精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市伊金霍洛旗2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

内蒙古自治区鄂尔多斯市伊金霍洛旗2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 注意事项： 本试卷满分100分．考试时间为90分钟．请将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、水涨船高，是必然事件，不符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，符合题意； D、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握配方法的步骤是解本题的关键． 方程常数项移到右边，两边加上1，运用完全平方公式变形即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：C． 3. 以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，再比较即可． 【详解】解：A选项：最小旋转角度； B选项：最小旋转角度； C选项：最小旋转角度； D选项：最小旋转角度； 综上可得：旋转的角度最小的是D． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转对称图形中旋转角度的确定，求各图形的最小旋转角度时，关键要看各图形可以被平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是． 4. 如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角的有关定理，解题的关键是找到同弧所对的圆周角． 根据是的直径，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况， ∴小灯泡发光的概率为：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 6. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，根据、的符号根据一次函数与反比例函数的图象，逐项分析即可作出判断． 【详解】解：A．一次函数的图象经过一、二、四象限，则，，二次函数的图象开口向下，则，矛盾，故A错误； B．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向上，则，矛盾，故B错误； C．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向上，则，矛盾，故C错误； D．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向下，则，对称轴，则，故D正确； 故选：D． 9. 如图，已知中，，内切圆半径为，连接，，分别交于点，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心；根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积与扇形的面积的差，即可求解． 【详解】解：是的内切圆， 图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， 、分别是、的角平分线， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 一元二次方程的正实数根在3和4之间 C. 点在抛物线上，当实数时， D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间，则根据抛物线与轴的交点问题可对B选项进行判断；利用二次函数的增减性对C进行判断．把，和代入抛物解析式可对D选项进行判断．本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的解．也考查了二次函数的性质． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，故A选项的结论错误； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标在与之间， 抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间， 一元二次方程的正实数根在2和3之间，故B选项的结论错误； 点，在抛物线上， 当点、都在直线的右侧时，，此时； 当点在直线的左侧，点在直线的右侧时，， 此时且，即， 当时，，故C选项的结论错误． 把，代入抛物线得，， 而， ， ，故D选项的结论正确； 故选：D． 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 将抛物线向左平移个单位后，得到的新抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移；根据抛物线的平移规律：左加右减，得出，即可求解． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后，得到的新抛物线为， 新抛物线的顶点坐标为： 故答案为：． 12. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为______ 【答案】##13厘米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故答案为． 13. 已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为、，且，则m的值为______． 【答案】1或 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可得出，，再由，求出，，进而根据得出，解之即可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为、， ，， ， ， ， ， ， ， 解得或． ， ∴无论m取何值，方程都有两个实数根， ∴的值为1或． 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的根与系数的关系． 14. 已知点O是的外心，，则___________． 【答案】65°或115° 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，画出图形，根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ∴根据圆周角定理可知或， 故答案为：65°或115°． 15. 如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2025秒后点的位置是解题的关键．根据旋转4秒恰好旋转，说明旋转2025秒后点在x轴下方，且，再求出点的坐标即可． 【详解】解：将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，旋转4秒恰好旋转， …1， ∴点在x轴下方，且， 过点D作轴于点E，过点D作轴于点F， ∵点D坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：． 16. 如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为_______________. 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共有6小题，共52分．请将必要的文字说明，计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解法是关键． （1）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：原式变形为， ∴， ∴或， 解得： 【小问2详解】 解：原方程变形为：， 变为一般形式为：， ∴， ， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕坐标原点O顺时针旋转的； （2）在旋转过程中，求点B旋转到所经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在平面直角坐标系中画出对应点,然后顺次连接即可； （2）求出的长，根据弧长公式进行计算即可求出点B所经过的路径长． 此题考查作图-旋转变换，解题关键在于掌握作图法则． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 ∵， ∴的长． 19. 一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.3600 0.2100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335 （1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到0.01），由此估计出红球有______个． （2）现按同样方式再从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 【答案】（1）0.33，2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，利用频率估计概率． （1）通过表格中数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.33左右，列方程可得出答案； （2）画树状图，共有9个等可能的结果，恰好是1个白球，1个红球的情况数是4，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，设红球有个，则， 解得． 经检验：是分式方程的解， 故答案为：，2； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 由图可知，共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球恰好1个是白球、1个是红球的有4种， 故P（两次摸到的球恰好1个是白球、1个是红球）． 20. 如图，内接于为的直径，点是弧的中点，交于，交于． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理； （1）由是的直径，得，由，得，由，，得，所以，即可证明是的切线； （2）作于点，则，由勾股定理得，设，则，在直角三角形和直角三角形中，，建立方程，解方程，求得． 【小问1详解】 证明：是的直径， ． 点是弧的中点， 弧等于弧 ， ， ， 即． 又是的半径， 是的切线 小问2详解】 解：， ， 设，则 是的直径， ． 在直角三角形和直角三角形中 21. 如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形，使点B落在边上的点E处，连接交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）取中点P，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质，得到；根据等腰三角形的性质，得到，等量代换得到即可． （2）如图，过点B作，证明，后证明，得到，继而得到是中位线得证． 【小问1详解】 证明：∵矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴平分． 【小问2详解】 证明：如图，过点B作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，点P为的中点， ∴是中位线， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 22. 如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点B和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的面积有最大值4，此时 （3）P点坐标为或）或） 【解析】 【分析】（1）求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）过E点作轴交于点G，设，则，可得，即可求出最终结果． （3）设， ，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式求n的值即可求P点坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时， ， 将B、C点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 过E点作轴交于点G， 设，则， 当时，的面积有最大值4，此时． 【小问3详解】 存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 抛物线的对称轴为直线， 设， ①当为平行四边形的对角线时，， 解得 ②当为平行四边形的对角线时，， ③当为平行四边形的对角线时，， 解得， 综上所述：P点坐标或）或）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古自治区鄂尔多斯市伊金霍洛旗2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 注意事项： 本试卷满分100分．考试时间为90分钟．请将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（　 ） A. B. C. D. 5. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A B. C. D. 9. 如图，已知中，，内切圆半径为，连接，，分别交于点，，则图中阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 一元二次方程的正实数根在3和4之间 C. 点在抛物线上，当实数时， D. 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 将抛物线向左平移个单位后，得到的新抛物线的顶点坐标为______． 12. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为______ 13. 已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为、，且，则m的值为______． 14. 已知点O是的外心，，则___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点的坐标为______． 16. 如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为_______________. 三、解答题：本大题共有6小题，共52分．请将必要的文字说明，计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕坐标原点O顺时针旋转； （2）在旋转过程中，求点B旋转到所经过的路径长． 19. 一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.3600 0.2100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335 （1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到0.01），由此估计出红球有______个． （2）现按同样方式再从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 20. 如图，内接于为的直径，点是弧的中点，交于，交于． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． 21. 如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形，使点B落在边上的点E处，连接交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）取中点P，连接，求证：． 22. 如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点B和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $