12 2024年临沂市兰山区初中学生学业水平模拟考试试题-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东专版）

— ６７— — ６８— — ６９— 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分） １．４的平方根为 （　　） Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．± １ ２ Ｄ．±２ ２．下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ３．下列运算正确的是 （　　） Ａ．ａ２＋ａ３＝ａ５ Ｂ．（２ａ２）４＝８ａ８ Ｃ．７ａ２ｂ－３ａ２ｂ＝４ａ２ｂ Ｄ．（－ａ－ｂ）２＝ａ２－ｂ２ ４．观看央视春晚是大部分华人除夕夜的“标配”，２０２４龙年春晚的海内外受众总规模再创新高，截止到 除夕夜零时，直播收视次数达１６．８９亿，同比提升１５．１３％，连续三年创新高。其中数据１６．８９亿用科 学记数法表示为 （　　） Ａ．１．６８９×１０１１ Ｂ．１．６８９×１０１０ Ｃ．１．６８９×１０９ Ｄ．１．６８９×１０８ ５．实验室的试管架上有三个没有标签的试管，试管内分别装有ＮａＯＨ，ＨＣｌ，ＫＯＨ三种溶液，小明同学将 酚酞试剂随机滴入其中一个试管，则试管中溶液变红的概率是 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ． １ ３ Ｄ． ２ ３ ６．下列关于计算器的按键说法中，错误的是 （　　） Ａ．按键 显示结果２ Ｂ．按键 显示结果６４ Ｃ．用计算器求（－２．３）×８的值时，按键顺序是 Ｄ．用计算器求（－８）６的值时，按键顺序是 　 ７．为推进垃圾分类，推动绿色发展。某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类。用３６０ 万元购买甲型机器人和用４８０万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为１４０万 元。若设甲型机器人每台ｘ万元，根据题意，所列方程正确的是 （　　） Ａ． ３６０ ｘ ＝４８０ １４０－ｘ Ｂ． ３６０ １４０－ｘ ＝４８０ ｘ Ｃ． ３６０ ｘ ＋４８０ ｘ ＝１４０ Ｄ． ３６０ ｘ －１４０＝ ４８０ ｘ ８．小明按照以下步骤画线段ＡＢ的三等分点： 画法 图形 （１）以Ａ为端点画一条射线； （２）用圆规在射线上依次截取３条等长线段ＡＣ，ＣＤ，ＤＥ，连接ＢＥ； （３）过点Ｃ，Ｄ分别画ＢＥ的平行线，交线段ＡＢ于点Ｍ，Ｎ。Ｍ，Ｎ就是线段 ＡＢ的三等分点。 这一画图过程体现的数学依据是 （　　） Ａ．两直线平行，同位角相等 Ｂ．两条平行线之间的距离处处相等 Ｃ．垂直于同一条直线的两条直线平行 Ｄ．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ９．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 （　　） Ａ．１２π Ｂ．１５π Ｃ．１８π Ｄ．２４π 第９题图 　　　　　 第１０题图 １０．