8 2024年聊城市冠县初中学业水平模拟考试(二)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东专版）

— ４３— — ４４— — ４５— 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分。每小题只有一个选项符合要求） １．下列实数π ３ ，－ ２２ ７ ，槡９，－槡７，３．１４中，无理数有 （　　） Ａ．１个　　　　　　　　 Ｂ．２个　　　　　　　　Ｃ．３个　　　　　　　　Ｄ．４个 ２．“致中和，天地位焉，万物育焉。”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、 标识等作品的设计上，使对称美惊艳了千年的时光。下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） Ａ 　　　　　 Ｂ 　　　　　 Ｃ 　　　　　 Ｄ ３．文旅部公布的数据显示，２０２４年春节假期，全国旅游人次达４．７４亿，实现旅游收入６３２６．８７亿元，同 比增长４７．３％。其中６３２６．８７亿用科学记数法可表示为 （　　） Ａ．６．３２６８７×１０１１ Ｂ．０．６３２６８７×１０１２ Ｃ．６３．２６８７×１０１０ Ｄ．６．３２６８７×１０１３ ４．下列计算结果为ａ５的是 （　　） Ａ．（ａ２）３ Ｂ．ａ１０÷ａ２ Ｃ．ａ３＋ａ２ Ｄ．ａ２·ａ３ ５．古代中国建筑之魂———传统的榫卯结构。榫卯是中国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方 式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式。如图所示是榫卯结构中的一个部件，它 的主视图是 （　　） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ 第５题图 　　　　　 第７题图 ６．若关于ｘ的方程 ２ｘ－１ ｘ－２ ＝ｍ ｘ－２ ＋１有增根，则ｍ的值为 （　　） Ａ．０ Ｂ．２或３ Ｃ．２ Ｄ．３ ７．如图，四边形ＡＢＣＤ是菱形，按以下步骤作图： ①以顶点Ｂ为圆心，ＢＤ长为半径作弧，交ＡＤ于点Ｅ； ②分别以点Ｄ，Ｅ为圆心，以大于 １ ２ ＤＥ的长为半径作弧，两弧相交于点Ｆ； ③作射线ＢＦ交ＡＤ于点Ｇ，连接ＣＧ。 若∠ＢＣＧ＝３０°，菱形ＡＢＣＤ的面积为 槡２３，则ＡＥ的值为 （　　） 槡Ａ．２ Ｂ．４－槡６ Ｃ．３－槡２ Ｄ．２ ８．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”。小明购买 了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮， 小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两 张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是 （　　） Ａ． １ ２ Ｂ． １ ６ Ｃ． １ ８ Ｄ． ２ ３ ９．如图，在３×３的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图 中的圆弧为格点△ＡＢＣ外接圆的一部分，小正方形的边长为１，图中阴影部分的面积为 （　　） Ａ． ５ ２π －７ ４ Ｂ． ５ ２π －７ ２ Ｃ． ５ ４π －７ ４ Ｄ． ５ ４π －７ ２ １０．