18 2025年学业水平考试预测模拟卷(二)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东专版）

— １０３— — １０４— — １０５— 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分） １．下列各数中，比－１大的数是 （　　） Ａ．－槡２　　　　　　　　Ｂ．－２　　　　　　　　Ｃ．－３　　　　　　　　Ｄ．０ ２．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一。下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） Ａ 　　　　　 Ｂ 　　　　　 Ｃ 　　　　　 Ｄ ３．十四届全国人大二次会议于今年３月５日至１１日在北京召开，《政府工作报告》指出：今年城镇新增 就业１２００００００人以上。将１２００００００这个数用科学记数法可表示为 （　　） Ａ．１．２×１０７ Ｂ．１．２×１０６ Ｃ．１２×１０６ Ｄ．０．１２×１０８ ４．如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正 方体的个数，则该几何体的主视图是 （　　） Ａ 　　　　　 Ｂ 　　　　　 Ｃ 　　　　　 Ｄ 第４题图 　　　　　 第７题图 ５．下列计算正确的是 （　　） Ａ．ａ２＋ａ３＝ａ５ Ｂ．ａ（ａ－１）＝ａ２－１ Ｃ．（ａ－ｂ）２＝ａ２－ｂ２ Ｄ．（２ａ）２＝４ａ２ ６．新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能。小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续 航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多０．５４元，已知燃油车 的油箱容积为４０升，燃油价格为９元／升，新能源车电池容量为６０千瓦时，电价为０．６元／千瓦时，则 小松爸爸选择的两台汽车的续航里程为 （　　） Ａ．６００千米 Ｂ．５００千米 Ｃ．４５０千米 Ｄ．４００千米 ７．如图，以正五边形ＡＢＣＤＥ的边ＤＥ为边作正方形ＥＤＦＧ，延长ＡＥ交ＦＧ于点Ｈ，则∠ＥＨＦ的度数为 （　　） Ａ．１０４° Ｂ．１０６° Ｃ．１０８° Ｄ．１１０° ８．随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐” “陶艺”和“书法”。学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习。小明与小亮对这四门课程都 感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是 （　　） Ａ． １ ４ Ｂ． ３ ８ Ｃ． １ ３ Ｄ． １ ２ ９．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝６，ＢＤ＝８，ＡＤ⊥ＢＤ，Ｍ，Ｎ分别是边ＡＢ，ＢＣ上的动点（不与点Ａ，Ｂ， Ｃ重合），Ｅ，Ｆ分别是ＤＮ，ＭＮ的中点，连接ＥＦ，则ＥＦ的最小值为 （　　） Ａ．２．４ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．４．８ １０．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动。现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种 ４５座客车若干辆，但有１５人没有座位；若租用同样数量的乙种６０座客车，则多出三辆车，且其余客 车恰好坐满。