2026年中考数学二轮信息必刷卷（山东青岛专用）

**基本信息** 聚焦山东中考统一命题趋势，以“天问二号”“月洞门”等时代与文化情境为载体，通过动态几何探究、跨模块综合题（如函数与矩形面积）考查抽象能力、推理意识和模型观念，适配二轮专题突破需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/27|平方根、中心对称、科学记数法、平移、函数与矩形面积|结合“九章三号”量子计算机情境考查科学记数法，第8题反比例函数与矩形面积融合跨模块| |填空题|6/18|因式分解、中位数、菱形性质、扇形面积、《九章算术》问题、新定义“奇对称点对”|第14题融入《九章算术》盈不足问题，第15题新定义运算考查代数推理| |解答题|9/71|动态几何（旋转探究）、二次函数利润模型、圆与相似证明、新定义“不动点函数”、跨学科遮阳棚问题|25题动态几何与函数综合（旋转操作规律），24题“不动点函数”结合实际利润问题，20题遮阳棚问题融合三角函数与方程应用|

2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：山东省中考逐步推进全省统一命题，2025年多地（如济南、淄博）分值向统一标准（150分）靠拢，但各地市（如青岛保持120分）仍存差异。试卷结构更趋稳定，计算量普遍向“精算”与“巧算”转变，避免繁琐计算。题目呈现方式灵活，摒弃“纯公式”套路，大量采用流程图、数学模型图、阅读材料等方式。例如，三进制芯片（威海）、冰雹猜想（临沂）等新概念直接作为题干，考查学生即时学习与迁移能力。 中考·新考法：函数不再仅求解析式，更侧重“方案择优”。如滨州卷对比直线与双曲线，要求“说明理由”；青岛卷要求设计采购方案并求最低费用；几何从静态证明转向动态探究。如几何折叠（德州、济南）、图形旋转扫过的路径长或最小值问题（东营、烟台）成为高频题型；统计概率与决策结合，如德州卷要求通过分析方差和平均数，责任到“甲、乙谁更稳定”并给出建议；跨模块综合融合创新，几何与函数深度捆绑，如用二次函数解决最值问题（临沂）、圆与三角函数的综合证明（滨州）；代数推理出现“新定义运算”（青岛），要求验证交换律、结合律，考查代数逻辑推理。 中考·新情境：①紧跟时代科技：情境极具时效性，涵盖2025年的“天问二号”（潍坊）、三进制芯片（威海）、神舟二十号（烟台）等最新成就。数学化身解决“储能功率（济南）、智能养殖（威海）”的工具。②文化传承与开放：融入齐鲁文化，如《孙子算经》（东营）、黄金分割（潍坊）、“哪吒夜叉”（山东统考）。同时开放性增强，如滨州卷要求“再设计一种测量方案”，威海卷“项目反思”环节，培养问题意识。③跨学科融合：与美术（尺规作图黄金比例）、物理（连杆运动、三进制逻辑）、生物（植物生长与光照强度）学科结合，要求建立数学模型。 命题·大预测：①几何题走向动态探究：选择题第9、12题考查图形变换与规律探究，第25题压轴题则是动态几何与函数、最值的综合。这印证了“几何折叠、旋转、动态问题”已成为区分度较高的必考题型，要求考生不仅掌握静态证明，更要具备“变中找不变”的探究能力。②跨模块融合深度化：选择题第8题将反比例函数与矩形、面积计算融合；第22题将圆与相似三角形、三角函数结合。单一知识点的考查将越来越少，“几何＋代数”、“函数＋方程”的综合题是主流，要求考生构建完整的知识网络。③真实情境贯穿全卷：第18题“冰雪旅游”、第19题“快递平台选择”、第20题“遮阳棚”、第21题“红色研学文创”等，均取材于身边的实际问题。预测未来中考将百分之百覆盖真实情境，学生需具备从复杂信息中提取数学模型（方程、函数、不等式）的能力。④跨学科融合更自然：第16题“月洞门”融合了传统文化与尺规作图；第23题“正整数表示”涉及数论推理。预测跨学科不再生硬植入，而是作为问题背景自然呈现，主要考查学生在跨学科背景下运用数学思维解决问题的能力。 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．16的平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据平方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：， 的平方根是． 2．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 3．据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：百万分之一． 故选：B． 4．如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（    ） A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三种视图都不变 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．​ 明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．​ 【详解】​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误． 选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确． 选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误． 选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误． 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 6．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 7．如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 8．如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 9．如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可． 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再根据完全平方公式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 11．小明家月的电费（单位：元）分别为：137，140，140，117，104．该组数据的中位数是_______． 【答案】137 【分析】本题考查中位数，按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数为中位数，由此可得答案． 【详解】解：将该组数据从小到大排列为：104，117，137，140，140．其中位于中间位置的数为137， 所以该组数据的中位数是137， 故答案为：137． 12．在矩形中，在边上，关于直线的对称点为，联结，，如果四边形是菱形，那么的值为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得，设，则，由菱形的性质得到，证明，利用勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解；∵关于直线的对称点为， ∴， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，，， ∴和为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质． 