在平面直角坐标系中，若点Ｐ的横坐标和纵坐标相等，则称点 Ｐ为完美点。已知二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ ６ｘ－ ２５ ４ （ａ≠０）的图象上有且只有一个完美点，且当０≤ｘ≤ｍ时，二次函数ｙ＝ａｘ２＋６ｘ－５（ａ≠０）的最 小值为－５，最大值为４，则ｍ的取值范围是 （　　） Ａ．１≤ｍ≤３ Ｂ．３≤ｍ≤５ Ｃ．３≤ｍ≤６ Ｄ．ｍ≥３ 二、填空题（本题共６小题，每小题３分，共１８分） １１．分解因式：２ｘ２＋１８－１２ｘ＝ 。 １２．不等式组 －ｘ＋２＜２ｘ－７， ｘ＞ａ{ 的解集为ｘ＞３，那么ａ的取值范围是 。 １３．如图，数轴上点Ａ，Ｂ表示的数分别为ｍ，ｎ，化简：｜ｍ－ｎ｜－ ｍ槡 ２＝ 。 １４．定义：若ｘ，ｙ满足ｘ２＝４ｙ＋ｔ，ｙ２＝４ｘ＋ｔ且ｘ≠ｙ（ｔ为常数），则称点Ｍ（ｘ，ｙ）为“和谐点”。若Ｐ（３，ｍ）是 “和谐点”，则ｍ＝ 。 １５．如图，△ＡＢＣ的边上有Ｄ，Ｅ，Ｆ三点，∠Ｂ＝∠ＦＡＣ，ＢＤ＝ＡＣ，∠ＢＤＥ＝∠Ｃ。若 ＢＥ＝７，ＥＦ＝５，ＣＦ＝４， 则 Ｓ△ＢＤＥ Ｓ△ＡＢＣ ＝ 。 第１５题图 　　　　 图１ 　　 图２ 第１６题图 １６．如图１，在菱形ＡＢＣＤ中，点Ｐ沿Ａ—Ｂ—Ｃ方向从点Ａ移动到点Ｃ，设点Ｐ的移动路程为ｘ，线段ＡＰ 的长为ｙ，点Ｐ在运动过程中ｙ与ｘ的变化关系如图２所示，点Ｐ运动到边ＢＣ上时，当ｘ＝１８时，ｙ 的值最小为１２，则ａ的值为 。 三、解答题（本题共７小题，共７２分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（１０分）（１）计算：（２０２４－π）０＋( １２) －２ －２ｔａｎ４５°； （２）先化简，再求值：(１－ａａ－ａ＋１)÷ ａ－１ ａ２＋ａ ，其中ａ＝－２ １ ３ 。 １８．（９分）２０２４年是中国共产主义青年团成立１０２周年，某校为了了解九年级４８０名同学对共青团知 识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试。现随机抽取甲、乙两班各 １５名同学的测试成绩 （单位：分，满分１００分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班１５名学生测试成绩分别为７８，８３，８９，９７，９８，８５，１００，９４，８７，９０，９３，９２，９９，９５，１００。 乙班１５名学生测试成绩中９０≤ｘ＜９５的成绩如下：９１，９２，９４，９０，９３。 ８ ２０２４年聊城市冠县初中学业水平模拟考试（二） （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ４６— — ４７— — ４８— 【整理数据】 班级 ７５≤ｘ＜８０ ８０≤ｘ＜８５ ８５≤ｘ＜９０ ９０≤ｘ＜９５ ９５≤ｘ＜１００ 甲 １ １ ３ ４ ６ 乙 １ ２ ３ ５ ４ 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 ９２ ａ ９３ ４７．３ 乙 ９０ ８７ ｂ ５０．２ 【应用数据】 （１）根据以上信息，可以求出：ａ＝ 分，ｂ＝ 分； （２）若规定测试成绩９０分及以上为优秀，请估计参加本次测试的４８０名学生中成绩为优秀的有多 少人； （３）根据以上数据，你认为哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由（理由不少于两条）。 １９．