精品解析：河北省泊头市第一中学2025届高三下学期2月月考数学试题

2024-2025高三省级联测考试 数学试卷 班级________姓名________ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确集合中的元素，根据交集，可得答案. 【详解】集合，，所以. 故选：C. 2. 已知复数z满足，则的最大值为（ ） A 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出最大值. 【详解】在复平面内，z与对应的点，关于x轴对称， 而满足条件的点的集合是以为圆心，2为半径的圆，该圆关于x轴对称， 因此，由复数的几何意义知表示点与点的距离， 又圆上的点到的距离最大值为5， 所以的最大值为5. 故选：B 3. 已知且，定义在上的函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式以及可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为且，且，则， 则，所以，，即， 解得或（舍）， 故选：A. 4. 已知长方体中，，，则该长方体的外接球球心到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据长方体的外接球直径是其体对角线，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】长方体的外接球直径是其体对角线，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 又，所以该长方体的外接球球心到平面的距离. 故选：B. 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为，第二次正面向上的点数为b，记事件“a为奇数”，事件“”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求与，利用条件概率计算公式进行计算即可. 【详解】试验的样本点用表示，则满足的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，所以. 又其中为奇数的有9个，即. 所以. 故选：D. 6. 已知函数是奇函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数求得，再由两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式化简得到即可求解； 【详解】∵函数是奇函数，∴，即， ∴或， 又，分别令，，， 解得或或， 经检验，当时，函数是奇函数， ∴， 当，时取等号. 故选：A. 7. 在三棱柱中，底面，E是的中点，，点F在上，且，则平面截该三棱柱所得大、小两部分的体积比为（ ） A. 9：1 B. 10：1 C. 11：1 D. 12：1 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点D，通过三角形，确定为中点，再由体积公式求解即可； 【详解】 如图，延长交于点D，∵， 由底面，易知, 所以， 所以，又， ∴，∴，∴， ∴D是的中点，又∵E是的中点，平面， ∴， ∴平面即平面截该三棱柱所得大、小两部分的体积比为11：1， 故选：C. 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与椭圆C在第一象限交于点M，若，则椭圆C的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得，再结合直线的倾斜角表示出点坐标，根据点在椭圆上，可得关于的齐次式，整理可得椭圆的离心率. 【详解】如图： ∵，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴，设直线的倾斜角为，， 则，则，， 则，， 将点M的坐标代入椭圆方程，整理得， 解得或（舍），∴. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题給出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是不共线单位向量，其夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 存，使得 D. 存在，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量平行的条件对比系数发现矛盾判断A，利用向量垂直的条件求解参数判断B，利用特值法求解C，D即可. 【详解】对于A，若，则， 得到，对照系数得，，显然不成立，故A错误， 对于B，若，则，得到， 即，而，是不共线的单位向量， 故，得到，解得，故B正确， 对于C，当时，，， 显然满足，故C正确， 对于D，当时，，， 则，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，，函数，，则（ ） A. 函数与的图象有相同的对称轴 B. 函数与的图象有相同的对称中心 C. 函数与的图象关于直线对称 D. 函数与有相同的单调区间但单调性相反 【答案】ACD 【解析】 【分析】把两个函数化成同名三角函数，再根据三角函数的图象和性质逐项进行判断. 【详解】对A：，由函数和的图象可知，函数与的图象有相同的对称轴，A正确； 对B：因为函数对称中心的纵坐标为，函数的对称中心的纵坐标为，且，所以函数与图象的对称中心不同，故B不正确； 对C：由A可知，，函数与的图象关于直线对称，故C正确； 对D：因为，，由与的图象可知，函数与有相同的单调区间但单调性相反.故D正确. 故选：ACD 11. 设，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由，通过函数是增函数可判断；对于B，由在上单调递增可判断；对于C，由，结合的单调性可判断，对于D，由的单调性可判断； 【详解】令，， 由，可得：，由，可得：， 可得单调递减，在单调递增， 所以，即； 对于A，∵，∴，而函数是增函数，∴，故A正确； 对于B，当时，令函数，则， ∴函数在上单调递增，由，可得， ∴，故B正确； 对于C，由，可得，即， 可得：，∴，即， 而函数，求得在有正有负， 所以在上不是增函数，故C不正确； 对于D，，即， 易知函数在上是增函数，∴，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】求确定切点，求导，求得切线斜率，利用点斜式可得切线方程. 【详解】由题意得，当时，，， ∴切线方程为. 故答案为： 13. 已知直线与抛物线只有一个交点P，且点P与抛物线的焦点F的连线垂直于x轴，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意设出两点的坐标，明确其等量关系，联立直线与抛物线方程，由题意可得根的判别式为零，利用配方法，可得答案. 【详解】由题知，设，， ，. 联立，整理得， 则且，∴且， 故. 故答案为：. 14. 在棱长均相等的直三棱柱中，甲，乙两人各从六个顶点中任意选取两个连成直线，这两条直线的夹角为45°的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定所得两条直线夹角为的选法数，再确定甲、乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线的所有结果的个数，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】如图，夹角为的两条直线只能是侧面的一条对角线和这个侧面的四条边或是另一条侧棱， 例如直线与直线，，，，的夹角均为， 其中面对角线有6条，共对， 甲，乙两人的所有取法为，故其概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等差数列与公比为q的等比数列，的前n项和，. （1）求，的通项公式； （2）证明：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据前项和与数列第项之间的关系，可得方程，求得公比，由首项的等量关系，可得答案； （2）利用错位相减，可得答案. 【小问1详解】 当时，， 当时，， ∵也适合，∴，解得， ∴，又为正项等差数列，∴，∴ ∴，∵，∴. 【小问2详解】 设， ∴， ∴ ， ∴，即. 16. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若是函数唯一的极值点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时时,求得函数定义域,然后求导,在定义域上研究导函数的正负,即可求得函数的单调区间; （2）由 是函数的唯一极值点,转化为是唯一变号零点,结合导函数解析式,转化为恒成立问题,求得a的取值范围. 【小问1详解】 当时,,其定义域为, 则. 设,则, 当时,;当时,, ∴,∴,∴. ∴当时,;当时,. 因此,函数的单调递增区间为,单调递减区间为. 【小问2详解】 , ∵是函数唯一的极值点, ∴当时,恒成立或恒成立, 即或恒成立, 当时,恒成立，则恒成立，即, 令，则， 当时,，当时,, 所以在上单调递减，在上单调递增， 当趋向于时，函数， 当趋近正无穷大时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，所以, 所以函数不存在最大值，故时，不恒成立; 当时，恒成立，即， 由上分析知：在处取得最小值， ∴，即实数a的取值范围是. 故实数a的取值范围是. 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）若的面积，求角A； （2）若，的面积，求的外接圆的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理和三角形的面积公式，可求角的值. （2）作边上的高，利用（1）中的结论结合两角和的正切公式，可求边，再利用可求三角形外接圆的半径，进而求外接圆的面积. 【小问1详解】 由余弦定理得， ∴，∴. 又， ∵，∴. 【小问2详解】 设边上的高为， 如图： 由（1）知，则， ∴，， ，解得， ∴，∴， 由，得， 设的外接圆半径为R， 则，得，故的外接圆的面积为. 18. 已知双曲线（，）的离心率，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）动直线与交于，两点，若，求点到直线的距离的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，可得，将点代入，可求得，，进而可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，根据，结合韦达定理，可求得直线斜率的取值范围，进而可得点到直线的距离的取值范围. 【小问1详解】 ∵，∴，∴， ∴的方程可化为，将代入，解得，则， ∴双曲线的方程为. 【小问2详解】 设，， 将方程代入中，整理得， ，且，即， ∴，， ， 即， 即， 整理得， 即， 即， ∴或， 当时，直线l过A点，不符合题意， ∴， ∵，∴，解得， ∴点A到直线l的距离， ∵，∴点A到直线l的距离，∴. 19. 设A是一个整数集，若是A的子集，且，，，，且，则称集合是集合A的一个划分.定义，，正整数k使集合划分成，，，且使，，中各集合的所有元素之和都相等，称为划分. （1）求划分； （2）证明：集合可以划分； （3）若，，集合A能划分的概率为，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，根据划分的定义，列举出符合题意的子集，可得答案； （2）由（1）的结论，可得前九个元素符合划分，由题意中求和相等，直接均分余下的项，可得答案； （3）根据求和相同，结合二项式定理，建立方程，列举所有情况，可得答案. 【小问1详解】 时，，不妨取，，. 【小问2详解】 由题知，此时，.由（1）知可以划分. 对集合，∵，， 集合中的元素按如下排列 每行有672个数，且它们每行的前偶数个数的和相等， ∴集合可以划分. 【小问3详解】 ∵划分使，，中各集合的所有元素之和都相等， ∴A中所有元素之和必能被3整除. 设W表示A中所有元素之和. ∵ ， 设，∴， ∴3能整除，∴3能整除或3能整除，∴或. 当时，集合A中的元素的个数为，此时集合A不能被划分. 当时，集合A中的元素的个数为3n，能被3整除，但当时，A不能被划分. 对整数而言，，，各占，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高三省级联测考试 数学试卷 班级________姓名________ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则的最大值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 已知且，定义在上的函数，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知长方体中，，，则该长方体外接球球心到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 1 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为，第二次正面向上的点数为b，记事件“a为奇数”，事件“”，则（ ） A B. C. D. 6. 已知函数是奇函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱柱中，底面，E是的中点，，点F在上，且，则平面截该三棱柱所得大、小两部分的体积比为（ ） A. 9：1 B. 10：1 C. 11：1 D. 12：1 8. 已知椭圆左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与椭圆C在第一象限交于点M，若，则椭圆C的离心率（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题給出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是不共线的单位向量，其夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 存在，使得 D. 存在，使得 10. 已知，，函数，，则（ ） A. 函数与的图象有相同的对称轴 B. 函数与的图象有相同的对称中心 C. 函数与的图象关于直线对称 D. 函数与有相同的单调区间但单调性相反 11. 设，，则下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为________. 13. 已知直线与抛物线只有一个交点P，且点P与抛物线的焦点F的连线垂直于x轴，则________. 14. 在棱长均相等的直三棱柱中，甲，乙两人各从六个顶点中任意选取两个连成直线，这两条直线的夹角为45°的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等差数列与公比为q的等比数列，的前n项和，. （1）求，的通项公式； （2）证明：. 16. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若是函数唯一极值点，求实数a的取值范围. 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）若的面积，求角A； （2）若，的面积，求的外接圆的面积. 18. 已知双曲线（，）的离心率，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）动直线与交于，两点，若，求点到直线的距离的取值范围. 19. 设A是一个整数集，若是A的子集，且，，，，且，则称集合是集合A的一个划分.定义，，正整数k使集合划分成，，，且使，，中各集合的所有元素之和都相等，称为划分. （1）求划分； （2）证明：集合可以划分； （3）若，，集合A能划分的概率为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$