14．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为__________. 【答案】7人 【分析】设共有x人，价格为y钱，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设共有x人，价格为y钱，依题意得： ， 解得：， 答：物品价格为53钱，共同购买该物品的人数有7人, 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组即可求解． 15．定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为______． ①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了“奇对称点对”的定义，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据点，点都在二次函数上，可判断①；由，都在反比例函数上，结合的取值，可判断②；根据定义，将点代入，可判断③；不妨设和是w函数的一组“奇对称点对”，即和在w函数上，假设在上，那么在上，将代入，得到，然后结合一元二次方程的判别式求得答案． 【详解】解：①将代入，得到； 将代入，得到； 可知点，点都在二次函数上， 那么点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；故①正确； ②当代入，得到， 当代入，可得， ，都在反比例函数上， ，为反比例函数的一组奇对称点对”， 可以取无数个不为0的数， 反比例函数有无数组“奇对称点对”；故②正确； ③点，点，为函数的一组“奇对称点对”， 点，点都在函数上， ， ， ③错误； ④不妨设和是w函数的一组“奇对称点对”，即和在w函数上， 假设在上，那么在上， 将代入，得到， ， ，该函数有两组“奇对称点对”， 当时，有两个不同的实数根， ，， ，（符合题意）， ； ④正确； 故答案为：①②④． 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键． 根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可． 【详解】解：由题意，作图如下，即为所求： 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） （1）已知，求代数式的值． （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【分析】（1）本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． （2）本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：原式 ，……………………3分 ∵， ∴， ∴原式．……………………4分 （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：，……………………4分 将解集表示在数轴上如图： ．……………………5分 18．（本小题满分6分）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率． 【答案】 【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画出树状图，可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A、B、C，可画树状图为： ……………………4分 由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种， ∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．……………………6分 19．（本小题满分6分）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 (1)七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________； (2)求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； (3)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【答案】(1)10分 (2)，，平台A的服务态度更好； (3)该公司会选择平台B 【分析】本题主要考查了求极差，算术平均数，加权平均数： （1）求出七位员工对平台A的服务态度评分的最大值与最小值的差，即可求解； （2）根据算术平均数公式计算，即可求解； （3）根据加权平均数计算，即可求解． 【详解】（1）解：分， 即七位员工对平台A的服务态度评分的极差是10分； 故答案为：10……………………2分 （2）解：， ， ∵， ∴平台A的服务态度更好；……………………4分 （3）解：平台A的得分分， 平台B的得分分， ∵， ∴该公司会选择平台B．……………………6分 20．（本小题满分6分）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算，根据，求解即可． （2）过点作于点M，则四边形是矩形，根据，求解即可． （3）设小路的宽为，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 的宽度为， ， ．……………………2分 （2）解：过点作于点M， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ．……………………4分 （3）解：设小路的宽为， 根据题意，得， 整理，得， ， 解得，（大于16，舍去）， 答：小路的宽为．……………………6分 21．（本小题满分8分）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：，……………………2分 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元；……………………4分 （2）解：由题意得，，……………………6分 ∵，对称轴为直线，且a为整数，……………………7分 ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大．……………………8分 22．（本小题满分8分）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． （1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：   是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线；……………………3分 （2）解：，， ， 在中，，， ，则，……………………5分 ， ，， ，……………………6分 ， 设，则，， ，即，……………………7分 解得或（舍去）， ．……………………8分 23．（本小题满分8分）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，；……………………4分 （）由规律可得，， 故答案为：；……………………6分 （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：．……………………8分 24．（本小题满分10分）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③；……………………2分 （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，；……………………6分 （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴；……………………8分 （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．……………………10分 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． 25．（本小题满分10分）如图，正方形边长为，点E为对角线上一点，，点P在边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）． (1)求证：． (2)当是直角三角形时，求t的值． (3)连接，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)秒或2秒 (3) 【分析】（1）根据正方形性质，得到，再题意得到，从而得到； （2）利用题目中的条件，分别用t表示、、，再分别讨论当、和时，利用勾股定理构造方程求出t即可； （3）过点A作，交的延长线于点F，连接交于点G．由此得到，由已知得到进而得到，由题意，则，再依次证明、，得到，从而证明，即是等腰直角三角形．则，再用求出的面积． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ． ， ．……………………2分 （2）解：过点E作于点M，过点E作于点N． 由题意知， ∵ ∴， ∵ ∴ 由已知， ． ，即， ，即， ，即．         ……………………4分 ①当时，有． 即，整理得． 解得（不合题意，舍去）．              ②当时，有． 即，整理得，解得． ③当时，有． 即，整理得，该方程无实数解． 综上所述，当是直角三角形时，t的值为秒或2秒．……………………6分 （3）解：过点A作，交的延长线于点F，连接交于点G． ， ．                  又， ． ， ， ……………………8分 ， ， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形． ， ……………………10分 【点睛】本题考查了正方形的性格、相似三角形的性质与判定、正切定义以及勾股定理．解答过程中，灵活的利用勾股定理构造方程、根据题意找到相似三角形是解题关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：山东省中考逐步推进全省统一命题，2025年多地（如济南、淄博）分值向统一标准（150分）靠拢，但各地市（如青岛保持120分）仍存差异。试卷结构更趋稳定，计算量普遍向“精算”与“巧算”转变，避免繁琐计算。题目呈现方式灵活，摒弃“纯公式”套路，大量采用流程图、数学模型图、阅读材料等方式。例如，三进制芯片（威海）、冰雹猜想（临沂）等新概念直接作为题干，考查学生即时学习与迁移能力。 中考·新考法：函数不再仅求解析式，更侧重“方案择优”。如滨州卷对比直线与双曲线，要求“说明理由”；青岛卷要求设计采购方案并求最低费用；几何从静态证明转向动态探究。如几何折叠（德州、济南）、图形旋转扫过的路径长或最小值问题（东营、烟台）成为高频题型；统计概率与决策结合，如德州卷要求通过分析方差和平均数，责任到“甲、乙谁更稳定”并给出建议；跨模块综合融合创新，几何与函数深度捆绑，如用二次函数解决最值问题（临沂）、圆与三角函数的综合证明（滨州）；代数推理出现“新定义运算”（青岛），要求验证交换律、结合律，考查代数逻辑推理。 中考·新情境：①紧跟时代科技：情境极具时效性，涵盖2025年的“天问二号”（潍坊）、三进制芯片（威海）、神舟二十号（烟台）等最新成就。数学化身解决“储能功率（济南）、智能养殖（威海）”的工具。②文化传承与开放：融入齐鲁文化，如《孙子算经》（东营）、黄金分割（潍坊）、“哪吒夜叉”（山东统考）。同时开放性增强，如滨州卷要求“再设计一种测量方案”，威海卷“项目反思”环节，培养问题意识。③跨学科融合：与美术（尺规作图黄金比例）、物理（连杆运动、三进制逻辑）、生物（植物生长与光照强度）学科结合，要求建立数学模型。 命题·大预测：①几何题走向动态探究：选择题第9、12题考查图形变换与规律探究，第25题压轴题则是动态几何与函数、最值的综合。这印证了“几何折叠、旋转、动态问题”已成为区分度较高的必考题型，要求考生不仅掌握静态证明，更要具备“变中找不变”的探究能力。②跨模块融合深度化：选择题第8题将反比例函数与矩形、面积计算融合；第22题将圆与相似三角形、三角函数结合。单一知识点的考查将越来越少，“几何＋代数”、“函数＋方程”的综合题是主流，要求考生构建完整的知识网络。③真实情境贯穿全卷：第18题“冰雪旅游”、第19题“快递平台选择”、第20题“遮阳棚”、第21题“红色研学文创”等，均取材于身边的实际问题。预测未来中考将百分之百覆盖真实情境，学生需具备从复杂信息中提取数学模型（方程、函数、不等式）的能力。④跨学科融合更自然：第16题“月洞门”融合了传统文化与尺规作图；第23题“正整数表示”涉及数论推理。预测跨学科不再生硬植入，而是作为问题背景自然呈现，主要考查学生在跨学科背景下运用数学思维解决问题的能力。 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．16的平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 2．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（    ） A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三种视图都不变 5．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 9．如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10．分解因式：______． 11．小明家月的电费（单位：元）分别为：137，140，140，117，104．该组数据的中位数是_______． 12．在矩形中，在边上，关于直线的对称点为，联结，，如果四边形是菱形，那么的值为________． 13．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______． 14．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为__________. 15．