15 2024年枣庄市市中区初中学业水平第一次模拟考试-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东专版）

＝２∠ＯＣＢ＝２∠Ｂ，∴∠ＡＯＣ＝∠ＤＡＢ。∴ＯＣ∥ＤＥ。 ∵ＣＥ⊥ＡＤ，∴ＣＥ⊥ＯＣ。 ∵ＯＣ是⊙Ｏ的半径，∴ＣＥ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：∵ＯＣ⊥ＣＥ，∴∠ＯＣＥ＝９０°， 即∠ＯＣＡ＋∠ＡＣＥ＝９０°。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°。 ∴∠Ｂ＋∠ＣＡＢ＝９０°。 ∵ＯＡ＝ＯＣ，∴∠ＣＡＯ＝∠ＯＣＡ。 ∴∠ＡＣＥ＝∠Ｂ。 ∵∠Ｅ＝∠ＡＣＢ＝９０°，∴△ＡＣＥ∽△ＡＢＣ。 ∴ ＡＥ ＡＣ ＝ＡＣ ＡＢ ＝ｓｉｎＢ＝ ３ ５ 。 ∵ＡＢ＝５×２＝１０，∴ＡＣ＝６，ＡＥ＝ １８ ５ 。 ２２．解：（１）∵８－６＝２， ∴抛物线的顶点坐标为（２，３）。 设抛物线为 ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋３， 把点Ａ（８，０）代入，得３６ａ＋３＝０， 解得ａ＝－ １ １２ 。 ∴抛物线的函数表达式为ｙ＝－ １ １２ （ｘ－２）２＋３。 当ｘ＝０时，ｙ＝－ １ １２ ×４＋３＝ ８ ３ ＞２．４４， ∴球不能射进球门。 （２）设小明带球向正后方移动ｍ米，则移动后的抛 物线为ｙ＝－ １ １２ （ｘ－２－ｍ）２＋３。 把点（０，２．２５）代入， 得２．２５＝－ １ １２ （０－２－ｍ）２＋３， 解得 ｍ＝－５（舍去）或ｍ＝１。 ∴当时他应该带球向正后方移动 １米射门，才能 让足球经过点Ｏ正上方２．２５米处。 ２３．解：（１）∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠Ｂ＝∠Ａ＝９０°，ＣＤ＝ＡＢ＝１０，ＡＤ＝ＢＣ＝８。 由折叠的性质，得Ｃ′Ｄ＝ＣＤ＝１０， ∴ＡＣ′＝ Ｃ′Ｄ２－ＡＤ槡 ２＝ １０２－８槡 ２＝６。 故答案为６。 （２）①除矩形 ＡＢＣＤ外，有 ３个平行四边形，平行 四边形ＢＣ′ＥＥ′，平行四边形 ＤＤ′Ｅ′Ｅ，平行四边形 ＢＣ′ＤＤ′， 四边形ＢＣ′ＥＥ′是平行四边形。证明如下， 由平移的性质，得ＢＣ′＝ＥＥ′，ＢＣ′∥ＥＥ′， ∴四边形ＢＣ′ＥＥ′是平行四边形。 （其它两个平行四边形同理可证） ②由（１），得ＡＣ′＝６，∴ＢＣ′＝ＢＡ－ＡＣ′＝４。 由折叠的性质，得Ｃ′Ｅ＝ＣＥ。 设ＢＥ＝ｘ，则Ｃ′Ｅ＝ＣＥ＝８－ｘ。 在Ｒｔ△ＢＥＣ′中，由勾股定理，得４２＋ｘ２＝（８－ｘ）２， 解得ｘ＝３。∴ＢＥ＝３，Ｃ′Ｅ＝ＣＥ＝５。 由平移的性质，得Ｅ′Ｅ＝ＢＣ′＝４， ＥＥ′∥ＡＢ∥ＣＤ，Ｄ′Ｅ′∥ＤＥ， ∴△ＦＥＥ′∽△ＦＣＤ′∽△ＥＣＤ。 ∴ ＥＦ ＥＥ′ ＝ＣＦ ＣＤ′ ＝ＣＥ ＣＤ ＝５ １０ ＝１ ２ 。 ∴ＥＦ＝ １ ２ ＥＥ′＝２。 （３）∵ＢＤ″∥ＤＥ，∴∠ＮＭＥ＝∠Ｅ″Ｄ″Ｂ。 ∵∠Ｅ″Ｄ″Ｂ＝∠Ｃ′ＤＥ＝∠ＣＤＥ， ∴∠ＮＭＥ＝∠ＣＤＥ。∴ＭＮ∥ＣＤ。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴ＡＢ∥ＭＮ。 ∴∠ＡＢＤ″＝∠Ｅ″Ｄ″Ｂ，∠ＢＮＭ＝∠Ｃ＝９０°。 ∵∠ＣＤＣ′＝∠ＡＣ′Ｄ，Ｃ′Ｄ∥ＢＤ′， ∴∠ＣＤＣ′＝∠ＡＣ′Ｄ＝∠ＡＢＤ′。 ∵∠ＢＤ″Ｅ′＝∠Ｄ″ＢＡ＝∠Ｃ′ＤＥ＝∠ＣＤＥ， ∴∠ＡＢＤ″＝∠Ｄ′ＢＤ″＝α。 ∴ｔａｎα＝ ＢＥ″ ＢＤ″ ＝５ １０ ＝１ ２ 。 ∵Ｓ△ＢＤ″Ｅ″＝ １ ２ ·ＢＥ″·ＢＤ″＝ １ ２ ·Ｅ″Ｄ″·ＢＮ， Ｄ″Ｅ″＝ ＢＤ″２＋ＢＥ″槡 ２＝ １０２＋５槡 ２＝槡５５， ∴ＢＮ＝ ＢＥ″·ＢＤ″ Ｅ″Ｄ″ ＝５ ×１０ 槡５５ ＝槡２５。 ∵ＭＮ∥ＣＤ，∴△ＭＥＮ∽△ＤＥＣ。 ∴ ＭＮ ＤＣ ＝ＥＮ ＥＣ ，即 ＭＮ １０ ＝槡２５ －３ ５ 。 ∴ＭＮ＝槡４５－６。 １５２０２４年枣庄市市中区初中学业水平 第一次模拟考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ Ａ Ｃ １．Ｄ　【解析】∵－１是负数，２，π是正数，｜π｜＞｜２｜， ∴－１＜０＜２＜π。∴最大的数为π。故选Ｄ。 ２．Ｃ　【解析】由题意可知，该几何体的左视图是一个 矩形，矩形的中间有一条横向的虚线。