专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版2024）

专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 1 10 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例1．（2024下·北京昌平·七年级校考期末）如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 例2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 例3．（2023下·广东七年级课时练习）如图，，，，，，则，，的数量关系是 ．    例4．（24-25海南七年级校考期末）如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ． 例5．（24-25七年级下·成都·专项训练）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    例6．（23-24七年级下·北京·期中）已知直线，P为平面内一点，连接，．    (1)如图1，已知，，则的度数是 ； (2)如图2，判断，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，，平分，交于点O， ，求的度数． 例7．（2024下·四川德阳·七年级校考阶段练习）已知直线，P为平面内一点，连接、．    (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，判断、、之间的数量关系，请写出证明过程． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 例8．（2024下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知． 【初步感知】如图，若，求的度数； 【拓展延伸】如图，点E，F在两平行线之间，求证：； 【类比探究】如图，，若，求的度数．            1．（23-24七年级下·北京·期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 2．（2024·广东·校联考二模）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024下·黑龙江鸡西·七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求的度数（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·重庆江津·期中）如图，，平分，平分，，求（     ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·北京房山·期末）如图，，，则的大小为 ． 7．（2023下·北京石景山·七年级统考期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．    8．（23-24七年级下·北京·期中）假日，小明和爸爸驾车去山区旅游，汽车经过A、B、C三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，，则等于 ． 9．（23-24七年级下·北京·期中）如图，，，，则 °． 10．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 11．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知，平分，，，求证：． 12．（2023下·北京朝阳·七年级校考期末）如图，，，求的度数．    13．（2023下·北京顺义·七年级统考期末）完成下面的证明． 已知：如图，，． 求证：．    证明：∵， ________（_____________________________）（填推理的依据）． ________（__________________________________）（填推理的依据）． ∴（____________________________________）（填推理的依据）． 14．（23-24七年级下·北京·期中）已知，，点E在直线的右侧，． (1)如图①，若，则 ； (2)如图②，若，点F为平面内一点，且，点G在内部，使得，设．①当点F在内部，且时，请在图②中补全图形，并求m的值； ②若n，m都为正整数且，直接写出m的所有可能取值． 15．（23-24七年级下·北京大兴·期中）如图1，，若点为平面内一动点（点不在直线和直线上），连接，过点作，且点在点的右侧． (1)当点运动到如图2所示位置时，求证：； (2)直接用等式表示出，，之间存在的所有数量关系． 16．（23-24七年级上·北京·期末）已知：点C是的边上一点（点C不与点O重合），点D是内部一点，射线不与相交． (1)如图1，，过点O作射线，使得．（其中点E在内部）． ①依据题意，补全图1；②直接写出的度数．(2)如图2，点F是射线上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线，使得（其中点H在的外部），用含的代数式表示与的数量关系，并证明． 17．（23-24七年级下·北京大兴·期中）如图1，，若点为平面内一动点（点不在直线和直线上），连接，过点作，且点在点的右侧． (1)当点运动到如图2所示位置时，求证：； (2)直接用等式表示出，，之间存在的所有数量关系． 18．（23-24七年级下·北京·期中）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 1 10 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例1．（2024下·北京昌平·七年级校考期末）如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】过C作CQAB，得出ABDECQ，根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出选项． 【详解】解：过C作CQAB，∵ABDE，∴ABDECQ， ∵∠A=30°，∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°， ∵∠ACE=110°，∴∠ECQ=110°-30°=80°，∴∠E=180°-80°=100°，故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键． 例2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作， ，，，， ，，， ，故选：D． 例3．（2023下·广东七年级课时练习）如图，，，，，，则，，的数量关系是 ．    【答案】 【分析】过C，D点分别作，，则有，根据平行线的性质解题即可． 【详解】解：过C，D点分别作，， ∵，∴， ∴，， 又∴ ．故答案为：．    【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 例4．（24-25海南七年级校考期末）如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ． 【答案】 平行 【详解】解：∵，，∴；如图，过点A作， ∵，∴，∵，∴，即， ∵，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为：平行；． 