第16讲 直角三角形与勾股定理（讲练）（思维导图+2考点+2命题点12种题型（含7种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第四章 三角形 第16讲 直角三角形与勾股定理（5-8分） （思维导图+2考点+2命题点12种题型（含7种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 直角三角形的性质与判定 考点二 勾股定理及其逆定理 04题型精研·考向洞悉 命题点一 直角三角形的性质与判定 ►题型01 直角三角形两锐角互余 ►题型02 两锐角互余的三角形是直角三角形 ►题型03 30°锐角所对直角边是斜边的一半 ►题型04 斜边上的中线等于斜边的一半 命题点二 勾股定理及其逆定理 ►题型01 已知两点坐标求两点距离 ►题型02 以直角三角形三边为边长的图形面积 ►题型03 勾股定理与网格问题 ►题型04 勾股定理与折叠问题 ►题型05 用勾股定理构造图形解决问题 ►题型06 勾股定理的应用 ►题型07 判断三边能否构成直角三角形 ►题型08 利用勾股定理进行求解 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 直角三角形的性质与判定 1.理解直角三角形的概念. 2.探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 10年2考 该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点.出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向. 勾股定理及其逆定理 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 10年5考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 直角三角形的性质与判定 1.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2.直角三角形的性质： （1）直角三角形两个锐角互余. （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形的判定： （1）两个内角互余的三角形是直角三角形. （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． （3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． （4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 4.面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 考点二 勾股定理及其逆定理 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，，,,. 勾股定理的证明方法（常见）： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数. 常见的勾股数：如；；；等. 判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 1. 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形. 2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3. 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． 4. 每组勾股数的相同整数倍也是勾股数. 5. 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 6. 定理中a，b，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 直角三角形的性质与判定 ►题型01 直角三角形两锐角互余 例题1．（2024·福建莆田·模拟预测）将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置在A4纸片上，其中点A，B分别落在纸片边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·山东青岛·一模）如图，直线的顶点A在直线n上，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图直线，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则的数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点，分别在线段，上，于点，于点，若，则图中与互余的角有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（2024·贵州毕节·三模）如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边交于点H，若，则等于（    ）． A． B． C． D． ►题型02 两锐角互余的三角形是直角三角形 例题2．（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，． (1)求证：； (2)求的长． 1．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 2．裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 3．如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 4．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长； (3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由． ►题型03 30°锐角所对直角边是斜边的一半 例题3．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，是的内接三角形，，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号） 30°锐角所对的直角边是斜边的一半；可以用来求线段的长度，但要先确定是直角三角形。 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，为菱形的对角线，，过点作，垂足为点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）在活动课上，“雄鹰组”用含角的直角三角尺设计风车，如图，，，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，以此方法做下去……则点通过一次旋转至所经过的路径长为 ．（结果保留） 3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）矩形中，平分交于点，把绕点逆时针旋转交于点，过点作于点，连接，若，，则 ． 4．（2025·湖北十堰·一模）在四边形中，，点E，F在对角线上，，． (1)求证：； (2)连接，已知______（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：；条件②：． ►题型04 斜边上的中线等于斜边的一半 例题4．（2025·贵州·模拟预测）如图，正方形，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，若，则的长为 ． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是直角三角形非常重要的性质。可以用来证明线段相等和求解线段的长度。难点是很多学生想不起来使用该知识点，所以同学们平时要多注意使用该性质。 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川眉山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在以为圆心，为半径的圆周上运动，且始终满足，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，D、E、F分别是的中点，若cm，则 cm． 4．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，，则 ． 命题点二 勾股定理及其逆定理 ►题型01 已知两点坐标求两点距离 例题1．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数的图象相交于点C，已知点A的横坐标为1，点C的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)过点作，交轴于点，求的面积． 两点距离公式：已知、、则； 1．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例的图象相交于，两点，直线且，点在直线上且，则的值 ． 2．（2024·贵州遵义·二模）如图，在矩形中，点为对角线的中点，点，分别在边，上，，，点为的中点，则的长为 ． 3．（2024·江西抚州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数相交于点，与轴相交于点，其中，． (1)求的值； (2)求一次函数的解析式． 4．（2024·山西·模拟预测）如图，抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点A，作直线． (1)求点B的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)若点C为抛物线的顶点，求四边形的面积． ►题型02 以直角三角形三边为边长的图形面积 例题2．（2025·湖南娄底·一模）已知如图，在中，，，，在直线的同侧分别以的三边作正方形、正方形、正方形，、、、分别表示对应图形的面积，则的值为 ． 1.以直角三角形的三边长为边长向外作等边三角形，以直角边为边长的两个等边三角形的面积之和等于以斜边为边长的等边三角形的面积； 2.以直角三角形的三边长为边长向外作正方形，以直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积； 3.以直角三角形的三边长为直径向外作半圆，以直角边为直径的两个半圆的面积之和等于以斜边为直径的半圆的面积。 1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，分别以它的三边为边向外作正方形，，，分别过点，作，，垂足分别为，．要知道阴影部分的面积，只需知道下列某个图形的面积，这个图形是（    ） A． B．正方形 C．正方形 D．正方形 2．（2024·河北唐山·三模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（2024·广东中山·模拟预测）在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ． ►题型03 勾股定理与网格问题 例题3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上，P为线段上的一个动点 (1)的长等于_______， (2)当点P在线段上运动，且使取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的，（不要求证明） 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·四川乐山·模拟预测）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，则的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 3．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上． (1)求的值． (2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法） ►题型04 勾股定理与折叠问题 例题4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ． 利用勾股定理解决翻折问题时，一般使用方程思想，设出未知数，再用未知数表示出直角三角形的三边，根据勾股定理列出方程，求出未知数的值。 1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，矩形中，，，是边上一点，且，是边上一动点，作，交边于点，将沿着所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为 ． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边，上，将纸片沿所在直线折叠，使点C的对应点H落在边上，点D的对应点G落在边的上方，则线段的取值范围是 ． 3．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ． 4．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形中，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ． ►题型05 用勾股定理构造图形解决问题 例题5．（2024·辽宁抚顺·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理进行求解 1．（2024·贵州·模拟预测）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形，四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（    ） A．6 B．12 C．15 D．25 2．（2023·四川泸州·一模）我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成．若，，则该矩形的面积为（　　　　） A．96 B． C． D．90 3．（2023·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺． 4．（2023·浙江温州·模拟预测）欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法：“直角三角形斜边上正方形的面积等于两直角边上两个正方形的面积之和”．如图，中，，四边形、四边形和四边形都是正方形，过点作的平行线交于点，连接，，．若四边形的面积是四边形的面积的5倍，设与交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． ►题型06 勾股定理的应用 例题6．（2024·湖南·模拟预测）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面有多高？设折断处离地而高尺，可列方程得 ． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，一个长方体的底面是边长为2的正方形，高为9，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，那么的长为 ． 2．（2024·贵州贵阳·一模）二次函数 的图象经过平移，其顶点恰好为坐标原点，则平移的最短距离为 ． 3．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上一动点，过作于点，则四边形周长的最小值为 ． 4．（2024·山东潍坊·三模）如图，直棱柱包装盒子的上、下底面边长都是的正六边形，侧棱长，如果用丝线从点A处开始经过六个侧面缠绕n圈到达点B，则丝线长最短需要 ． ►题型07 判断三边能否构成直角三角形 例题7．（2024·广东·模拟预测）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，则的长为 ． 1.勾股数问题首先要注意必须是正整数； 2.记住一些常见的勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。 1．（2024·湖北·模拟预测）的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在中，，，，E，F分别为边，上的点，M，N分别为，的中点． 若，则的长为 ． 3．（2024·上海嘉定·三模）设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个. 4．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，点分别为的边的中点，延长交于点，已知． (1)证明：； (2)请连接，若，求四边形的面积． ►题型08 利用勾股定理逆定理进行求解 例题8．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，交于点D，，交的延长线于点E． (1)试判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由． (2)若，请证明是等腰直角三角形． 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，，，．若在中点M处建一个网络基站，该基站的覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 2．（2024·河北唐山·三模）对于题目：如图1，在钝角中，，，边上的中线，求的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法． 则下列说法正确的是（   ） A．只有方法一可行 B．只有方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 3．（2024·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，是靠近点的的四等分点．已知，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 4．（2024·河北邯郸·一模）如图1和图2，平面上，四边形中，，，，点M在边上，且．点P从点A沿折线上运动到点C，将沿翻折，点A的对应点为点，设点P的运动路径长为x． (1)如图1，连接， ①求的度数； ②求证：． (2)如图2，当点落到四边形内部时，求x的取值范围． (3)①当点落在的延长线上时，请直接写出x的值． ②设点到边所在直线的距离为h，请直接写出h的最小值． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 2．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川绵阳·中考真题）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（  ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，点D，E都在边上，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 8．（2024·海南·中考真题）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是（    ） A．22 B．21 C．20 D．18 9．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 10．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 11．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 12．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 13．（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 14．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，． (1)求证：； (2)若四边形是菱形且，，求四边形的面积． 15．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 16．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 能力提升 17．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 18．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系． （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 19．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 20．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． $$第四章 三角形 第16讲 直角三角形与勾股定理（5-8分） （思维导图+2考点+2命题点12种题型（含7种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 直角三角形的性质与判定 考点二 勾股定理及其逆定理 04题型精研·考向洞悉 命题点一 直角三角形的性质与判定 ►题型01 直角三角形两锐角互余 ►题型02 两锐角互余的三角形是直角三角形 ►题型03 30°锐角所对直角边是斜边的一半 ►题型04 斜边上的中线等于斜边的一半 命题点二 勾股定理及其逆定理 ►题型01 已知两点坐标求两点距离 ►题型02 以直角三角形三边为边长的图形面积 ►题型03 勾股定理与网格问题 ►题型04 勾股定理与折叠问题 ►题型05 用勾股定理构造图形解决问题 ►题型06 勾股定理的应用 ►题型07 判断三边能否构成直角三角形 ►题型08 利用勾股定理进行求解 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 直角三角形的性质与判定 1.理解直角三角形的概念. 2.探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 10年2考 该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点.出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向. 勾股定理及其逆定理 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 10年5考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 直角三角形的性质与判定 1.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2.直角三角形的性质： （1）直角三角形两个锐角互余. （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形的判定： （1）两个内角互余的三角形是直角三角形. （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． （3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． （4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 4.面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 考点二 勾股定理及其逆定理 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，，,,. 勾股定理的证明方法（常见）： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数. 常见的勾股数：如；；；等. 判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 1. 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形. 2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3. 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． 4. 每组勾股数的相同整数倍也是勾股数. 5. 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 6. 定理中a，b，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 直角三角形的性质与判定 ►题型01 直角三角形两锐角互余 例题1．（2024·福建莆田·模拟预测）将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置在A4纸片上，其中点A，B分别落在纸片边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，由已知条件可得出，由直角三角形两锐角互余以及平角的定义可得出，，再由三角形三角和定理可得出，最后根据平角的定义可求出． 【解析】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选 D．    1．（2025·山东青岛·一模）如图，直线的顶点A在直线n上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质． 【解析】解：∵ ∴，     ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图直线，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，可得的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【解析】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点，分别在线段，上，于点，于点，若，则图中与互余的角有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了余角的概念，直角三角形性质，平行线的性质和判定，根据直角三角形性质，得到，，再结合等量代换，以及平行线的性质，得到，，即可解题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，图中与互余的角有个， 故选：． 4．（2024·贵州毕节·三模）如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边交于点H，若，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，如图，延长至，证明，再结合三角形的内角和定理可得答案. 【解析】解：如图，延长至，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C ►题型02 两锐角互余的三角形是直角三角形 例题2．（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，． (1)求证：； (2)求的长． 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质 根据，可以得到，又由是的中点,所以，即可证得； 由和可以得到，于是可求得，即可求得答案. 【解析】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ． ． 又是的中点， ． ． ． （2）解：，见答图，    ． ， ． ，， ． ． 在中，是的中点， ． 1．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【解析】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 2．裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，掌握折叠的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据长方形的性质可求出，由折叠可得对应角相等可得，，由直角三角形两锐角互余即可求解． 【解析】解：∵， ， 由折叠的性质知，， ∴在中，， 故答案为：． 3．如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【分析】（）由，则，故有，从而可得，根据直角三角形的判定方法即可求证； （）先画出图形，再根据即可求解； 本题考查了直角三角形的性质和判定，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴ ∴的长为． 4．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长； (3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的对角线互相平分即可求解； （2）根据平行四边形的对边分别相等，结合，，即可求解； （3）根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质，即可求解． 【解析】（1）证明：，， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ，， ，， ， 平行四边形的周长为：； （3）， ， 即， 中，， ， ， ， ． ►题型03 30°锐角所对直角边是斜边的一半 例题3．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，是的内接三角形，，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号） 【分析】本题主要考查切线的判定与性质以及弓形面积的计算，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，证明即可； （2）过点O作，垂足为点E，根据求解即可． 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：过点O作，垂足为点E ∴，， ∵在中，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 答：图中阴影部分的面积为 30°锐角所对的直角边是斜边的一半；可以用来求线段的长度，但要先确定是直角三角形。 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，为菱形的对角线，，过点作，垂足为点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据含直角三角形性质求得，由菱形的性质得出即可得出答案． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴， 即， 故选：B． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）在活动课上，“雄鹰组”用含角的直角三角尺设计风车，如图，，，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，以此方法做下去……则点通过一次旋转至所经过的路径长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式，含有角直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用含有角直角三角形的性质求出，再根据弧长公式求解． 【解析】解：， ， 由旋转的性质得，． 点通过一次旋转至所经过的路径长为． 故答案为：． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）矩形中，平分交于点，把绕点逆时针旋转交于点，过点作于点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得：，，结合角平分线的定义可推出，根据旋转和三角形的外角性质可推出，由，可得，推出，得到，结合三角形的外角性质可推出，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【解析】解：四边形是矩形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 答案为：． 4．（2025·湖北十堰·一模）在四边形中，，点E，F在对角线上，，． (1)求证：； (2)连接，已知______（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：；条件②：． 【分析】（1）由线段的和差可得，由平行线的性质可得，然后利用即可证明； （2）若选择条件①：先证明四边形是平行四边形，利用直角三角形斜边上的中线性质以及含30度角的直角三角形的性质证得，即可证明平行四边形是菱形．若选择条件②：先证明四边形是平行四边形，得到，再根据等腰三角形的性质即可证明平行四边形是菱形． 【解析】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴． （2）解：若选择条件①：四边形是菱形，　 由（1）得，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 若选择条件②：四边形是菱形， 如图：连接交于点O， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴平行四边形AECF是菱形． ►题型04 斜边上的中线等于斜边的一半 例题4．（2025·贵州·模拟预测）如图，正方形，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长、相交于H，先证明，得到，从而得到，再证明，得到，从而得到，即可由直角三角形的性质得出，即可求解． 【解析】解：延长、相交于H，如图， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：2． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是直角三角形非常重要的性质。可以用来证明线段相等和求解线段的长度。难点是很多学生想不起来使用该知识点，所以同学们平时要多注意使用该性质。 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质可，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可得出结论． 【解析】解：∵， D为中点， ， ， ． 故选：A． 2．（2024·四川眉山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在以为圆心，为半径的圆周上运动，且始终满足，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，最短距离等知识点，利用点A、B、C的坐标可得到，则，连接交于，利用两点间的距离公式计算出，即可得到，于是可判断a的最小值为4，熟练掌握其性质，找出最短距离的位置是解决此题的关键． 【解析】解：∵点，，， ∴， ∵， ∴， 如图，连接交于， ， ∴， 即上点到A的最短距离为4， ∴a的最小值为4， 故选：B． 3．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，D、E、F分别是的中点，若cm，则 cm． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的中位线以及为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识点，由题意得：，再结合是的中位线即可求解； 【解析】解：由题意得：， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为： 4．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解． 【解析】解：∵在中，为斜边上的中线，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴． 故答案为：3． 命题点二 勾股定理及其逆定理 ►题型01 已知两点坐标求两点距离 例题1．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数的图象相交于点C，已知点A的横坐标为1，点C的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)过点作，交轴于点，求的面积． 【分析】本题考查了反比例函数综合题．其中涉及到了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理以及三角形的面积的计算，同时要注意运用数形结合的思想． （1）由点A的横坐标为1可得：，代入直线中，即可求出一次函数解析式．再求出，代入反比例函数即可求出反比例函数解析式． （2）求出点，设，则，，，再结合，根据勾股定理解出，即可求解． 【解析】（1）解：由题意可得：， 点在直线上， ，． 一次函数解析式为：． 点在直线上， ． ． ． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为：． （2）解：直线交轴于点， 设， 则，，． ， ， ， ， 解得：． 即． ． 两点距离公式：已知、、则； 1．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例的图象相交于，两点，直线且，点在直线上且，则的值 ． 【答案】或 【分析】连接、，由线段垂直平分线的性质得出，，求出反比例函数解析式为，设，则，，求出，从而得出，推出直线的解析式为，，进而得出，，由等腰三角形的性质得出，由正切的定义得出，求出的值即可得解． 