现同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，甲种客车数量比乙种客车的 ５倍多 １辆，则至少租用乙种客车 （　　） Ａ．２辆 Ｂ．３辆 Ｃ．４辆 Ｄ．４辆 二、填空题（本题共６小题，每小题３分，共１８分） １１．多项式４ｘ３ｙ２＋８ｘ２ｙ３分解因式时所提取的公因式是 。 １２．定义运算：对于任意实数ａ，ｂ，均有ａ※ｂ＝ａ（ａ－ｂ）＋１，则不等式４※ｘ≥１的解集为 。 １３．如图，在长为２８米，宽为１０米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺 设草坪，要使得草坪的面积为２４３平方米。请列出关于ｘ的方程，并化为一般式： 　。 第１３题图 　　　　　 第１４题图 １４．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｃ，Ｅ在⊙Ｏ上，Ａ是劣弧 ＣＥ的中点，过点 Ａ作⊙Ｏ的切线交 ＢＣ的延长 线于点Ｄ，连接ＡＣ。若∠ＡＤＢ＝５８°，则∠ＡＣＥ＝ 。 １５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，根据尺规作图的痕迹推断，若△ＢＰＣ的周长为１８，则△ＡＢＰ的面 积为 。 第１５题图 　　　　　　　　 第１６题图 １６．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与 ｘ轴或 ｙ轴平行。从内到外，它们的边长依次为 ２，４，６，８，…，顶点依次用Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４，…表示，则顶点Ａ６５的坐标为 。 三、解答题（本题共７小题，共７２分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（１０分）（１）计算：｜１＋槡２｜＋ ３－槡 ８－２×（槡２） －１； （２）先化简，再求值： ｘ－ｙ ｘ＋ｙ ＋４ｘｙ ｘ２－ｙ２ ，其中ｘ＝２，ｙ＝１。 １８．（９分）春节某热映档电影给我们每个人都上了一课：只要心中有梦想，只要自己不放弃不服输，一 切都有可能！因此，为了了解身边人对这部电影的评价，小尚在周边随机选取了２０名亲朋好友进 行调查，并按一定的分类标准将其平均分成甲、乙两组，对该电影进行打分（百分制，分数为 ｘ，ｘ为 整数）。通过对数据进行整理分析，描述如下： 信息一：甲组成员的影评成绩如下表： 分数 Ａ：８０≤ｘ＜８５ Ｂ：８５≤ｘ＜９０ Ｃ：９０≤ｘ＜９５ Ｄ：９５≤ｘ≤１００ 频数 ２ ２ 其中Ｃ：９０≤ｘ＜９５这组的成绩数据为９２，９２，９２，９４。 信息二：乙组成员的影评成绩分布见扇形统计图， 其中Ｃ：９０≤ｘ＜９５这组的成绩数据为９３，９３，９３。 信息三： 组号 平均数 众数 中位数 甲 ９０．６ ｍ ｎ 乙 ９２．３ １００ ９３ 根据以上提供的三个信息，回答下列问题： （１）ｍ＝ ，ｎ＝ ，ａ＝ ； （２）影评分数在Ｄ：９５≤ｘ≤１００区间的视为“电影铁粉”，若乙组中共有２００人参与此次影评活动， 则乙组中有 人为“电影铁粉”； （３）由于甲组成员不掺杂粉丝膜拜心理，仅仅针对电影内容做出评价，故评价更为客观。现将甲、乙 两组的平均数按７∶３的比例进行加权，得到此次影评的最终成绩为 。 １８２０２５年学业水平考试预测模拟卷（二） （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — １０６— — １０７— — １０８— １９．（９分）小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置 Ａ处，ＯＡ与地面垂直，两脚在 地面上用力一蹬，妈妈在距地面１．２ｍ的Ｂ处接住她后用力一推，爸爸在Ｃ处接住她，ＢＤ⊥ＯＡ于点 Ｄ，ＣＥ⊥ＯＡ于点Ｅ，若爸爸到 ＯＡ的水平距离 ＣＥ＝２．