定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为______． ①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法） 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） （1）已知，求代数式的值． （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 18．（本小题满分6分）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率． 19．（本小题满分6分）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 (1)七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________； (2)求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； (3)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 20．（本小题满分6分）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 21．（本小题满分8分）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 22．（本小题满分8分）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 23．（本小题满分8分）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 24．（本小题满分10分）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 25．（本小题满分10分）如图，正方形边长为，点E为对角线上一点，，点P在边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）． (1)求证：． (2)当是直角三角形时，求t的值． (3)连接，当时，求的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满分27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D D B B B C C D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 8． 9．137 10．/ 11． 11．7人 12．①②④ 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16． 解：由题意，作图如下，即为所求： 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） 【详解】（1）解：原式 ，……………………3分 ∵， ∴， ∴原式．……………………4分 （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：，……………………4分 将解集表示在数轴上如图： ．……………………5分 18．（本小题满分6分） 解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A、B、C，可画树状图为： ……………………4分 由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种， ∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．……………………6分 19．（本小题满分6分） （1）解：分， 即七位员工对平台A的服务态度评分的极差是10分； 故答案为：10……………………2分 （2）解：， ， ∵， ∴平台A的服务态度更好；……………………4分 （3）解：平台A的得分分， 平台B的得分分， ∵， ∴该公司会选择平台B．……………………6分 20．（本小题满分6分） （1）解：根据题意，得， 的宽度为， ， ．……………………2分 （2）解：过点作于点M， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ．……………………4分 （3）解：设小路的宽为， 根据题意，得， 整理，得， ， 解得，（大于16，舍去）， 答：小路的宽为．……………………6分 21．（本小题满分8分） （1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：，……………………2分 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元；……………………4分 （2）解：由题意得，，……………………6分 ∵，对称轴为直线，且a为整数，……………………7分 ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大．……………………8分 22．（本小题满分8分） （1）证明：连接，如图所示：   是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线；……………………3分 （2）解：，， ， 在中，，， ，则，……………………5分 ， ，， ，……………………6分 ， 设，则，， ，即，……………………7分 解得或（舍去）， ．……………………8分 23．（本小题满分8分） （1）（）由规律可得，， 故答案为：，；……………………4分 （）由规律可得，， 故答案为：；……………………6分 （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：．……………………8分 24．（本小题满分10分） 解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③；……………………2分 （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，；……………………6分 （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴；……………………8分 （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．……………………10分 25．（本小题满分10分） （1）证明：四边形是正方形， ． ， ．……………………2分 （2）解：过点E作于点M，过点E作于点N． 由题意知， ∵ ∴， ∵ ∴ 由已知， ． ，即， ，即， ，即．         ……………………4分 ①当时，有． 即，整理得． 解得（不合题意，舍去）．              ②当时，有． 即，整理得，解得． ③当时，有． 即，整理得，该方程无实数解． 综上所述，当是直角三角形时，t的值为秒或2秒．……………………6分 （3）解：过点A作，交的延长线于点F，连接交于点G． ， ．                  又， ． ， ， ……………………8分 ， ， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形． ， ……………………10分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $