四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高一下学期7月期末定时练习数学试题

**基本信息** 字节精准教育联盟2026年春季高二期末数学卷，AI赋能精准测评，通过基础题（如中位数计算、向量基底判断）与综合题（如折叠问题、航天统计）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|概率（互斥对立事件）、立体几何（正方体线面角）等|基础题占比高（如第1题中位数），多选题（如第9题复数）考查辨析能力| |填空题|3题15分|独立事件概率、四面体外接球体积、三角函数最值|第14题结合正余弦定理与基本不等式，考查数学思维| |解答题|5题77分|概率（面试通过）、立体几何（四棱锥线面平行）、统计（航天成绩分析）等|第17题航天统计分析培养数据意识，第18题折叠问题二面角考查空间观念与创新应用|

练习启封前按机密事项保管 SCTB 字节精准教育联盟·2026年春季高2028届期末定时练习 数 学 ZJ-GZ-GA-2028S-G28-QMDSLX AI赋能·精准测评 学生注意： 1. 练习题分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张。 2. 试题卷共4页，答题卡共2面，满分150分，限时120分钟。 3. 答题前，学生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚。 4. 学生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 5. 练习结束后，只交答题卡。 ◈预祝你们学习顺利◈ 一、选择题。本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是正确的。 1．样本数据的中位数是（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 2．已知在△ABC中，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（ ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 4．下列各组向量中，能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知圆台下底面的半径为上底面半径的2倍，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为 A． B． C． D． 6．已知向量，下列叙述错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 7．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 8．已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 二、选择题。本大题共3小题，每小题6分，满分18分。在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，有多项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分。 9．下列说法正确的是（    ） A． B．若是关于的方程的根，则 C．若复数满足，则的最大值和最小值的和为 D．若，则 10．已知正方体的棱长为为棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．平面 D．过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 11．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．B与C互斥 C．A与B相互独立 D．A与D互为对立 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12．已知事件，相互独立，，，则______. 13．在四面体中，为正三角形，平面且，若A，B，C，D均在半径为4的球O的球面上，则四面体的体积为________． 14．已知是的三个内角，则的最小值为___________． 四、解答题：共5小题，满分77分。解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述。 15．（本题13分） 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)若每位面试者都必须回答全部3道题，求甲答对3道题目的概率． (2)若每位面试者都必须回答全部3道题，求乙恰好答对2道题目的概率． (3)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 16．（本题15分） 如图，四棱锥中，，，，为正三角形，且平面平面，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角的大小. 17．（本题15分） 为厚植学生家国情怀，普及航天发展成果．某校组织开展“航天知识挑战赛”、该挑战赛测试成绩满分为100分．为分析全体参赛学生的成绩状况，现随机抽取100名参赛学生的测试成绩作为样本；并将样本数据按照，，，分成4组，对应绘制得到如下所示的样本频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校学生测试成绩的平均数； (2)学校计划给成绩排名前30%的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数（精确到0.1）． 18．（本题17分） 如图，在矩形 中，，， 是线段 上的一动点，将沿着折起，使点 到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影 落在线段 上． (1)当点 与点 重合时，证明：平面； (2)当点 与点 重合时，求二面角的余弦值； (3)设直线与平面所成的角为 ，二面角的平面角为 ，求的最大值． 19．