４ｍ，∠ＢＯＣ＝９０°，∠ＢＯＤ＝３７°。（参考数据： ｓｉｎ３７°≈０．６，ｃｏｓ３７°≈０．８，ｔａｎ３７°≈０．７５） （１）求证：△ＣＥＯ≌△ＯＤＢ； （２）求妈妈到ＯＡ的水平距离（即ＢＤ的长）； （３）求秋千的起始位置Ａ距地面的高ＡＭ。 ２０．（１０分）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数ｙ＝ １ ｘ＋１ 的图象与性质，其探 究过程如下： （１）绘制函数图象 ①列表：如表是ｘ与ｙ的几组对应值，其中ｍ＝ ； ｘ … －４ －３ －２ － ３ ２ －４ ３ －２ ３ －１ ２ ０ １ ２ … ｙ … － １ ３ －１ ２ －１ －２ －３ ３ ２ ｍ １ ２ １ ３ … ②描点：根据表中的数值描点（ｘ，ｙ），请补充描出点（０，ｍ）； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整。 （２）探究函数性质 ①判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）。 函数图象关于原点对称。 函数图象与直线ｘ＝－１没有交点。 ②请写出该函数图象的变化趋势： 。 ２１．（１０分）如图，ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的切线，Ａ，Ｂ是切点，ＡＣ是⊙Ｏ的直径，连接 ＯＰ，交⊙Ｏ于点 Ｄ，交 ＡＢ 于点Ｅ，连接ＯＢ，ＢＣ。 （１）求证：ＢＣ∥ＯＰ； （２）若Ｅ恰好是ＯＤ的中点，且四边形ＯＡＰＢ的面积为 槡１６３，求阴影部分的面积。 ２２．（１２分）探究１： （１）如图１，在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，∠ＡＢＣ＝６０°，Ｐ是射线ＢＣ上一动点，ＤＥ⊥ＡＰ于点Ｅ，连接ＢＥ， ＰＤ。当ＰＤ＝ＡＤ时，ＢＥ＝ ； 探究２： （２）如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝１０，Ｐ是射线ＢＣ上一点，ＤＥ⊥ＡＰ于点Ｅ，连接ＢＥ，ＰＤ。当 ＰＤ＝ＡＤ时，ＢＥ＝ ； 拓展探究： （３）如图３，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，∠ＡＢＣ＝６０°，Ｐ是射线 ＢＣ上一点，ＤＥ⊥ＡＰ于点 Ｅ，连接 ＢＥ，ＰＤ。（数据：槡３７≈６） ①若ＢＥ∥ＰＤ，则Ｓ△ＡＤＥ （填“＞”“＝”或“＜”）Ｓ△ＰＣＤ； ②若ＰＤ＝ＡＤ，求ＢＥ的长。 图１ 　　 图２ 　　 图３ ２３．（１２分）已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３的对称轴为直线ｘ＝ｔ。 （１）若点（２，３）在抛物线上，则ｔ＝ ； （２）若点（ｘ１，１），（ｘ２，５）在抛物线上，当ｔ＝１时，直接写出ａ的取值范围； （３）已知Ａ（ｍ，ｙ１），Ｂ（ｔ＋１，ｙ２）为抛物线上两点，２≤ｍ≤４，且ｙ２＜ｙ１＜３，若ａ＞０，求ｔ的取值范围。 （２）如图２，点Ｐ在线段ＤＣ的延长线上，点Ｄ移动 到点Ｃ，得到△ＢＣＱ，过点Ｑ作ＱＨ⊥ＢＤ于点Ｈ，连 接ＡＨ，ＰＨ，ＣＨ，过点Ｈ作ＨＲ⊥ＰＣ于点Ｒ。 同（１）②可证ＡＨ＝ＰＨ，ＡＨ⊥ＰＨ， 　图２ ∴∠ＨＰＡ＝∠ＨＡＰ＝４５°。 ∵∠ＡＨＱ＝１２０°， ∴∠ＡＨＢ＝∠ＣＨＢ＝３０°。 ∴∠ＱＨＰ＝∠ＣＨＢ＝ ∠ＣＨＰ＝３０°。 ∴∠ＣＰＨ＝ １ ２ ×（１８０°－∠ＣＨＰ）＝７５°。 ∴∠ＡＰＤ＝∠ＣＰＨ－∠ＡＰＨ＝３０°。 在Ｒｔ△ＡＰＤ中，ＡＤ＝１， ∴ＤＰ＝ ＡＤ ｔａｎ３０° ＝槡３。 ２３．解：（１）当ａ＝０时，点Ａ（４，０）， 把点Ｏ（０，０），Ａ（４，０）代入ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 得 ｃ＝０， －８＋４ｂ＋ｃ＝０，{ 解得 ｂ＝２，ｃ＝０。{ ∴ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋２ｘ。 ∵ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋２ｘ＝－ １ ２ （ｘ－２）２＋２， ∴当ｘ＝２时，ｙ有最大值，最大值为２。 （２）当ａ＞０时，在 ０≤ｘ≤４范围内，ｙ存在最大值 １０。理由如下： ∵二次函数的图象经过原点Ｏ和点Ａ（４＋ａ，０）， ∴ ｃ＝０， －１ ２ ×（４＋ａ）２＋ｂ（４＋ａ）＋ｃ＝０。{ ∴ ｂ＝ １ ２ （４＋ａ）， ｃ＝０。{ ∴ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ １ ２ （４＋ａ）ｘ＝－ １ ２(ｘ－４ ＋ａ ２ ) ２ ＋（４ ＋ａ）２ ８ 。 ∴抛物线ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ １ ２ （４＋ａ）ｘ的对称轴为直线 ｘ ＝ａ ＋４ ２ 。 ①当 ａ＋４ ２≥ ４，即ａ≥４时， 则当ｘ＝４时，ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ １ ２ （４＋ａ）ｘ取得最大值。 ∴－ １ ２ ×４２＋ １ ２ （４＋ａ）×４＝１０，解得ａ＝５； ②当 ａ＋４ ２ ＜４，即０＜ａ＜４时， 则当ｘ＝ ａ＋４ ２ 时，ｙ＝－ １ ２ ｘ２＋ １ ２ （４＋ａ）ｘ取得最大值。 ∴ （４＋ａ）２ ８ ＝１０， 解得ａ＝－４－槡４５（小于０，舍去）或 ａ＝－４＋槡４５（大 于４，舍去）。 综上所述，当ａ的值为 ５，ｘ的值为 ４时，ｙ取得最 大值１０。 １８２０２５年学业水平考试预测模拟卷（二） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｄ Ａ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ａ Ａ Ａ １．Ｄ　【解析】Ａ．－槡２＜－１，故选项不符合题意； Ｂ．－２＜－１，故选项不符合题意； Ｃ．－３＜－１，故选项不符合题意； Ｄ．０＞－１，故选项符合题意。故选Ｄ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形，故 选项不符合题意；Ｂ既不是轴对称图形，也不是中 心对称图形，故选项不符合题意；Ｃ既不是轴对称 图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； Ｄ既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符 合题意。故选Ｄ。 ３．Ａ　【解析】１２００００００＝１．２×１０７。故选Ａ。 ４．Ａ　【解析】观察图形可知，该几何体的主视图是 。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】Ａ．ａ２＋ａ３不能合并，故选项不符合题意； Ｂ．ａ（ａ－１）＝ａ２－ａ，故选项不符合题意； Ｃ．（ａ－ｂ）２＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２，故选项不符合题意； Ｄ．（２ａ）２＝４ａ２，故本选项符合题意。故选Ｄ。 ６．Ａ　【解析】设两台汽车的续航里程为ｘ千米， 根据题意，得 ４０×９ ｘ ＝６０ ×０．６ ｘ ＋０．５４。解得ｘ＝６００。 经检验，ｘ＝６００是所列方程的根，且符合题意。 故选Ａ。 ７．Ｃ　【解析】∵五边形ＡＢＣＤＥ是正五边形， ∴∠ＤＥＨ＝３６０°÷５＝７２°。 ∵四边形ＥＤＦＧ是正方形，∴ＤＥ∥ＦＧ。 ∴∠ＤＥＨ＋∠ＥＨＦ＝１８０°。 ∴∠ＥＨＦ＝１８０°－７２°＝１０８°。故选Ｃ。                                                                —７６— ８．Ａ　【解析】设“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”这四 门课程分别为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ。画树状图如下： 共有１６种等可能的结果，其中小明与小亮两人选 择同一门课程的结果有４种， ∴小明和小亮两人选择同一门课程的概率是 ４ １６ ＝ １ ４ 。故选Ａ。 ９．Ａ　【解析】如图，连接ＤＭ。 ∵ＡＤ＝６，ＢＤ＝８，ＡＤ⊥ＢＤ， ∴ＡＢ＝ ＡＤ２＋ＢＤ槡 ２＝ ６２＋８槡 ２＝１０。 ∵Ｅ，Ｆ分别是ＤＮ，ＭＮ的中点， ∴ＥＦ是△ＤＭＮ的中位线。 ∴ＥＦ＝ １ ２ ＤＭ。 ∴当ＤＭ最小时，ＥＦ最小。 而当ＤＭ⊥ＡＢ时，ＤＭ最小， ∵Ｓ△ＡＤＢ＝ １ ２ ＡＤ·ＢＤ＝ １ ２ ＡＢ·ＤＭ， ∴ＤＭ＝ ＡＤ·ＢＤ ＡＢ ＝６ ×８ １０ ＝２４ ５ 。 ∴ＥＦ＝ １ ２ ＤＭ＝２．４，即ＥＦ的最小值为２．４。故选Ａ。 １０．Ａ　【解析】设参加本次研学活动的师生共有ｘ人， 原计划租用甲种４５座客车ｙ辆，则租用乙种６０座 客车（ｙ－３）辆。 根据题意，得 ４５ｙ＋１５＝ｘ， ６０（ｙ－３）＝ｘ。{ 解得 ｘ＝６００，ｙ＝１３。{ ∴参加本次研学活动的师生共有６００人。 设租用乙种客车 ｍ辆，则租用甲种客车（５ｍ＋ １）辆。 根据题意，得６０ｍ＋４５（５ｍ＋１）≥６００。 解得ｍ≥１ ５４ ５７ 。 ∴ｍ的最小值为２。∴至少租用２辆乙种客车。 故选Ａ。 １１．４ｘ２ｙ２　【解析】∵原式＝４ｘ２ｙ２（ｘ＋２ｙ）， ∴多项式４ｘ３ｙ２＋８ｘ２ｙ３分解因式时所提取的公因 式是４ｘ２ｙ２。 １２．ｘ≤４　【解析】根据题意，得４（４－ｘ）＋１≥１， 解得ｘ≤４。 １３．ｘ２－３８ｘ＋３７＝０　【解析】∵道路的宽为ｘ米， ∴铺设草坪的面积等于长为（２８－ｘ）米，宽为（１０－ ｘ）米的矩形面积。 ∵草坪的面积为２４３平方米， ∴（２８－ｘ）（１０－ｘ）＝２４３， 化为一般式为ｘ２－３８ｘ＋３７＝０。 １４．３２°　【解析】∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ａ是劣弧 ＣＥ的 中点， ∴ＡＢ⊥ＣＥ。 ∵ＡＤ是⊙Ｏ的切线，∴ＡＢ⊥ＡＤ。 ∴ＣＥ∥ＡＤ。∴∠ＢＣＥ＝∠Ｄ＝５８°。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°。 ∴∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ－∠ＢＣＥ＝９０°－５８°＝３２°。 １５．９　【解析】如图，过点Ｐ作ＰＥ⊥ＡＢ于点Ｅ。 由作图可知，ＤＰ垂直平分ＢＣ，ＢＰ平分∠ＡＢＣ， ∴ＥＰ＝ＰＤ，ＢＰ＝ＣＰ，∠ＢＤＰ＝９０°， ＢＤ＝ＣＤ＝ １ ２ ＢＣ＝４。 ∵△ＢＰＣ的周长为１８，ＢＣ＝８， ∴ＢＰ＝ＣＰ＝ １ ２ ×（１８－８）＝５。 在Ｒｔ△ＢＰＤ中，由勾股定理， 得ＤＰ＝ ＢＰ２－ＢＤ槡 ２＝ ５２－４槡 ２＝３。 ∴ＥＰ＝ＤＰ＝３。 ∴△ＡＢＰ的面积为 １ ２ ＡＢ×ＥＰ＝ １ ２ ×６×３＝９。 １６．（－１７，－１７）　【解析】∵６５÷４＝１６……１， ∴点Ａ６５与点Ａ１在同一象限，即都在第三象限。 根据规律可得点Ａ１（－１，－１），Ａ２（－１，１），Ａ３（１，１）， Ａ４（１，－１），Ａ５（－２，－２），…， ∴点Ａ６５（－１７，－１７）。 １７．解：（１）原式＝１＋槡２－２－２× 槡２ ２ ＝１＋槡２－２－槡２ ＝－１。 （２）原式＝ （ｘ－ｙ）２ （ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ） ＋ ４ｘｙ （ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ） ＝ｘ ２－２ｘｙ＋ｙ２＋４ｘｙ （ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ） ＝ ｘ ２＋２ｘｙ＋ｙ２ （ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ） ＝ （ｘ ＋ｙ）２ （ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ） ＝ｘ ＋ｙ ｘ－ｙ 。                                                                —８６— 当ｘ＝２，ｙ＝１时，原式＝ ２＋１ ２－１ ＝３。 １８．解：（１）在甲组１０人中，Ａ有２人，Ｂ有２人，Ｃ有４ 人，且分数为 ９２分的有 ３人，Ｄ有 １０－２－２－４＝ ２（人），因此众数是９２，即ｍ＝９２； 甲组第 ５，６两人评分都是 ９２分，因此中位数是 ９２，即ｎ＝９２； １０－１０×２０％－１０×１０％－３＝４， 因此ａ％＝４÷１０×１００％＝４０％，即ａ＝４０。 故答案为９２；９２；４０。 （２）２００×４０％＝８０（人）。 故答案为８０。 （３）９０．６×７０％＋９２．３×３０％＝９１．１１（分）。 故答案为９１．１１分。 １９．（１）证明：由题意，知∠ＣＥＯ＝∠ＯＤＢ＝９０°，ＢＯ ＝ＯＣ。 ∵∠ＢＯＣ＝９０°，∴∠ＣＯＥ＋∠ＢＯＤ＝９０°。 ∵∠ＢＯＤ＋∠ＯＢＤ＝９０°， ∴∠ＣＯＥ＝∠ＯＢＤ。 在△ＣＥＯ和△ＯＤＢ中， ∠ＣＯＥ＝∠ＯＢＤ， ∠ＣＥＯ＝∠ＯＤＢ， ＯＣ＝ＢＯ，{ ∴△ＣＥＯ≌△ＯＤＢ（ＡＡＳ）。 （２）解：∵△ＣＥＯ≌△ＯＤＢ，∴ＯＤ＝ＣＥ＝２．４ｍ。 在Ｒｔ△ＯＢＤ中，ｔａｎ３７°＝ＢＤ∶ＯＤ＝ＢＤ∶２．４＝０．７５， ∴ＢＤ＝１．８ｍ。 ∴妈妈到ＯＡ的水平距离（即ＢＤ的长）为１．８ｍ。 （３）解：∵△ＣＥＯ≌△ＯＤＢ， ∴ＯＤ＝ＣＥ＝２．４ｍ。 ∵ＢＤ＝１．８ｍ， ∴ＯＡ＝ＯＢ＝ ＯＤ２＋ＢＤ槡 ２＝ ２．４２＋１．８槡 ２＝３（ｍ）。 由题意，知ＤＭ＝１．２ｍ， ∴ＡＭ＝ＯＤ＋ＤＭ－ＯＡ＝２．４＋１．２－３＝０．６（ｍ）。 ∴秋千的起始位置Ａ距地面的高ＡＭ为０．６ｍ。 ２０．解：（１）①当ｘ＝０时，ｙ＝ １ ０＋１ ＝１。 故答案为１。 ②如图１。 图１ ∵ｍ＝１， ∴点Ａ的坐标为（０，１）。 ③补充图象如图２。 图２ （２）①图象关于点（－１，０）对称，故原说法错误，应 为×； 当ｘ＝－１时， １ ｘ＋１ 无意义，函数图象与直线ｘ＝－１没 有交点，应为√。 故答案为×；√。 ②在每一个分支上，函数值 ｙ随着 ｘ的增大而 减小。 ２１．（１）证明：∵ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的切线， ∴ＰＡ＝ＰＢ。 又∵ＯＡ＝ＯＢ，∴ＯＰ垂直平分线段ＡＢ。 ∴∠ＡＥＯ＝９０°。 又∵ＡＣ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＢＣ＝９０°。 ∴∠ＡＥＯ＝∠ＡＢＣ＝９０°。∴ＢＣ∥ＯＰ。 （２）解：如图，连接ＢＤ。 ∵Ｅ是ＯＤ的中点， ∴ＯＤ与ＡＢ互相垂直平分。 ∴四边形ＯＢＤＡ是菱形。 ∴ＯＡ＝ＡＤ＝ＯＤ。 ∴△ＯＡＤ是等边三角形。 ∴∠ＡＯＤ＝６０°。 ∴∠ＡＯＢ＝２∠ＡＯＤ＝１２０°。 ∵ＰＡ是⊙Ｏ的切线， ∴ＯＡ⊥ＡＰ。 ∴∠ＯＡＰ＝９０°。 ∴∠ＡＰＯ＝９０°－∠ＡＯＰ＝９０°－６０°＝３０°。 ∴ＯＰ＝２ＯＡ。 ∴ＡＰ＝ ＯＰ２－ＯＡ槡 ２＝ （２ＯＡ）２－ＯＡ槡 ２＝槡３ＯＡ。 ∵四边形ＯＡＰＢ的面积为 槡１６３， ∴Ｓ△ＡＯＰ＝槡８３。