高一下学期第一次月考数学试卷（提高篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（提高篇） 【人教A版（2019）】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第二册第六章、第七章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 2．（5分）已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 5．（5分）直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 6．（5分）在△中，内角的对边分别为，已知向量 共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 7．（5分）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 8．（5分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知为复数，则下列说法正确的是（   ） A． B．，则 C．若，则或 D．若，则的最大值为3 10．（6分）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 11．（6分）在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知向量的夹角为，则 . 13．（5分）复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 14．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为 (≈1.732)            . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 16．（15分）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 17．（15分）设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值. 18．（17分）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 19．（17分）在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． (1)若，求的值； (2)在（1）条件下，求的最小值； (3)若，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 【解题思路】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断. 【解答过程】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：A. 2．（5分）已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据共轭复数的概念及复数的基本运算化简，再应用复数相等得出参数，最后应用复数的几何意义得出点的象限． 【解答过程】由题意，得， ， 解得， 在复平面内对应的点为在第三象限． 故选:C． 3．（5分）在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，其中，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中， 即， 所以，， 又因为，则，，其中、均为正数， 且有， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故则的最小值是. 故选：A. 4．（5分）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【解答过程】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B. 5．（5分）直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】建立直角坐标系，分类讨论在边上运动时的取值范围，从而得解. 【解答过程】依题意，建立直角坐标系，如图，    则， 当在边上运动时，记， 则， 所以，则； 当在边上运动时，记， 则，所以，则； 当在边上运动时，记， 则， 所以，则； 综上：. 故选：A. 6．（5分）在△中，内角的对边分别为，已知向量 共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】由向量，共线可得，利用正弦定理结合倍角公式分析可得，同理可得，即可判断结果. 【解答过程】因为向量，共线， 则，由正弦定理可得：， 则， 因为，则，可知，，，均不为， 可得，则，即； 同理由向量，共线可得：； 综上所述：. 所以的形状为等边三角形. 故选：A. 7．（5分）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【解题思路】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解答过程】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D. 8．（5分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得. 【解答过程】在锐角，由余弦定理可知， 由面积公式可得，代入到已知条件可得 ， 因为，化简可得， 根据恒等变换可得，因为锐角， 所以，所以可得， 所以， 则， 因为锐角，所以， 则，在单调递增， 则，令，所以， 所以，由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增， 当时，是极小值，当或时，最大值， 则. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知为复数，则下列说法正确的是（   ） A． B．，则 C．若，则或 D．若，则的最大值为3 【解题思路】对于A：根据共轭复数的定义结合复数运算分析判断；对于B：举反例说明即可；对于C：根据模长性质分析判断；对于D：根据复数的几何意义分析可知点的轨迹是以点A为圆心，半径为1的圆，结合圆的性质分析判断. 【解答过程】设，，则，， 对于选项A：因为，， 所以，故A正确； 对于选项B：例如，，则， 但不成立，故B错误； 对于选项C：若，则， 则或，所以或，故C正确； 对于选项D：设复数在复平面内对应的点分别为， 因为，可知点的轨迹是以点A为圆心，半径为1的圆， 则，当且仅当点A在线段上时，等号成立， 所以的最大值为3，故D正确； 故选：ACD． 10．（6分）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 【解题思路】先利用向量的线性运算判断AC，再利用三点共线得到，进而利用基本不等式与“1”的妙用即可得解. 【解答过程】如图所示，因为，则，即， 所以，故A错误； 又因为， 所以，故C正确； 因为三点共线，则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误； 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确. 故选：BC. 11．（6分）在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的取值范围是 【解题思路】利用正弦定理角化边得，结合余弦定理和二倍角公式可得，可判断A；根据三个角为锐角列不等式组求解可判断B；利用商数关系和和差公式，结合化简，运用基本不等式可判断C；边化角，利用二倍角和三倍角公式化简，结合角范围可判断D. 【解答过程】对A，由正弦定理角化边得， 由余弦定理有， ， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，所以，A正确； 对B，由上知，， 因为为锐角三角形，，解得， 所以，B正确； 对C， ， 当时，得， 因为，，所以等号不成立，C错误； 对D， ， 因为，所以， 所以，所以， 即，D错误. 故选：AB. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知向量的夹角为，则 . 【解题思路】利用向量的数量积的定义，求得，再根据，即可求解. 【解答过程】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 13．（5分）复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 8 ． 【解题思路】令，，且，结合条件求参数，进而确定的位置关系及模长，即可求的面积. 【解答过程】令，，且， 由，则，即，故①， 由两点，连线的中点对应的复数为，则，即②， 联立①②，可得，且，即，， 由，即，故为直角三角形， 又，，故的面积为. 故答案为：8. 14．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为 373 (≈1.732)            . 【解题思路】过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′，进而AA′－CC′＝AD＋100，易知AD＝DB=A′B′，在△BCH中，求得CH=，进而C′B′＝，在△A′B′C′中，用正弦定理即可求得A′B′的长，进而可知AA′－CC′的长. 【解答过程】如图，过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′， 故AA′－CC′＝AA′－(BB′－BH)＝AA′－BB′＋100＝AD＋100， 由题易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD＝DB． 所以AA′－CC′＝DB＋100＝A′B′＋100. 因为∠BCH＝15°，所以CH＝C′B′＝. 在△A′B′C′中，由正弦定理得， ＝＝＝， 而sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝， 所以A′B′＝＝100(＋1)≈273， 所以AA′－CC′＝A′B′＋100≈373. 故答案为：373. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【解题思路】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值. 【解答过程】（1）由，为实数，则为实数，      所以，即，，             所以. （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以，          又为实系数方程的根， 则， 所以，，       又，所以. 16．（15分）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 17．（15分）设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值. 【解题思路】（1）设，借助复数运算法则及复数模长公式计算即可得解； （2）结合（1）中所得计算可得的实部为零，即可得证； （3）结合（1）、（2）中所得，化简计算后结合基本不等式即可得. 【解答过程】（1）设， 则 因为是实数，所以，即， 因为，所以，即，且， 由，得，解得， 即的实部的取值范围为； （2）∵， ， 因为，， 所以为纯虚数； （3） ， 由， 故， 当且仅当，即时，取最小值1． 18．（17分）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【解题思路】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【解答过程】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 19．（17分）在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． (1)若，求的值； (2)在（1）条件下，求的最小值； (3)若，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，求得，再由向量的线性运算法则，求得，得到为的外心，结合正弦定理，即可求得的长． （2）由（1）求得，且，根据向量的运算法则，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解； （3）取AB的中点D，连接OD，求得，，由向量数量积的定义得到，结合题意，得到和，联立方程组，求得，化简得到，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为， 由正弦定理得, 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 又由， 可得， 解得，即，所以为的外心， 由正弦定理有，所以． （2）解：因为，所以，所以，， 所以，外接圆的半径， 其中，且为锐角，故， 由，可得， 因为，解得，即 则，则，且， 因为余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，， 所以，，所以， 所以． （3）解：如图所示：取AB的中点D，连接OD，则， 所以， 同理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，所以，， 即，所以，① ，即， 所以，②． 联立①②可得，， 所以， 又因为， 因为，可得，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$