分母产生增根：去分母时，方程两边同乘的最简公分母可能为零，导致产生增根，而学生往往忽略对增根的检验。 忽略分母不能为零的条件：在求解分式方程的过程中，有时会忽略分母不能为零的隐含条件。 分式方程解题技巧 检验增根：解分式方程一定要检验，将求得的根代入最简公分母，若最简公分母为零，则为增根，应舍去。 化整求解：通过去分母将分式方程化为整式方程求解，去分母时要准确找到最简公分母。 3.无理方程易错点： 检验增根：无理方程检验分两步，第一步看根式是否有意义，第二步看等式两边是否相等。 【提分秘籍】 解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 解分式方程应用题 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 解无理方程的一般步骤 （1）方程两边平方，化成整式方程； （2）解这个整式方程，求出整式方程的根； （3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解． 【典例分析】 例1．（2024·上海·三模）下列方程中有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解无理方程，分别解二次根式的意义及无理方程逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴无解；该选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴无解；该选项不符合题意； C、∵， ∴， 解得该不等式组无解， ∴无实数解；原方程不符合题意； D、∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故方程有实数根，符合题意； 故选D． 例2．（2024·上海长宁·三模）用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程变成，再去分母即可得到答案． 【详解】解： 设，则， ∴原方程为，即， 故选：A． 例3．（2024·上海宝山·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出的含义是解题的关键．由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示规定的时间． 【详解】解：∵快马的速度是慢马的2倍，所列方程为，即， ∴表示慢马的速度，表示快马的速度； ∵把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天， ∴表示规定的时间． 故选：C． 例4．（2024·上海金山·二模）已知关于x的方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程．方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边平方，得， ， ， ， 经检验：是方程的解． 故答案为：． 例5．（2024·上海长宁·二模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．根据换元法即可求解． 【详解】解：方程，如果设， ∴ 即， 故答案为：． 例6．（2024·上海虹口·三模）解分式方程：． 【答案】 【分析】考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【详解】解：两边都乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 【变式演练】 1．（2024·上海·模拟预测）野豪猪内卷会用6000元购进一批试卷，每套试卷含数理化三科，每套以比进价高10元的优惠价格卖给成员，在销售过程中，因多出5套试卷，以每套10元的白菜价送给了其他同学，最后野豪猪内卷会盈利950元，则一套试卷的进价为（    ） A．50元 B．100元 C．120元 D．240元 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用．设每套试卷的进价为元，则每套试卷的售价为元，根据题意列出分式方程，解之即可，注意检验． 【详解】解：设每套试卷的进价为元，则每套试卷的售价为元， 根据题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：每套试卷的进价为50元， 故选：A． 2．（2024·上海静安·二模）方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理方程的意义．依据题意，，从而，可得，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意得，， ． ． ． ． ． 故答案为：． 3．（2024·上海杨浦·三模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键；根据还原法求解即可； 【详解】方程，如果设， 则， ， 故答案为：； 4．（2024·上海·模拟预测）解方程：的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解可化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：，， 检验：当时，，是增根，当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 5．（2024·上海崇明·模拟预测）解方程： 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得： ， 解得：， 把代入，得：， ∴是原分式方程的解． 6．（2024·上海普陀·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，方程两边都乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可 【详解】解： 方程两边都乘以得 ， 整理得，， 解得，，， 检验：当时，，所以，是分式方程的解； 当时，，所以，是增根， 所以，分式方程的解是 1．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案. 【详解】解：设，则原方程可变形为， 即； 故选：D. 【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程. 2．（2023·上海·中考真题）已知关于的方程，则 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，，即， ， 等式两边分别平方， 移项，，符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键． 3．（2024·上海浦东新·三模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，注意：解无理方程一定要进行检验．方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边平方，得， 整理得：， ， 或， 解得：或， 经检验：是原方程的解，不是原方程的解， 所以原方程的解是． 