例5．（24-25七年级下·成都·专项训练）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    【答案】/115度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ，，，， ， ，． 例6．（23-24七年级下·北京·期中）已知直线，P为平面内一点，连接，．    (1)如图1，已知，，则的度数是 ； (2)如图2，判断，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，，平分，交于点O， ，求的度数． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出； （3）交于点，由，得出，由得出，由，得出，由对顶角相等得出，由角平分线的性质得出，即，由（2）得：，代入计算即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ，，，，， ，，，故答案为：； （2）解： 理由：如图2，过点作，则， ，， ，， ，故答案为：； （3）解：如图3，设交于点， ，， ∵∴，，， ，，平分，， ，由（2）得：， ， ． 例7．（2024下·四川德阳·七年级校考阶段练习）已知直线，P为平面内一点，连接、．    (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，判断、、之间的数量关系，请写出证明过程． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数；（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出； （3）交于点，由，得出，由得出，由，得出，由对顶角相等得出，由角平分线的性质得出，即，由（2）得：，代入计算即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点作，，，    ，，， ，，； （2）关系： 证明：如图2，过点作，则，       ，， ，， ，故答案为：； （3）如图3，交于点，，， ，，，， ，，平分，， ， 由（2）得：，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 例8．（2024下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知． 【初步感知】如图，若，求的度数； 【拓展延伸】如图，点E，F在两平行线之间，求证：； 【类比探究】如图，，若，求的度数．            【答案】初步感知：；拓展延伸：见解析；类比探究： 【分析】（1）【初步感知】由平行线的性质及已知即可求得结果； （2）【拓展延伸】过点E作，过点F作．由平行线的性质即可证得； （3）【类比探究】利用【拓展延伸】中得到的结论，结合已知即可求得． 【详解】解：【初步感知】∵，∴． ∵，∴，∴； 【拓展延伸】证明：如图，过点E作，过点F作．    ∵，∴， ∴，，， ∴； 【类比探究】由【拓展延伸】中的结论，得， ∴． ∵，，∴． 同理可得，即， ∴，∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的运算，掌握平行线的性质是解题的关键． 1．（23-24七年级下·北京·期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 【答案】B 【分析】过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可． 【详解】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，则∠CDE＝∠E+∠CNE，即∠CNE＝y﹣z ∵CM∥AB，AB∥EF，∴CM∥AB∥EF，∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE， ∵∠BCD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴x+y﹣z＝90°．故选：B．    【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 2．（2024·广东·校联考二模）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交直线于点，利用平行线的性质得出，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果． 【详解】解：延长交直线于点，    ，，根据题意得，，故选：A． 【点睛】题目主要考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 3．（2024下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义得到，，过M作，过N作，再利用平行线的判定与性质得到，，，，经过角度之间的运算得到，，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 过M作，过N作，则，，    ∵，∴，，∴，， ∴，即， 又∵， ∴，即，故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． 4．（2024下·黑龙江鸡西·七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求的度数（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长、交于点D，根据，得出，根据邻补角求出，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：延长、交于点D，如图所示：    ∵，∴， ∵，∴， ∴．故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 5．（23-24七年级下·重庆江津·期中）如图，，平分，平分，，求（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质：分别过G、H作的平行线和，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【详解】解：如图，分别过G、H作的平行线和，∵，∴， ∴，， ∴， ， ∴， 又，∴，∴， ∴，∴，故选B． 6．（23-24七年级下·北京房山·期末）如图，，，则的大小为 ． 【答案】89 【分析】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行，并能依此正确画出辅助线是解题关键． 过点作平行于，可得，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：过点作， ∴，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴．故答案为：89． 7．（2023下·北京石景山·七年级统考期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．    【答案】 【分析】过点C作，由平行线的性质求得，由，得到，进一步得到，即可得到的度数． 【详解】解：过点C作，如图，∴，    ∵，∴，∵，∴， ∵于点B，∴，∴， ∴．故答案为： 【点睛】此题考查了平行线的性质、垂直定义等知识，作是解题的关键． 8．（23-24七年级下·北京·期中）假日，小明和爸爸驾车去山区旅游，汽车经过A、B、C三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，过作，根据平行线的性质直接求解即可得到答案； 【详解】解：过作，由题意可得，， ∵，， ， ∴，∴，，∵，， ∴，，故答案为：． 9．（23-24七年级下·北京·期中）如图，，，，则 °． 【答案】20° 【分析】作辅助线CF∥AB，平行的性质得出同位角和内错角相等即可求得∠CDE． 【详解】过点C作CF∥AB，则CF∥AB∥ED ∵CF∥AB∴∠CAB+∠ACF=180° 又∴∠CAB=125°，∠ACD=75°∴∠ACF=55°，∠FCD=20°∴∠FCD=∠CDE=20° 【点睛】此题考查了平行的基本性质，解题的关键是作平行线再根据平行线的性质解题． 10．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过，，的顶点，分别作的平行线，根据平行线的性质得出，，，，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，过，，的顶点，分别作的平行线， ∵，∴，∴；同理可得， ∴，，，∴， 则，， 即∴；故答案为：． 11．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知，平分，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，则，进而证明，再由，即可证明． 【详解】证明：∵平分，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∵，∴． 12．（2023下·北京朝阳·七年级校考期末）如图，，，求的度数．    【答案】 【分析】根据两直线平行内错角相等，解答即可． 【详解】解：，，， 又，，的度数为． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是对以上知识的熟练掌握． 13．（2023下·北京顺义·七年级统考期末）完成下面的证明． 已知：如图，，． 求证：．    证明：∵， ________（_____________________________）（填推理的依据）． ________（__________________________________）（填推理的依据）． ∴（____________________________________）（填推理的依据）． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质及等量代换推出，即可判定． 【详解】解：证明：∵， （两直线平行，同旁内角互补）（填推理的依据）． ，（同角的补角相等）（填推理的依据）． ∴（内错角相等，两直线平行） 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 14．（23-24七年级下·北京·期中）已知，，点E在直线的右侧，． (1)如图①，若，则 ； (2)如图②，若，点F为平面内一点，且，点G在内部，使得，设．①当点F在内部，且时，请在图②中补全图形，并求m的值； ②若n，m都为正整数且，直接写出m的所有可能取值． 【答案】(1)50；(2)① 52.5 ；②m的值为15或35或45． 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，几何图形中角度的运算，（1）首先求出，然后利用三角形内角和定理求解即可；（2）①过点C作射线平分，过点B作，得到，过点E作，得到，然后根据平行线的性质求解即可；②根据题意分两种情况讨论：点F在内部和点F在外部，然后根据n，m都为正整数且，确定n的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵，∴ ∵∴； （2）解：①过点C作射线平分，过点B作 ∵，∴．∵，∴． 过点E作，∴， ∴，∴ ∵，∴，∴， ∵∴∴，∴，∴； ②当点F在内部时， ∵，∴∵∴ ∵n，m都为正整数且，∴∴解得 ∴∴∴∴； 当点F在外部时，∵，∴∴ ∵n，m都为正整数且，∴当时，如图所示， 解得∴ ∴∴∴； 当时，如图所示，解得 ∴∴∴∴； 综上所述，m的值为15或35或45． 15．（23-24七年级下·北京大兴·期中）如图1，，若点为平面内一动点（点不在直线和直线上），连接，过点作，且点在点的右侧． (1)当点运动到如图2所示位置时，求证：； (2)直接用等式表示出，，之间存在的所有数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)；；； 【分析】本题考查了平行线的性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）利用平行线的性质，得到和，利用角度的转换即可解答； （2）根据分类讨论，依次画出情况即可，解答即可． 【详解】（1）证明：，． ，，，即． （2）解：当点在左侧，且在上方，根据（1）可得； 如图，当点在右侧时，且在下方， ，．，，； 如图，当点在左侧，且在下方， ，．，，； 如图，当点在右侧，且在下方， ，．，，， 综上所述，可得；；；． 16．（23-24七年级上·北京·期末）已知：点C是的边上一点（点C不与点O重合），点D是内部一点，射线不与相交． (1)如图1，，过点O作射线，使得．（其中点E在内部）． ①依据题意，补全图1；②直接写出的度数．(2)如图2，点F是射线上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线，使得（其中点H在的外部），用含的代数式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)（1）①见解析；②(2)，证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可； （2）过点O作，则，根据平行线的性质得出两角的数量关系即可． 【详解】（1）解：①依据题意，补全图1如下： ②∵，∴，∵，∴， ∵，∴； （2），证明：过点O作，则： ∴， 又∵，∴，∴． 17．（23-24七年级下·北京大兴·期中）如图1，，若点为平面内一动点（点不在直线和直线上），连接，过点作，且点在点的右侧． (1)当点运动到如图2所示位置时，求证：； (2)直接用等式表示出，，之间存在的所有数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)；；； 【详解】（1）证明：，． ，，，即． （2）解：当点在左侧，且在上方，根据（1）可得； 如图，当点在右侧时，且在下方， ，．，，； 如图，当点在左侧，且在下方，，． ，，； 如图，当点在右侧，且在下方， ，．，，， 综上所述，可得；；；． 18．（23-24七年级下·北京·期中）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数；（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出； （3）交于点，由，得出，由得出，由，得出，由对顶角相等得出，由角平分线的性质得出，即，由（2）得：，代入计算即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ，，，，， ，，； （2）如图2，过点作，则，，， ，， ，故答案为：； （3）如图3，设交于点，，， ∵∴，，， ，，平分， ，， 由（2）得：，， ． 17 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$