（本题17分） 在中，. (1)求的值； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 试卷第4页，共4页 28数学试题 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 字节精准教育联盟·2026年春季高2028届期末定时练习 数学参考答案与试题解析 ZJ-GZ-GA-2028S-G28-QMDSLX AI赋能·精准测评 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A A B D A D D C BCD BCD ACD 1．A 【难度】0.94 【知识点】计算几个数的中位数 【分析】根据中位数的定义求解即可. 【详解】该组数据共5个，已按从小到大的顺序排列，中位数为排在最中间的数，即第个数，是7， 故选:A. 2．A 【难度】0.83 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【详解】由以及正弦定理得， 故设，则. 3．B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A：当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误； 对于选项B：事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确； 对于选项C：当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，所以C错误； 对于选项D：当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误. 故选：B． 4．D 【难度】0.88 【知识点】基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线 【详解】若两个向量、共线，则有， 而基底要求两个不共线的向量构成， 对于A，零向量与任何向量都共线，因此不能作为基底，故A错误； 对于B，，两向量共线，不能作为基底，故B错误； 对于C，，两向量共线，不能作为基底，故C错误； 对于D，，两向量不共线，可以作为基底，故D正确． 5．A 【难度】0.82 【知识点】求组合体的体积、台体体积的有关计算、圆台的结构特征辨析 【详解】设圆台上底半径为，下底半径为，母线长，高， 则，即，解得，则， 故圆台体积为：． 6．D 【难度】0.75 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】根据向量数乘及减法运算的坐标表示判断A；根据向量垂直的坐标表示判断B；根据向量平行的坐标表示判断C；根据投影向量的计算公式判断D. 【详解】对于A：若，则，所以，A正确. 对于B：， 若，则，即， 整理得，解得，B正确. 对于C：若，则，即，解得，C正确. 对于D：若，则， 则在上的投影向量为，D错误. 7．D 【难度】0.8 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】计算甲中奖的概率，直接利用古典概型，乙中奖的情况，全概率公式，丙中奖的情况用全概率公式分多种情况计算. 【详解】计算甲中奖概率：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此； 计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况： 甲中奖后乙中奖：概率为； 甲未中奖后乙中奖：概率为； ； 计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况： 甲中、乙中、丙中：； 甲中、乙不中、丙中：； 甲不中、乙中、丙中：； 甲不中、乙不中、丙中：； ； 因此. 8．C 【难度】0.76 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】利用条件先求出，再由向量数量积的定义即可求得两向量的夹角. 【详解】由可得，解得， 又由可得， 因，则，即与的夹角为. 9．BCD 【难度】0.65 【知识点】复数范围内方程的根、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的基本概念、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数定义，可以判断A选项；根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根与系数关系，可以判断B选项；根据复数的几何意义可以判断对应的图形为圆，根据点到圆的距离可以判断C选项；根据复数的乘法运算可判断D选项. 【详解】对于A，复数包括实数和虚数，实数可以比较大小，虚数不可以比较大小，故A错误. 对于B，若是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，因此,故B正确. 对于C，设，若复数满足，则有， 所以在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 的几何意义为圆上点到原点的距离，，， 所以，故C正确. 对于D，由可得，，则， 因此，故D正确. 10．BCD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、求异面直线所成的角、证明线面垂直、求线面角 【分析】A，求即可；B，求即可；C，先求证平面，得出，再同理可得，利用线面垂直的判定定理即可求证；D，作出过点且与平面平行的截面即可. 【详解】如图，对于A，在正方体中， ， 故直线与所成的角即为直线与所成的角，即或其补角， 在中，，则不为，故A错误； 对于B，因为平面，所以直线与平面所成角为， 则，故B正确； 对于C，连接，则， 又平面平面，所以， 又，平面，故平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为平面，故平面，故C正确； 对于D，由C选项可知平面， 故过点且与垂直的平面截正方体所得截面与平面平行. 设的中点分别为，，依次连接， 则，，， 且，， 可得六边形为正六边形， 而 平面平面，故平面. 同理可证平面， 又平面，故平面平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为六边形，边长为， 其面积为，D正确. 故选：BCD. 11．ACD 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D． 【详解】设2个白球为，，2个黑球为， 则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共8个基本事件， 对于A，由，故A正确； 对于B，因为， 所以事件B与C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，， 则， 故事件A与B相互独立，故C正确； 对于D，因为，， 所以事件A与D互为对立，故D正确. 12． 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、概率的基本性质 【详解】由题设 13．/ 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】由题作出图象，结合外接球半径求出，从而可求解. 【详解】由题作出图象，如图，由为正三角形，则为的外接圆圆心， 且外接圆半径， 因，，，都在同一外接球上，则设外接球半径为， 因为平面取中点为，过作，且使， 连接，则可得四边形是矩形，则点即为外接球球心， 则，即， 所以，则. 故答案为：. 14． 【难度】0.3 【知识点】正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理和余弦定理进行边角转化，再结合基本不等式和换元法即可得出最小值． 【详解】由正弦定理得， 故， 故， 又由余弦定理及基本不等式得， 故， 故 令，则 ， 当，即时等号成立， 故原式的最小值为． 15． 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据事件的相互独立性即可求解； （2）根据事件的相互独立性，分三种情况，即可求解； （3）根据事件的相互独立性，可先求得甲通过面试和乙通过面试的概率，则甲、乙两人只有一人通过面试的概率分为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过两种情况，分别求解即可. 【解】（1）设“甲答对道题目”为事件， 因为甲答对每道题目的概率都是，且对抽到的不同题目能否答对是独立的， 所以； （2）设“乙恰好答对道题目”为事件， 又乙答对每道题目的概率都是，且对抽到的不同题目能否答对是独立的， 所以 ； （3）设“甲通过面试”为事件，“乙通过面试”为事件，且与相互独立， 所以， ， 设“甲、乙两人只有一人通过面试”为事件，则， 因为与互斥，与，与分别相互独立， 所以 ， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率. 16． 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、求线面角 【分析】（1）取侧棱的中点，连结，可证四边形为平行四边形，可得，从而问题得证； （2）取的中点，连结，可由条件证得即为所求，再解即可得答案. 详解】（1）证明：取侧棱的中点，连结， 因为为的中点，所以，且， 又，且 所以，且，即四边形为平行四边形， 从而，且平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，连结， 因为为正三角形，所以； 又平面平面，平面平面， 所以平面，从而为在平面内的射影， 所以为直线与平面所成的角. 设，则， 所以， 由已知得：，所以， 在中，， 所以，又为锐角， 所以，即直线与平面所成的角为. 17． 【难度】0.7 【知识点】补全频率分布直方图、总体百分位数的估计、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质 求，再利用各组中值乘以对应频率之和估计平均数； （2）确定前对应的分位数位置，根据频率比例计算具体分数即可. 【解】（1）由频率分布直方图性质可知， ，解得. 则各组频率分别为：的频率为， 的频率为， 的频率为 ， 的频率为 . 估计该校学生测试成绩的平均数为： （分）. （2）学校计划给成绩排名前的学生颁发优秀奖，即寻找第百分位数，使得成绩低于该分数的频率为. 由（1）可知，成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 所以获奖学生的最低分数位于区间 内. 设获奖学生的最低分数为，则，即，解得，所以. 故估计获奖学生的最低分数为 分. 18． 【难度】0.32 【知识点】由线面角的大小求值、由二面角大小求线线角或线面角、求二面角、证明线面垂直 【分析】（1）通过证明和，证明平面； (2) 作于点，连接，证明为二面角的平面角，分别求出，借助于即可求得该角的余弦值； （3）由几何法找到 和，表示出，利用函数方法可求最大值. 【解】（1）证明：当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知平面 ，平面 ，所以， 又 ，，平面，平面， 所以平面，又平面，可知 ，平面，平面， 所以平面. （2）作于点，连接，因平面，平面，则， 又平面，则平面，又平面，则， 故为二面角的平面角. 在中，，，则，则，， 在中，易得，则， 在中，， 即二面角的余弦值为. （3）作交于 ，所以直线 与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 作于点，连接，因平面，平面，则， 又平面，则平面，又平面，所以平面平面， 作，垂足为，平面平面，平面，可得 平面， 连接，是直线 与平面所成的角，即， 因为，满足， 设，，， 因为在中，斜边大于直角边，即，即，解得， 又，在中，由等面积得， 因， 又因，，所以是二面角平面角，即， 则， 所以，当且仅当时“＝”成立， 故的最大值为. 19． 【难度】0.54 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、基本不等式求和的最小值、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由射影定理直接可得所求角的余弦值，进而可得正弦值； （2）先由余弦定理及基本不等式可得，进而可得周长的最小值； （3）将三角形的面积表示成关于角的三角函数，用函数的性质可得面积的取值范围. 【解】（1）因为在三角形中，由射影定理代入， 得，即，因为，所以. （2）在三角形中，由（1）知， 由余弦定理得 ， 又因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以周长. 因此周长的最小值为. （3）因为是锐角三角形，由（1）知，且，得，， 所以，解得. 又由正弦定理得，所以， ， 因为，所以，因此. 所以面积. 答案第10页，共11页 28数学参考答案与试题解析 第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $