数学（内蒙古卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（内蒙古卷） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列实数中最大的是（　　） A． B． C． D． 2．初见乍惊欢，久处仍怦然．你，见与不见，老师们就在那里，对你们的爱，只增不减．北京时间2月25日晚，2024年世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山落下帷幕．中国男、女队双双登顶，分别夺取11连冠和6连冠．图①是乒乓球男团颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（    ）． A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值为（    ） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形中，，点在轴上，反比例函数经过点，与交于点，连接．若，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9．已知，是关于的一元二次方程两个实数根，则 ． 10．如图，已知，半圆的直径，为圆心，点是半圆上的一点，将沿直线折叠后的弧经过圆心，则图中阴影部分的面积是 ． 11．已知：如图，在中，，，．将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段的长度为 ． 12．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（10分）（1）计算：； （2）化简． 14．（10分）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的家庭有 个，图1中m的值为 ； (2)求这组月均用水量数据的众数和中位数； (3)请你给这个社区的居民提出一条节约用水的具体建议． 15．（8分）教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格； (2)学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．求最多可以买多少捆A种菜苗； (3)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 16．（11分）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，取的中点，连接．若，，求的长． 17．（12分）如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，是上一点． (1)如图1，连接，当，，时，求的度数； (2)如图2，连接，与相交于点．且，，． ①求证：； ②若，，求的长． 18．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，与x轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)为直线上方抛物线上一动点． ①连接交于点，若，求点D的坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（内蒙古卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A B A D C C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9．2 10．/ 11． 12．①②③ 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13． 【详解】解：（1） ；·············5分 （2）， ， ， ．·············10分 14． 【详解】（1）本次接受调查的家庭个数为：（个， ，即； 故答案为：50，20；·············4分 （2）出现了16次，出现的次数最多， 这组数据的众数是6， 将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6， 这组数据的中位数是；·············8分 （3）建议：可用淘米水浇花等（答案不唯一）．·············10分 15． 【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场价格为元， 根据题意，得， 解得； 经检验，是原方程的根， 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．·············3分 （2）解：设最多可以购买m捆A种菜苗，则购买B种菜苗为捆， 根据题意，得， 解得, 又m是正整数， 故最多可以购买50捆．·············6分 （3）解：设最多可以购买m捆A种菜苗，则购买B种菜苗为捆，本次购买一共花费W元,根据题意，得， 根据一次函数的性质,得随m的增大而减小， ∴当时，费用最低，此时费用为， 答：最低费用为2250元．·············8分 16． 【详解】（1）证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点，则， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线．·············5分 （2）解：如图，连接，过作，垂足为． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得， 设的半径为，则． 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴，． ∴． ∴．·············11分 17． 【详解】（1）四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是；·············4分 （2）①证明：延长交于， 设菱形的边长为，则，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ；·············8分 ②解：过作交的延长线于， ，， ， ，， ， ， 由①知，， ， ．·············12分 18． 【详解】（1）解：当时，，∴， 将A、B、C分别代入 得， 解得： ， ∴解析式为：；·············4分 （2）解：①如图1，过点作轴于，交于点， ∵， ∴， 将点代入得：， 解得：， ∴直线表达式为：， 设点，， ， 轴， ， ， ， ， ， ，即：， ， 解得：，， 点为直线上方抛物线上的点， 的坐标为或；·············8分 ②存在点，使得，理由如下： 如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点， ， ， ， 在中，，， ， ， 设点， 则，， ， 解得：， 点的坐标为； 存在点，使得，此时点．·············13分 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试（内蒙古卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题6分，共18分） 9._________________ 10．___________________ 11. __________________ 12．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（10分） 14. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考第一次模拟考试（内蒙古卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 6分，共 18分） 9._________________ 10．___________________ 11. __________________ 12．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 6个小题，共 64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（10分） 14. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （13分） 2025年中考第一次模拟考试（内蒙古卷） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列实数中最大的是（　　） A． B． C． D． 2．初见乍惊欢，久处仍怦然．你，见与不见，老师们就在那里，对你们的爱，只增不减．北京时间2月25日晚，2024年世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山落下帷幕．中国男、女队双双登顶，分别夺取11连冠和6连冠．图①是乒乓球男团颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（    ）． A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值为（    ） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形中，，点在轴上，反比例函数经过点，与交于点，连接．若，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9．已知，是关于的一元二次方程两个实数根，则 ． 10．如图，已知，半圆的直径，为圆心，点是半圆上的一点，将沿直线折叠后的弧经过圆心，则图中阴影部分的面积是 ． 11．已知：如图，在中，，，．将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段的长度为 ． 12．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（10分）（1）计算：； （2）化简． 14．（10分）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的家庭有 个，图1中m的值为 ； (2)求这组月均用水量数据的众数和中位数； (3)请你给这个社区的居民提出一条节约用水的具体建议． 15．（8分）教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格； (2)学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．求最多可以买多少捆A种菜苗； (3)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 16．（11分）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，取的中点，连接．若，，求的长． 17．（12分）如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，是上一点． (1)如图1，连接，当，，时，求的度数； (2)如图2，连接，与相交于点．且，，． ①求证：； ②若，，求的长． 18．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，与x轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)为直线上方抛物线上一动点． ①连接交于点，若，求点D的坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（内蒙古卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列实数中最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，绝对值，关键是掌握比较大小的法则．先化简各数，然后再进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， 所以最大的数是， 故选：A． 2．初见乍惊欢，久处仍怦然．你，见与不见，老师们就在那里，对你们的爱，只增不减．北京时间2月25日晚，2024年世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山落下帷幕．中国男、女队双双登顶，分别夺取11连冠和6连冠．图①是乒乓球男团颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了主视图的定义，掌握主视图是从几何体正面观察到的视图成为解题的关键． 根据主视图的定义即可解答． 【详解】解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的，三个长方形，右边最低，中间最高， 故选：B． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算法则分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 4．如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质以及平角的定义，理解并掌握平行线的性质是解题的关键． 如下图，根据平行线的性质可得，由题意知，再根据平角的定义即可求解． 【详解】解：如图， ， ， 由题意知， ， 故选：B． 5．在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个区域面积比估计概率计算即可． 【详解】解：落在，，三个区域中的豆子数的比等于，，的面积比． “豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值， 故选：A． 6．若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式组，依据不等式组的解集为列出关于的不等式是解题的关键．先求得不等式的解集，然后依据不等式组的解集为可判断出的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得：． 不等式组的解集为， ． 解得：． 故选：D 7．如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合．由题得：，，，根据勾股定理求出，，进而求出，即可求解． 【详解】解：由题得，，，， ，， ，， 在中，， 则， 故选：C． 8．如图，四边形中，，点在轴上，反比例函数经过点，与交于点，连接．若，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，过作于，由，得到，，设．则，，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴，． 设．则，． ∵， ∴． 则． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴．即． 故选C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9．已知，是关于的一元二次方程两个实数根，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由，是关于的一元二次方程两个实数根，得，，而，再代入求值即可． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：2． 10．如图，已知，半圆的直径，为圆心，点是半圆上的一点，将沿直线折叠后的弧经过圆心，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了扇形面积的计算，过点O作于点D，交于点E，连接，则可判断点O为的中点，由折叠的性质可得，在中求出，继而得出，求出扇形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：过点O作于点D，交于点E，连接，则点E是的中点，    由折叠的性质可得点O为的中点， ∴， 在中，， ∴, ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．已知：如图，在中，，，．将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．先在直角中利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，然后根据旋转的性质得到cm,那么； 【详解】∵在中，，，． ∴， ∵点D为的中点， ∴． ∵将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处， ∴， ∴． 故答案为：． 12．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 【答案】①②③ 【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键． 【详解】解：如图1，中，，，平分， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，， ， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图2，中，，，， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，，则， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图，连接、、、、， 五边形为正五边形，， ， ， ，故①正确； 易证：，， 和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ，故②正确； 由题得和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ， ， ，故③正确； 在中，，， 由图1得：， 即：，故④错误， 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（1）计算：； （2）化简． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查了三角函数，立方根，零指数幂，分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先算三角函数，立方根，零指数幂，再算加减即可解答； （2）先因式分解，再算除法，最后加减即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ． 14．某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的家庭有 个，图1中m的值为 ； (2)求这组月均用水量数据的众数和中位数； (3)请你给这个社区的居民提出一条节约用水的具体建议． 【答案】(1)50，20 (2)众数是6，中位数是6 (3)可用淘米水浇花等（答案不唯一）． 【分析】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握中位数和众数的计算方法． （1）根据每月用水的户数和所占的百分比即可得出接受调查的家庭个数，再用每月用水的户数除以总户数，即可得出的值； （2）根据众数和中位数的定义即可求解； （3）从一水多用角度考虑（答案不唯一）． 【详解】（1）本次接受调查的家庭个数为：（个， ，即； 故答案为：50，20； （2）出现了16次，出现的次数最多， 这组数据的众数是6， 将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6， 这组数据的中位数是； （3）建议：可用淘米水浇花等（答案不唯一）． 15．教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格； (2)学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．求最多可以买多少捆A种菜苗； (3)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】(1)20元 (2)50 (3)2250元 【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场价格为元，根据题意，得，解得． （2）设最多可以购买m捆A种菜苗，则购买B种菜苗为捆，根据题意，得，结合m是正整数，解答即可． （3）设最多可以购买m捆A种菜苗，则购买B种菜苗为捆，本次购买一共花费W元,根据题意，得，结合一次函数的性质,随m的增大而减小，确定当时，费用最低，此时费用为2250元． 本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握三种应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场价格为元， 根据题意，得， 解得； 经检验，是原方程的根， 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． （2）解：设最多可以购买m捆A种菜苗，则购买B种菜苗为捆， 根据题意，得， 解得, 又m是正整数， 故最多可以购买50捆． （3）解：设最多可以购买m捆A种菜苗，则购买B种菜苗为捆，本次购买一共花费W元,根据题意，得， 根据一次函数的性质,得随m的增大而减小， ∴当时，费用最低，此时费用为， 答：最低费用为2250元． 16．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，取的中点，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）连接，过作，垂足为．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点，则， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线． （2）解：如图，连接，过作，垂足为． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得， 设的半径为，则． 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 17．如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，是上一点． (1)如图1，连接，当，，时，求的度数； (2)如图2，连接，与相交于点．且，，． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)的度数是 (2)见解析； 【分析】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论； （2）①延长交于，设菱形的边长为，则，，求得，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形中位线定理得到； ②过作交的延长线于，根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是； （2）①证明：延长交于， 设菱形的边长为，则，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ； ②解：过作交的延长线于， ，， ， ，， ， ， 由①知，， ， ． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，与x轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)为直线上方抛物线上一动点． ①连接交于点，若，求点D的坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）令代入中可得点的坐标，再利用待定系数法求抛物线的函数解析式； （2）①过点作轴于，交于点，证明，设点，，根据相似三角形性质建立方程求解即可； ②过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，先证明，然后设点，应用三角函数定义建立方程求解． 【详解】（1）解：当时，，∴， 将A、B、C分别代入 得， 解得： ， ∴解析式为：； （2）解：①如图1，过点作轴于，交于点， ∵， ∴， 将点代入得：， 解得：， ∴直线表达式为：， 设点，， ， 轴， ， ， ， ， ， ，即：， ， 解得：，， 点为直线上方抛物线上的点， 的坐标为或； ②存在点，使得，理由如下： 如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点， ， ， ， 在中，，， ， ， 设点， 则，， ， 解得：， 点的坐标为； 存在点，使得，此时点． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$