8.6.2空间直线与平面垂直教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《空间直线、平面的垂直》教学设计 一、内容和内容解析 直线与直线垂直；直线与平面垂直；平面与平面垂直。 本单元教学时间约需7课时：第1课时，直线与直线垂直；第2课时，直线与平面垂直的判定定理；第3课时直线与平面所成角；第4课时，直线与平面垂直的性质定理；第5课时，二面角；第6课时，平面与平面垂直的判定定理；第7课时，平面与平面垂直的性质定理。 2．内容解析： 内容的本质：垂直是空间直线、平面间的一种特殊的位置关系，是平面内线线垂直的延伸。本单元和前面空间直线、平面平行的内容是对立体几何内容的学习进入“局部 ”、“抽象 ”、“思辨论证 ”的定性研究阶段，即研究直线、平面的位置关系，不仅得出概念，还要研究它们的判定和性质，性质和判定之间具有互逆的关系。 知识的上下位关系： 育人价值：本单元先是让学生通过对典型实例的观察、实验、猜想等合情推理的活动后，概括出空间直线、平面垂直的相关概念、判定及性质定理，再对性质定理进行逻辑论证。在研究过程中，研究的对象尽量由学生提出，研究内容要学生确定，研究的方法启发学生寻找，这种以问题引导学生进行更加主动的思维活动， 能让学生能很好地从实际背景中抽象出数学模型，从现实生活中抽象出几何问题，让学生能有条理、严谨地思考并解决问题， 有助于培养学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养。 教学重点：（1）学生能通过长方体模型或者借助道具，将空间中的两条直线平移至相交理解空间异面直线所成的角和直线与直线垂直的概念，并能解决简单的空间直线与直线垂直的问题。 （2）学生通过实例直观感知、操作确认，抽象、归纳出直线与平面垂直的定义；通过猜想证明得到直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理和性质证明简单的直线和平面垂直的问题；理解点到平面的距离、直线和平面所成的角的概念，并能计算给定直线和平面所成的角的大小。 （3）学生能在观察长方体模型的基础上，进行操作确认，掌握空间直线与平面垂直的性质，并进行推理论证；理解直线到平面和两个平行平面间的距离的概念，并能计算简单的线面距离和面面距离问题。 （4）学生能通过生活实例的观察发现，理解二面角的概念，掌握平面与平面垂直的判定定理。并能解决空间平面与平面的问题。 （5）学生能通过对生活实例的直观感知，并进行操作验证，理解并掌握空 间平面与平面垂直的性质，并能计算简单的面面垂直的问题。 二、目标和目标解析 1．目标： （1）借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出以下判定定理： ①如果一条直线与一平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 ②如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 （2）借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明。 ①垂直于同一个平面的两条直线平行。 ②两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。 （3）能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。 2．目标解析： 达成上述目标的标志是： （1）能通过具体实例，类比两条相交直线夹角的定义，抽象出两条异面直线所成角的定义，能利用定义求简单的异面直线所成的角，并据此判断异面直线的垂直关系，能用“三种语言”表达异面直线的垂直，能体会两条异面直线所成角定义中蕴含的数学思想，即类比、转化与化归思想和降维思想。 （2）能够通过观察实物、模型、图片等抽象出几何的研究对象，说出直线与平面垂直的定义，发现其判定定理并做出解释。能够在简单问题中识别应用直线与平面垂直判定定理的条件，用判定定理判定直线与平面垂直。 （3）能利用直线和平面所成角的定义，确定直线与平面所成角的范围，能在图形中画出并求出直线和平面所成的角。 （4）能通过类比猜想出直线与平面垂直的性质定理，学会使用反证法进行论证，能够在简单问题中识别应用性质定理的条件，用性质定理判定直线与直线的平行关系。 （5）能借助点到直线的距离、直线到平面的距离、两个平行平面之间的距离，理解几何体的高以及其体积公式。 （6）能类比研究两条直线位置关系的方法步骤，借助二面角的定义，给出两个平面垂直的定义。 （7）能够通过直观感知操作确认归出平面与平面垂直的判定理，能按照相同的思路推导出性质定理并证明；能够在简单问题中识别应用定理的条件，用定理判定平面与平面垂直，证明直线与平面垂直。 （8）能够在较复杂的问题情境中识别、应用判定定理和性质定理的条件，借助几何图形，综合运用定理解决空间中的垂直关系。能够在定理应用的过程中体会空间图形问题与平面图形问题的相互转化，感悟几何的公理化思想；能够借助几何图形、几何语言解释和证明相关定理或举出反例，能够用适当的数学语言进行合理表达。 三、教学问题诊断分析 在经过前面的学习， 已经掌握了空间几何图形的相关知识和空间点、直线、平面的位置关系。通过空间直线、平面的平行关系研究， 学生掌握了研究空间直线、平面位置关系的一般方法， 有了较为丰富的知识积累和解决问题的方法。