故答案为：． 4．（2024·上海·模拟预测）解方程：的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理方程，两边平方后化为一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 即 ∵ ∴ ∴（经检验，不合题意，舍去）， 故答案为： 5．（2024·上海闵行·二模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是求解后必须检验是否为增根．等号两边同时乘以，求解并检验即可． 【详解】解：， 等号两边同时乘以， 可得， 解得， 当时，， 所以，是该分式方程的增根， 当时，， 所以，是该分式方程的解， 所以，分式方程的解是． 故答案为：． 6．（2024·上海嘉定·二模）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了换元法解分式方程，设，则方程可转化为：，然后再去分母，将该分式方程转化为整式方程即可． 【详解】解：设， 则方程可转化为：， 去分母，方程两边同时乘以得：， 故答案为：． 7．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 8．（2024·上海松江·三模）若分式方程有增根，则k的值为 【答案】3 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， 分式方程有增根， ， 解得：， 把代入整式方程得：． 故答案为：3． 9．（2024·上海嘉定·三模）解方程： 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得 x 的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为 ． 10．（2024·上海金山·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 方程两边同乘最简公分母化为整式方程，然后求解，再进行检验． 【详解】解： 去分母得： 整理得： 解得：， 经检验：都是原方程的根． 原方程的根是． 11．（2024·上海·模拟预测）某品牌新能源汽车原厂年销售总额为万元，年销售总额为万元，年每辆车的销售价格比年降低万元，年销售量是年销售量的倍 (1)求年每辆车的销售价格 (2)若年某汽车专卖店从该新能源汽车原厂进购辆车，每售出一辆车要交税万元，则为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于多少元？ 【答案】(1)万元 (2)万元 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式，正确解分式方程，解一元一次不等式是解题的关键； （1）根据题中的等量关系建立分式方程，解方程即可； （2）根据题意列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）根据题意，设年每辆车的销售价格为万元，列方程可得： ； 解得： 答：年每辆车的销售价格为万元． （2）解：设定价至少要万元；根据题意列不等式， 解得：， 答：为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于万元． 题型04 一元二次方程 1.考查分值：4-8分 2.易错点 判别式使用错误：在判断一元二次方程根的情况时，对判别式b2 - 4ac的计算或判断不准确。 忽略二次项系数不为零：在确定方程是一元二次方程时，有时会忽略二次项系数不能为零的条件。 3. 解题技巧 牢记公式：熟练掌握一元二次方程的求根公式，以及判别式与根的关系。 合理配方：对于一些一元二次方程，可以通过配方的方法将其化为完全平方式，方便求解 【提分秘籍】 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【典例分析】 例1．（2024·上海·模拟预测）关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．无实数根 D．由于不知道m的值，无法确定 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：， ∴ 方程有两个不相等实数根， 故选A． 例2．（2024·上海杨浦·三模）下列关于的方程，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判断式，解分式方程，偶数次方及二次根式非负性，解题的关键是根据偶数次方的非负性判断选项A；根据一元二次方程根的判断式判断选项B；解分式方程可判断选项C；根据二次根式非负性判断选项D． 【详解】解：A．∵，则， ∴方程没有实数根，故此选项不符合题意； B． ∵， ∴方程有实数根，故此选项符合题意； C．在方程两边同乘以，得：， 检验：把代入，得：， ∴不是原方程的根， ∴方程无解，故此选项不符合题意； D．∵， ∴， ∴方程无解，故此选项不符合题意． 故选：B． 例3．（2024·上海普陀·二模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：A、∵，∴方程有两个相等的实数根，不合题意； B、∵，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； C、∵，∴方程没有实数根，不合题意； D、∵，∴方程有两个相等的实数根，不合题意． 故选：B． 例4．（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为，，足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ） A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，理解题意并画出相应的图形是解题的关键．设秒后他们再次取得联系，依题意，，然后用含的代数式表示出和，利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，设秒后他们再次取得联系，此时嘉琪运动到点，李明运动到点， 依题意：， 则，， 由勾股定理有， 即， 解得或（不合题意 ，舍去）， 60秒后他们再次取得联系． 故选：B． 例5．（2024·上海杨浦·一模）根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据上海市2021年及2023年我国国民生产总值，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 例6．（2024·上海黄浦·二模）现有一张矩形纸片，其周长为厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为厘米的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是立方厘米，设原矩形纸片的长是厘米，那么可列出方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程． 设原矩形纸片的长是，表示长方体纸盒的长、宽、高，然后根据体积列出方程即可． 【详解】解： 设原矩形纸片的长是，则宽为， 长方体纸盒的长为，宽为，高为， 由长方体体积是立方厘米得： ． 故答案为：． 例7．（2024·上海·模拟预测）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元． 【答案】3或4 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出销量与每箱利润是解题关键．利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润销售总箱数=销售总利润，由此列方程解答即可． 【详解】解：设每箱降价x元，则每天多售出箱， ∴ ， 整理得： ， 解得： 或 ， 答：每箱降价3或4元． 【变式演练】 1．（2024·上海嘉定·二模）关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，解不等式即可． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得， ∴k的取值范围为． 故选：B． 2．（2024·上海静安·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．取一切实数 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根的判别式的应用，解不等式等知识点，分为两种情况：①当，②，根据已知得出，求出即可，能得出关于a的不等式是解此题的关键， 【详解】解：∵方程有实根， ∴分为两种情况：①当时，， 解得：； ②当时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 3．（2024·上海普陀·三模）在解答“一元二次方程的根的判别式为 ”的过程中，小普同学的作业中出现了下面几种答案，其中正确的答案是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式公式是解题的关键．直接根据根的判别式公式进行计算即可得解． 【详解】解：的根的判别式为 故选：B． 4．（2024·上海奉贤·二模）下列关于的方程中有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，分式方程有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式判断A，根据乘方的意义判断B，根据分式方程有意义的条件判断C，根据二次根式的性质判断D． 【详解】解：A：，故原方程有实数根,符合题意； B：由题意可，由乘方的意义可得，故原方程无实数根,不符合题意； C：解分式方程得，且当时，，故原方程无实数根,不符合题意； D：由题意可，由二次根式的性质可得，故原方程无实数根,不符合题意； 故选：A． 5．（2024·上海宝山·三模）下列说法正确的是（   ） A．若，则只需满足 B．方程的两根之积为1 C．边长为5的菱形的两条对角线交于O点，且、的长分别是关于x的方程的两根，则m等于 D．关于x的方程有实数根，则a满足且 【答案】C 【分析】由，可得，即，可判断A的正误；由，可得，无实数根，可判断B的正误；由边长为5的菱形的两条对角线交于O点，可得，由、的长分别是关于x的方程的两根，可得，则，可求，则，计算求出满足要求的解，进而可判断C的正误；关于x的方程有实数根，分为一元一次方程，一元二次方程两种情况，求解作答，进而可判断D的正误． 【详解】解：∵， ∴，即，A错误，故不符合要求； ∵， ∴，无实数根，B错误，故不符合要求； ∵边长为5的菱形的两条对角线交于O点， ∴， ∵、的长分别是关于x的方程的两根， ∴， ∴， 解得，， ∴， 解得，或（舍去），C正确，故符合要求； 关于x的方程有实数根，分为一元一次方程，一元二次方程两种情况； 当为一元一次方程且有实数根，则，即； 当为一元二次方程且有实数根，则，， 解得，且； 综上所述，，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，一元二次方程的根与系数的关系，菱形的性质，完全平方公式的变形，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，一元二次方程的根与系数的关系，菱形的性质，完全平方公式的变形，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义是解题的关键． 6．（2024·上海黄浦·二模）已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，先计算，再判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 7．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根． 【答案】有两个不相等的 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的． 8．（2024·上海松江·二模）如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么k= ． 【答案】 【分析】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以且判别式，建立关于的方程，解方程即可求出的值．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 且判别式， 解得：． 故答案为：． 9．（2024·上海浦东新·三模）如果关于x的一元二次方程有实数根，那么实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了根的判别式．根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：， 则的取值范围是． 故答案为：． 10．（2024·上海·二模）如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，方程化为，解得，满足题意； 当时，方程为一元二次方程， ∴，解得：，且； 综上：； 故答案为：． 11．（2024·上海松江·二模）我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为 万辆． 【答案】13.2 【分析】本题考查了销售增长率的问题，利用“第二季度的销量=第一季度的销量（1+增长率），第三季度的销量=第二季度的销量（1+增长率）”，即可求解． 【详解】， 故答案为：13.2． 12．（2025·上海青浦·一模）某公司10月份产值是120万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为，如果12月份的产值为万元，那么关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列出二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，这是一道典型的增长率问题．