精品解析：广东省汕头市潮南区陈店实验2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期 八年级期终考试数学试卷（I） 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上。 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 5. 如果，，，那么、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. △BDE和△FGH是两个全等等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　） A. △ABC的周长 B. △AFH的周长 C. 四边形FBGH周长 D. 四边形ADEC的周长 7. 已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3 8. 如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 如图，平分，且，为延长线上的一点，，过作，垂足为．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点与点关于轴对称，则的值是____________． 12. 一个多边形外角和是内角和，则这个多边形的边数为________． 13. 计算：已知，，则的值为______． 14. 如图，是等边三角形，平分，点在的延长线上，且，，则的长为___________． 15. 若分式方程的解为整数，则整数___________． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 如图，中，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 先化简，再求值：，其中与2，3构成三角形的三边，且为整数． 20. 探究题： 【问题情景】 （1）分解下列因式，将结果直接写横线上： ___________；__________；___________； 【探究发现】 （2）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小明发现：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间存在的关系式为__________； 问题解决】 （3）若多项式是一个完全平方式，利用（2）中的结论求出的值． 21. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，于，的延长线于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题： （1）这两种家电每件的进价分别是多少元？ （2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数． 23. 如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°． （1）求证：OB=DC； （2）求∠DCO的大小； （3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期 八年级期终考试数学试卷（I） 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上。 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得：， 故选：A． 2. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟知同底数幂的乘除法法则、积的乘方、幂的乘方运算法则是正确解答此题的关键． 根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法法则，进行求解即可． 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算正确； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选：B． 4. 已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义及构成三角形的条件．分两种情况解答即可求解． 【详解】解：若腰长为6，等腰三角形的三边长为：， ，能构成三角形，此时该等腰三角形的周长是； 若腰长为3，等腰三角形的三边长为：， ，不能构成三角形， 综上所述，该等腰三角形的周长是15． 故选：C． 5. 如果，，，那么、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据零指数幂、负整数指数幂化简，然后再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故选B． 6. △BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　） A. △ABC的周长 B. △AFH的周长 C. 四边形FBGH的周长 D. 四边形ADEC的周长 【答案】A 【解析】 【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论． 【详解】解：∵△GFH为等边三角形， ∴FH＝GH，∠FHG＝60°， ∴∠AHF+∠GHC＝120°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°， ∴∠GHC+∠HGC＝120°， ∴∠AHF＝∠HGC， ∴△AFH≌△CHG（AAS）， ∴AF＝CH． ∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形， ∴BE＝FH， ∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF ＝BD+CE+AF+BE+DF ＝（BD+DF+AF）+（CE+BE）， ＝AB+BC． ∴只需知道△ABC的周长即可． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 7. 已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，然后根据乘积展开式不含的一次项，列出关于的方程，解方程即可． 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解： ， 多项式与的乘积展开式中不含的一次项， ， ． 故选：C． 8. 如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离． 详解】如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA. ∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点， ∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD ∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×OD×(AB＋BC＋AC)＝×OD×8＝12 OD=3 故选：C 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键． 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键． 根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 即， ∴求得：， ∴把和代入得： 故选：D． 10. 如图，平分，且，为延长线上的一点，，过作，垂足为．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等边对等角等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意运用可证可得，由、，以及等量代换可判定①②；根据等角对等边可得，，即判定③；如图：过D作交的延长线于点F，根据角平分线的性质可得，然后证明三角形全等可得、，再根据线段和差及等量代换即可判断④． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，①正确； ∴， ∵、，， ∴，即②正确； ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵，和不垂直 ∴，即不成立，故③错误； 如图：过D作交延长线于点F，   ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的有①②④． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点与点关于轴对称，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点是解题的关键． 先根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点与点的关于y轴对称， ∴， ∴． 故答案为3． 12. 一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为________． 【答案】11 【解析】 【分析】多边形的内角和定理为，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值． 【详解】解：根据题意可得：， 解得： ， 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键． 13. 计算：已知，，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据幂的运算法则即可求解． 【详解】∵，， ∴= 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的乘法运算法则． 14. 如图，是等边三角形，平分，点在的延长线上，且，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形性质、等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 先利用三线合一定理得到，则可证明，再证明是等腰三角形即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：4． 15. 若分式方程的解为整数，则整数___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值． 【详解】解：， 整理得： 若分式方程的解为整数， 为整数， 当时，解得：，经检验：成立； 当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去； 综上:， 故答案是：． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、平方差公式、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先运用平方差公式、完全平方公式计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边都乘以， 得： ， 经检验是原方程的解， 原方程的解是． 18. 如图，中，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 先化简，再求值：，其中与2，3构成三角形的三边，且为整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是解题关键，在把a的值代入求值时要注意所求的a的值保证原分式有意义．先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a的取值范围，把不合题意的a的值舍去，最后代入求值即可求解． 【详解】解：原式 与2，构成三角形的三边， 为整数， 、3或4 又， 且 原式． 20. 探究题： 【问题情景】 （1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___________；__________；___________； 【探究发现】 （2）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小明发现：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间存在的关系式为__________； 【问题解决】 （3）若多项式是一个完全平方式，利用（2）中的结论求出的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、因式分解的理解和应用等知识点，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行分解因式即可解答； （2）根据问题情境，式子中的系数关系，可猜想； （3）多项式是一个完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为，据此列出关于k的方程求解即可． 【详解】解：（1）；， 故答案为：；；． （2）∵观察上述三个多项式的系数，有，，， ∴若多项式是完全平方式，那么系数、、之间存在的关系式为：． 故答案为：． （3）∵多项式是一个完全平方式， ∴， 整理得：，解得：， ∴的值为3. 21. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，于，的延长线于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到，根据证明，即可解答； （2）由证明，得出，证出，即可解答. 【详解】（1）证明：连接，，如图所示： ∵是的平分线，，， ∴. ∵垂直平分线， ∴. 在和中， ∴（HL）， ∴. （2）解：由（1）得，. 在和中， ∴（HL）， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明直角三角形全等，运用角平分线的性质是解题的关键． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题： （1）这两种家电每件的进价分别是多少元？ （2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数． 【答案】（1）A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元 （2）共有三种购买方案，方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，方案三：购进A种家电67件，B种家电33件 （3）这10件家电中B种家电的件数4件 【解析】 【分析】（1）根据题意设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元，建立分式方程求解即可； （2）设购进A种家电a件，购进B种家电件，建立不等式，求解不等式，选择符合实际的解即可； （3）设A种家电拿出件，则B种家电拿出件，根据题意，建立一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元． 根据题意，得 ． 解得． 经检验是原分式方程的解． ． 答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元； 【小问2详解】 设购进A种家电a件，购进B种家电件． 根据题意，得． 解得． ，． 为正整数，，则， 共有三种购买方案， 方案一：购进A种家电65件，B种家电35件， 方案二：购进A种家电66件，B种家电34件， 方案三：购进A种家电67件，B种家电33件； 【小问3详解】 解：设A种家电拿出件，则B种家电拿出件， 根据（1）和（2）及题意，当购进A种家电65件，B种家电35件时，得： ， 整理得：， 解得：，不符合实际； 当购进A种家电66件，B种家电34件时，得： ， 整理得：， 解得：，不符合实际； 当购进A种家电67件，B种家电33件时，得： ， 整理得：， 解得：，符合实际；则B种家电拿出件． 【点睛】本题考查分式方程的实际问题，一元一次方程的实际问题与一元一次不等的实际问题，正确理解题意，建立正确的等量关系与不等式是解题的关键，注意结果要符合实际及分式方程的检验． 23. 如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°． （1）求证：OB=DC； （2）求∠DCO的大小； （3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形． 【答案】（1）证明见解析；（2）40°；（3）当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）由已知证明△AOB≌△ADC，根据全等三角形的性质即可证得； （2）由∠BOC=130°，根据周角的定义可得∠BOA+∠AOC=230°，再根据全等三角形的性质继而可得∠ADC+∠AOC=230°，由∠DAO=90°，在四边形AOCD中，根据四边形的内角和即可求得∠DCO的度数； （3）分三种情况进行讨论即可得 【详解】（1）∵∠BAC=∠OAD=90°， ∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO， ∴∠DAC=∠OAB， 在△AOB与△ADC中， ， ∴△AOB≌△ADC， ∴OB=DC； （2）∵∠BOC=130°， ∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°， ∵△AOB≌△ADC ∠AOB=∠ADC， ∴∠ADC+∠AOC=230°， 又∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠DAO=90°， ∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°； （3）当CD=CO时， ∴∠CDO=∠COD==70°， ∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠ODA=45°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°， 又∠AOB=∠ADC=α， ∴α=115°； 当OD=CO时， ∴∠DCO=∠CDO=40°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°， ∴α=85°； 当CD=OD时， ∴∠DCO=∠DOC=40°， ∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°， ∴α=145°， 综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、等腰三角形的判定和性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质和定理是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$