∴ １ ２ ＯＡ·ＡＰ＝槡８３。                                                                —９６— 设ＯＡ为ｘ，则ＡＰ＝槡３ｘ。 ∴ １ ２ ｘ×槡３ｘ＝槡８３， 解得ｘ１＝－４（不符合题意，舍去），ｘ２＝４。 ∴ＯＡ＝４。∴ＯＤ＝４。∴ＯＥ＝ １ ２ ＯＤ＝２。 ∴ＡＥ＝ ＯＡ２－ＯＥ槡 ２＝ ４２－２槡 ２＝槡２３。 ∴ＡＢ＝２ＡＥ＝槡４３。 ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＡＯＢ－Ｓ△ＡＯＢ＝ １２０π×４２ ３６０ －１ ２ × 槡４３×２＝ １６π ３ －槡４３。　 ２２．解：（１）∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＤ＝ＣＤ＝ＡＢ＝ＢＣ＝８。 ∵ＰＤ＝ＡＤ，Ｐ是射线ＢＣ上一动点， ∴如图 １，当点 Ｐ与点 Ｃ重合时，ＰＤ＝ＡＤ，连接 ＡＣ，ＢＤ交于点Ｅ，则ＢＤ⊥ＡＣ。 ∵∠ＡＢＣ＝６０°， ∴△ＡＢＣ是等边三角形。 ∴ＡＣ＝ＡＢ＝８。 ∵ＢＤ⊥ＡＣ， ∴ＡＥ＝ １ ２ ＡＣ＝４。 ∴ＢＥ＝ ＡＢ２－ＡＥ槡 ２＝槡４３。 图１ 　 图２ 如图２，当点Ｐ在ＢＣ的延长线上时， ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＤ＝ＣＤ＝ＡＢ＝ＢＣ＝８，ＡＢ∥ＣＤ。 ∴∠ＤＣＰ＝∠ＡＢＣ＝６０°， ∠ＢＡＤ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝１２０°。 ∵ＡＤ＝ＰＤ＝８， ∴ＣＤ＝ＰＤ＝８。 ∴△ＰＣＤ是等边三角形。 ∴ＰＣ＝ＰＤ＝ＡＤ＝ＡＣ＝８。 ∴四边形ＡＣＰＤ是菱形。 ∴ＣＤ⊥ＡＰ，∠ＣＡＰ＝３０°。 ∴ＣＥ＝ＤＥ＝ １ ２ ＣＤ＝４，∠ＤＡＰ＝∠ＣＡＰ＝３０°。 ∴ＡＥ＝ＥＰ＝ ８２－４槡 ２＝槡４３。 ∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＤ－∠ＤＡＥ＝１２０°－３０°＝９０°， ∴ＢＥ＝ ＡＢ２＋ＡＥ槡 ２＝槡４７。 故答案为 槡４３或 槡４７。 （２）如图３，当点Ｐ在ＢＣ上时， ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＣＤ＝ＡＢ＝８，ＡＤ＝ＢＣ＝１０，∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝９０°。 ∴ＰＤ＝ＡＤ＝１０。 ∵ＤＥ⊥ＡＰ， ∴ＡＥ＝ＰＥ。 在Ｒｔ△ＣＤＰ中，ＣＰ＝ ＰＤ２－ＣＤ槡 ２＝６， ∴ＢＰ＝ＢＣ－ＣＰ＝４。 ∴ＡＰ＝ ＡＢ２＋ＢＰ槡 ２＝槡４５。 ∵ＡＥ＝ＰＥ， ∴ＢＥ＝ １ ２ ＡＰ＝槡２５。 图３ 　 图４ 如图４，当点Ｐ在ＢＣ的延长线上时， 同理可得ＰＣ＝６。 ∴ＢＰ＝ＢＣ＋ＰＣ＝１０＋６＝１６。 ∴ＡＰ＝ ＡＢ２＋ＢＰ槡 ２＝槡８５。 ∵ＡＥ＝ＰＥ，∴ＢＥ＝ １ ２ ＡＰ＝槡４５。 故答案为 槡２５或 槡４５。 （３）①如图５，延长ＢＥ交ＡＤ于点Ｆ，连接ＰＦ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ。 ∵ＢＥ∥ＤＰ， ∴四边形ＢＰＤＦ是平行四边形。 ∴ＤＦ＝ＢＰ。 ∴ＡＤ－ＤＦ＝ＢＣ－ＢＰ。 ∴ＡＦ＝ＣＰ。 ∴Ｓ△ＡＢＦ＝Ｓ△ＰＣＤ，Ｓ△ＦＤＥ＋Ｓ△ＰＢＥ＝ １ ２ ＳＢＰＤＦ。 ∵Ｓ△ＡＢＥ＋Ｓ△ＰＢＥ＝Ｓ△ＡＢＰ＝Ｓ△ＢＰＦ＝ １ ２ ＳＢＰＤＦ， ∴Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＦＤＥ。 ∴Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ△ＡＦＥ＋Ｓ△ＦＤＥ＝Ｓ△ＡＦＥ＋Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＡＢＦ＝Ｓ△ＰＣＤ。 