精品解析：湖南省长沙市芙蓉区名校联合体2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

2025年春季高一年级入学检测 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分：____ 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的最小正周期为，则函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 5. 定义在上的函数满足，若在区间上单调递增，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 8. 已知是定义在上函数，的图象关于点对称，对任意，，都有.若，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知，下面结论正确的是（ ） A. 若，，且的最小值为，则 B. 存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称 C. 若在上恰有7个零点，则取值范围是 D. 若在上单调递增，则的取值范围是 11. 已知函数的定义域为R且具有下列性质： ①是奇函数； ②； ③当，，函数． 下列结论正确的是（ ） A. 3是函数周期 B. 函数在上单调递增 C. 函数与函数的图像的交点有8个 D. 函数与函数的图像在区间（0，15）的交点有5个，则实数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在菱形ABCD中，，，则______． 13. 不等式的解集为，则实数的取值范围为__________ 14. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围是 __． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知非零向量，满足，且. （1）求与的夹角； （2）若，求. 16. 已知集合，． （1）若集合，求此时实数的值； （2）已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 17. 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）若正实数满足，求的最小值. 18. 已知函数在区间上有最大值2和最小值1. （1）求的值； （2）不等式在上恒成立，求实数取值范围； （3）若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 19. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季高一年级入学检测 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分：____ 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解集合，由交集运算即可求解； 【详解】， 所以， 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】“，”的否定是，， 故选：D 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点的存在性定理结合函数的单调性判断即可. 【详解】易知函数是上的增函数， 且，，即， 根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为. 故选：C. 4. 已知函数的最小正周期为，则函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 【答案】B 【解析】 【分析】由最小正周期求出，再依次对各选项进行辨析即可. 【详解】∵函数的最小正周期为， ∴，∴， ∴． 根据正弦函数的性质， 由，，解得，， ∴的图象关于直线，对称， ∴时，的图象关于直线对称，故选项B正确，选项A错误； 由，，解得，， ∴的图象关于点，对称，故选项C、D错误. 故选：B. 5. 定义在上的函数满足，若在区间上单调递增，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，再根据对数函数的性质得到，结合函数的单调性判断即可. 【详解】因为在上的函数满足，所以. 因，又，，所以. 因为在上单调递增，所以，即，即. 故选：D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“”的代换，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】， 当且仅当时取等号． 故选:C． 8. 已知是定义在上的函数，的图象关于点对称，对任意，，都有.若，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，然后结合函数的单调性和奇偶性求解． 【详解】因为是定义在上的函数，的图象关于点对称， 所以为奇函数，， 因为，即，所以， 构造函数，则有，所以在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 变形， 则有，即， 所以，解得：或， 故选：B． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，根据指数函数的性质判断B，根据不等式的性质判断C，利用作差法判断D. 【详解】对于A，令，，满足，此时，故A错误； 对于B，因指数函数在上单调递增，且，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，， 所以， 所以，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知，下面结论正确的是（ ） A. 若，，且的最小值为，则 B. 存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称 C. 若在上恰有7个零点，则的取值范围是 D. 若在上单调递增，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知，先对原函数利用余弦的二倍角公式和诱导公式进行化简得到，选项A，可根据条件作出判断；选项B，先对函数进行平移，得到，然后再令，通过赋值求解出的值，然后结合条件给的范围判断即可；选项C，可根据条件直接列式求解；选项D，可根据条件列出不等式直接求解. 【详解】由已知，， 选项A，若，，则的最小值为，故该选项错误； 选项B，的图像向右平移个单位长度后得到的解析式为：，该图像要想关于y轴对称，则需满足：，解得，当时，，故该选项正确； 选项C，令可得， 解得， 又时，；时，， 所以由函数在上恰有7个零点可得：，故该选项正确； 选项D，由函数在上单调递增，且， 可得：， 解得：，又因为，所以的取值范围是，该选项正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为R且具有下列性质： ①是奇函数； ②； ③当，，函数． 下列结论正确的是（ ） A. 3是函数的周期 B. 函数在上单调递增 C. 函数与函数的图像的交点有8个 D. 函数与函数的图像在区间（0，15）的交点有5个，则实数 【答案】BC 【解析】 【分析】结合①②条件可得函数周期为6，故错误；作出函数、图像即可判断、；考虑和两种情况，数形结合即可判断． 【详解】解：对A：因为，所以令，可得， 即，故， 则，即， 因为为奇函数，所以，则， 所以，即函数的周期为6，故A错误； 对B、C：令，则，则，又因为函数为奇函数，故， 再根据其周期为6，分别作出函数与的图像如下： 数形结合，可得函数在上单调递增，且两函数图像共有8个交点，故B、C正确； 对D：作出函数在的图像如下： 若函数与函数的图像在区间的交点有5个， 由图可得实数或，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在菱形ABCD中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量加法运算结合菱形的性质及角度，求出模长即可 【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O,． 因为，所以， 所以为等边三角形． 又，， 所以． 在中，， 所以． 故答案为: 13. 不等式的解集为，则实数的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】分，讨论，当时，根据二次函数性质可解. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，由题知，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围是 __． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数解析式，可分、、三种情况分别写出与，结合，可得关于的表达式，再由函数的单调性求解的取值范围． 【详解】当时，则， 可得，即，求得， 则， 函数在上递增，； 当时，， ，可知不存在，使得； 当时，则， 由，得， 令，，则， ，， ，则，即， 函数在上单调递增，可得， 即． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题的关键通过分、以及进行讨论，通过构造函数利用其单调性得到范围. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知非零向量，满足，且. （1）求与的夹角； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，得，则，再结数量积的公式和可求得与的夹角； （2）由，得，将此式展开，把代入可求得结果 【详解】（1）∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴与的夹角为. （2）∵，∴， ∵，又由（1）知， ∴，∴. 【点睛】此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查计算能力，属于基础题 16. 已知集合，． （1）若集合，求此时实数的值； （2）已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意、为关于的方程的两根，利用韦达定理计算可得； （2）由是的充分条件，知，分，、三种情况求出，利用集合的包含关系求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以、为关于的方程的两根， 所以，解得； 【小问2详解】 由，即，解得， 所以， 由命题，命题且是的充分条件， 所以， 由，可得， 当时，解得，即，所以（等号不同时取到），解得； 当时，解得，即，显然不符合题意； 当时，解得，即，所以（等号不同时取到），解得； 综上可得实数的取值范围为. 17. 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）若正实数满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为幂函数求得m，再由在上单调递增求得k，然后再验证奇偶性即可. （2）由（1）得到，然后利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 解：由为幂函数得： ， 且在上单调递增， 所以， 又，所以或， 当时，为奇函数，不满足题意， 当时，为偶函数，满足题意， 所以； 【小问2详解】 因为且， 所以， 所以， ， ， 当且仅当， 且，即时取等号， 所以的最小值为. 18. 已知函数在区间上有最大值2和最小值1. （1）求的值； （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出； （2）由已知可转化为在上恒成立.根据基本不等式即可求出实数的取值范围； （3）由已知可推得有三个不同的实数解.令，作出的函数图象，可得.结合函数图象，该方程一个根大于0小于1，一个根大于等于1.令，根据二次函数的性质与图象，即可得出不等关系，进而求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由已知可得. 当时，在上为增函数，所以，解得； 当时，在上为减函数，所以，解得. 由于，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以在上恒成立，即， 因为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时取等号. 所以，即. 所以求实数的范围为. 【小问3详解】 方程化为， 化为，且. 令，则方程化为. 作出的函数图象 因为方程有三个不同的实数解， 所以有两个根， 且一个根大于0小于1，一个根大于等于1. 设， 记， 根据二次函数的图象与性质可得 ，或， 解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：根据构成复合函数函数特性，即可得出零点的分布情况. 19. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出表达式，根据图象变换写出变换后的解析式，根据偶函数的条件求参数； （2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解； （3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围. 【小问1详解】 由，得，则 则为偶函数， 于是轴是其一条对称轴，根据正弦函数的性质，在对称轴对应的横坐标处一定取到最值，所以， 又，所以，故. 【小问2详解】 因，所以， 故，， 而恒成立， 即， 整理可得. 令，， 设，，设，且， 则， 由于，，则，所以， 即区间上单调递增，故， 故，即实数m的取值范围是. 【小问3详解】 由题意知， 由得， 故或，， 解得或，， 故的零点为或，， 所以相邻两个零点之间的距离为或 若最小，则和都是零点，此时在区间，，…，， 分别恰有个零点， 所以在区间上恰有个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以， 另一方面，在区间上恰有个零点， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问零点个数的处理可以考虑研究区间长度为的情况，发现规律后扩充到区间长度为整数倍的上进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $