第七章 复数单元测试卷（能力篇）-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数单元测试卷（能力篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 3．已知复数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．若复数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 5．设，则z在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若复数是方程的一个根，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 7．在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 8．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则（   ）． A． B． C． D．是方程的根 10．已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A．为实数 B． C．若，则 D． 11．已知为复数，则下列说法正确的是（   ） A． B．，则 C．若，则或 D．若，则的最大值为3 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若复数，则 ． 13．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i为虚数单位）为“等部复数”，则实数a的值为 14．在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式：（1）；（2）；（3）；（4）.其中恒成立的等式的个数是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 16．（15分） （1）计算：； （2）已知，求复数z． 17．（15分） 已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 18．（17分） 在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 19．（17分） 材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数单元测试卷（能力篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由题意可得：， 所以z在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 2．复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，， ∴. 故选：B. 3．已知复数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则，解得. 故选：D. 4．若复数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设，由，则， 整理可得， 可得，解得，则， 所以. 故选：D 5．设，则z在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为，所以， 其在复平面内所对应的点位于第四象限. 故选：D. 6．若复数是方程的一个根，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解析】∵是方程的一个根，则也是该方程的一个根， ∴，则，所以． 故选：B 7．在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ，，， 故选：C． 8．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，由可得列值，，，…不合题意，故A错误； 对B，由可得列值，，，…不满足题意，故B错误； 对C，由可得列值，，，…不满足题意，故C错误； 对D，由可得列值… 因为， 存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确； 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则（   ）． A． B． C． D．是方程的根 【答案】ABD 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，是方程的根，D正确. 故选：ABD. 10．已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A．为实数 B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，设复数，则， 则，为实数，故A正确； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误； 对于D，，则 ， ，则 ， 则，故D正确. 故选：ABD. 11．已知为复数，则下列说法正确的是（   ） A． B．，则 C．若，则或 D．若，则的最大值为3 【答案】ACD 【解析】设，，则，， 对于选项A：因为，， 所以，故A正确； 对于选项B：例如，，则， 但不成立，故B错误； 对于选项C：若，则， 则或，所以或，故C正确； 对于选项D：设复数在复平面内对应的点分别为， 因为，可知点的轨迹是以点A为圆心，半径为1的圆， 则，当且仅当点A在线段上时，等号成立， 所以的最大值为3，故D正确； 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若复数，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为： 13．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i为虚数单位）为“等部复数”，则实数a的值为 【答案】 【解析】， 复数为“等部复数”， ， 故答案为：． 14．在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式：（1）；（2）；（3）；（4）.其中恒成立的等式的个数是 【答案】2 【解析】对于（1），取，则，，显然，（1）错； 对于（2），设，， 则， 所以， ，（2）对； 对于（3），由平面向量数量积的定义可得，（3）对； 对于（4），因为，则， 所以，，（4）错. 故恒成立的等式有（2）、（3）共2个. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 【解析】（1）复数的实部为， 虚部为． 由题意得，解得或4． （2）由题意，，或． 16．（15分） （1）计算：； （2）已知，求复数z． 【解析】（1） ； （2）设，由得，，即， 所以，解得或， 所以或. 17．（15分） 已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 【解析】（1）若的实部与虚部相等，则 ，化简可得：，即，， . （2），， 代入方程可得：，即， 则，解得：. 18．（17分） 在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 【解析】（1）设，， 所以，， 因为，，所以，且， 所以是实数； （2）设，则， 因为，， 所以，所以①， 又， 所以②， 联立①②，解得，， 所以； （3）因为，设， 则， 因为，所以， 所以，. 19．（17分） 材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 【解析】（1）由阅读材料可知：，且， 有：； （2）由材料可知：一元四次方程可改写为展开得： ， 故可得：. （3）由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为, 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$