【解析】解：如图，连接、， ∵直线且， ∴垂直平分，点为的中点， ∴，， ∵直线与反比例的图象相交于，两点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，则，， ∴， ∴， 由图可得：， ∴ 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴，即， ∴直线的解析式为，， ∵点在直线上， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 2．（2024·贵州遵义·二模）如图，在矩形中，点为对角线的中点，点，分别在边，上，，，点为的中点，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，两点间距离公式．以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，由中点坐标公式可求点，点的坐标，由两点间距离公式可求解． 【解析】解：如图，以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， 设点，点， ，， ，， ，， 点，点， 点为对角线的中点，点为的中点， 点，点， ， 故答案为：5． 3．（2024·江西抚州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数相交于点，与轴相交于点，其中，． (1)求的值； (2)求一次函数的解析式． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及由反比例函数性质求参数、待定系数法确定一次函数解析式、两点之间距离公式等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）由反比例函数过点，将点代入解析式解方程即可得到答案； （2）设，如图所示，可知，由，利用两点之间距离公式列方程求解得到坐标，再由待定系数法确定函数解析式即可得到答案． 【解析】（1）解：反比例函数过点， ，解得； （2）解：由（1）知， 设，由图可知， ， ，则， 或，解得或（正值舍去），则， 直线：， 将、代入解析式得，解得， 一次函数的解析式为． 4．（2024·山西·模拟预测）如图，抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点A，作直线． (1)求点B的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)若点C为抛物线的顶点，求四边形的面积． 【分析】（1）分别令，求出点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）先求顶点，根据勾股定理逆定理得到，则，则，而，由即可求解． 【解析】（1）解：当，则， 解得：或， ∴， 当，， ∴， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：如图： ， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 而， ∴． ►题型02 以直角三角形三边为边长的图形面积 例题2．（2025·湖南娄底·一模）已知如图，在中，，，，在直线的同侧分别以的三边作正方形、正方形、正方形，、、、分别表示对应图形的面积，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的正方形构成图形的面积，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，过作于，通过证明，依此即可求解，熟练掌握相关定理，证明全等三角形，将阴影面积转化为是解题的关键． 【解析】解：过作于，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴ ， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 1.以直角三角形的三边长为边长向外作等边三角形，以直角边为边长的两个等边三角形的面积之和等于以斜边为边长的等边三角形的面积； 2.以直角三角形的三边长为边长向外作正方形，以直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积； 3.以直角三角形的三边长为直径向外作半圆，以直角边为直径的两个半圆的面积之和等于以斜边为直径的半圆的面积。 1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，分别以它的三边为边向外作正方形，，，分别过点，作，，垂足分别为，．要知道阴影部分的面积，只需知道下列某个图形的面积，这个图形是（    ） A． B．正方形 C．正方形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．过点A作，过点B作，设，则，再证明，可得，同理，可得，再由阴影部分的面积梯形的面积梯形的面积，即可求解． 【解析】解：如图，过点A作，过点B作， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积梯形的面积梯形的面积 ， ∵的面积， ∴阴影部分的面积的面积， 即要知道阴影部分的面积，只需知道下列某个图形的面积，这个图形是． 故选：A 2．（2024·河北唐山·三模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，解题关键是勾股定理的正确应用．由所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理得，由正方形、、的面积依次为、、，得，求得正方形的面积为． 【解析】解：由题意可得， 由正方形、、的面积依次为、、， 得， 求得正方形的面积为． 故正确 故答案为： 3．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 由图形可得，阴影部分的面积为两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积，即可求解． 【解析】解：在中，，， ∴， 则阴影部分的面积 ， 故答案为：12． 4．（2024·广东中山·模拟预测）在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明是解题的关键． 证，得，同理，． 【解析】解：如图所示， 在和中， ， ， ，， ， 同理可证， ． 故答案为：10． ►题型03 勾股定理与网格问题 例题3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上，P为线段上的一个动点 (1)的长等于_______， (2)当点P在线段上运动，且使取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的，（不要求证明） 【分析】本题考查了作图－应用与设计作图，轴对称——最短距离问题，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点Q；连接交于点P即可得到结果． 【解析】（1）解：∵每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上， ∴， 故答案为：； （2）解：取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点Q，连接交于点P ． 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合．由题得：，，，根据勾股定理求出，，进而求出，即可求解． 【解析】解：由题得，，，， ，， ，， 在中，， 则， 故选：C． 2．（2023·四川乐山·模拟预测）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，则的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，如图，取格点K，连接，．观察图形可知，，，推出，解直角三角形求出即可． 【解析】解：如图，取格点K，连接，，则， 观察图形可知，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【解析】解：如图，取格点D，连接，    根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上． (1)求的值． (2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键． （1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得； （2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长． 【解析】（1）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴． （2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下： 在中，． ►题型04 勾股定理与折叠问题 例题4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ． 【答案】 【分析】取中点为D、连接，作中点G，连接交，交于O，根据勾股定理求出的长，由折叠性质以及等腰三角形的判定与性质得出共线，即O与重合，利用中位线性质，勾股定理得出一元二次方程，求出结果即可得出结论． 