精品解析：广东省深圳实验学校高中园2024-2025学年高一上学期第三阶段考试数学试题

深圳实验学校高中园2024—2025学年度第一学期第三阶段考试 高一数学 时间：120分钟　　满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据这两个部分对限制条件列出不等式组，求解不等式组即可得到函数的定义域. 【详解】函数，定义域满足不等式组. 解不等式，可得.  解不等式，可得.  所以不等式组的解为且.  用区间表示函数的定义域为.   函数的定义域是. 故选：D 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式计算即可. 【详解】因为，则. 故选：B. 3. 设集合则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【详解】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 4. 下列命题是假命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】对于AＣＤ，由做差法与题意可判断选项正误； 对于B，由不等式性质可判断选项正误． 【详解】对于A，，因，则， 又，则，故A错误； 对于B，由不等式同向可加性可知，当时，，故B正确； 对于C，，因，则，又， 则，故C正确； 对于D，，因，则， ，则， 故D正确． 故选：A 5. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】因为正数满足， 则， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值是8. 故选：A. 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用对数函数的值域得出范围，再应用特殊角的余弦函数值即可比较. 【详解】因为， ， ， 则的大小关系为. 故选：C. 7. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：B. 8. 已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得在R上的单调性，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】是定义域为的奇函数，且在上单调递减， 则在上单调递减，即在R上单调递减. 又，则， 则. 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选得0分． 9. 若，则角的终边可能落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据各象限三角函数的正负情况判断即可. 【详解】因为，所以或， 所以为第三象限或第四象限角. 故选：CD 10. 已知、都是正数，则下面结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则的最大值为 C. 的最大值为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用对勾函数的单调性可判断A选项；利用基本不等式可判断BC选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则，令，则， 因为对勾函数在上单调递增，则， 所以，无最小值，A错； 对于B选项，因为、都是正数且， 由基本不等式可得，整理可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最大值为，B对； 对于C选项，因为、都是正数，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即的最大值为，C对； 对于D选项，当时，，此时，，D错. 故选：BC. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；求出两个函数的定义域可判断B；利用换元法求出的函数值域可判断C；根据抽象函数定义域的求法可判断D. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，选项A正确. 对于B，定义域为R，定义域为，定义域不同，不是同一函数，选项B错误. 对于C，令，则， 函数可变形为，对称轴为直线，函数在上为增函数. 当时，，故函数的值域为，选项C正确. 对于D，由函数的定义域为得，，故函数的定义域为，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 若幂函数为偶函数，则 ________ . 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数和偶函数的定义即可求解. 【详解】∵函数为幂函数， ∴，解得或， 又∵为偶函数， ∴， 故答案为：. 13. 已知，则______． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系进行弦化切，最后代入计算即可. 【详解】. 故答案为 ：. 14. 深圳实验学校高中园高一年级设计了一个“水滴状”园徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为．已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意及图形分别求出三角形及弓形面积可得答案. 【详解】如图将圆O补充完整，连接OB，OC，取BC中点D，连接AD. 因，为对应的圆周角，为对应的圆心角， 则，为正三角形，又外接圆半径为2，则弓形面积为. 因，则三角形为等腰三角形，AD平分角. 则，又，则. 又， 则，则. 则图形面积为：. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合． （1）若，求和； （2），求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时， （2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围. 【小问1详解】 若，则， 所以， 【小问2详解】 因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 16. 已知函数且点在函数的图象上． （1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （2）若方程有两个实根，结合图像简单说明，求实数的取值范围． （3）结合图像简单说明，求不等式的解集； 【答案】（1）作图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，作出函数图象即可； （2）根据图象平移动直线即可得到答案； （3）作出直线，求出交点坐标即可得到解集. 【小问1详解】 点在函数的图象上，，则， 则函数的图象如图所示． 【小问2详解】 方程等价于， 与的图像交点为两个，则由图知. 【小问3详解】 从图象上来看即观察该函数图象在直线以上的部分， 令和，解得和2， 则直线与函数交点分别为，， 则由图知不等式的解集为. 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若求的值域 （3）若求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦函数的单调性计算求解； （2）应用正弦函数的值域计算求解； （3）先应用同角三角函数求解得出，最后结合两角和正弦公式计算即可. 【小问1详解】 因为， 令， 得， 所以的单调递增区间为 【小问2详解】 函数，当时，， 结合正弦函数的性质可得： 当时，即，函数； 当时，即，函数． 所以，故的值域为． 【小问3详解】 ． ，． 18. 已知函数且在区间上的最大值比最小值大. （1）求的值； （2）若单调递减. ①设函数，求的最小值； ②设函数，，求的最小值． 【答案】（1）或． （2）①520；②1314 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，应用单调性结合最值计算求参； （2）应用指数函数的单调性结合二次函数的性质求出最小值. 【小问1详解】 当时，单调递增， 在区间[1，2]上， 当时，， 当时，， 所以，即得 当时，单调递减， 在区间[1，2]上， 当时，， 当时，， 所以，即得. 所以或． 【小问2详解】 ①因为单调递减，所以， 设，则． 所以当时，函数， 所以的最小值为520． ②由则 设则单调递减，且， 故， 所以，当时，， 所以的最小值为． 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求实数的值； （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数证明：有且只有一个零点，且． 【答案】（1）4 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角函数周期计算公式可得答案. （2）由题可得零点表达式，要使最小，则，n均为零点，据此可得答案； （3）由题可得，由单调性，正负情况结合零点存在性定理可得零点情况，然后由单调性可完成证明. 【小问1详解】 的最小正周期为 ． 【小问2详解】 当时，令，解得 ，则或， 则或，.要使最小，则均为零点. 若，则大于的7个零点为：， 得，则此时，； 若，则大于7个零点为：，， 得，则此时，，因， 则的最小值为； 【小问3详解】 由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为 所以根据零点存在定理，使得 故在上有且只有一个零点． ②当时，因为单调递增，单调递减， ，所以， 所以在上不存在零点； ③当时，因为单调递增，，因为 所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且 因为，所以， 所以 在上单调递减，，所以． 【点睛】关键点睛：对于函数零点问题，可利用数形结合思想，转化为函数图像与x轴交点横坐标，也可利用零点存在性定理结合函数单调性研究零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳实验学校高中园2024—2025学年度第一学期第三阶段考试 高一数学 时间：120分钟　　满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A 1 B. C. D. 3. 设集合则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题是假命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 5. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选得0分． 9. 若，则角的终边可能落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 已知、都是正数，则下面结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则的最大值为 C. 最大值为 D. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 若幂函数为偶函数，则 ________ . 13. 已知，则______． 14. 深圳实验学校高中园高一年级设计了一个“水滴状”园徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为．已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为______． 四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合． （1）若，求和； （2），求实数取值范围． 16. 已知函数且点在函数的图象上． （1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （2）若方程有两个实根，结合图像简单说明，求实数的取值范围． （3）结合图像简单说明，求不等式的解集； 17 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若求的值域 （3）若求的值 18. 已知函数且在区间上的最大值比最小值大. （1）求的值； （2）若单调递减. ①设函数，求最小值； ②设函数，，求的最小值． 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求实数的值； （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数证明：有且只有一个零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$