根据某公司10月份的产值是120万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为，12月份的产值为万元，可以得到与的函数关系式，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 1．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 2．（2023·上海·中考真题）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 3．（2022·上海·中考真题）已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】m<3 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(-2)2-4m>0，求解即可． 【详解】解：∵x-x+m=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=(-2)2-4m>0 解得：m<3， 故答案为: m<3． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键． 4．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为 ． 【答案】20% 【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解． 【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得， 解得，（舍去） 所以，增长率为20% 故答案为：20% 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 5．（2024·上海·模拟预测）关于x的方程：，有两个相等实数根，则 ，有两个不相等实数根，k的取值范围为 ，两根之和为 ，两根之积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系求解作答即可． 【详解】解：∵关于x的方程：有两个相等实数根， ∴， 解得，； ∵关于x的方程：有两个不相等实数根， ∴， 解得，； ∵， ∴两根之和为，两根之积为； 故答案为：，，，． 6．（2024·上海宝山·一模）一次函数不经过第三象限，关于x的方程的解的个数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象的分布，一元二次方程的根的判别式，准确判断图象不过第三象限的条件，直线不经过第三象限，则或，分这两种情形判断方程的根，灵活运用根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴或， 或 当时，原方程为是一元一次方程，故有一个实数根； 当时，方程是一元二次方程， ∴方程有两个不相等的实数根， 综上，方程有1个或2个解， 故选：D． 7．（2024·上海·模拟预测）若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，两点间距离公式，根的判别式，完全平方公式，二次函数的性质，利用根和系数的关系可得，，进而得到，再利用根的判别式可得，得到，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的两实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为， ∴的最小值为，即之间距离的最小值为， 故答案为：． 8．（2024·上海·模拟预测）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元． (1)求这种玩具的进价． (2)求平均每次降价的百分率（精确到0.1﹪） 【答案】(1)20元 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设这种玩具的进价是x元，根据计划每个售价36元，能盈利，可列方程求解即可． （2）设平均每次降价的百分率为y，根据先后两次降价，售价降为25元可列方程求解． 【详解】（1）解：设这种玩具的进价是x元，根据题意得： 解之得： 答：这种玩具的进价为20元． （2）设平均每次降价的百分率为y ，根据题意得： 解之得：（不合题意，舍去） ∴， 答：平均每次降价的百分率为． 题型05 二元二次方程组 1.考查分值：4-10分 2.易错点 消元方法选择不当：在解二元一次方程组时，不能根据方程组的特点灵活选择消元方法，导致计算繁琐或出错。 代入消元时计算错误：代入消元时，对含未知数的式子进行代入时，容易出现计算错误。 3.解题技巧 观察方程组特点：根据方程组中未知数的系数特点，选择合适的消元方法，如代入消元法或加减消元法。 回代检验：求出方程组的解后，要将解代入原方程组进行检验，确保答案的正确性。 【提分秘籍】 解二元二次方程组的基本方法： （1）对于二元二次方程组有一个方程是一次方程时，选用代入消元法； （2）对于能够将二次方程进行因式分解成两个一次因式乘积为零的方程，选择因式分解法降次． 【典例分析】 例1．（2024·上海奉贤·二模）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法解方程及二元二次方程的解法，熟练掌握代入消元法，运算过程中细心即可． 由第一个方程得到，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出，再回代第一个方程中即可求出． 【详解】解：由题意：， 由方程①得到：， 将③代入方程②中：得到：， 进一步整理为：， 解得， 把代入方程③中，解得， 故方程组的解为：． 例2．（2024·上海嘉定·二模）解方程组： 【答案】， 【分析】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握和运用解二元二次方程组的方法是解决本题的关键． 首先把第二个方程分解因式，得到两个二元一次方程，再组合成二个二元一次方程组，分别解方程组即可． 【详解】解：    由②得： 或 所以原方程组可化为两个二元一次方程组： 或 分别解这两个方程组，得原方程组的解是 ， 例3．（2024·上海·二模）解方程组：． 【答案】或或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，先整理方程组，再利用代入消元法求解方程即可；熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：方程组整理得， ②代入①得：，即， 解得：或， 将代入②得：， 解得：或， 即或； 将代入②得：， 解得：， 即； 综上，方程组的解为：或或． 【变式演练】 1．（2024·上海徐汇·二模）方程组的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程，代入消元法，将方程组先转化为一元二次方程，再进行求解即可． 【详解】解： 由②得：③； 把③代入①，得：，解得：， ∴， ∴方程组的解为：或； 故答案为：或 2．（2024·上海·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解二元二次方程组； 由求出或，然后分别与联立成方程组，求解即可． 