（１０分）如图，反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＜０）与一次函数ｙ＝－２ｘ＋ｍ的图象交于点Ａ（－１，４），ＢＣ⊥ｙ轴于点 Ｄ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点Ｂ，Ｃ。 （１）求反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 与一次函数ｙ＝－２ｘ＋ｍ的表达式； （２）当ＯＤ＝１时，求线段ＢＣ的长； （３）直接写出 ｋ ｘ≥ －２ｘ＋ｍ的解集。 ２０．（９分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义。某电力部门在一处坡角为 ３０°的坡地新安装了一架风力发电机，如图１。某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的 塔杆高度进行了测量，图２为测量示意图。已知斜坡ＣＤ长１６米，在地面点Ａ处测得风力发电机塔 杆顶端Ｐ点的仰角为４５°，利用无人机在点Ａ的正上方５３米的点Ｂ处测得点Ｐ的俯角为１８°，求该 风力发电机塔杆ＰＤ的高度。（参考数据：ｓｉｎ１８°≈０．３０９，ｃｏｓ１８°≈０．９５１，ｔａｎ１８°≈０．３２５） 图１ 　　 图２ ２１．（１０分）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｃ和点Ｅ在⊙Ｏ上，ＡＣ平分∠ＥＡＢ，过点Ｃ作ＡＥ所在直线的垂 线，垂足为Ｄ，ＤＣ交ＡＢ的延长线于点Ｐ。 （１）求证：⊙Ｏ与ＰＤ相切； （２）若ＡＣ＝槡２６，⊙Ｏ的半径为３，求ＤＥ的长。 ２２．（１２分）如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－３与ｘ轴相交于点Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），与ｙ轴相交于点Ｃ。 （１）求抛物线的函数表达式； （２）Ｐ是该抛物线对称轴上的一个动点，当ＰＡ＝ＰＣ时，求点Ｐ的坐标； （３）Ｍ是该抛物线上的一个动点，连接ＢＣ，ＣＭ，当∠ＢＣＭ＝９０°时，求点Ｍ的坐标。 ２３．（１２分）综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线 的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究。如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ＝ ４，分别取ＡＢ，ＡＣ的中点Ｄ，Ｅ，作△ＡＤＥ。如图２所示，将△ＡＤＥ绕点Ａ逆时针旋转，连接ＢＤ，ＣＥ。 （１）探究发现：旋转过程中，线段 ＢＤ和 ＣＥ的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并说明 理由； （２）性质应用：如图３，当ＤＥ所在直线首次经过点Ｂ时，求ＣＥ的长； （３）延伸思考：如图４，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，分别取 ＡＢ，ＢＣ的中点 Ｄ，Ｅ。作 △ＢＤＥ，将△ＢＤＥ绕点Ｂ逆时针旋转，连接ＡＤ，ＣＥ。当边ＡＢ平分线段ＤＥ时，求ｔａｎ∠ＥＣＢ的值。 图１ 　　 图２ 　　 图３ 　　 图４ 由折叠可知，∠ＡＤＦ＝∠ＢＤＦ＝９０°，ＡＦ＝ＢＦ，ＡＤ＝ ＢＤ＝ １ ２ ＡＢ＝ ５ ２ ， ∴∠ＢＤＦ＝∠ＢＥＡ＝９０°。 ∵∠ＦＢＤ＝∠ＡＢＥ，∴△ＦＢＤ∽△ＡＢＥ。 ∴ ＢＤ ＢＥ ＝ＢＦ ＢＡ ，即 ５ ２ ３ ＝ＢＦ ５ 。∴ＢＦ＝ ２５ ６ 。 ∴ＥＦ＝ＢＦ－ＢＥ＝ ２５ ６ －３＝ ７ ６ 。 ①当点Ａ′与点Ｂ重合时， 图３ 　　 图４ 如图３，连接ＯＢ， 此时ＯＡ′＝ＯＢ＝槡 ９７ ３ ； 如图４， ∵∠ＡＦＢ＋∠ＡＦＣ＝１８０°，∠ＡＦＣ＝∠Ａ′Ｆ′Ｃ′， ∴∠ＡＦＢ＋∠Ａ′Ｆ′Ｃ′＝１８０°。 此时拼成的图形是三角形，不符合题意。 ②当点Ａ′与点Ｆ重合时，如图５，图６，连接ＯＦ。 图５ 　　 图６ 在Ｒｔ△ＯＥＦ中， ＯＦ＝ ＯＥ２＋ＥＦ槡 ２＝ ( ４３) ２ ＋( ７６)槡 ２ ＝槡１１３ ６ ， ∴ＯＡ′＝ＯＦ＝槡 １１３ ６ 。 综上所述，拼成四边形时ＯＡ′的长为槡 １１３ ６ 。 ８２０２４年聊城市冠县初中学业水平 模拟考试（二） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｃ １．Ｂ　【解析】槡９＝３，无理数有 π ３ ，－槡７，共２个。 故选Ｂ。 ２．Ｂ　【解析】Ａ，Ｃ，Ｄ选项中的图形都不能找到一条 直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 够互相重合，所以不是轴对称图形；Ｂ选项中的图 形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线 两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形。 故选Ｂ。 ３．Ａ　【解析】６３２６．８７亿＝６３２６８７００００００＝６．３２６８７× １０１１。故选Ａ。 ４．Ｄ　【解析】Ａ．（ａ２）３＝ａ６，故选项不符合题意； Ｂ．ａ１０÷ａ２＝ａ８，故选项不符合题意； Ｃ．ａ３与ａ２不属于同类项，不能合并，故选项不符合 题意； Ｄ．ａ２·ａ３＝ａ５，故选项符合题意。故选Ｄ。 ５．Ｃ　【解析】它的主视图是 。 故选Ｃ。 ６．Ｄ　【解析】去分母，得２ｘ－１＝ｍ＋ｘ－２。 移项，得２ｘ－ｘ＝ｍ－２＋１ 合并同类项，得ｘ＝ｍ－１。 ∵方程有增根，∴ｘ－２＝０。∴ｘ＝２。 把ｘ＝２代入ｘ＝ｍ－１中，得ｍ－１＝２。 ∴ｍ＝３。故选Ｄ。 ７．Ｂ　【解析】由作法，得ＢＧ⊥ＡＤ，ＥＧ＝ＤＧ。 ∴∠ＡＧＢ＝９０°。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＢＣ。∴∠ＧＢＣ＝∠ＡＧＢ＝９０°。 在Ｒｔ△ＢＣＧ中，设ＢＧ＝ｘ。 ∵∠ＢＣＧ＝３０°，∴ＢＣ＝槡３ｘ。 ∵菱形ＡＢＣＤ的面积为 槡２３， ∴ＢＣ·ＢＧ＝槡３ｘ ２＝槡２３。∴ｘ＝槡２。 ∴ＢＧ＝ｘ＝槡２，ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝槡３ｘ＝槡６。 在Ｒｔ△ＡＢＧ中，由勾股定理， 得ＡＧ＝ ＡＢ２－ＢＧ槡 ２＝ （槡６） ２－（槡２）槡 ２＝２。 ∴ＤＧ＝ＥＧ＝ＡＤ－ＡＧ＝槡６－２。∴ＤＥ＝２ＤＧ＝槡２６－４。 ∴ＡＥ＝ＡＤ－ＤＥ＝槡６－（槡２６－４）＝４－槡６。故选Ｂ。 ８．Ｂ　【解析】把“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮 票分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，画树状图如下： 共有１２种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮 票恰好是“秋分”和“大寒”的结果有２种，∴小亮抽 到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是 ２ １２                                                                —８２— ＝１ ６ 。故选Ｂ。 ９．Ｄ　【解析】如图，作ＡＢ的垂直平分线ＭＮ，作ＢＣ的 垂直平分线ＰＱ，设ＭＮ与ＰＱ相交于点Ｏ，连接ＯＡ， ＯＢ，ＯＣ，则点Ｏ是△ＡＢＣ外接圆的圆心。 ∵ＯＡ２＝１２＋２２＝５，ＯＣ２＝１２＋２２＝５，ＡＣ２＝１２＋３２＝１０， ∴ＯＡ２＋ＯＣ２＝ＡＣ２。 ∴△ＡＯＣ是直角三角形。 ∴∠ＡＯＣ＝９０°。 ∵ＡＯ＝ＯＣ＝槡５， ∴图中阴影部分的面积 ＝扇形ＡＯＣ的面积－△ＡＯＣ的面积－△ＡＢＣ的面积 ＝９０π ×（槡５） ２ ３６０ －１ ２ ＯＡ·ＯＣ－ １ ２ ＡＢ·１ ＝５π ４ －１ ２ ×槡５×槡５－ １ ２ ×２×１ ＝５π ４ －５ ２ －１＝ ５π ４ －７ ２ 。故选Ｄ。 １０．Ｃ　【解析】设完美点的坐标为（ｎ，ｎ）。 ∵二次函数ｙ＝ａｘ２＋６ｘ－ ２５ ４ （ａ≠０）的图象上有且只 有一个完美点，∴方程ｎ＝ａｎ２＋６ｎ－ ２５ ４ ，即ａｎ２＋５ｎ－ ２５ ４ ＝０有两个相等的实数根。 ∴Δ＝５２－４ａ×(－２５４) ＝０。∴ａ＝－１。 ∴二次函数ｙ＝ａｘ２＋６ｘ－５的表达式为 ｙ＝－ｘ２＋６ｘ－ ５＝－（ｘ－３）２＋４。 ∴当ｘ＝３时，函数有最大值为４。 又∵当０≤ｘ≤ｍ时，函数最小值为－５， 令－ｘ２＋６ｘ－５＝－５，得ｘ＝０或６。 要使函数最小值为－５，最大值为 ４，则 ３≤ｍ≤６。 故选Ｃ。 １１．２（ｘ－３）２　【解析】２ｘ２＋１８－１２ｘ ＝２（ｘ２－６ｘ＋９）＝２（ｘ－３）２。 １２．ａ≤３　【解析】 －ｘ＋２＜２ｘ－７，① ｘ＞ａ，②{ 解不等式①，得ｘ＞３。 解不等式②，得ｘ＞ａ。 ∵不等式组的解集为ｘ＞３，∴ａ≤３。 １３．ｎ　【解析】由数轴可知ｍ＜０，ｎ＞１，∴ｍ－ｎ＜０。 ∴｜ｍ－ｎ｜－ ｍ槡 ２＝ｎ－ｍ－（－ｍ）＝ｎ－ｍ＋ｍ＝ｎ。 １４．－７　【解析】∵Ｐ（３，ｍ）是“和谐点”， ∴ ３２＝４ｍ＋ｔ，① ｍ２＝１２＋ｔ，②{ ②－①，得ｍ２＋４ｍ－２１＝０，解得ｍ＝－７或３。 ∵ｘ≠ｙ，∴ｍ＝－７。 １５． １ ４ 　【解析】∵∠Ｂ＝∠ＦＡＣ，∠Ｃ为公共角， ∴△ＦＡＣ∽△ＡＢＣ。∴ ＡＣ ＢＣ ＝ＦＣ ＡＣ ，即ＡＣ２＝ＦＣ·ＢＣ。 ∵ＢＥ＝７，ＥＦ＝５，ＣＦ＝４， ∴ＢＣ＝ＢＥ＋ＥＦ＋ＣＦ＝７＋５＋４＝１６。 ∴ＡＣ２＝４×１６＝６４，解得ＡＣ＝８。 ∵ＢＤ＝ＡＣ，∴ＢＤ＝８。 ∵∠ＢＤＥ＝∠Ｃ，∠Ｂ为公共角， ∴△ＥＢＤ∽△ＡＢＣ。 ∴ Ｓ△ＢＤＥ Ｓ△ＡＢＣ ＝(ＢＤＢＣ) ２ ＝( ８１６) ２ ＝１ ４ 。 １６．槡４１３　【解析】如图，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ于点Ｅ。 根据题图２知，当点Ｐ与点Ｅ重合时， ＡＢ＋ＢＰ＝１８，ＡＰ＝１２，∴ＡＢ＋ＢＥ＝１８，ＡＥ＝１２。 设ＡＢ＝ｍ，则ＢＥ＝１８－ｍ。 在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＡＥ２＋ＢＥ２＝ＡＢ２， 即１２２＋（１８－ｍ）２＝ｍ２，解得ｍ＝１３。 ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ＝１３，ＢＥ＝５。 ∴ＥＣ＝ＢＣ－ＢＥ＝１３－５＝８。 当点Ｐ到达点Ｃ时，ＡＰ＝ＡＣ＝ａ， 在Ｒｔ△ＡＣＥ中，ＡＣ２＝ＡＥ２＋ＥＣ２， 即ａ２＝１２２＋８２＝２０８。 ∵ａ＞０，∴ａ＝槡４１３。 １７．解：（１）原式＝１＋４－２×１＝３。 （２）原式＝ １－ａ－ａ２＋ａ ａ · ａ（ａ＋１） ａ－１ ＝１ －ａ２ ａ · ａ（ａ＋１） ａ－１ ＝（ａ ＋１）（１－ａ） ａ · ａ（ａ＋１） ａ－１ ＝－（ａ＋１）２。 当ａ＝－２ １ ３ 时，原式＝－(－２１３＋１) ２ ＝－１６ ９ 。 １８．解：（１）∵甲班 １５名学生测试成绩 １００出现次数 最多，∴众数是１００分，即ａ＝１００； 把乙组 １５个数按从小到大排列，则中位数是第 ８个数， 即中位数出现在９０≤ｘ＜９５这一组中，故ｂ＝９１。 故答案为１００；９１。 （２）４８０× ４＋６＋５＋４ ３０ ＝３０４（人）。                                                                —９２— ∴估计参加本次测试的４８０名学生中成绩为优秀 的有３０４人。 （３）甲班本次测试的整体成绩较好。理由如下： 因为甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班， 所以甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳 定。（答案不唯一，合理均可） １９．解：（１）∵反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＜０）与一次函数 ｙ＝ －２ｘ＋ｍ的图象交于点Ａ（－１，４）， ∴４＝ ｋ －１ ，４＝－２×（－１）＋ｍ。∴ｋ＝－４，ｍ＝２。 ∴反比例函数的表达式为ｙ＝－ ４ ｘ ， 一次函数的表达式为ｙ＝－２ｘ＋２。 （２）∵ＢＣ⊥ｙ轴，∴ＢＣ∥ｘ轴。 ∵ＯＤ＝１，∴点Ｂ，Ｃ的纵坐标为１。 把ｙ＝１代入ｙ＝－ ４ ｘ ，得ｘ＝－４； 把ｙ＝１代入ｙ＝－２ｘ＋２，得ｘ＝ １ ２ 。 ∴点Ｂ（－４，１），Ｃ( １２，１)。∴ＢＣ＝１２＋４＝４１２。 （３）由图象可得 ｋ ｘ≥ －２ｘ＋ｍ的解集为－１≤ｘ＜０。 ２０．解：如图，延长ＰＤ交ＡＣ于点Ｆ，延长ＤＰ交ＢＥ于 点Ｇ。 根据题意，得 ＰＦ⊥ＡＦ，ＤＧ⊥ＢＥ，ＡＢ＝ＦＧ＝５３米， ＡＦ＝ＢＧ。 设ＡＦ＝ＢＧ＝ｘ米。 在Ｒｔ△ＣＤＦ中，∠ＤＣＦ＝３０°，ＣＤ＝ １６米， ∴ＤＦ＝ １ ２ ＣＤ＝８米。 在Ｒｔ△ＰＡＦ中，∠ＰＡＦ＝４５°， ∴ＰＦ＝ＡＦ·ｔａｎ４５°＝ｘ米。 在Ｒｔ△ＢＰＧ中，∠ＧＢＰ＝１８°， ∴ＧＰ＝ＢＧ·ｔａｎ１８°≈０．３２５ｘ米。 ∴ＦＧ＝ＰＦ＋ＰＧ＝ｘ＋０．３２５ｘ＝１．３２５ｘ（米）。 ∴１．３２５ｘ＝５３，解得ｘ＝４０。 ∴ＰＦ＝４０米。 ∴ＰＤ＝ＰＦ－ＤＦ＝４０－８＝３２（米）。 ∴该风力发电机塔杆ＰＤ的高度约为３２米。 ２１．（１）证明：如图，连接ＯＣ，则ＯＣ＝ＯＡ。 ∴∠ＯＣＡ＝∠ＢＡＣ。 ∵ＡＣ平分∠ＥＡＢ，∴∠ＥＡＣ＝∠ＢＡＣ。 ∴∠ＯＣＡ＝∠ＥＡＣ。∴ＯＣ∥ＡＥ。∴∠ＯＣＰ＝∠Ｄ。 ∵ＣＤ⊥ＡＥ，∴∠Ｄ＝９０°。∴∠ＯＣＰ＝９０°。 ∵ＯＣ是⊙Ｏ的半径，且ＰＤ⊥ＯＣ， ∴⊙Ｏ与ＰＤ相切。 （２）解：如图，连接ＢＣ，ＣＥ。 ∵⊙Ｏ的半径为３，ＡＢ是⊙Ｏ 的直径， ∴ＡＢ＝６，∠ＡＣＢ＝９０°。 ∵∠ＥＡＣ＝∠ＢＡＣ，ＡＣ＝槡２６， ∴ＣＥ) ＝ＢＣ) 。 ∴ＣＥ＝ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２＝ ６２－（槡２６）槡 ２＝槡２３。 ∵∠ＣＥＤ＋∠ＡＥＣ＝１８０°，∠ＡＢＣ＋∠ＡＥＣ＝１８０°， ∴∠ＣＥＤ＝∠ＡＢＣ。 ∴ ＤＥ ＣＥ ＝ｃｏｓ∠ＣＥＤ＝ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝ ＢＣ ＡＢ ＝槡２３ ６ ＝槡３ ３ 。 ∴ＤＥ＝槡 ３ ３ ＣＥ＝槡 ３ ３ ×槡２３＝２。 ２２．解：（１）设抛物线的函数表达式为 ｙ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ ｘ２），则ｙ＝ａ（ｘ＋１）（ｘ－３）＝ａ（ｘ ２－２ｘ－３）＝ａｘ２＋ｂｘ－３。 ∴ａ＝１。 ∴抛物线的函数表达式为ｙ＝ｘ２－２ｘ－３。 （２）抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ－３的对称轴为直线ｘ＝１， ∵点Ｐ在该抛物线的对称轴上， ∴设点Ｐ（１，ｐ）。 ∴ＰＡ＝ （１＋１）２＋ｐ槡 ２，ＰＣ＝ １２＋（ｐ＋３）槡 ２。 ∵ＰＡ＝ＰＣ，∴ （１＋１）２＋ｐ槡 ２＝ １２＋（ｐ＋３）槡 ２。 ∴ｐ＝－１。∴点Ｐ（１，－１）。 （３）由题意，得点Ｃ（０，－３）， ∵点Ｂ（３，０），∴ＯＢ＝ＯＣ＝３。 设点Ｍ（ｍ，ｍ２－２ｍ－３）。 当∠ＢＣＭ＝９０°时， 如图，过点Ｍ作ＭＨ⊥ｙ轴于点Ｈ，则ＨＭ＝ｍ。 ∵ＯＢ＝ＯＣ， ∴∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ＝４５°。 ∴∠ＨＣＭ＝９０°－∠ＯＣＢ＝４５°。 ∴∠ＨＭＣ＝４５°＝∠ＨＣＭ。 ∴ＣＨ＝ＭＨ。 ∵ＣＨ＝－３－（ｍ２－２ｍ－３）＝－ｍ２＋２ｍ， ∴－ｍ２＋２ｍ＝ｍ。 ∴ｍ＝０（不符合题意，舍去）或ｍ＝１。 ∴点Ｍ（１，－４）。 ２３．解：（１）ＣＥ＝槡２ＢＤ。理由如下： ∵∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ， ∴ＡＣ＝槡２ＡＢ。                                                                —０３— ∵∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ。 ∵Ｄ，Ｅ分别为ＡＢ，ＡＣ的中点， ∴ＡＤ＝ １ ２ ＡＢ，ＡＥ＝ １ ２ ＡＣ。 ∴ ＡＤ ＡＢ ＝ＡＥ ＡＣ ＝１ ２ 。 ∴△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ。 ∴ ＣＥ ＢＤ ＝ＡＣ ＡＢ ＝槡２。 ∴ＣＥ＝槡２ＢＤ。 （２）∵Ｄ和Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ的中点， ∴ＤＥ∥ＢＣ，ＡＤ＝ １ ２ ＡＢ＝２。 ∴△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ。 ∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＣ＝９０°。 ∴当ＤＥ所在直线经过点Ｂ时，ＡＤ⊥ＢＥ。 在Ｒｔ△ＡＤＢ中，根据勾股定理，可得 ＢＤ＝ ＡＢ２－ＡＤ槡 ２＝槡２３。 由（１）可得ＣＥ＝槡２ＢＤ， ∴ＣＥ＝槡２×槡２３＝槡２６。 （３）如图，设ＡＢ与ＤＥ相交于点Ｑ，过点Ｅ作ＥＧ⊥ ＢＣ于点Ｇ。 ∵△ＤＢＥ∽△ＡＢＣ， ∴∠ＢＥＤ＝∠ＡＣＢ，∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＣ＝９０°。 ∵ＡＢ平分ＤＥ， ∴ＱＤ＝ＱＥ。 ∴ＱＢ＝ＱＥ＝ １ ２ ＤＥ。 ∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＥＢ＝∠ＡＣＢ。 ∵∠ＡＢＥ＋∠ＣＢＥ＝９０°，∠ＣＢＥ＋∠ＢＥＧ＝９０°。 ∴∠ＡＢＥ＝∠ＢＥＧ。 ∴∠ＢＥＧ＝∠ＡＣＢ。 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝３， ∴ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２＝５。 ∵Ｅ为ＢＣ的中点，∴ＢＥ＝ １ ２ ＢＣ＝ ３ ２ 。 ∴ＢＧ＝ＢＥ·ｓｉｎ∠ＢＥＧ＝ ３ ２ ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝ ３ ２ ×ＡＢ ＡＣ ＝６ ５ ， ＥＧ＝ＢＥ·ｃｏｓ∠ＢＥＧ＝ ３ ２ ｃｏｓ∠ＡＣＢ＝ ３ ２ ×３ ５ ＝９ １０ 。 ∴ＣＧ＝ＢＣ－ＢＧ＝３－ ６ ５ ＝９ ５ 。 ∴ｔａｎ∠ＥＣＢ＝ ＥＧ ＣＧ ＝１ ２ 。 ９２０２４年济宁市任城区第二学期一模检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ １．Ｂ　【解析】由题意，可得各数的绝对值分别为２．５， ０．５，１．０，３．５。 ∵０．５＜１．０＜２．５＜３．５， ∴最接近标准质量的是＋０．５。故选Ｂ。 ２．Ｄ　【解析】根据主视图，可知只有 Ｄ选项不可能。 故选Ｄ。 ３．Ｂ　【解析】１７００００＝１．７×１０５。故选Ｂ。 ４．Ｄ　【解析】Ａ．ａ２·ａ３＝ａ２＋３＝ａ５，故选项运算错误，不 符合题意；Ｂ．ａ２与ａ３不能合并，故选项运算错误，不 符合题意；Ｃ．（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋ｂ２＋２ａｂ，故选项运算错误， 不符合题意；Ｄ．（ａ３）２＝ａ３×２＝ａ６，故选项运算正确， 符合题意。故选Ｄ。 ５．Ａ　【解析】∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ， ∴ＢＤ＝ １ ２ ＢＣ＝２０ｃｍ。 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∠ＡＢＣ＝３７°， ∴ＡＤ＝ＢＤ·ｔａｎ３７°≈２０×０．７５＝１５（ｃｍ）。 ∴高ＡＤ约为１５ｃｍ。故选Ａ。 ６．Ｃ　【解析】由题意，得３（ｙ－２）＝２ｙ＋９。 故选Ｃ。 ７．Ｃ　【解析】如图，连接ＯＡ。 ∵Ａ是劣弧ＤＦ) 的中点， 即ＤＡ) ＝ＦＡ) ， ∴∠ＤＯＡ＝∠ＦＯＡ。 ∵∠ＥＯＤ＝３２°， ＥＦ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＤＯＡ＝∠ＦＯＡ＝ １ ２ （１８０°－∠ＥＯＤ）＝７４°。 ∵ＯＤ＝ＯＡ，∴∠ＯＤＡ＝∠ＯＡＤ＝ １ ２ （１８０°－∠ＤＯＡ）＝ ５３°，即∠ＣＤＡ＝５３°。故选Ｃ。 ８．Ａ　【解析】∵∠ＣＡＤ＝９０°，ＡＤ＝３，ＡＣ＝４， ∴ＤＣ＝ ＡＤ２＋ＡＣ槡 ２＝ ３２＋４槡 ２＝５。 ∵ＤＥ＝ＥＣ，ＤＥ＋ＥＣ＝ＤＣ＝５， ∴ＤＥ＝ＥＣ＝ＡＥ＝ ５ ２ 。 ∵ＢＤ＝ＤＥ，Ｆ是ＡＢ边的中点， ∴ＤＦ＝ １ ２ ＡＥ＝ ５ ４ 。故选Ａ。 ９．Ｃ　【解析】如图，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＯＣ于点Ｆ。                                                                —１３—