精品解析：山东省济宁市鱼台县2024—2025学年上学期期末九年级数学试题

2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题 同学们，你们好！一转眼一个学期飞快地过去了．在这个学期里，我们学到了许多新的数学知识，也提高了我们的数学思维能力．现在让我们在这里展示一下自己的真实水平吧！祝大家成功! 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请把正确选项前的字母填在答题纸上，每题3分，共30分）注意可以用各种不同的方法来解决你面前的选择题哦! 1. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹．用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．下列剪纸图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意； D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况， ∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为： 故选B 3. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象在第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小进行判断求解即可． 【详解】解：由题意，反比例函数的图象在第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，在反比例函数的图象上，且，， ∴，，则， 故选：B． 4. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”（1尺寸）．则的长度是（ ） A. 寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，根据垂径定理，由可求出的长，设的半径为，则，表示出，在中，根据勾股定理建立关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：连接， 寸， 寸， 设的半径为，则， 寸， ， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， 寸， 故选：D． 5. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，由 即可求得答案． 详解】解：，， ， 由旋转得，，， ， ， 故选：B． 6. 若事件“关于的方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．掌握一元二次方程的定义和根的判别式是解题的关键．分情况讨论，①时，根据一元一次方程的解判断即可；②时，根据根的判别式得出，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵事件“关于的方程有实数根”是必然事件， ∴关于的方程有实数根， ①当时，原方程为， 此时方程的解为，符合题意， ②当时， ∵方程有实数根， ∴， 解得 ∴且 综上，， 故选：C． 7. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，则函数与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象开口向下，∴a＜0． ∵对称轴经过x的负半轴，∴a，b同号． ∵图象经过y轴的正半轴，则c＞0． ∵函数的a＜0，∴图象经过二、四象限． ∵y=bx+c的b＜0，c＞0，∴图象经过一、二、四象限． 故选B． 考点：一次函数、反比例函数和二次函数的图象与系数的关系． 8. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，交于，求出中心角，得到为等边三角形，根据垂径定理推论得到，，则，那么，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，交于， 六边形是的内接正六边形， ，，， ∴为等边三角形， ，， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ， ， ， 故选：C． 【点睛】】本题考查正多边形与圆，垂径定理及其推论，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9. 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，、分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，相似的判定和性质，矩形的性质，灵活运用相关知识是解决问题的关键．设，，根据题意，利用函数关系式表示出线段，利用三角形的面积公式，即可得答案． 【详解】解：设点，，则， ∴点B的纵坐标为， ∵B在上 ∴点B的横坐标为， ， ∵在矩形中， ， ∴， 又∵, ∴, ∴， ， ， ， ． 故选：D． 10. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接． ① ② ③ ④，以上结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由射线的作法可知是的角平分线，由三角形角平分线的定义可得，由此即可判断结论①；由等角对等边可得，由三角形外角的性质可得，则，由等角对等边可得，进而可得，由此即可判断结论②；由，可证得，于是可得，进而可得，即，整理得，解得或（不符合题意，故舍去），则，即，进而可得，由此即可判断结论③；由，可得，进而可得，利用三角形的面积公式可得，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：，， ， 由题意可知：是的角平分线， ，故结论①正确； ， ， ， ， ， ，故结论②正确； ，， ， ， ， 即：， 整理，得：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ， 即：， ，故结论③错误； ，， ， ， ，故结论④正确； 综上，正确的结论有：，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作角平分线（尺规作图），三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，公式法解一元二次方程，分母有理化，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握黄金分割及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 二、开动脑筋，耐心填一填!（每题3分，共18分） 11. 若是方程的一个根，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，直接代入求解即可． 将代入方程求解即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 12. 反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规律求解即可，熟练掌握二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：二次函数图象平移后的解析式为， 故答案为：． 14. 已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则此圆锥的侧面积为_________.（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】先求出底面圆的周长，即为弧长，圆锥的侧面积为扇形的面积，由扇形的面积公式求解即可得出答案． 