但学生缺少对空间几何图形的空间想象能力， 虽然学生对空间线线垂直、线面垂直、面面垂直已经有了生活经验和感知， 但他们不善于将空间问题转化为平面问题， 因此对于如何借助平面中的垂直关系来描述空间中的垂直关系会感到困难，更难用确切的数学语言描述空间中的垂直关系。 因而，在学习空间直线、平面的垂直中，学生可能不清楚如何将异面直线通过平移转化为相交直线，不清楚空间位置关系的表达与角度刻画之间的区别；不理解如何刻画空间中直线、平面的垂直关系，以及垂直关系中的不变性，如：线面垂直中，直线垂直于平面的内每一条直线等等；同时对二面角概念的理解， 特别是如何找到二面角的平面角对学生来说也较难；对于面面垂直的应用性学生也较难找到具体哪条直线垂直于另一个平面。 因此，在教学时，需要引导学生经历直观感知（识图）—操作确认（画图）—推理论证（证图）—度量计算（算图）的研究过程，通过亲身的反复验证并结合有关定义进行思辨解决以上问题。借助生活实例和实验操作验证，掌握空间线面垂直的定义和判定，让学生学会用线线垂直判断线面垂直，蕴含了“降维”思想； 利用信息技术工具和实物模型直观展示如何用平面角刻画二面角的大小，体会到用平面角刻画二面角大小的便捷；从实物模型中感受到面面垂直的判定定理和性质定理， 整体上形成研究和解决空间图形问题的思路和方法，发展直观想象，逻辑推理的核心素养。 基于以上分析，本章的教学难点是：空间直线与平面、平面与平面垂直的性质定理的发现过程；空间直线、平面垂直的判定和性质的应用；理解如何将空间图形问题转化为平面图形问题的“降维 ”思想， 掌握将空间问题“平面化”的基本思想。 四、教学支持条件分析 教学时，可以充分利用生活中物体和学生身边实例，使用几何教学实物模型和信息技术支持，帮助学生理解相关概念和命题，提升直观想象和数学抽象素养。 五、课时教学设计 8.6.2直线与平面垂直（第1课时） （一）课时教学内容 直线与平面垂直的概念及判定定理、点到平面的距离。 （二）课时教学目标 通过探索直线与平面垂直判定定理的过程中，能理解直线与平面垂直的意义，理解点到平面的距离，能应用判定定理证明直线与平面垂直的简单问题，发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中“以简驭繁”的转化思想。 （三）教学重点与难点 重点：对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解 难点：概括线面垂直的定义和判定定理时如何将“线面垂直”转化为“线线垂直” （四）教学过程设计 环节一：复习导入，引出对象 回顾1：空间中直线与平面有哪些位置关系？ 师生活动：教师提问，学生回答：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行. 回顾2：如何判断异面直线所成的角？直线与直线垂直如何定义？ 师生活动：教师提问，学生回答判断异面直线所成角可通过平移，将异面直线转化为相交直线；直线和直线垂直是指两条直线所成角为时， 记作:，又分为相交垂直和异面垂直. 引导语：根据以往知识体系，我们应如何学习空间直线与平面垂直关系？ 师生活动：根据前面学习的经验，确定研究思路如下： 定义→判定→性质→运用。 引导语：对直线与平面垂直我们有很多感性认识， 在日常生活中有哪些 实例给我们以直线与平面垂直的感觉呢？ 环节二：探究新知，构建概念 探究一：直线与平面垂直的定义： 问题1：能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直？ 思考： （1）旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直？ （2）旗杆所在直线与与地面内任意一条不过点的直线有什么关系？ （3）旗杆所在直线与与地面内任意直线有什么关系？ 追问1：怎么理解“任意”？你能用简洁语言给出直线与平面垂直定义吗？ 直线与平面垂直的定义：如果一条直线垂直于平面内的任意一条直线，我们就说直线与平面互相垂直.记作：。 师生活动：教师提出问题（可以借助信息技术呈现旗杆影子随时间变化的位置变化），学生容易得出旗杆所在直线与其影子所在直线保持垂直，这也就说明旗杆所在直线和地面所在平面内的无数条直线垂直，对于直线与地面上所有直线都垂直，需要将其中的“所有直线”转化为“任意直线”，教师可以引导学生结合头脑中已有的“任意一个数”“任意一个人”等来理解其中“任意”与“所有”的关系.由于对于地面上的任意一条直线，总能找到旗杆的一个影子与之平行，从而其与旗杆所在直线垂直.这样，就可以归纳出直线与平面垂直的定义。 追问2：可以用“无数”代替“任意”吗？ 师生活动：教师提出问题，引导学生举反例。 【设计意图】开门见山引入如何用数学语言刻画生活中的直线与平面垂直的问题，既激发学生的学习兴趣，又引导学生通过观察、对比与思考，把直观、模糊的感知抽象化、确切化，接下来“顺势引导”,引导学生抽象概括出直线与平面垂直的定义，再通过正反两方面情况的辨析，让学生直观感知直线与平面垂直时，“任意”不能改为“无数”，即便直线与平面内无数条直线垂直，但只要平面内存在一条直线与之不垂直，就不能说直线与平面垂直，从而加深对直线与平面垂直的定义的理解。 问题2：在得到直线与平面垂直的定义后，为了表述与研究的方便，你觉得还有哪些辅助性的概念需要建立？ 师生活动：教师引导学生，结合直线和直线垂直的相关概念，给出垂线、垂面、垂足等概念，给出直线与平面垂直的图形表示。 