故答案为＝。                                                                —０７— 图５ 　 图６ ②如图６，当点 Ｐ在线段 ＢＣ上时，延长 ＢＥ交 ＡＤ 于点Ｇ，过点Ｇ作ＧＨ⊥ＢＡ交ＢＡ的延长于点Ｈ，过 点Ｄ作ＤＦ⊥ＢＣ于点Ｆ。 ∵ＡＤ＝ＰＤ，ＤＥ⊥ＰＡ， ∴ＡＥ＝ＰＥ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，ＣＤ＝ＡＢ＝６，ＡＤ＝ＢＣ＝ＰＤ＝８。 ∴∠ＤＣＦ＝∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＧＡＥ＝∠ＢＰＥ。 ∴△ＡＥＧ≌△ＰＥＢ（ＡＳＡ）。 ∴ＡＧ＝ＰＢ，ＥＧ＝ＥＢ＝ １ ２ ＢＧ。 在Ｒｔ△ＣＤＦ中，ＣＦ＝ １ ２ ＣＤ＝３，ＤＦ＝槡３３。 在Ｒｔ△ＰＤＦ中，ＰＦ＝ ＰＤ２－ＤＦ槡 ２＝槡３７≈６。 ∴ＰＣ＝ＰＦ－ＣＦ＝３。 ∴ＰＢ＝ＢＣ－ＣＰ＝５。 ∴ＡＧ＝５。 在 Ｒｔ△ＡＧＨ中，∠ＨＡＧ＝∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＨＧＡ ＝３０°， ∴ＡＨ＝ １ ２ ＡＧ＝ ５ ２ ，ＧＨ＝槡 ５３ ２ 。 在Ｒｔ△ＢＧＨ中， ＢＧ＝ ＢＨ２＋ＧＨ槡 ２＝ （ＡＢ＋ＡＨ）２＋ＧＨ槡 ２＝槡９１。 ∴ＢＥ＝ １ ２ ＢＧ＝槡 ９１ ２ 。 如图７，当点Ｐ在线段 ＢＣ的延长线上时，延长 ＢＥ 至点Ｇ，使ＥＧ＝ＢＥ，过点Ｇ作ＧＨ⊥ＢＣ，交ＢＣ的延 长线于点Ｈ，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，连接ＰＧ。 图７ ∵ＡＤ＝ＰＤ＝８，ＤＥ⊥ＡＰ， ∴ＡＥ＝ＰＥ。 ∵∠ＡＥＢ＝∠ＰＥＧ， ∴△ＡＢＥ≌△ＰＧＥ（ＳＡＳ）。 ∴ＡＢ＝ＰＧ＝６，∠ＡＢＥ＝∠ＰＧＥ。 ∴ＡＢ∥ＰＧ。 在Ｒｔ△ＰＧＨ中，ＰＨ＝３，ＧＨ＝槡３３。 在Ｒｔ△ＣＤＦ中，ＣＦ＝３，ＤＦ＝槡３３。 在Ｒｔ△ＰＤＦ中，ＰＦ＝ ＰＤ２－ＤＦ槡 ２＝槡３７≈６， ＢＨ＝ＢＣ＋ＣＦ＋ＰＦ＋ＰＨ＝２０。 在Ｒｔ△ＢＧＨ中，ＢＧ＝ ＢＨ２＋ＧＨ槡 ２＝槡４２７。 ∴ＢＥ＝ １ ２ ＢＧ＝槡 ４２７ ２ 。 综上可知，ＢＥ的长为槡 ９１ ２ 或槡 ４２７ ２ 。 ２３．解：（１）将点（２，３）代入抛物线表达式， 得３＝４ａ＋２ｂ＋３。 ∴ｂ＝－２ａ。 ∴ｔ＝－ ｂ ２ａ ＝１。 故答案为１。 （２）当ｔ＝１时，ｂ＝－２ａ， ∴抛物线的表达式为ｙ＝ａｘ２－２ａｘ＋３＝ａ（ｘ２－２ｘ＋１）－ ａ＋３＝ａ（ｘ－１）２－ａ＋３。 ∴顶点坐标为（１，－ａ＋３）。 ∵点（ｘ１，１），（ｘ２，５）在抛物线上， 当ａ＞０时，－ａ＋３≤１，解得ａ≥２； 当ａ＜０时，即－ａ＋３≥５，解得ａ≤－２。 综上所述，ａ≥２或ａ≤－２。 （３）∵ａ＞０， ∴抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大。 当ｘ＝０时，ｙ＝３。 ∵ｙ２＜ｙ１＜３， ∴ｔ＋１－ｔ＜｜ｍ－ｔ｜＜｜ｔ－０｜。 ∴１＜｜ｍ－ｔ｜＜｜ｔ－０｜。 当ｔ＜０时，则１＜ｍ－ｔ＜－ｔ，此时不符合题意； 当０＜ｔ＜ｍ时，则１＜ｍ－ｔ＜ｔ， 即 ｔ＋１＜ｍ， ｍ＜２ｔ。{ ∴ｔ＋１＜ｍ＜２ｔ。 ∵２≤ｍ≤４，∴ ２ｔ＞４， ｔ＋１＜２。{ ∴ ｔ＞２， ｔ＜１。{ ∴０＜ｔ＜１。 ∴当ｔ＞ｍ时，则１＜ｔ－ｍ＜ｔ。 ∴０＜ｍ＜ｔ－１。 ∵２≤ｍ≤４，∴ｔ－１＞４。∴ｔ＞５。 综上所述，当ａ＞０时，０＜ｔ＜１或ｔ＞５。                                                              —１７—