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】２５００万＝２５００００００＝２．５×１０７。 故选Ｂ。                                                                —３５— ４．Ｂ　【解析】Ａ不是中心对称图形，是轴对称图形，故 选项不符合题意；Ｂ既是轴对称图形，又是中心对 称图形，故选项符合题意；Ｃ不是中心对称图形，是 轴对称图形，故选项不符合题意；Ｄ是中心对称图 形，不是轴对称图形，故选项不符合题意。故选Ｂ。 ５．Ｄ　【解析】Ａ．ａ４·ａ３＝ａ７，故选项不符合题意； Ｂ．（－ａ４）３＝－ａ１２，故选项不符合题意； Ｃ．（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２，故选项不符合题意； Ｄ．－４ａ５ｂ３÷２ａ３ｂ＝－２ａ２ｂ２，故选项符合题意。 故选Ｄ。 ６．Ｃ　【解析】如图，连接ＯＣ。 ∵ＣＥ与⊙Ｏ相切于点Ｃ，∴ＣＥ⊥ＯＣ。 ∴∠ＯＣＥ＝９０°。 ∵∠ＣＤＢ＝２４°， ∴∠ＣＯＥ＝２∠ＣＤＢ＝２×２４°＝４８°。 ∴∠Ｅ＝９０°－∠ＣＯＥ＝９０°－４８°＝４２°。 故选Ｃ。 ７．Ｂ　【解析】∵四边形ＯＡＢＣ是长方形， ∴∠ＢＡＯ＝∠ＢＣＯ＝∠Ｂ＝９０°，ＢＣ＝ＯＡ＝４， ＡＢ＝ＯＣ＝８。 ∵反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｋ＞０）的图象与长方形 ＯＡＢＣ 在第一象限相交于 Ｄ，Ｅ两点，△ＯＡＤ，△ＯＣＥ的面 积分别为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ１＋Ｓ２＝８， ∴Ｓ１＝ １ ２ ＡＤ·ＯＡ＝ ｋ ２ ，Ｓ２＝ １ ２ ＯＣ·ＣＥ＝ ｋ ２ 。 ∴ ｋ ２ ＋ｋ ２ ＝８，解得ｋ＝８。 ∴Ｓ１＝４，Ｓ２＝４， 即 １ ２ ×４×ＡＤ＝４， １ ２ ×８×ＣＥ＝４。 ∴ＡＤ＝２，ＣＥ＝１。 ∴ＢＤ＝ＡＢ－ＡＤ＝８－２＝６，ＢＥ＝ＢＣ－ＣＥ＝４－１＝３。 ∴Ｓ△ＢＤＥ＝ １ ２ ＢＤ·ＢＥ＝ １ ２ ×６×３＝９。 ∴Ｓ△ＯＤＥ＝Ｓ长方形ＯＡＢＣ－Ｓ１－Ｓ２－Ｓ△ＢＤＥ ＝４×８－４－４－９ ＝１５。 故选Ｂ。 ８．Ａ　【解析】由题意，得∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ。 ∵ＤＥ∥ＢＣ， ∴∠ＤＥＢ＝∠ＣＢＥ。∴∠ＡＢＥ＝∠ＢＥＤ。 ∴ＤＥ＝ＢＤ。 ∴ＡＤ＋ＤＥ＋ＡＥ＝ＡＤ＋ＢＤ＋ＡＥ＝ＡＢ＋ＡＥ＝５＋３＝８。 故选Ａ。 ９．Ａ　【解析】由题意可知，甲的速度为３ｘｋｍ／ｈ，则乙 的速度为４ｘｋｍ／ｈ。 根据题意，得 ６ ３ｘ ＋２０ ６０ ＝１０ ４ｘ ，即 ６ ３ｘ ＋１ ３ ＝１０ ４ｘ 。 故选Ａ。 １０．Ｃ　【解析】∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点Ａ的坐标 为 － １ ２ ，ｔ( ) ，∴－ｂ２ａ＝－１２。 ∴ｂ＝ａ＞０。 当ｘ＝０时，ｙ＝ｃ＜０，∴ａｂｃ＜０。故①错误； 由图象可得，当ｘ＝１时，ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ＞０， 又∵ｂ＝ａ，∴２ｂ＋ｃ＞０。故②正确； 由图象可得，Δ＝ｂ２－４ａｃ＞０， ∴ｂ２＞４ａｃ。故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ １ ２ ，开口向上， 又∵点（－２，ｍ）到对称轴的距离小于点（２，ｎ）到对 称轴的距离，∴ｍ＜ｎ。故④错误； ∵关于ｘ的一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋３＝０无实 数根， ∴抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与直线ｙ＝－３无交点。 ∵抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点 Ａ的坐标 为 － １ ２ ，ｔ( ) ， ∴ｔ＞－３。故⑤正确。 故正确的个数为３。故选Ｃ。 １１．２０２４　【解析】把 ｘ＝ｍ代入方程 ｘ２－ｘ－１＝０，得 ｍ２－ｍ－１＝０，∴ｍ２－ｍ＝１。 ∴２０２５－ｍ２＋ｍ＝２０２５－（ｍ２－ｍ）＝２０２５－１＝２０２４。 １２．－１＜ｘ≤２　【解析】 ２ｘ＋１＞ｘ，① ３ｘ≤６，②{ 解不等式①，得ｘ＞－１。 解不等式②，得ｘ≤２。 所以原不等式组的解集为－１＜ｘ≤２。 １３． １ ８ 　【解析】列表如下： 鼠 牛 虎 兔 鼠 （鼠，鼠） （鼠，牛） （鼠，虎） （鼠，兔） 牛 （牛，鼠） （牛，牛） （牛，虎） （牛，兔） 虎 （虎，鼠） （虎，牛） （虎，虎） （虎，兔） 兔 （兔，鼠） （兔，牛） （兔，虎） （兔，兔）                                                                —４５— 共有 １６种等可能的结果，其中两张图片恰好是 “牛”“兔”的结果有 ２种，所以两张图片恰好是 “牛”“兔”的概率是 ２ １６ ＝１ ８ 。 １４．槡３　【解析】由图象可知，ＡＢ＝２，ＡＣ＝４。 ∵当ｘ＝１时，ＢＰ⊥ＡＣ， 在Ｒｔ△ＡＢＰ中， ＢＰ＝ ＡＢ２－ＡＰ槡 ２＝ ２２－１槡 ２＝槡３，即ｎ＝槡３； 在Ｒｔ△ＣＢＰ中， ＢＣ＝ ＢＰ２＋ＰＣ槡 ２＝ ３＋（４－１）槡 ２＝槡２３， 即ｍ＝槡２３。 ∴ｍ－ｎ＝槡２３－槡３＝槡３。 １５．槡９３　【解析】如图，连接ＢＥ，ＥＦ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ＝６。 ∴∠Ｄ＝∠ＡＢＣ＝１２０°，∠Ｄ＋∠Ａ＝１８０°。 ∴∠Ａ＝６０°。 ∵ＡＥ＝ＡＢ＝６，∴△ＡＢＥ是等边三角形。 ∴∠ＡＢＥ＝６０°。∴∠ＥＢＦ＝１２０°－６０°＝６０°。 ∵ＢＥ＝ＢＦ＝６，∴△ＥＢＦ是等边三角形。 ∵Ｓ阴影＝Ｓ△ＢＥＦ＝ 槡３ ４ ×６２＝槡９３。 １６． １ ２２０２４ ａ　【解析】△Ａ１Ｂ１Ｃ１的周长＝△ＡＢ１Ｃ１的周长 ＝１ ２ ａ， △Ａ２Ｂ２Ｃ２的周长＝ １ ２△ ＡＢ１Ｃ１的周长＝ １ ２ ×１ ２ ａ＝ １ ２２ ａ， 所以△ＡＢ２０２４Ｃ２０２４的周长＝ １ ２△ ＡＢ２０２３Ｃ２０２３的周长 ＝ １ ２２０２４ ａ。 １７．解：（１）原式＝２－３×槡 ３ ３ ＋槡３－１ ＝２－槡３＋槡３－１ ＝１。 （２）原式＝ ａ－１ ａ · ａ－１ （ａ－１）２ ＝１ ａ 。 ∵ａ≠０且ａ－１≠０，∴ａ≠０且ａ≠１。 ∴ａ＝－１。∴原式＝－１。 １８．解：（１）甲班学生人数为１７÷３４％＝５０， 统计图中 Ｂ组对应扇形的圆心角为 ３６０°× ８ ５０ ＝ ５７．６°。 故答案为５７．６。 （２）甲班成绩在Ｃ组的人数为５０×１２％＝６， 甲班成绩在Ｆ组的人数为 ５０－３－８－６－１３－１７＝３。 补全频数直方图如下： （３）甲班的成绩的中位数ｍ为 ７７＋７７ ２ ＝７７， 众数是７８。故答案为７７；７８。 （４）１２００× ３＋５ ５０＋５０ ＝９６（人）。 所以估计九年级学生成绩优秀的有９６人。 １９．解：（１）如图，筝形ＡＢＣＤ即为所求作。 （２）①④⑤⑥ （３）证明： 对于④：∵ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ＝ＣＢ， ∴点Ｂ，Ｄ在线段ＡＣ的中垂线上。 ∴ＢＤ垂直平分ＡＣ。 对于①：∵ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ＝ＣＢ，ＢＤ垂直平分ＡＣ， ∴ＯＤ平分∠ＡＤＣ，ＯＢ平分∠ＡＢＣ。 ∴对角线ＢＤ平分一组对角∠ＡＢＣ和∠ＡＤＣ。 对于⑤：∵四边形ＡＢＣＤ的面积＝Ｓ△ＡＣＤ＋Ｓ△ＡＢＣ ＝１ ２ ＡＣ·ＯＤ＋ １ ２ ＡＣ·ＯＢ ＝１ ２ ＡＣ·（ＯＤ＋ＯＢ）                                                                —５５— ＝１ ２ ＡＣ·ＢＤ。 对于⑥：同⑤法可得任意一个对角线互相垂直的 四边形面积等于对角线乘积的一半。 ２０．解：（１）如图，设法线为ＧＨ，则ＧＨ∥ＢＦ。 ∵四边形ＡＢＦＥ是矩形， ∴ＡＢ∥ＥＦ，ＡＢ＝ＥＦ，ＡＥ∥ＢＦ，∠ＥＦＢ＝９０°。 ∴∠ＢＤＨ＝∠ＤＢＦ＝∠ＰＤＧ＝α。 ∵ＢＦ＝１２ｃｍ，ＤＦ＝１６ｃｍ， ∴ｔａｎ∠ＤＢＦ＝ ＤＦ ＢＦ ＝１６ １２ ＝４ ３ 。 ∵ｔａｎ５３°≈ ４ ３ ，∴∠ＤＢＦ≈５３°。 ∴∠ＰＤＧ＝∠ＤＢＦ≈５３°。∴α≈５３°。 （２）如图，设法线ＧＨ交ＡＢ于点Ｑ。 ∵ｎ＝ ４ ３ ，α＝５３°，∴ ｓｉｎα ｓｉｎβ ＝４ ３ 。 ∴ｓｉｎβ＝ ＣＱ ＣＤ ＝３ ５ ， 设ＣＱ＝３ｘｃｍ，ＣＤ＝５ｘｃｍ，则ＤＱ＝４ｘｃｍ。 ∴４ｘ＝１２，解得ｘ＝３。 ∴ＣＱ＝９ｃｍ。 ∵ＤＦ＝ＢＱ，∴ＢＣ＝ＢＱ－ＣＱ＝７ｃｍ。 答：光斑移动的距离为７ｃｍ。 ２１．（１）证明：如图，连接ＤＥ。 ∵ＡＤ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＥＤ＝９０°。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＢＣ＝ＡＢ＝ＣＤ＝ＡＤ，ＡＤ∥ＢＣ。 ∵ＢＤ＝ＢＤ，∴△ＣＢＤ≌△ＡＢＤ（ＳＳＳ）。 ∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＤ。 ∵ＢＦ＝ＢＥ，∠ＦＢＤ＝∠ＥＢＤ，ＢＤ＝ＢＤ， ∴△ＦＢＤ≌△ＥＢＤ（ＳＡＳ）。 ∴∠ＢＦＤ＝∠ＢＥＤ＝９０°。 ∴∠ＯＤＦ＝１８０°－∠ＢＦＤ＝９０°。 ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径，且ＤＦ⊥ＯＤ， ∴ＤＦ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：∵ＡＢ＝ＡＤ，∠Ａ＝∠Ｃ＝６０°， ∴△ＡＢＤ是等边三角形。 ∵ＤＥ⊥ＡＢ，∴ＡＥ＝ＢＥ。 ∵ＢＦ＝ＢＥ＝２，∴ＡＤ＝ＡＢ＝２ＢＥ＝２×２＝４。 ∴ＯＡ＝ １ ２ ＡＤ＝ １ ２ ×４＝２。 ∴⊙Ｏ的半径长为２。 ２２．解：（１）将点Ａ－ １ ２ ，０( ) ，Ｐ３，７２( ) 代入 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋２， 得 １ ４ ａ－ １ ２ ｂ＋２＝０， ９ａ＋３ｂ＋２＝ ７ ２ ，{ 解得 ａ＝－１，ｂ＝７２。{ ∴抛物线的关系式为 ｙ＝－ｘ２＋ ７ ２ ｘ＋２。 （２）当ｘ＝０时，ｙ＝２，∴点Ｃ（０，２）。 当ｙ＝０时，有－ｘ２＋ ７ ２ ｘ＋２＝０， 解得ｘ１＝－ １ ２ ，ｘ２＝４。∴点Ｂ（４，０）。 ∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝ －１ ２ ＋４ ２ ＝７ ４ 。 设直线ＢＣ的关系式为ｙ＝ｋｘ＋２。 把点Ｂ（４，０）代入，得０＝４ｋ＋２， 解得ｋ＝－ １ ２ 。 ∴直线ＢＣ的关系式为ｙ＝－ １ ２ ｘ＋２。 由对称可得，直线 ＢＣ与对称轴交点就是所求的 点Ｍ， 当ｘ＝ ７ ４ 时，ｙ＝－ １ ２ ×７ ４ ＋２＝ ９ ８ ， ∴点Ｍ ７ ４ ， ９ ８( ) 时，ＭＡ＋ＭＣ最小。 （３）当点Ｑ在ＰＣ下方时， 如图１，过点Ｐ作ＰＨ⊥ＣＱ于点Ｈ，过点Ｈ作ＤＮ⊥ ｙ轴于点Ｄ，过点Ｐ作ＰＮ⊥ＤＨ于点Ｎ， ∴∠ＰＨＣ＝∠ＣＤＨ＝∠ＨＮＰ＝９０°。 ∴∠ＣＨＤ＋∠ＰＨＮ＝∠ＨＰＮ＋∠ＰＨＮ＝９０°。 ∴∠ＣＨＤ＝∠ＨＰＮ。                                                                —６５— ∵∠ＱＣＰ＝４５°， ∴△ＰＨＣ是等腰直角三角形。 ∴ＣＨ＝ＨＰ。 ∴△ＣＨＤ≌△ＨＰＮ（ＡＡＳ）。 ∴ＣＤ＝ＨＮ，ＤＨ＝ＰＮ。 ∵设点Ｈ（ｍ，ｎ），Ｃ（０，２），Ｐ３， ７ ２( ) ， ∴ ２－ｎ＝３－ｍ， ７ ２ －ｎ＝ｍ，{ 解得 ｍ＝ ９ ４ ， ｎ＝ ５ ４ 。{ ∴Ｈ ９ ４ ， ５ ４( ) 。 设直线ＣＨ的关系式为ｙ＝ｐｘ＋ｑ， ∴ ９ ４ ｐ＋ｑ＝ ５ ４ ， ｑ＝２，{ 解得 ｐ＝－ １ ３ ， ｑ＝２。{ ∴直线ＣＨ的关系式为ｙ＝－ １ ３ ｘ＋２。 联立直线ＣＨ与抛物线关系式， 得 ｙ＝－ｘ２＋ ７ ２ ｘ＋２， ｙ＝－ １ ３ ｘ＋２，{ 解得 ｘ＝０， ｙ＝２{ 或 ｘ＝ ２３ ６ ， ｙ＝ １３ １８ 。{ ∴Ｑ ２３ ６ ， １３ １８( ) ； 图１ 　 % 图２ ②当点Ｑ在ＰＣ上方时， 如图２，过点Ｐ作ＰＨ⊥ＣＱ交ＣＱ的延长线于点Ｈ， 过点Ｈ作ＤＮ⊥ｙ轴于点Ｄ，过点 Ｐ作 ＰＮ⊥ＤＨ于 点Ｎ， 同理可得Ｑ １ ２ ， ７ ２( ) 。 综上，点Ｑ的坐标为 ２３ ６ ， １３ １８( ) 或 １２，７２( ) 。 ２３．解：（１）∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝６０°， ∴△ＡＢＣ是等边三角形。 ∴∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＢ＝ＢＣ。 同理可得∠ＰＢＤ＝６０°，ＢＤ＝ＰＢ。 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＰＢＤ。 ∴∠ＡＢＣ－∠ＡＢＤ＝∠ＰＢＤ－∠ＡＢＤ， 即∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＰ。 在△ＣＢＤ和△ＡＢＰ中， ＢＣ＝ＢＡ， ∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＰ， ＢＤ＝ＢＰ，{ ∴△ＣＢＤ≌△ＡＢＰ（ＳＡＳ）。 ∴ＰＡ＝ＣＤ，∠ＢＣＤ＝∠ＢＡＰ＝１８０°－∠ＢＡＣ＝１８０°－ ６０°＝１２０°。 ∴∠ＰＣＤ＝∠ＢＣＤ－∠ＡＣＢ＝６０°。 故答案为ＰＡ＝ＣＤ；６０。 （２）（１）中的结论不成立。理由如下： ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝３０°。 同理可得∠ＰＢＤ＝３０°。 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＰＢＤ。 ∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＢＤ＝∠ＰＢＤ＋∠ＡＢＤ， 即∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＰ。 ∵ ＢＣ ＡＢ ＝ＢＤ ＰＢ ＝槡３，∴△ＣＢＤ∽△ＡＢＰ。 ∴ ＣＤ ＡＰ ＝ＢＣ ＡＢ ＝槡３，∠ＢＣＤ＝∠ＢＡＰ＝１８０°－∠ＢＡＣ＝ ６０°。∴ＣＤ＝槡３ＰＡ。 ∴∠ＰＣＤ＝∠ＢＣＤ－∠ＡＣＢ＝６０°－３０°＝３０°。 （３）①如图１，当点Ｐ在线段ＡＣ上时， 过点Ａ作ＡＭ⊥ＣＤ交ＣＤ延长线于点Ｍ。 ∵ＢＰ＝槡２５，ＡＢ＝４， ∴ＡＰ＝ ＢＰ２－ＡＢ槡 ２＝ ２０－槡 １６＝２。 由（２）可知△ＣＢＤ∽△ＡＢＰ， ∴ ＣＤ ＡＰ ＝ＢＣ ＡＢ ＝槡２。∴ＣＤ＝槡２ＡＰ＝槡２２。 ∵△ＣＢＤ∽△ＡＢＰ，∴∠ＢＣＤ＝∠ＢＡＰ＝９０°。 ∵∠ＡＣＢ＝４５°，∴∠ＡＣＤ＝１３５°。 ∴∠ＡＣＭ＝４５°。 ∵ＡＣ＝４，∴ＡＭ＝ＣＭ＝槡 ２ ２ ＡＣ＝槡２２。 ∴ＤＭ＝ＣＭ＋ＣＤ＝槡４２。 ∴ＡＤ＝ ＡＭ２＋ＤＭ槡 ２＝ ８＋槡 ３２＝槡２１０； 图１ 　 图２　　　　                                                                —７５— ②如图２，当点Ｐ在线段ＣＡ的延长线上时， 过点Ｄ作ＤＮ⊥ＡＣ于点Ｎ。 同理可得ＣＤ＝槡２２。 ∵∠ＰＣＤ＝４５°，∴ＤＮ＝ＣＮ＝槡 ２ ２ ＣＤ＝２。 ∴ＡＮ＝ＡＣ－ＮＣ＝４－２＝２。 ∴ＡＤ＝ ＤＮ２＋ＡＮ槡 ２＝ ２２＋２槡 ２＝槡２２。 综上所述，ＡＤ的长为 槡２１０或 槡２２。 １６２０２４年枣庄市薛城区九年级第二次调研考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ａ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ １．Ｃ　【解析】（－５）＋（＋２）＝－３≠－７，故①错误； －（－２）２＝－４≠４，故②错误； －槡４＝－２，故③正确； ３÷－ １ ３( ) ＝３×（－３）＝－９≠１，故④错误。 故选Ｃ。 ２．Ｃ　【解析】∵在水中平行的光线，在空气中也是平 行的，∠１＝４５°，∴∠３＝∠１＝４５°。 ∵水面与杯底面平行，∠２＝１２０°， ∴∠４＝１８０°－∠２＝６０°。∴∠３＋∠４＝１０５°。 故选Ｃ。 ３．Ｃ　【解析】数据５，５，６，７，８，９，１０的众数是５，中位 数是７。 若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数 保持不变，则５不能去掉，７不能去掉。 所以去掉的两个数可能是６，８。故选Ｃ。 ４．Ｂ　【解析】１７０ｎｍ＝１７０×１０－９ｍ＝１．７×１０－７ｍ。故选Ｂ。 ５．Ａ　【解析】∵（３ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ） ＝３ａ２＋６ａｂ＋ａｂ＋２ｂ２ ＝３ａ２＋７ａｂ＋２ｂ２， ∴若要拼一个长为３ａ＋ｂ，宽为ａ＋２ｂ的矩形，则需要 Ｃ类纸片的张数为７。故选Ａ。 ６．Ａ　【解析】如图，过点Ｃ作ＣＥ⊥ｘ轴，垂足为Ｅ。 ∵∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝３０°，ＢＡ⊥ ＯＡ，ＣＢ⊥ ＯＢ， ＡＢ＝１，　 ∴ＯＢ＝２ＡＢ＝２，∠ＣＯＥ＝９０°－３０°－３０°＝３０°。 在Ｒｔ△ＯＢＣ中，ｃｏｓ∠ＢＯＣ＝ ＯＢ ＯＣ ＝槡３ ２ ， 即 ２ ＯＣ ＝槡３ ２ ，∴ＯＣ＝槡 ４３ ３ 。 在Ｒｔ△ＯＣＥ中，ｓｉｎ∠ＣＯＥ＝ ＣＥ ＯＣ ＝１ ２ ， 即 ＣＥ 槡４３ ３ ＝１ ２ 。∴ＣＥ＝槡 ２３ ３ ， ｃｏｓ∠ＣＯＥ＝ ＯＥ ＯＣ ＝槡３ ２ ，即 ＯＥ 槡４３ ３ ＝槡３ ２ 。 ∴ＯＥ＝２。 ∴点Ｃ２，槡 ２３ ３( ) 。∴ｋ＝２×槡２３３＝槡４３３。 故选Ａ。 ７．Ａ　【解析】如图，过点Ｅ作ＥＧ⊥ＡＤ于点Ｇ。 ∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ∴ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＣＤ。 ∴∠ＰＤＦ＝∠ＥＧＰ＝９０°，ＥＧ∥ＢＣ。 ∵Ｅ是ＡＢ的中点， ∴Ｇ是ＡＤ的中点。∴ＥＧ＝ １ ２ ＢＤ。 ∵Ｆ是ＣＤ的中点，∴ＤＦ＝ １ ２ ＣＤ。 ∴ＥＧ＝ＤＦ。 ∵∠ＥＰＧ＝∠ＤＰＦ，∴△ＥＧＰ≌△ＦＤＰ（ＡＡＳ）。 ∴ＰＧ＝ＰＤ＝１．５。∴ＡＤ＝２ＤＧ＝６。 ∵△ＡＢＣ的面积为２４，∴ １ ２ ＢＣ·ＡＤ＝２４。 ∴ＢＣ＝４８÷６＝８。 ∴ＤＦ＝ １ ４ ＢＣ＝２。∴ＥＧ＝ＤＦ＝２。 由勾股定理，得ＰＥ＝ ２２＋１．５槡 ２＝２．５。 故选Ａ。 ８．Ｄ　【解析】∵第１个图案中正方体的个数为１， 第２个图案中正方体的个数为３＝１＋２， 第３个图案中正方体的个数为６＝１＋２＋３， ∴第１００个图案中正方体的个数为１＋２＋３＋…＋９９＋ １００＝５０５０，其中写有“心”字的正方体有１００个。 ∴抽到带“心”字正方体的概率是 １００ ５０５０ ＝２ １０１ 。 故选Ｄ。                                                                —８５— — ８５— — ８６— — ８７— 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的） １．下列实数中，最大的数是 （　　） Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．２ Ｄ．π ２．某商场的休息椅如图所示，它的左视图是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ３．２０２３年１１月４日，我国首艘国产大型邮轮“爱达·魔都号”正式命名交付。这标志着我国从此实现 了国产大型邮轮制造“零的突破”。全船搭载 １０７个系统，５．５万个设备，包含 ２５００万个零部件， ２５００万用科学记数法可以表示为 （　　） Ａ．２．５×１０４ Ｂ．２．５×１０７ Ｃ．０．２５×１０８ Ｄ．２５×１０６ ４．下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ５．下列运算正确的是 （　　） Ａ．ａ４·ａ３＝ａ１２ Ｂ．（－ａ４）３＝ａ７ Ｃ．（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ｂ２－ａ２ Ｄ．－４ａ５ｂ３÷２ａ３ｂ＝－２ａ２ｂ２ ６．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上的点，∠ＣＤＢ＝２４°，过点Ｃ作⊙Ｏ的切线交 ＡＢ的延长线于点 Ｅ，则∠Ｅ为 （　　） Ａ．２３° Ｂ．３４° Ｃ．４２° Ｄ．４８° 第６题图 　　　　 第７题图 　　　　 第８题图 ７．如图，反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｋ＞０）的图象与长方形ＯＡＢＣ在第一象限相交于Ｄ，Ｅ两点，ＯＡ＝４，ＯＣ＝８，连 接ＯＤ，ＯＥ，ＤＥ，记△ＯＡＤ，△ＯＣＥ的面积分别为Ｓ１，Ｓ２。若Ｓ１＋Ｓ２＝８，则△ＯＤＥ的面积为 （　　） 槡Ａ．１２ Ｂ．１５ Ｃ．８３ Ｄ．３０ ８．如图，在△ＡＢＣ中，以点Ｂ为圆心，适当的长度为半径画弧分别交边ＢＡ，ＢＣ于点Ｐ，Ｑ，再分别以点Ｐ，Ｑ为 圆心，以大于 １ ２ ＰＱ长为半径画弧，两弧交于点Ｍ，连接ＢＭ并延长交ＡＣ于点Ｅ，过点Ｅ作ＥＤ∥ＢＣ交ＡＢ 于点Ｄ。若ＡＢ＝５，ＡＥ＝３，则△ＡＤＥ的周长为 （　　） Ａ．８ Ｂ．１１ Ｃ．１０ Ｄ．１３ ９．“爱劳动，劳动美。”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家６ｋｍ和１０ｋｍ的实践基地参加劳动。 若甲、乙的速度比为３∶４，结果甲比乙提前２０ｍｉｎ到达基地，求甲、乙的速度。设甲的速度为３ｘｋｍ／ｈ， 则依题意可列方程为 （　　） Ａ． ６ ３ｘ ＋１ ３ ＝１０ ４ｘ Ｂ． ６ ３ｘ ＋２０＝ １０ ４ｘ Ｃ． ６ ３ｘ －１０ ４ｘ ＝１ ３ Ｄ． ６ ３ｘ －１０ ４ｘ ＝２０ １０．如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点 Ａ的坐标为 － １ ２ ，ｔ( )，与 ｘ轴的一个交点位于０和１之间，下列结 论：①ａｂｃ＞０；②２ｂ＋ｃ＞０；③ｂ２＞４ａｃ；④若点（－２，ｍ），（２，ｎ）在抛物线上，则ｍ＞ｎ；⑤若关于ｘ的一元二 次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋３＝０无实数根，则ｔ＞－３。其中正确的个数为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 二、填空题（本大题共６小题，每小题３分，共１８分） １１．已知ｘ＝ｍ是一元二次方程ｘ２－ｘ－１＝０的一个根，则代数式２０２５－ｍ２＋ｍ的值为　　　　。 １２．不等式组 ２ｘ＋１＞ｘ， ３ｘ≤６{ 的解集为　　　　。 １３．十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表。根据文献资料记载，最早并 广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元１世纪期间所著《论衡》中提出的。下列四副 十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张后并放回，再从中随机抽取一张， 两张图片恰好是“牛”“兔”的概率是　　　　。 　 　 　 １４．如图１，在△ＡＢＣ中，点Ｐ从点Ａ出发向点Ｃ运动，在运动过程中，设ｘ表示线段ＡＰ的长，ｙ表示线 段ＢＰ的长，ｙ与ｘ之间的关系如图２所示，则ｍ－ｎ＝　　　　。　 图１ 　　　 图２ １５．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｄ＝１２０°，ＣＤ＝６，以点Ａ为圆心，ＡＢ的长为半径画弧交边 ＡＤ于点 Ｅ，以点Ｂ为圆心，ＢＥ的长为半径画弧交边ＢＣ于点Ｆ，则阴影部分的面积为　　　　。 第１５题图 　　　　　　　　 第１６题图 １６．如图，△ＡＢＣ的周长为ａ，以它的各边的中点为顶点作△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再以△ＡＢ１Ｃ１各边的中点为顶点作 △Ａ２Ｂ２Ｃ２，再以△ＡＢ２Ｃ２各边的中点为顶点作△Ａ３Ｂ３Ｃ３……如此下去，则△ＡＢ２０２４Ｃ２０２４的周长 为　　　　。　 三、解答题（本题共７小题，满分７２分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤） １７．（１０分）（１）计算： １ ２( ) －１ －３ｔａｎ３０°＋｜－槡３｜－（π－１） ０； （２）先化简分式 １－ １ ａ( )÷ａ ２－２ａ＋１ ａ－１ ，然后从－１，０，１中选一个合适的数代入求值。 １８．（９分）为了进一步增强广大学生预防溺水的安全意识，让学生真正知危险、会避险，某校举行了防溺 水安全知识竞赛，并在九年级随机抽取甲、乙两班学生（人数相同）的竞赛成绩（满分１００分）进行整 理，描述分析，下面给出部分信息：甲班成绩的频数直方图和扇形统计图如图所示（数据分为６组： Ａ：４０≤ｘ＜５０，Ｂ：５０≤ｘ＜６０，Ｃ：６０≤ｘ＜７０，Ｄ：７０≤ｘ＜８０，Ｅ：８０≤ｘ＜９０，Ｆ：９０≤ｘ≤１００），其中９０分以及 ９０分以上的人为优秀；甲班的成绩在７０≤ｘ＜８０这一组的是７１，７２，７２，７３，７４，７５，７５，７７，７７，７８，７８， ７８，７９。