【设计意图】建立平面的垂线、直线的垂面、垂足等相关概念，知道直线与平面垂直的符号表示，同时让学生理解学习数学概念的“基本思路”。 问题3：我们知道，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 师生活动：教师提出问题，师生共同讨论，直观感知和操作确认“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，进而给出垂线段、点到平面的距离的概念。顺势介绍在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离。 【设计意图】类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的定义，给出空间类似的性质，既呼应前面棱锥的高的概念，也为后面“平面与平面垂直的性质”定理后的“探究”做必要的铺垫。 探究二：直线与平面垂直的判定定理： 下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件。根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直。那么，有没有可行的方法？ 问题3： 能否通过证明与有限条直线垂直来判定线面垂直呢？ 师生活动：教师提出问题，并引导学生进行如下的探究活动：如图，备一块三角形纸片，过顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，并请学生思考; （1）折痕与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能得到使折痕与桌面垂直？为什么？ 进而获得猜想：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么该直线与平面垂直。 追问1：为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，这条直线就和这个平面垂直？图4 可能的回答：两条相交直线可以确定一个平面？ 追问2：两条平行直线也可以确定一个平面，为什么两条平行直线都垂直于一条直线的时候，直线和平面就不垂直呢？ 【设计意图】通过实践操作，让学生有直观感受，初步判断刚才的猜想是正确的；不断追问，引导学生进一步的思考，两条相交直线可以确定一个平面，但是更主要的是他们可以表示这个平面内的所以直线，这里可以用平面向量基本定理来给出解释，从而进一步对于判定定理的正确性给出说明，让学生体会直线与平面垂直向直线与直线垂直转化，体会感知化无限为为有限，以及归纳猜想、思辨论证这一研究问题的思维过程。 问题4：试分别用文字语言、图形语言、符号语言来表述直线与平面的判定定理。 【设计意图】实现图形语言、文字语言、符号语言之间的转换是让学生进一步理解判定定理的需要，也是发展学生逻辑思维的需要。 环节三：巩固练习，典例剖析 辨析2：求证设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是(　　) . 若，则 . 若，则 . 若，则 . 若，则 追问：既然选项正确，你证明它吗？ 例1（课本例3）：两条平行线中的一条直线垂直与一个平面，那么另一条直线也垂直与这个平面。 追问（1）：你能根据条件与结论画出示意图，写出已知、求证吗？ 追问（2）：结合所画图形，你认为该如何证明此问题？ 师生活动：教师要求学生写出已知求证，并与学生共同分析证明思路：根据直线与平面垂直的判定定理，只需证明另一条直线垂直于这个平面内的两条相交直线即可.在此问题中，需要构造两条相交直线，既需要做辅助线.可以请一名同学板书，教师反馈，完成证明。 追问（3）：你还有不同证明方法吗? 可能的答案 ：尝试用定义证明。 【设计意图】通过例题，巩固直线和平面垂直的判定定理，并结合例题让学生把握判定定理中“两条相交直线”这一关键.通过引导学生从线面垂直的定义出发进行证明时，提高学生思维的灵活性，让学生认识到证明线面垂直的不同方法，从而感受判定定理证明的优越性。 练习1如图，如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点，求证：平面 【设计意图】巩固练习，学生独立完成，体会判定定理。 环节四：归纳小结 问题5：请你结合本节课的学习，回答以下问题： （1）本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学到这些知识的？ （2）在学习的过程中采用了哪些方法？体现了什么数学思想？ （3）请对本节课的学习情况做一个简单的自我评价，并寻找学习中存在的问题与不足。 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学的知识，并回顾本节课的学习过程，进一步体会立体几何的研究内容和研究方法，培养学生对学习内容反思的意识和习惯，帮助学生在更大的范围内把所学的知识系统化、结构化，并掌握相应的学习方法。 环节五：布置作业 教科书第页练习题，探究如何证明判定定理(选做)。 （五）目标检测设计 1.如图，在三棱锥中，，C，是的中点，求证：。 【设计意图】考察直线与平面垂直的判定定理。 2．如图，在直四棱柱中，底面四边形满足什么条件时，? 【设计意图】考察学生对“直线与直线垂直”与“直线与平面垂直”相互转化能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$