如图，在平面直角坐标系中，菱形ＡＢＣＤ的顶点Ａ在ｙ轴的正半轴上，顶点Ｂ，Ｃ在ｘ轴的正半轴上， Ｄ（２，槡３），Ｐ（－１，－１），点Ｍ在菱形的边ＡＤ和ＤＣ上运动（不与点Ａ，Ｃ重合），过点Ｍ作ＭＮ∥ｙ轴， 与菱形的另一边交于点Ｎ，连接ＰＭ，ＰＮ，设点Ｍ的横坐标为ｘ，△ＰＭＮ的面积为ｙ，则下列图象能正 确反映ｙ与ｘ之间函数关系的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 二、填空题（本大题共６小题，每小题３分，共１８分） １１．分解因式：２ｂ３－４ｂ２＋２ｂ＝　　　　。 １２．代数式 ３ ｘ＋２ 与代数式 ２ １－ｘ 的值互为相反数，则ｘ＝　　　　。　 １３．“抖空竹”是我国一项传统体育活动，同时也是国家级非物质文化遗产之一。某同学在研究“抖空 竹”时，把它抽象成数学问题，如图所示，已知 ＡＢ∥ＣＤ，∠ＢＡＥ＝１０７°，∠ＤＣＥ＝１５１°，则∠Ｅ的度数 为　　　　。　 　 第１３题图 　　 图１ 　 图２ 第１５题图 　　 第１６题图 １４．对于实数ｐ，ｑ，我们用符号ｍａｘ｛ｐ，ｑ｝表示ｐ，ｑ两数中较大的数，例如：ｍａｘ｛１，２｝＝２。若ｍａｘ｛（ｘ－１）２，ｘ｝＝ １，则ｘ＝　　　　。 １５．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法。如图１，ＢＤ是矩形ＡＢＣＤ 的对角线，将△ＢＣＤ分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图２重新摆放，观察两图，若 ａ＝４，ｂ＝２，则矩形ＡＢＣＤ的面积为　　　　。 １６．如图，已知直线ａ：ｙ＝ｘ，直线ｂ：ｙ＝－ １ ２ ｘ和点Ｐ（１，０），过点Ｐ作ｙ轴的平行线交直线ａ于点Ｐ１，过点 Ｐ１作ｘ轴的平行线交直线ｂ于点Ｐ２，过点Ｐ２作ｙ轴的平行线交直线ａ于点Ｐ３，过点Ｐ３作ｘ轴的平行 线交直线ｂ于点Ｐ４……按此作法进行下去，则点Ｐ２０２４的横坐标为　　　　。 三、解答题（本大题共７小题，共７２分） １７．（１０分）（１）计算：槡｜５－３｜＋ １ ２( ) －１ －槡２０＋槡３ｃｏｓ３０°； （２）解不等式组： －３（ｘ－２）≥４－ｘ， １＋２ｘ ３ ＞ｘ－１。{ １８．（９分）根据以下材料，完成项目任务。 项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：如图，点Ｑ为古塔底面圆圆心，测角仪高度ＡＢ＝ＣＤ＝１．５ｍ，在点Ｂ，Ｄ 处分别测得古塔顶端的仰角为３２°，４５°，ＢＤ＝９ｍ，测角仪ＣＤ所在位置与古 塔底部边缘距离ＤＧ＝１２．９ｍ。点Ｂ，Ｄ，Ｇ，Ｑ在同一条直线上。 参考数据 ｓｉｎ３２°≈０．５３０，ｃｏｓ３２°≈０．８４８，ｔａｎ３２°≈０．６２５ 项目任务：求出古塔的高度以及古塔底面圆的半径。 １２２０２４年临沂市兰山区初中学生学业水平模拟考试试题 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ７０— — ７１— — ７２— １９．（９分）某校举办以２０２２年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了５０名学 生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： ａ：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图： （数据分成５组，５０≤ｘ＜６０，６０≤ｘ＜７０，７０≤ｘ＜８０，８０≤ｘ＜９０，９０≤ｘ≤１００） ｂ：七年级抽取成绩在７０≤ｘ＜８０这一组的是 ７０，７２，７３，７３，７５，７５，７５，７６，７７，７７，７８，７８，７９，７９，７９，７９。 ｃ：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七年级 ７６．５ ｍ 八年级 ７８．２ ７９ 请结合以上信息完成下列问题： （１）七年级抽取成绩在６０≤ｘ＜９０的人数为　　　　，并补全频数分布直方图； （２）表中ｍ的值为　　　　； （３）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是７８，则 　　　　（填“甲”或“乙”）的成绩在自己 所在年级抽取成绩中排名更靠前； （４）七年级的学生共有４００人，请你估计七年级竞赛成绩９０分及以上的学生人数。 ２０．（１０分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为１２Ｖ的蓄电 池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 Ｌ（灯丝的阻值 ＲＬ＝２Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻Ｒ，ＲＬ之间关系 为Ｉ＝ Ｕ Ｒ＋ＲＬ ，通过实验得出如下数据： Ｒ／Ω … １ ａ ３ ４ ６ … Ｉ／Ａ … ４ ３ ２．４ ２ ｂ … （１）ａ＝　　　　，ｂ＝　　　　； 【探究】根据以上实验，构建出函数ｙ＝ １２ ｘ＋２ （ｘ≥０），结合表格信息，探究函数 ｙ＝ １２ ｘ＋２ （ｘ≥０）的图象与 性质； （２）①在下图中画出对应函数ｙ＝ １２ ｘ＋２ （ｘ≥０）的图象； ②随着自变量ｘ的不断增大，函数值ｙ的变化趋势是　　　　； 【拓展】（３）结合（２）中函数图象分析，当ｘ≥０时， １２ ｘ＋２≥ －３ ２ ｘ＋６的解集为　　　　　　。 ２１．（１０分）如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，延长 ＡＣ到点 Ｇ，使得 ＣＧ＝ＣＢ，连接 ＧＢ。 过点Ｃ作ＣＤ∥ＧＢ，交ＡＢ于点Ｆ，交⊙Ｏ于点Ｄ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＢ，交ＧＢ的延长线于点Ｅ。 （１）求证：ＤＥ与⊙Ｏ相切； （２）若ＡＣ＝４，ＢＣ＝２，求ＢＥ的长。 ２２．（１２分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线ｙ＝－ １ ４ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于点Ａ（－２，０）和点Ｂ，与ｙ轴交 于点Ｃ（０，４），点Ｐ是直线ＢＣ上方的抛物线上一点（点Ｐ不与点Ｂ，Ｃ重合），过点Ｐ作ＰＤ∥ｙ轴交 直线ＢＣ于点Ｄ。 （１）求抛物线的函数表达式； （２）求线段ＰＤ长的最大值； （３）连接ＣＰ，ＢＰ，请直接写出四边形ＡＢＰＣ的面积最大值为　　　　。 ２３．（１２分）实践操作： 第一步：如图１，将矩形纸片 ＡＢＣＤ沿过点 Ｄ的直线折叠，使点 Ａ落在 ＣＤ上的点 Ａ′处，得到折痕 ＤＥ，然后把纸片展平。 第二步：如图２，将图１中的矩形纸片ＡＢＣＤ沿过点Ｅ的直线折叠，点Ｃ恰好落在ＡＤ上的点Ｃ′处， 点Ｂ落在点Ｂ′处，得到折痕ＥＦ，Ｂ′Ｃ′交ＡＢ于点Ｍ，Ｃ′Ｆ交ＤＥ于点Ｎ，再把纸片展平。 问题解决： （１）如图１，填空：四边形ＡＥＡ′Ｄ的形状是　　　　； （２）如图２，线段ＭＣ′与ＭＥ是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由； （３）如图２，若ＡＣ′＝２ｃｍ，ＤＣ′＝４ｃｍ，求ＤＮ∶ＥＮ的值。 图１ 　　 图２ （２）选②∠ＰＡＣ＝∠ＰＢＡ，此时△ＢＡＰ∽△ＡＣＰ。证 明如下： 设∠ＢＡＣ＝α，则∠ＢＰＣ＝２α。 ∵∠ＰＡＣ＝∠ＰＢＡ， ∴∠ＰＢＡ＋∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＣ＋∠ＰＡＢ＝∠ＢＡＣ＝α。 ∴∠ＡＰＢ＝１８０°－（∠ＰＢＡ＋∠ＰＡＢ）＝１８０°－α。 ∴∠ＡＰＣ＝３６０°－∠ＢＰＣ－∠ＡＰＢ＝３６０°－２α－（１８０°－α） ＝１８０°－α。 ∴∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＣ。 ∴△ＢＡＰ∽△ＡＣＰ。 ∴点Ｐ是△ＡＢＣ的内相似点。 ２３．解：（１）将点Ａ（０，２），Ｂ（－１，０）代入ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ，得 ｃ＝２， －１－ｂ＋ｃ＝０，{ 解得 ｂ＝１，ｃ＝２。{ 所以二次函数的解析式为ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２。 （２）∵ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２＝－(ｘ－１２) ２ ＋９ ４ ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线ｘ＝ １ ２ 。 ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小。 ∴当ｘ＝ １ ２ 时，ｙ的值最大，最大值为 ９ ４ 。 ∵ １ ２ －（－２）＝２ １ ２ ＞２－ １ ２ ＝１ １ ２ ， ∴当ｘ＝－２时，ｙ的值最小，最小值为－（－２）２－２＋ ２＝－４。　 （３）ＰＱ＝｜－２ｍ－１－ｍ｜＝｜３ｍ＋１｜， 当３ｍ＋１＞０时，ＰＱ＝３ｍ＋１， ＰＱ的长度随ｍ的增大而增大； 当３ｍ＋１＜０时，ＰＱ＝－３ｍ－１， ＰＱ的长度随ｍ的增大而减小。 所以３ｍ＋１＞０满足题意，解得ｍ＞－ １ ３ 。 １２２０２４年临沂市兰山区初中学生学业水平 模拟考试试题 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ Ｄ Ｂ Ａ １．Ｄ　【解析】（±２）２＝４，故４的平方根为±２。故选Ｄ。 ２．Ｂ　【解析】Ａ不是中心对称图形，是轴对称图形，故 选项不符合题意；Ｂ既是轴对称图形，又是中心对 称图形，故选项符合题意；Ｃ不是中心对称图形，是 轴对称图形，故选项不符合题意；Ｄ是中心对称图 形，不是轴对称图形，故选项不符合题意。故选Ｂ。 ３．Ｃ　【解析】Ａ．ａ２与ａ３不是同类项，无法合并，故选项 不符合题意； Ｂ．（２ａ２）４＝１６ａ８，故选项不符合题意； Ｃ．７ａ２ｂ－３ａ２ｂ＝４ａ２ｂ，故选项符合题意； Ｄ．（－ａ－ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２，故选项不符合题意。 故选Ｃ。 ４．Ｃ　【解析】１６．８９亿＝１６８９００００００＝１．６８９×１０９。 故选Ｃ。 ５．Ｄ　【解析】共有三支试管，其中将酚酞试剂滴入装 有ＮａＯＨ溶液的试管和滴入装有 ＫＯＨ的试管中 时，溶液会变成红色。所以试管中溶液变红的概率 是 ２ ３ 。故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】按键 会显示结果２，故选 项Ａ不符合题意； 按键 显示结果 ６４，表示－８的平方是６４，故选项Ｂ不符合题意； 用计算器求（－２．３）×８的值时，按键顺序是 ， 故选项Ｃ不符合题意； 用计算器求（－８）６的值时，按键顺序是 ， 故选项Ｄ符合题意。故选Ｄ。 ７．Ａ　【解析】设甲型机器人每台ｘ万元， 根据题意，得 ３６０ ｘ ＝４８０ １４０－ｘ 。故选Ａ。 ８．Ｄ　【解析】∵ＣＭ∥ＤＮ∥ＢＥ， ∴ＡＣ∶ＣＤ∶ＤＥ＝ＡＭ∶ＭＮ∶ＮＢ。 ∵ＡＣ＝ＣＤ＝ＤＥ，∴ＡＭ＝ＭＮ＝ＮＢ。 ∴这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一 组平行线所截，所得的对应线段成比例。故选Ｄ。 ９．Ｂ　【解析】由三视图可知此几何体为圆锥， ∵ｄ＝６，ｈ＝４， ∴圆锥的母线长为 ６ ２( ) ２ ＋４槡 ２＝５。 ∴圆锥的侧面积为 １ ２ ×６π×５＝１５π。故选Ｂ。 １０．Ａ　【解析】在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ＝２， ＯＡ＝槡３， ∴ＯＢ＝ ２２－（槡３）槡 ２＝１，ＯＣ＝１＋２＝３。 当点Ｍ的横坐标在０—１之间时， 在△ＰＭＮ中，点Ｐ的横坐标为－１， ＭＮ平行ｙ轴，点Ｍ的横坐标为ｘ， ∴△ＰＭＮ的高＝１＋ｘ。                                                                —３４— 设直线ＡＢ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ。 把点Ａ（０，槡３），Ｂ（１，０）代入， 得ｋ＝－槡３，ｂ＝槡３。 ∴直线ＡＢ的函数表达式为ｙ＝－槡３ｘ＋槡３。 又∵ＭＮ平行于ｙ轴，∴点Ｎ的横坐标为ｘ， 代入ｙ＝－槡３ｘ＋槡３，得点Ｎ（ｘ，－槡３ｘ＋槡３）。 ∴ＭＮ＝槡３－（－槡３ｘ＋槡３）＝槡３ｘ， Ｓ△ＰＭＮ＝ １ ２ ×槡３ｘ×（１＋ｘ）＝ 槡３ ２ ｘ２＋槡 ３ ２ ｘ。 ∴此时 ｙ与 ｘ之间的函数图象是开口向上的抛 物线； 当点Ｍ的横坐标在１—２之间时， 在△ＰＭＮ中，底为槡３，高为１＋ｘ， ∴Ｓ△ＰＭＮ＝ １ ２ （１＋ｘ）×槡３＝ 槡３ ２ ｘ＋槡 ３ ２ 。 ∴此时ｙ与ｘ之间的函数图象是一条线段； 当点Ｍ的横坐标在２—３之间时， 在△ＰＭＮ中，高为１＋ｘ， 设直线ＣＤ的函数表达式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ。 把点Ｃ（３，０），Ｄ（２，槡３）代入， 得ｍ＝－槡３，ｎ＝槡３３。 ∴直线ＣＤ的函数表达式为ｙ＝－槡３ｘ＋槡３３。 将点Ｍ的横坐标ｘ代入， 得纵坐标为－槡３ｘ＋槡３３， Ｓ△ＰＭＮ＝ １ ２ （１＋ｘ）×（－槡３ｘ＋槡３３） ＝－槡３ ２ ｘ２＋槡３ｘ＋ 槡３３ ２ 。 ∴此时 ｙ与 ｘ之间的函数图象是开口向下的抛物 线。故选Ａ。 １１．２ｂ（ｂ－１）２　【解析】原式＝２ｂ（ｂ２－２ｂ＋１） ＝２ｂ（ｂ－１）２。 １２．７　【解析】根据题意，得 ３ ｘ＋２ ＋２ １－ｘ ＝０。 整理，得－ｘ＋７＝０，解得ｘ＝７。 经检验，ｘ＝７是分式方程的解。 １３．４４°　【解析】如图，延长ＤＣ交ＡＥ于点Ｆ。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＤＦＥ。 ∵∠ＢＡＥ＝１０７°，∴∠ＤＦＥ＝１０７°。 ∵∠ＤＣＥ是△ＣＦＥ的外角， ∴∠ＤＣＥ＝∠ＤＦＥ＋∠Ｅ。 ∵∠ＤＣＥ＝１５１°，∴∠Ｅ＝１５１°－１０７°＝４４°。 １４．０或１　【解析】当（ｘ－１）２＜ｘ时，ｘ＝１； 当（ｘ－１）２＞ｘ时，（ｘ－１）２＝１， 所以ｘ－１＝－１或ｘ－１＝１， 解得ｘ＝０或ｘ＝２（舍去）。 综上，ｘ＝０或１。 １５．１６　【解析】根据题意，得图１矩形的左上角的三 角形面积＝图２矩形左上角的长方形的面积＝４× ２＝８，所以原矩形面积为１６。 １６．２１０１２　【解析】∵ＰＰ１∥ｙ轴， ∴点Ｐ１与点Ｐ的横坐标相同。∴Ｐ１（１，１）。 ∵Ｐ１Ｐ２∥ｘ轴， ∴点Ｐ２的纵坐标＝点Ｐ１的纵坐标＝１。 ∵点Ｐ２在直线ｙ＝－ １ ２ ｘ的图象上， ∴１＝－ １ ２ ｘ，解得ｘ＝－２。 ∴Ｐ２（－２，１），即点Ｐ２的横坐标为－２＝－２ １。 同理可得点Ｐ３的横坐标为－２ １， 点Ｐ４的横坐标为４＝２ ２，点Ｐ５的横坐标为２ ２， 点Ｐ６的横坐标为－２ ３，点Ｐ７的横坐标－２ ３， 点Ｐ８的横坐标为２ ４…… ∴点Ｐ４ｎ的横坐标为２ ２ｎ。 ∴点Ｐ２０２４的横坐标为２ １０１２。 １７．解：（１）原式＝３－槡５＋２－槡２５＋槡３× 槡３ ２ ＝３－槡５＋２－槡２５＋ ３ ２ ＝１３ ２ －槡３５。 （２）解第一个不等式，得ｘ≤１。 解第二个不等式，得ｘ＜４。 ∴该不等式组的解集为ｘ≤１。 １８．解：如图，连接ＡＣ，延长ＡＣ交ＰＱ于点Ｈ， 则四边形ＣＤＱＨ，四边形ＡＢＱＨ都是矩形。 ∴ＣＨ＝ＤＱ，ＢＱ＝ＡＨ，∠ＰＨＡ＝９０°， ＡＢ＝ＣＤ＝ＱＨ＝１．５ｍ。 根据题意，得∠ＰＡＨ＝３２°，∠ＰＣＨ＝４５°，                                                                —４４— 古塔的高度为ＰＱ，古塔底面圆的半径为ＧＱ， ∴△ＰＨＣ是等腰直角三角形。∴ＰＨ＝ＣＨ。 设ＧＱ＝ｘｍ， 则ＰＨ＝ＣＨ＝ＤＱ＝ＤＧ＋ＧＱ＝（１２．９＋ｘ）ｍ， ∴ＡＨ＝ＢＱ＝ＢＤ＋ＤＱ＝９＋１２．９＋ｘ ＝（２１．９＋ｘ）ｍ。 在Ｒｔ△ＰＨＡ中，ＰＨ＝ｔａｎ∠ＰＡＨ·ＡＨ＝ｔａｎ３２°×ＡＨ≈ ０．６２５×（２１．９＋ｘ）＝（１３．６８７５＋０．６２５ｘ）ｍ。 ∴１２．９＋ｘ＝１３．６８７５＋０．６２５ｘ，解得ｘ＝２．１。 ∴ＰＱ＝ＰＨ＋ＱＨ＝１２．９＋２．１＋１．５＝１６．５（ｍ）。 答：古塔的高度为 １６．５ｍ，古塔底面圆的半径为 ２．１ｍ。　 １９．解：（１）成绩在６０≤ｘ＜７０的人数为５０－４－１２－１０－ ８＝１６，所以成绩在 ６０≤ｘ＜９０的人数为 １２＋１６＋ １０＝３８。　 故答案为３８。 补全频数分布直方图如下： （２）将七年级学生的成绩从小到大排列后，第２５， ２６名学生的成绩分别为７７，７７， ∴ｍ＝ ７７＋７７ ２ ＝７７。 故答案为７７。 （３）∵７８大于七年级抽取学生成绩的中位数，而 小于八年级抽取学生成绩的中位数，∴甲的成绩 在自己所在年级抽取成绩中排名更靠前。 故答案为甲。 （４）４００× ８ ５０ ＝６４。 答：估计七年级竞赛成绩９０分及以上的学生人数 为６４。 ２０．解：（１）根据题意，得３＝ １２ ａ＋２ ，ｂ＝ １２ ６＋２ ， 解得ａ＝２，ｂ＝１．５。 故答案为２；１．５。 （２）① 根据表格数据描点：（１，４），（２，３）， （３，２．４），（４，２），（６，１．５），在平面直角坐标系中画 出对应函数ｙ＝ １２ ｘ＋２ （ｘ≥０）的图象如下： ②不断减小 （３）如图，作函数ｙ＝－ ３ ２ ｘ＋６的图象可知， 当ｘ≥２或ｘ＝０时， １２ ｘ＋２≥ －３ ２ ｘ＋６。 故答案为ｘ≥２或ｘ＝０。 ２１．（１）证明：如图，连接ＯＤ。 ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＧ＝９０°。 ∵ＣＧ＝ＣＢ，∴△ＢＣＧ是等腰直角三角形。 ∴∠Ｇ＝∠ＣＢＧ＝４５°。 ∵ＣＤ∥ＧＢ， ∴∠ＡＣＤ＝∠Ｇ＝４５°。 ∴∠ＡＯＤ＝２∠ＡＣＤ＝９０°。 ∵ＤＥ∥ＡＢ， ∴∠ＯＤＥ＝∠ＡＯＤ＝９０°，即ＯＤ⊥ＤＥ。 又∵点Ｄ在⊙Ｏ上，∴ＯＤ是⊙Ｏ的半径。 ∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线，即ＤＥ与⊙Ｏ相切。 （２）解：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝４，ＢＣ＝２， 由勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝槡２５， ∴ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＤ＝槡５。 ∵ＣＤ∥ＧＢ，ＡＣ＝４，ＢＣ＝ＣＧ＝２， ∴ＡＦ∶ＢＦ＝ＡＣ∶ＣＧ＝４∶２＝２∶１。 设ＢＦ＝ｋ，ＡＦ＝２ｋ， ∴ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ＝３ｋ＝槡２５。 ∴ｋ＝槡 ２５ ３ 。∴ＡＦ＝２ｋ＝槡 ４５ ３ 。 ∴ＯＦ＝ＡＦ－ＯＡ＝槡 ４５ ３ －槡５＝ 槡５ ３ 。 在Ｒｔ△ＯＤＦ中，ＯＤ＝槡５，ＯＦ＝ 槡５ ３ ，                                                                —５４— 由勾股定理，得ＤＦ＝ ＯＤ２＋ＯＦ槡 ２＝槡５２ ３ 。 ∵ＣＤ∥ＧＢ，ＤＥ∥ＡＢ， ∴四边形ＤＥＢＦ是平行四边形。 ∴ＢＥ＝ＤＦ＝槡 ５２ ３ 。 ２２．解：（１）∵抛物线过点Ａ（－２，０），Ｃ（０，４）， ∴把点Ａ，Ｃ坐标代入ｙ＝－ １ ４ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 得 －１ ４ ×４－２ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝４，{ 解得 ｂ＝ ３ ２ ， ｃ＝４。{ ∴抛物线的函数表达式为ｙ＝－ １ ４ ｘ２＋ ３ ２ ｘ＋４。 （２）当ｙ＝０时，ｙ＝－ １ ４ ｘ２＋ ３ ２ ｘ＋４＝０， ∴ｘ１＝－２，ｘ２＝８。∴点Ｂ的坐标为（８，０）。 由点Ｂ，Ｃ的坐标，得直线ＢＣ的函数表达式为 ｙ＝－ １ ２ ｘ＋４。 设点Ｐ的坐标为 ｘ，－ １ ４ ｘ２＋ ３ ２ ｘ＋４( ) ， 则点Ｄ的坐标为 ｘ，－ １ ２ ｘ＋４( ) 。 ∴ＰＤ＝－ １ ４ ｘ２＋ ３ ２ ｘ＋４－ － １ ２ ｘ＋４( ) ＝－１４ｘ２＋２ｘ＝ －１ ４ （ｘ－４）２＋４。 ∵－ １ ４ ＜０， ∴当ｘ＝４时，ＰＤ有最大值，最大值为４。 （３）四边形 ＡＢＰＣ的面积＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＰＣＢ＝ １ ２ ＡＢ× ＯＣ＋ １ ２ ＰＤ×ＯＢ，∴当 ＰＤ取得最大值时，四边形 ＡＢＰＣ的面积最大。∴四边形ＡＢＰＣ的面积最大值 ＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＰＣＢ＝ １ ２ ＡＢ×ＯＣ＋ １ ２ ＰＤ×ＯＢ＝ １ ２ ×１０×４＋ １ ２ ×４×８＝３６。故答案为３６。 ２３．解：（１）∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠Ａ＝∠ＡＤＣ＝９０°。 ∵将矩形纸片ＡＢＣＤ沿过点Ｄ的直线折叠，使点Ａ 落在ＣＤ上的点Ａ′处，得到折痕ＤＥ， ∴ＡＤ＝Ａ′Ｄ，ＡＥ＝Ａ′Ｅ，∠ＡＤＥ＝∠Ａ′ＤＥ＝４５°。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＥＤ＝∠Ａ′ＤＥ＝∠ＡＤＥ。 ∴ＡＤ＝ＡＥ。∴ＡＤ＝ＡＥ＝Ａ′Ｅ＝Ａ′Ｄ。 ∴四边形ＡＥＡ′Ｄ是菱形。 ∵∠Ａ＝９０°，∴菱形ＡＥＡ′Ｄ是正方形。 故答案为正方形。 （２）ＭＣ′＝ＭＥ。证明如下： 如图１，连接Ｃ′Ｅ。 图１ 由（１）知，ＡＤ＝ＡＥ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＤ＝ＢＣ，∠ＥＡＣ′＝∠Ｂ＝９０°。 由折叠知，Ｂ′Ｃ′＝ＢＣ，∠Ｂ＝∠Ｂ′， ∴ＡＥ＝Ｂ′Ｃ′，∠ＥＡＣ′＝∠Ｂ′。 又∵ＥＣ′＝Ｃ′Ｅ， ∴Ｒｔ△ＥＣ′Ａ≌Ｒｔ△Ｃ′ＥＢ′（ＨＬ）。 ∴∠Ｃ′ＥＡ＝∠ＥＣ′Ｂ′。∴ＭＣ′＝ＭＥ。 （３）由（２）知ＡＣ′＝Ｂ′Ｅ， 由折叠知，Ｂ′Ｅ＝ＢＥ，∴ＡＣ′＝ＢＥ。 ∵ＡＣ′＝２ｃｍ，ＤＣ′＝４ｃｍ， ∴ＡＢ＝ＣＤ＝２＋４＋２＝８（ｃｍ）。 设ＤＦ＝ｘｃｍ，则Ｃ′Ｆ＝ＣＦ＝（８－ｘ）ｃｍ。 ∵Ｃ′Ｄ２＋ＤＦ２＝Ｃ′Ｆ２，∴４２＋ｘ２＝（８－ｘ）２， 解得ｘ＝３，即ＤＦ＝３ｃｍ。 如图２，延长ＢＡ，ＦＣ′交于点Ｇ， 图２ 则∠ＡＣ′Ｇ＝∠ＤＣ′Ｆ。 ∴ｔａｎ∠ＡＣ′Ｇ＝ｔａｎ∠ＤＣ′Ｆ＝ ＡＧ ＡＣ′ ＝ＤＦ ＤＣ′ ＝３ ４ 。 ∴ＡＧ＝ ３ ２ ｃｍ。∴ＥＧ＝ ３ ２ ＋６＝ １５ ２ ｃｍ。 ∵ＤＦ∥ＥＧ，∴△ＤＮＦ∽△ＥＮＧ。 ∴ ＤＮ ＥＮ ＝ＤＦ ＥＧ ＝３ １５ ２ ＝２ ５ 。                                                                —６４—