【详解】解：， 由②得：， 解得：或， 联立①③得：，联立①④得：， 解得：，． 故答案为：，． 3．（2024·上海青浦·二模）解方程组： 【答案】， 【分析】本题考查了二元二次方程组解法，解题关键是通过因式分解将二元一次方程组转化为两个二元一次方程组解答． 因式分解组中的方程②，得到两个二元一次方程，再代入①即可解方程组． 【详解】解：由②得：， 即或， 把代入①得，； 把代入①得，； ∴方程组的解为：，． 4．（2024·上海杨浦·一模）解方程组：． 【答案】或 【分析】本题考查的是二元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先把方程组化为或，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得：， ∴， ∴或， ∴或， 解得：或． 5．（2024·上海长宁·二模）解方程组： 【答案】或． 【分析】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解题的关键． 由方程②得③或④，再由①③和①④组成两个方程组，再求出方程组的解即可． 【详解】解： 由方程②得， ∴或，即③或④， ∴原方程组为或， 解得或， 答：方程组的解为或． 1．（2022·上海·中考真题）解方程组的结果为 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式将②分解因式变形，继而可得④，联立①④利用加减消元法，算出结果即可． 【详解】解： 由②，得：③， 将①代入③，得：，即④， ①+④，得：， 解得：， ①−④，得：， 解得：， ∴方程组的结果为． 【点睛】本题考查解二元二次方程组，与平方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是解决本题的关键． 2．（2024·上海宝山·三模）若，则关于x、y的方程组的解为 【答案】或或或 【分析】本题考查绝对值、解二元二次方程组，先根据绝对值的性质求得或，进而可得方程组或，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 当时，， 解得或， 当时，， 解得或， 综上所述，方程组的解是或或或， 故答案为：或或或． 3．（2024·上海·三模）解方程组． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先由①得到，再把代入②中得到关于y的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 由①得：， 把代入②得：， 整理得， 解得或， 当时，， 当时， ∴原方程组的解为或． 4．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 【答案】，或者，． 【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解． 【详解】解：， 由得：代入中得： ， ， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴方程组的解为或者． 5．（2024·上海松江·二模）解方程组：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了二元二次方程组的解法等知识．先将方程①变形为或，分别与方程②组成方程组，利用代入法即可求解． 【详解】解： 由方程①得，得到 或． 将它们与方程②分别组成方程组，得 （Ⅰ）  或（Ⅱ）    解方程组（Ⅰ），得 ，； 解方程组（Ⅱ），得 ，； 所以原方程组的解是，，，． 题型06 解一元一次不等式（组） 1.考查分值：4-10分 2.解题技巧 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【提分秘籍】 解一元一次不等式的一般步骤： ①去分母：防止漏乘不含分母的项，乘以（或除以）负数时，不等号要改变方向，分子是多项式时，须加括号； ②去括号：防止漏乘括号内的项和出现符号错误； ③移项：过了不等号的项要变号； ④合并同类项：防指计算错误； ⑤系数化为1：除以负数时要改变不等号的方向。 一元一次不等式组的解法： 第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。 3. 一元一次不等式（组）的应用：审题设未知数找不等关系列不等式（组）解不等式（组）检验回答 【典例分析】 例1．（2024·上海杨浦·一模）已知，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故不符合题意； B． ∵， ∴， ∴，故符合题意； C．∵， ∴，故不符合题意； D． ∵， ∴，故不符合题意． 故选：B． 例2．（2024·上海虹口·模拟预测）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，直接将系数化为1即可求解． 【详解】解：， 系数化为1，得． 故答案为：． 例3．（2024·上海普陀·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 例4．（2024·上海静安·二模）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的整数解为：0，1，2，3． 【分析】本题考查求不等式组的整数解．用到的知识点为：求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．求出每个不等式的解集，进而得到不等式组的公共解集，从公共解集中找到整数解即可． 【详解】解：． 解不等式①得：， ． 解不等式②得：， ， ． 不等式组的解集为：． 不等式组的整数解为：0，1，2，3． 例5．（2024·上海·模拟预测）解不等式组：并把它的解集表示在数轴上 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再表示在数轴上即可，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将解集表示在数轴上如图所示： ， ∴原不等式组的解集为 【变式演练】 1．（2024·上海松江·二模）如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质分析判断即可． 【详解】解：A、，当时，，故选项A不符合题意； B、，当时，，故选项B不符合题意； C、，为任意实数， ，故选项C不符合题意； D、，为任意实数， ，故选项D符合题意． 故选：D． 2．（2024·上海·模拟预测）若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，，故选项正确，不符合题意； B．若，，故选项正确，不符合题意； C．若，，故选项错误，符合题意； D．若，，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．（2024·上海金山·二模）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先移项，再化系数为1，即可得出答案． 【详解】解：移项得：， 系数化为1得：， 不等式的解集是， 故答案为：． 4．（2024·上海闵行·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 所以，该不等式的解集为． 故答案为：． 5．（2024·上海奉贤·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可，正确求出每一个不等式的解集是解题的关键． 【详解】解： ∵解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， 故答案为：． 6．（2024·上海黄浦·二模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，分别解两个不等式，再根据“同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了”取解集． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为：． 7．（2024·上海·三模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”即可求得不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：． 8．（2024·上海·三模）解不等式组：并写出其整数解 【答案】不等式组的解集为；整数解为0，1，2，3 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则整数解为0，1，2，3． 9．（2024·上海虹口·三模）解不等式组并将其解集表示在所给数轴上． 【答案】，在数轴上表示见解析 【分析】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解不等式组，分别解两个不等式，再取公共集，最后把解集表示在数轴上即可；掌握解不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图所示， 1．（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·上海·模拟预测）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式解集，掌握不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质求不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 3．（2024·上海嘉定·二模）不等式的最小整数解是 ． 【答案】5 【分析】本题主要查了求一元一次不等式的整数解．求出不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ∴不等式的最小整数解是5． 故答案为：5 4．（2024·上海徐汇·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集是． 5．（2024·上海徐汇·三模）不等式组的整数解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，整数解的问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 写解每一个不等式，再取解集的公共部分，然后即可求解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴ 原不等式的解集为：， ∴整数解为：，， 故答案为：，． 6．（2025·上海宝山·模拟预测）最近我校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为 【答案】y= 【分析】本题考查了函数关系的应用，理解当余数是时，要增选一名，即人数最小应该增加3，掌握函数关系的应用是解题的关键． 根据题意，人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可得当余数是时，要增选一名，即人数最小应该增加3，由此列式即可求解． 【详解】解：每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表， ∴当余数是时，要增选一名，即人数最小应该增加3， 该班人数x， ∴推选代表人数， 故答案为： ． 7．（2022·上海·中考真题）解关于x的不等式组 【答案】-2<x<-1 【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出公共部分，即可求解． 【详解】解：， 解①得：x>-2， 解②得：x<-1， ∴-2<x<-1． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握根据“大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则性确定不等式组的解集是解题的关键． 8．（2024·上海·模拟预测）解不等式组：，并在数轴上画出解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，在数轴上表示不等式解集，分别求出两个不等式的解集，再求公共解集即可，最后在数轴上表示出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 9．（2024·上海宝山·三模）解不等式组：，并直接写出它的整数解 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组并求出其整数解，正确求出每一个不等式解集是关键，熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的方法是解答此题的关键．首先分别求出两个不等式的解集，然后利用不等式取解集的方法求不等式组的解集，即可求解． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：， 它的整数解为：． 10．（2024·上海·模拟预测）解不等式组：，并写出这个不等式组的自然数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的自然数解是0，1． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的自然数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的自然数解是0，1． 11．（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 【答案】，；数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意正确列出不等式组成为解题的关键． 设大器容x斛，小器容y斛，由题意得则，再根据可得，当，即时可得、，进而完成解答． 【详解】解：设大器容x斛，小器容y斛，由题意得: , 可得：，即：， ∵ ∴， 当，即时，，即，， ∴，； 小器容米数量范围的解集在数轴上表示如下 ： ． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$