甲、乙两班成绩的平均数、中位数和优秀人数如表： 平均数 中位数 优秀人数 甲班成绩 ７６ ｍ ３ 乙班成绩 ７６ ７２ ５ 根据以上信息，回答下列问题： （１）扇形统计图中Ｂ组对应的圆心角为　　　　度； （２）请补全频数直方图； （３）表中ｍ的值为　　　　；甲班成绩在７０≤ｘ＜８０这一组的众数是　　　　； （４）如果该校九年级学生有１２００名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？ １５２０２４年枣庄市市中区初中学业水平第一次模拟考试 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ８８— — ８９— — ９０— １９．（９分）【概念理解】 如图１，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ＝ＣＢ，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”。 【问题探究】 （１）如图２，在正方形网格中，点Ａ，Ｂ，Ｃ是网格线交点，请在网格中画出筝形ＡＢＣＤ； 【性质探究】 如图３，小明认真思考得出了下列结论：①对角线 ＢＤ平分一组对角∠ＡＢＣ和∠ＡＤＣ；②对角线 ＡＣ 平分一组对角∠ＢＡＤ和∠ＢＣＤ；③ＡＣ垂直平分 ＢＤ；④ＢＤ垂直平分 ＡＣ；⑤四边形 ＡＢＣＤ的面积＝ １ ２ ＡＣ·ＢＤ；⑥任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。 （２）你认为正确的结论有 　　　　；（只需填序号） （３）请你任选一个你认为正确的结论进行证明。 图１ 　 图２ 　 图３ ２０．（１０分）在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图１），我们把ｎ＝ ｓｉｎα ｓｉｎβ 称为折 射率（其中α代表入射角，β代表折射角）。 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图２所示的实验，利用激光笔 ＭＮ发射一束红光，容器中不装水 时，光斑恰好落在Ｂ处，加水至ＥＦ处，光斑左移至 Ｃ处。图３是实验的示意图，四边形 ＡＢＦＥ是矩 形，测得ＢＦ＝１２ｃｍ，ＤＦ＝１６ｃｍ。 （１）求入射角α的度数； （２）若光线从空气射入水中的折射率ｎ＝ ４ ３ ，求光斑移动的距离ＢＣ。 （参考数据：ｓｉｎ５３°≈ ４ ５ ，ｃｏｓ５３°≈ ３ ５ ，ｔａｎ５３°≈ ４ ３ ） 图１ 　 图２ 　 图３ ２１．（１０分）如图，以菱形 ＡＢＣＤ的边 ＡＤ为直径作⊙Ｏ交 ＡＢ于点 Ｅ，连接 ＢＤ，Ｆ是 ＢＣ上的一点，且 ＢＦ＝ＢＥ，连接ＤＦ。 （１）求证：ＤＦ是⊙Ｏ的切线； （２）当∠Ｃ＝６０°，ＢＦ＝２时，求⊙Ｏ的半径。 ２２．（１２分）如图１，在平面直角坐标系中，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋２与ｘ轴交于Ａ－ １ ２ ，０( )，Ｂ（点Ａ在点Ｂ左边） 两点，交ｙ轴于点Ｃ，点Ｐ３， ７ ２( )是抛物线上一点。 （１）求抛物线的关系式； （２）在对称轴上找一点Ｍ，使ＭＡ＋ＭＣ的值最小，求点Ｍ的坐标； （３）如图２，抛物线上是否存在点Ｑ，使∠ＱＣＰ＝４５°？若存在，请求出点Ｑ的坐标；若不存在，请说明 理由。 图１ 　 图２ ２３．（１２分）【问题提出】 在等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝α，Ｐ是ＣＡ延长线上一动点，连接ＰＢ，将线段ＰＢ绕点Ｐ逆 时针旋转，旋转角为 α，得到线段 ＰＤ，连接 ＢＤ，ＣＤ。判断 ＰＡ与 ＣＤ的数量关系；∠ＰＣＤ与 α的 关系。 【问题特殊化】 （１）如图１所示，当α＝６０°时，ＰＡ与ＣＤ的数量关系为　　　　；∠ＰＣＤ＝　　　　°； （２）如图２所示，当α＝１２０°时，请问（１）中的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展应用】 （３）如图３所示，当α＝９０°时，若ＡＢ＝４，ＢＰ＝槡２５，请求出线段ＡＤ的长。 图１ 　 图２ 　 图３