【解析】解：如图所示，取中点为D、连接，作中点G，连接交，交于O， 在中 为中点， ， 由折叠可知：， 点G是中点，在中有，且， 在中，， 在中，E为中点，G为中点， ， 取中点为，则， ， ， 共线，即O与重合， ， 在中，， 为的中点，D为的中点， ， ， ， 在中，设，则， ， ， 在中，，即， 整理得：， 解得：， ， 故答案为：． 利用勾股定理解决翻折问题时，一般使用方程思想，设出未知数，再用未知数表示出直角三角形的三边，根据勾股定理列出方程，求出未知数的值。 1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，矩形中，，，是边上一点，且，是边上一动点，作，交边于点，将沿着所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为 ． 【答案】4或 【分析】设，则，过作于，则．先利用，即可得出；再利用，即可得出；在中，利用勾股定理列方程求解即可得到的值，进而得出结论． 【解析】解：设，则，如图所示，过作于，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 中，， ∴， 解得或， ∴或． 故答案为：或． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边，上，将纸片沿所在直线折叠，使点C的对应点H落在边上，点D的对应点G落在边的上方，则线段的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 当点与点重合时，的长度最短，设，则，根据勾股定理求出；当点与点重合时，的长度最长，得到，，进而求解即可． 【解析】如解图①，当点与点重合时，的长度最短， ∵四边形为矩形， ∴， 由题意得：设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴ ∴； 如解图②，当点与点重合时，的长度最长， 由翻折变换的性质得：，， ∴， ∴，， 综上所述，线段的取值范围为． 故答案为：． 3．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ． 【答案】3 【分析】连接，依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，进而得出是等腰三角形；再根据平行线的性质得出与相等，进而得到是等腰三角形，即可得出的长． 【解析】解：如图所示，连接， 设，， 在中，，，， ， 中，是的中点， ， 又， ， ，即， ， 又， ， ∴， 又∵， ∴， ， 又， ， ，即， ， ， 故答案为：3． 4．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形中，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ． 【答案】或/8或2 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 【解析】解：如图，过点作于，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 如图，过点作与，则四边形是矩形，，    ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． ►题型05 用勾股定理构造图形解决问题 例题5．（2024·辽宁抚顺·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程． 【解析】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：即． 故选：C 添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理进行求解 1．（2024·贵州·模拟预测）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形，四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（    ） A．6 B．12 C．15 D．25 【答案】B 【分析】由题意可设正方形的边长为，正方形的边长为，读懂题意，确定图2中两个直角三角形的直角边是，由题中条件列出等式，进而得到由空白图形面积得到，两式相减即可得到答案． 【解析】解：由题意可设正方形的边长为，正方形的边长为， 图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形， ，即图2中两个直角三角形的直角边是， 线段的长为7， ，则①， 图1中空白部分面积为37， ，即②， 由①②得， 图2中两个直角三角形的面积和为， 故选：B． 2．（2023·四川泸州·一模）我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成．若，，则该矩形的面积为（　　　　） A．96 B． C． D．90 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理、代数式求值等知识．设，根据题意可知，，，在中，由勾股定理可得，代入并整理可得，然后结合矩形的面积公式可得，整体代入即可获得答案． 【解析】解：如下图，    设， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 整理，可得，即， ∴该矩形的面积 ． 故选：A． 3．（2023·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺． 【答案】8 【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解． 【解析】解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 4．（2023·浙江温州·模拟预测）欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法：“直角三角形斜边上正方形的面积等于两直角边上两个正方形的面积之和”．如图，中，，四边形、四边形和四边形都是正方形，过点作的平行线交于点，连接，，．若四边形的面积是四边形的面积的5倍，设与交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，并延长交于点，设的三边长分别为，则有；证明四边形为平行四边形、、、以及，利用全等三角形的性质及相似三角形的性质求得，进而确定四边形的面积；证明四边形为平行四边形，并求得四边形的面积；结合题意可得，即可确定，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求得的值． 【解析】解：如下图，过点作于点，并延长交于点， 设的三边长分别为， ∵， ∴； ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，，，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得； ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∴； 根据题意，四边形的面积是四边形的面积的5倍， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴，解得， ∵， ∴． 故选：C． ►题型06 勾股定理的应用 例题6．（2024·湖南·模拟预测）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面有多高？设折断处离地而高尺，可列方程得 ． 【答案】 【分析】本题考查列方程解决古代问题，涉及勾股定理，读懂题意，设折断处离地而高尺，由勾股定理代值列方程即可得到答案，熟记勾股定理是解决问题的关键． 【解析】解：设折断处离地而高尺，可列方程得， 故答案为：． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，一个长方体的底面是边长为2的正方形，高为9，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，相似三角形的应用，将长方体沿着它的两条高展开，连接，此时线段的长即为最短路线长，证明得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【解析】解：如图所示，将长方体沿着它的两条高展开，连接，此时线段的长即为最短路线长， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·贵州贵阳·一模）二次函数 的图象经过平移，其顶点恰好为坐标原点，则平移的最短距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及勾股定理，先把的顶点坐标找出来，即，再结合经过平移，其顶点恰好为坐标原点，得出平移的最短距离为，即可作答． 【解析】∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为 ∵平移后图象的顶点恰好为坐标原点， ∴平移的最短距离为 故答案为：5 3．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上一动点，过作于点，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理-最短路径问题，矩形的性质，垂直平分线的性质，理解转化思想和矩形的性质和判定是解题的关键． 先根据矩形的性质，垂直平分线的性质，把线段进行等量代换，在根据轴对称的性质确定最小值，最后根据四边形的周长公式求解． 【解析】解：延长到，使得，连接，交于，连接，如图： ∵四边形为矩形， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形周长为， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：． 4．（2024·山东潍坊·三模）如图，直棱柱包装盒子的上、下底面边长都是的正六边形，侧棱长，如果用丝线从点A处开始经过六个侧面缠绕n圈到达点B，则丝线长最短需要 ． 【答案】 【分析】要求直棱柱中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将直棱柱展开，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理解答．本题主要考查平面展开最短路径问题，解题的关键是得到两条直角边分别是和，根据两点之间线段最短，运用勾股定理进行解答． 【解析】解：将直棱柱展开，连接． 从点开始经过6个侧面缠绕圈到达点，相当于两条直角边分别是和， 根据两点之间线段最短，则． 故答案为：． ►题型07 判断三边能否构成直角三角形 例题7．（2024·广东·模拟预测）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行四边形的性质，由题中作图过程得是的角平分线，由平行四边形的性质得，进而由平行线的性质、角平分线的定义及等量代换得，由等角对等边得，再由线段的和差得；由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，且，由平行四边形的性质得，再由平行线的性质得，最后在中，利用勾股定理算出的长即可． 【解析】解：是的角平分线， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 是直角三角形，且， 四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：． 1.勾股数问题首先要注意必须是正整数； 2.记住一些常见的勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。 1．（2024·湖北·模拟预测）的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断出为直角三角形，且，设斜边上的高为，根据等面积法求出，即可得解． 【解析】解：∵， ∴为直角三角形，且， 设斜边上的高为，则， ∴， ∴以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是相切， 故选：C． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在中，，，，E，F分别为边，上的点，M，N分别为，的中点． 若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、勾股定理逆定理，连接，取的中点，连接、，由勾股定理逆定理得出，再根据三角形中位线定理得出，，，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【解析】解：如图：连接，取的中点，连接、， ， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵M，N，分别为，，的中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·上海嘉定·三模）设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个. 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的内切圆，直线与圆的位置关系，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 可知该三角形为直角三角形，进而利用等面积法求出内切圆半径正好为1，当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点． 【解析】解：如图， 由得该三角形为直角三角形，设，作出的内切圆，设切点为，连接，则，，设， ∵， ∴， 解得：， 进而可知内切圆半径为1，此时正好有3个交点， 当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点，如图， 故答案为：4． 4．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，点分别为的边的中点，延长交于点，已知． (1)证明：； (2)请连接，若，求四边形的面积． 【分析】（1）由点分别的中点，可得，由，可证四边形是平行四边形，进而可得； （2）如图，证明四边形是平行四边形，由，可得是直角三角形，且，由，可得，即，可证四边形是菱形，根据，计算求解即可． 【解析】（1）证明：点分别的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的面积为． ►题型08 利用勾股定理逆定理进行求解 例题8．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，交于点D，，交的延长线于点E． (1)试判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由． (2)若，请证明是等腰直角三角形． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三线合一定理，勾股定理的逆定理： （1）先由三线合一定理得到，再证明，利用相似三角形的性质即可得到； （2）由相似三角形的性质得到，则，再证明，则由勾股定理的逆定理得到是直角三角形，则是等腰直角三角形． 【解析】（1）解：，理由如下： ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴是等腰直角三角形． 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，，，．若在中点M处建一个网络基站，该基站的覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 【答案】A 【分析】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到点的距离．根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题． 【解析】解：，，． ， 是直角三角形， ， 点是斜边的中点， ， 是直角三角形，是斜边的中线， ， ， 点、、都在圆内， 这三栋楼都在该基站覆盖范围内． 故选：A 2．（2024·河北唐山·三模）对于题目：如图1，在钝角中，，，边上的中线，求的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法． 则下列说法正确的是（   ） A．只有方法一可行 B．只有方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 【答案】C 【分析】图2中，证明，则，，，证明四边形是平行四边形，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法一可行；图3中，由题意知，是的中位线，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法二可行． 【解析】解：图2中，∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴；方法一可行； 图3中，由题意知，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴；方法二可行； 故选：C． 3．（2024·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，是靠近点的的四等分点．已知，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，则，，，由勾股定理以及逆定理可判断是直角三角形，由勾股定理的逆定理得到①正确；求出、、的值，从而对②作出判断；由锐角三角函数的定义求出的值，对③作出判断，分别用含有的代数式表示4个三角形面积，对④作出判断即可． 【解析】解：设正方形的边长为，则，，， ， ， ， ， 即， 因此①正确； ，，， ， 因此②不正确； 在中， ， ， 因此③不正确； ， ， ， ， ， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有①④， 故选：C． 4．（2024·河北邯郸·一模）如图1和图2，平面上，四边形中，，，，点M在边上，且．点P从点A沿折线上运动到点C，将沿翻折，点A的对应点为点，设点P的运动路径长为x． (1)如图1，连接， ①求的度数； ②求证：． (2)如图2，当点落到四边形内部时，求x的取值范围． (3)①当点落在的延长线上时，请直接写出x的值． ②设点到边所在直线的距离为h，请直接写出h的最小值． 【分析】（1）①由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理得，则得； ②由题意易得，从而得，即有，则可证明平行； （2）过P作．易得四边形是矩形，则，；由得，由折叠性质得；在中由勾股定理求得；在中，由勾股定理求得的长，从而确定x的范围； （3）①当点落在的延长线上时，则，过B作于G，交于H．由，得，求得，从而求得x的值； ②分当P在上与当P在上两种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【解析】（1）解：①， ． ， ， ． ②证明：， ， 又， ， ， ． （2）解：当A'落在上时，过P作． 则， ， 四边形是矩形， ，． ， ， 由翻折得， ， ， ， ， ， ， ， 故点A'落到四边形内部时，． （3）①解：当点落在的延长线上时，则， 过B作于G，交于H． 则四边形是矩形，四边形为矩形， ，， ， ， 即， ， ． ②当P在上时，过M作于H，过M作于G． 由垂线段最短，知M、、H共线时，最短． 则四边形是矩形， ； ， ， ， ， ， ， ． 当P在上时，由于点到点B的距离是定值8， 故离BD的距离越短越好， 故P与B重合时，最短，则就最小． 过M作，交延长线于Q，交于G，过作． 则得四边形、都是矩形， ，， ， ， ， ， ， 设， ， 由上一问知， ， ， ， ， ， 最小， ． ， ． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 【解析】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故选：D． 2．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据菱形的性质可得，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得，即可得解． 本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【解析】解：∵四边形是菱形， ， ∵E是的中点， ， ∴。 故选：A． 4．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解． 【解析】解：如图，过D作，交延长线于H，则， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． （法二：同理，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2023·四川绵阳·中考真题）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 设，根据题意得出，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【解析】解：设， ∵四边形是正方形， ， ∵点为中点， ， 又∵， ， ∴在中，由勾股定理，可得， 即， 整理可得， 解得：(舍去)， ， 故选：D． 6．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，点D，E都在边上，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，取的中点G，连接、，由，，可得出，根据旋转的性质可得出，结合可得出为等边三角形，进而得出为直角三角形，求出的长度以及证明全等找出，设，则，在中利用勾股定理可得出，利用，可求出x以及的值，此题得解． 【解析】解：将绕点A逆时针旋转得到，取的中点G，连接、，如图所示： 过点A作于点N，如图， ∵，， ∴，． 在中，，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为直角三角形． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【解析】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 8．（2024·海南·中考真题）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是（    ） A．22 B．21 C．20 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．利用勾股定理求得的长，再证明，作于点，求得，利用，求得，再利用勾股定理求得，据此求解即可． 【解析】解：∵，， ∴， 由作图知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点，    则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形的周长是， 故选：A． 9．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 【解析】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 10．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【解析】解∶过D作于H， ∵菱形中，，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 11．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】96 【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案． 【解析】解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：96． 12．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【解析】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【解析】（1）证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，． (1)求证：； (2)若四边形是菱形且，，求四边形的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质，角平分线定义推出，得到，判定四边形是平行四边形，推出，得到． （2）由菱形的性质得到，，推出四边形的菱形，由平行线的性质得到，判定是等边三角形，得到，，求出，得到，由菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． （2）解：由（1）知， ， 四边形是菱形， ，，， 四边形的菱形， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 四边形的面积． 15．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案； 对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案； 对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案． 【解析】（1）如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； （2）①，∵， ∴． 连接，过点作，交于点D， ∴，， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以的半径是2； ②∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点三点共线． 在中，， 在中，． 在中，上标点，． 在中， ． 16．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标； （2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可； 【解析】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． ∴， ∴, ∴， ∴反比例函数为：； ∴， 解得：，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，, ∴， ∴，， 如图，当时，最短； ∴； 能力提升 17．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）； （2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果； （3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果． 【解析】解：（1）， ， 故答案为：； （2）、、、均与所在直线平行， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （3）如图， 作于， ， ，， ， 设，则，， ， ， ． 18．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系． （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同② 【解析】解：图②的结论是： 证明：∵ ∴是等边三角形， ∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， ； ∵ ∴， ∴ ， ∴， 在中,可得： 即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， 在中，， ， ， 在中,可得： 即 整理得 19．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案； （3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴． （3）①当时， 如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形， 此时， ∵，且，， 在中，， 在中，， ； ②当时，同理可得：； 综上所述，或． 20．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【解析】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． $$