【详解】解：底面圆的半径为3， 底面圆的周长为，即圆锥的侧面展开图的弧长为， 圆锥的侧面积为． 故答案为：． 【点睛】此题考查圆锥的侧面积，解题关键在于掌握运算公式． 15. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④当函数值时，自变量的取值范围是．其中正确结论的序号是_____． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给函数图象得出的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题． 详解】解：由所给函数图象可知，， 所以．故①错误． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则，故②错误． 因为抛物线与轴的一个交点坐标为， 所以， 则， 即．故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为，所以抛物线与轴的另一个交点的坐标为． 又因为抛物线的开口向上， 所以当时，函数图象在轴下方，即． 所以当函数值时，自变量的取值范围是．故④正确． 故答案为：③④． 16. 如图，等腰的直角边长为4，以A为圆心，直角边为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，再以A为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，，按此规律继续作下去，则得到的阴影部分的面积 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由是等腰直角三角形且直角边长为可得，，由题意可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，在中，根据勾股定理可得，进而可得，于是可得，同理可得，，，，，于是得解． 【详解】解：是等腰直角三角形，且直角边长为， ，， 由题意可得：， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，求不规则图形的面积，求扇形面积，三角形的面积公式，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 三、解答题（解答题要求写出必要的计算步骤或证明过程） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．首先利用提公因式法分解因式可得：，根据两数乘积为这两个数至少有一个数为，可得： 或，解两个一元一次方程即可． 【详解】解： 移项得：， 把方程左边因式分解得：， 或， 解得：，． 18. 如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O的中心对称图形，并写出点的对应点的坐标． （2）画出将绕原点O逆时针方向旋转后的图形． （3）在（2）的旋转过程中，求点运动到的路线的长． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）按照画中心对称图形的方法画出，并写出点的坐标即可； （2）按照画旋转图形的方法画出即可； （3）先利用、两点坐标求出的长，再利用弧长公式计算出点运动到的路线的长即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作： 【小问3详解】 解：，， ， 点运动到的路线的长． 【点睛】本题主要考查了画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形，求某点的弧形运动路径长度，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离等知识点，熟练掌握旋转的性质、画旋转图形的方法及弧长公式是解题的关键． 19. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 测量居民楼的高度 活动工具 标杆、卷尺 建立模型 测量方案 【步骤一】在地面上选一点，垂直地面竖立标杆，后退2米到处，此时M、B、E在一直线上； 【步骤二】另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4米到处，此时M、D、F三点也在一直线上． 【步骤三】测得两次测量标杆之间的距离是为50米，两个标杆的高度均为1.5米，且N、A、E、C、F在同一直线上． 解决问题 请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出居民楼的高度． 【答案】居民楼的高度为39米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．先证明得，即，再证明得，即，解出即可． 【详解】解：由题可知，， ， ， ， ， 即：， 同理， ， 即：， 解得：， ∴居民楼的高度为39米． 20. 如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定和相似三角形的判定和性质： （1）连接，根据已知条件得到，求得，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （2）证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴°，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 21. 为提升“好客山东、好品山东”影响力，着力实施旅游住宿提优行动，泗水县旅游景区民宿有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，景区需对每个房间每天支出20元的各种费用． （1）若民宿当天要获得利润8640元，在顾客得实惠的前提下，求每个房间定价为多少元？ （2）房间定价为多少元时，民宿每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）200元 （2）房间定价为350元时，民宿每天的利润最大，最大利润是10890元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用： （1）设每个房间定价为x元，则入住的房间有个，根据每个房间的利润乘以房间数等于总利润列方程，解方程即可； （2）设每天的利润为w元，根据总利润等于每个房间的利润乘以房间数，得出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题 【小问1详解】 解：设每个房间定价为x元．由题意得： ， 整理得：， 解得，， 要在顾客得实惠的前提下， ， 即每个房间定价为200元． 【小问2详解】 解：设每天的利润为w元， 由题意得：， ， 当时，w取最大值，最大值为10890， 即房间定价为350元时，民宿每天的利润最大，最大利润是10890元． 22. 综合与实践 【问题情景】 如图，中，，点分别是的中点，连接．将绕点逆时针旋转得到（如图），连接，． 【操作发现】（）求证：； 【拓展应用】（）已知，，分别延长，交于点． ①若，求的长； ②连接，若，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【解析】 【分析】（）由中点得，即得，再根据旋转得，即得，据此即可得证； （）①证明，可得，再由勾股定理即可求解；②证明，可得，即得，，进而由勾股定理得，再由即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：∵点分别是的中点， ∴，， ∴， 即， 又由旋转得，， ∴， ∴； （）①如图，设交于点，连接， ∵，，， ∴， 由（）得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ； ②如图，过点作，交于， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 23. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）M是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点M的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点且位于x轴下方，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，设，求出，通过证明，得到，再利用二次函数的性质即可求解； （3）由是以为腰的等腰直角三角形，分2种情况讨论：①当，过点作轴交于点，通过证明得到，设，列出方程求出的值可得出点的坐标；②当，此时点在轴下方，过点作交于点，通过证明得到，设，列出方程求出的值可得出点的坐标，即可得出答案． 【小问1详解】 解： 将、、代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点M作轴，交于点H， 设直线的解析式为， 将、代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 轴， ， ， 当时，有最大值， 此时， 点M的坐标为． 【小问3详解】 解：由题意得，抛物线对称轴为， 设抛物线对称轴与轴交于点，则， 是以为腰的等腰直角三角形， 或； ①当，过点作轴交轴于点，令对称轴交轴于E，如图： 轴， ， ， ， ，即， 又，， ， ， 设，则， 若点在轴上方，则， 解得：，（舍去）， ； 若点在轴下方， 则， 解得：，（舍去）， ； ②当，此时点在轴下方，过点作交于点，如图： ， ， ， ， ， ，即， 又，， ， ，， ， 设，则， ， 解得：，（舍去）， 此时， ； 综上所述，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．本题属于函数与几何压轴题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决难题的学生． 请再仔细检查一下，也许你会做的更好，考试成功的秘诀在于把会做的题做对，祝你成功！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题 同学们，你们好！一转眼一个学期飞快地过去了．在这个学期里，我们学到了许多新的数学知识，也提高了我们的数学思维能力．现在让我们在这里展示一下自己的真实水平吧！祝大家成功! 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请把正确选项前的字母填在答题纸上，每题3分，共30分）注意可以用各种不同的方法来解决你面前的选择题哦! 1. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹．用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．下列剪纸图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”（1尺寸）．则的长度是（ ） A. 寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 5. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若事件“关于的方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，则函数与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 9. 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，、分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接． ① ② ③ ④，以上结论正确个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、开动脑筋，耐心填一填!（每题3分，共18分） 11. 若是方程的一个根，则的值是_____． 12. 反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_________ ． 13. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为_________． 14. 已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则此圆锥的侧面积为_________.（结果保留） 15. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④当函数值时，自变量的取值范围是．其中正确结论的序号是_____． 16. 如图，等腰的直角边长为4，以A为圆心，直角边为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，再以A为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，，按此规律继续作下去，则得到的阴影部分的面积 ________． 三、解答题（解答题要求写出必要的计算步骤或证明过程） 17. 解方程：． 18. 如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O的中心对称图形，并写出点的对应点的坐标． （2）画出将绕原点O逆时针方向旋转后的图形． （3）在（2）的旋转过程中，求点运动到的路线的长． 19. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 测量居民楼的高度 活动工具 标杆、卷尺 建立模型 测量方案 【步骤一】在地面上选一点，垂直地面竖立标杆，后退2米到处，此时M、B、E在一直线上； 【步骤二】另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4米到处，此时M、D、F三点也在一直线上． 【步骤三】测得两次测量标杆之间的距离是为50米，两个标杆的高度均为1.5米，且N、A、E、C、F在同一直线上． 解决问题 请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出居民楼的高度． 20. 如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长度． 21. 为提升“好客山东、好品山东”影响力，着力实施旅游住宿提优行动，泗水县旅游景区民宿有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，景区需对每个房间每天支出20元的各种费用． （1）若民宿当天要获得利润8640元，在顾客得实惠的前提下，求每个房间定价为多少元？ （2）房间定价为多少元时，民宿每天利润最大？最大利润是多少？ 22. 综合与实践 【问题情景】 如图，中，，点分别是的中点，连接．将绕点逆时针旋转得到（如图），连接，． 【操作发现】（）求证：； 【拓展应用】（）已知，，分别延长，交于点． ①若，求的长； ②连接，若，直接写出的值． 23. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）M是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点M的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点且位于x轴下方，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点Q的坐标． 请再仔细检查一下，也许你会做的更好，考试成功的秘诀在于把会做的题做对，祝你成功！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $