专题03 第10章 三角恒等变换（10大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题03 第10章 三角恒等变换 题型1 两角和与差公式的应用 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若，为锐角，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知角的终边经过点，角为钝角，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高三上·江苏·期末）已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 题型2 利用降幂公式化简 1．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·河南·阶段练习）若 则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，则的最小值为 ． 5．（24-25高一·全国·课后作业）化简： . 题型3 利用二倍角公式拼凑角求值 一、单选题 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知，，，，则 . 4．（24-25高一上·青海·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求ω的值． (2)先将的图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）求的单调递增区间； （ⅱ）若，求的值． 5．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数，且． (1)求的值； (2)求的对称中心和单调递减区间； (3)若，，求的值． ． 题型4 拼凑角求角 1．（24-25高一上·山西·期末）若，则 . 2．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）若，且，则 . 3．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）（1）已知，，求，； （2）已知，，求； （3）已知，，且，求的值. 4．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知、为锐角，，． (1)求的值： (2)求的大小． 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆的交点为 (1)求的值及； (2)求； (3)已知，求. 题型5 利用辅助角公式化简求值域（最值） 1．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知，则函数的最小值为 . 3．（2025高三上·北京·专题练习）若在区间上是增函数，则的最大值是 . 4．（24-25高一上·河北石家庄·期末）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. (1)求扇形OMN的面积； (2)若，求矩形ABCD的面积； (3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 5．（24-25高一上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且. (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的取值范围. 题型6 与函数中有关的问题 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的一个零点是，且在上单调，则（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数，，，且在上单调，则的值为 ． 5．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）定义，设函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 题型7 与函数中对称，周期，单调性综合问题 1．（多选）（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．当时，函数的值域为 C．当时，函数的单调递增区间为 D．若，函数在区间内恰有2025个零点，则 2．（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知一组函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．恒成立 C．在上单调递增，在 上单调递减 D．在上单调递减，在 上单调递增 3．（多选）（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心坐标为 C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 D．的一条对称轴为 4．（多选）（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．将图象上点的横坐标变为原来的，得到的函数在上递减 5．（多选）（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有4个零点 D．把的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称 题型8 三角函数中恒成立与能成立问题 1．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求函数的对称中心； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数，且. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将的图象向右平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求不等式的解集. 3．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知向量，，设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)解不等式； (3)若对，都有成立，求实数的取值范围． 4．（23-24高一下·山西·期中）已知函数． (1)求的值； (2)求的对称轴； (3)若方程在区间上恰有两个解，求的取值范围． 5．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）已知函数是定义域上的奇函数． (1)求实数的值； (2)求函数的值域； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 题型9 三角函数中零点有关的问题 1．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数的图象过点和点. (1)求函数的单调递增区间； (2)若的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且图象关于直线对称，求函数与的图象在上的交点个数. 2．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．    (1)求函数的解析式，并直接写出函数的解析式； (2)若在内恰有2023个零点，求实数与正整数的值． 3．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象．若在区间上有且仅有5个零点，求的取值范围． 4．（15-16高一·江西宜春·期中）已知函数． (1)求的最小正周期． (2)求的单调递增区间． (3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围． 5．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间上有相异两解，，求实数的取值范围. 题型10 三角函数中新定义题 1．（23-24高一下·江苏南京·期中）定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S. (1)设函数，求证：； (2)若函数，且，求其“相伴向量”的模； (3)已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S． (1)设，求证：； (2)求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围； (3)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值．当点M运动时，求的取值范围． 3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)记向量的相伴函数为，求当且时，的值; (2)设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; (3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 4．（23-24高一下·北京·期末）已知向量；定义函数，称向量为的特征向量，为的特征函数． (1)设，求的特征向量； (2)设向量的特征函数为，求当且时，的值； (3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值． 5．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知向量，函数的最小值为. (1)求； (2)函数为定义在R上的增函数，且对任意的都满足，问：是否存在这样的实数，使不等式对所有恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 第10章 三角恒等变换 题型1 两角和与差公式的应用 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若，为锐角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正弦公式 【分析】根据三角恒等变换化简条件求得，利用同角关系求得，最后利用两角和的正弦公式化简计算即可. 【详解】由得， 所以，即， 即， 所以，所以， 又为锐角，所以， 所以. 故选：B 2．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知角的终边经过点，角为钝角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、由终边或终边上的点求三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据终边上的点有，，平方关系得，应用求值确定的值，最后由求值. 【详解】由题意知：，，又，则， 若，则，与为钝角矛盾，舍去， 故，所以. 故选：D 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】利用两角和的余弦公式求出，从而求出，再由降幂公式及和差角的余弦公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，所以， 所以 则 . 故选：D 4．（多选）（24-25高三上·江苏·期末）已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正切公式、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由已知得到，可对BCD作出判断，从B出发可得到，以此，可判断 【详解】，为锐角，，可得到，① ，得，②， 由①②，又，得， 则，B正确； ，C正确； 又，，，从而，D正确； 由B知，则有，， 又，，则，所以，则A错误. 故选： 5．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系化简即可； （2）利用平方关系和商数关系可得，结合（1）中结论求解即可； （3）利用和正切的两角和公式求解即可. 【详解】（1）由题意. （2）由（1）得若，则， 所以. （3）由（1）得若，， 则，， 所以， 又因为，，所以，，， 所以或. 题型2 利用降幂公式化简 1．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、cos2x的降幂公式及应用、和差化积公式 【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解． 【详解】由得， 又，所以， 所以 ． 故选：C． 2．（23-24高三下·河南·阶段练习）若 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、cos2x的降幂公式及应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、和差化积公式 【分析】借助两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系与降幂公式计算，或借助和差化积公式计算即可得. 【详解】法一： 因为，所以， 即， 即，即，即. 法二： . 故选：D. 3．（多选）（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】辅助角公式、给值求角型问题、sin2x的降幂公式及应用、cos2x的降幂公式及应用 【分析】利用半角公式，辅助角公式得到，结合，得到方程，求出或，检验后得到答案. 【详解】， 即，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 故或，解得或， 经检验，均满足要求. 故选：AC 4．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、sin2x的降幂公式及应用、sinxcosx的降幂公式及应用 【分析】设，，结合已知，把用的正余弦表示，再借助三角函数性质求解作答. 【详解】设，，则，而，显然， 因此 ，其中锐角由确定， 函数，当时，，当时，， 因此，即有， 所以的最小值为. 故答案为： 5．（24-25高一·全国·课后作业）化简： . 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、sin2x的降幂公式及应用、cos2x的降幂公式及应用 【分析】利用三角函数恒等变换公式化简计算即可. 【详解】原式 故答案为： 题型3 利用二倍角公式拼凑角求值 一、单选题 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的正弦公式结合已知条件可求出、的值，利用切化弦可得出的值，利用两角和的正弦公式可求得的值，利用二倍角的余弦公式可求得，据此可求得所求代数式的值. 【详解】由可得， 所以，， ， 所以，， 因此，. 故选：B. 2．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】由，而，得， 因此， 所以. 故选：B 3．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知，，，，则 . 【答案】/ 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】由已知条件得到，进而得到，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以，，即，. 故. 故答案为：. 4．（24-25高一上·青海·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求ω的值． (2)先将的图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）求的单调递增区间； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【知识点】二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）应用三角恒等变换化简函数解析式有，再由最小正周期求参数即可； （2）（ⅰ）根据图象平移得，再由正弦型函数的单调性求递增区间；（ⅱ）根据已知得，再应用诱导公式、二倍角余弦公式求函数值. 【详解】（1）由 ． 因为的最小正周期为，所以，解得， 又，所以． （2）（ⅰ）由（1）可知， 将图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变， 得图象，则． 令，得， 则的单调递增区间为． （ⅱ），则． 故 ． 5．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数，且． (1)求的值； (2)求的对称中心和单调递减区间； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)对称中心为，单调递减区间为 (3) 【知识点】给值求值型问题、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）先化简解析式，再利用即可求出； （2）化简，再利用整体代换求对称中心和单调递减区间即可； （3）由得，通过求出，再凑角为，化简后求值即可. 【详解】（1）， 因为，所以，所以； （2）由（1）知， 令得， 所以的对称中心为， 令得， 所以单调递减区间为 （3）因为，所以， 又因为，所以， 因为，可得，所以， 所以． 题型4 拼凑角求角 1．（24-25高一上·山西·期末）若，则 . 【答案】/ 【知识点】给值求角型问题 【分析】为求角的大小，只需算出的三角函数值. 【详解】， 故由，得. 又， 又， 则 ， 又，所以. 故答案为：. 2．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）若，且，则 . 【答案】 【知识点】给值求角型问题、已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以，又，所以. 根据，得，同时也能确定. 因为，所以. . 所以 因为，所以. 在这个区间内，时，. 故答案为：. 3．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）（1）已知，，求，； （2）已知，，求； （3）已知，，且，求的值. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【知识点】给值求值型问题、给值求角型问题、已知正（余）弦求余（正）弦、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由，求出，利用倍角公式求和； （2），由两角差的正切公式计算； （3）由和，求出和，再由，利用两角差的余弦公式计算，可得的值. 【详解】（1）由，有， 已知，则， ， ； （2）已知，， 则； （3）由，得，，， 由，得， 由，得，，， 由，得， ， ， 所以. 4．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知、为锐角，，． (1)求的值： (2)求的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系以及二倍角的正切公式求解即可； （2）利用二倍角的正切公式以及和角的正切公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，所以， 所以； （2）因为，所以， 所以， 因为，且，所以； 因为，且，所以， 所以，所以. 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆的交点为 (1)求的值及； (2)求； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据三角函数定义得，求出，再根据求出； （2）根据二倍角公式求解即可； （3）求出，确定，得到没有意义，得到，再根据角的范围，确定的值. 【详解】（1）因为锐角的终边与单位圆的交点为，, 所以，， 所以，. （2）因为， 所以， . （3）因为， 所以， 因为，， 所以，， 又因为， 所以没有意义， 所以，且， 所以. 题型5 利用辅助角公式化简求值域（最值） 1．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，利用和角公式及二倍角公式化简，将表示为的函数，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，得， 即，则， 由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：A 2．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知，则函数的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】令，利用二次函数的性质求出 的最小值，此时当时，最小. 【详解】令， 则 因为，所以当时， 函数取得最小值 ，此时， 当时，，所以， 故答案为： 3．（2025高三上·北京·专题练习）若在区间上是增函数，则的最大值是 . 【答案】/ 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求正切（型）函数的值域及最值、辅助角公式 【分析】化简函数，根据在区间上是增函数得到的范围，再根据的范围即可求出结论. 【详解】， 当时，， 因为在区间上是增函数， 所以，则， 所以， 则的最大值是， 故答案为：. 4．（24-25高一上·河北石家庄·期末）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. (1)求扇形OMN的面积； (2)若，求矩形ABCD的面积； (3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】(1)平方米. (2)平方米. (3)，最大值为. 【知识点】扇形面积的有关计算、辅助角公式、几何图形中的计算 【分析】（1）由扇形面积公式可得； （2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积； （3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【详解】（1）由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. （2）因为，在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积. 所以当时，矩形ABCD的面积平方米. （3）在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积 ， 所以，其中. 由于， 则当时，即时，. 所以当时，取得最大值，最大值为. 5．（24-25高一上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且. (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、诱导公式五、六、辅助角公式 【分析】（1）根据题意，求得，利用三角函数定义可得，，由，结合诱导公式求解； （2）根据（1）得，则，令，，换元上式可得，，利用二次函数单调性求出答案. 【详解】（1）因为单位圆上点的横坐标，且点在第一象限， 所以点，即有，， 因为且为锐角，为钝角， 所以 ， 所以. （2）由（1）知，， 则， 设，则， 因为，所以， 则，所以， 因为 所以， 所以，， 所以的取值范围为. 题型6 与函数中有关的问题 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、正弦函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可. 【详解】由， 易知，令， 则由题意知. 故选：A 【点睛】思路点睛：先化简函数式，由，根据三角函数的图象结合五点作图法得出该函数在纵轴右侧的第一个零点与第二个零点分在两侧，计算即可. 2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角函数图象的综合应用 【分析】利用三角恒等变换然后结合整体法结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析； 【详解】因为， 当时，因为，则， 因为函数在上存在最值， 则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以 其中，解得， 所以，解得， 又因为，则． 当时，； 当时，； 当时，． 又因为2，因此的取值范围是． 故选：B． 【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心； 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的一个零点是，且在上单调，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用三角函数的零点和单调区间求解即可. 【详解】， 函数的一个零点是，故，, 所以， 在上单调，则， 故，解得， 且，故， 结合 故 故选：B 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数，，，且在上单调，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】分析可知，函数的一条对称轴为直线，且，可得出①，②，结合①②以及的取值范围可求出的值，以及的表达式，然后由可得出的不等式，解出的取值，然后由大到小逐一检验即可. 【详解】因为函数满足， 则函数的一条对称轴为直线，则①， 因为，可得②， 由①②可得， 因为，所以，， 将代入①可得， 因为在上单调，则该函数的最小正周期满足， 所以，，所以，，解得， 因为，则的可能取值构成的集合为， 当时，，此时，， 当时，，此时，函数在上不单调，不合乎题意； 当时，，则， 当时，，此时，函数在上不单调，不合乎题意； 当时，，则， 当时，，此时，函数在上单调递减，合乎题意. 综上所述，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于求出后，要结合单调性确定周期的范围，进而得出的范围，进而求解. 5．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）定义，设函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】辅助角公式、利用余弦函数的单调性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】先考虑的单调减区间，再根据在上单调递减可得满足的不等式组，从而可求其取值范围. 【详解】令，则，故的周期为， 又当时，， 的减区间为，，其中， 当，则， 故存在，使得 或， 故或（无解，舍）， 而，故，故， 故实数的取值范围是. 故答案为： 题型7 与函数中对称，周期，单调性综合问题 1．（多选）（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．当时，函数的值域为 C．当时，函数的单调递增区间为 D．若，函数在区间内恰有2025个零点，则 【答案】ABD 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用余弦型函数和正弦函数的周期性可判断A选项；利用二次函数的值域可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；在时解方程，结合函数的周期性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 故函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，当时，， 令，则，， 当时，；当时，；当时，. 所以，， 所以，当时，函数的值域为，B对； 对于C选项，当时，， 则， 令，则，则外层函数， 外层函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，则内层函数单调递增时，则函数为增函数， 所以，； 当时，则内层函数单调递减时，则函数为增函数， 所以，. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为， ，C错； 对于D选项，当时，， 可得或， 由于函数的最小正周期为，且， 现在考虑函数在上的零点个数， 由可得，由可得或， 所以，函数在上的零点个数为， 因为，故，D对. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法： ①利用和的最值直接求； ②把形如的三角函数化为的形式求最值； ③利用和的关系转换成二次函数求最值； ④形如或转换成二次函数求最值. 2．（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知一组函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．恒成立 C．在上单调递增，在 上单调递减 D．在上单调递减，在 上单调递增 【答案】ABD 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】对于项，利用不同的的取值，利用三角函数关系式的恒等变换即可判断；对于项，，可确定与，三角函数关系式的恒等变换即可判断；对于项，利用三角函数关系式的恒等变换，二倍角公式，周期性即可判断；对于项，利用三角函数关系式的恒等变换，二倍角公式，周期性即可判断. 【详解】对于项，，故项正确； 对于项，因为， 故项正确； 对于项， 当，因此在上单调递减， 当，因此在上单调递增， 故错误； 对于项， 当，因此在上单调递减， 当，因此在上单调递增， 故正确． 故选： 3．（多选）（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心坐标为 C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 D．的一条对称轴为 【答案】ABD 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】根据辅助角公式化简，根据周期公式即可判断A，代入检验即可判断B，通过三角函数的平移原则即可判断C，运用对称轴经过最高最低点即可判断D. 【详解】对A，， 由周期公式可得，A正确； 对B，因为，故为对称中心，B正确； 对C，的图象向左平移个单位得到，C错误； 对D，当，取得最小值， 则为的一条对称轴，故D正确. 故选：ABD. 4．（多选）（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．将图象上点的横坐标变为原来的，得到的函数在上递减 【答案】AC 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】先利用辅助角化简，再利用正弦函数的周期公式求得，进而得到，直接利用代入检验法可判断AB，利用三角函数的变换规则，结合正弦函数的单调性可判断CD，从而得解. 【详解】因为，， 又的最小正周期为，所以，则， 所以， 对于A，因为， 所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B，因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，将的图象向左平移个单位长度， 可得到的图象，故C正确； 对于D，将图象上点的横坐标变为原来的，得到的图象， 对于，有， 而在上先减后增， 则在上也先减后增，故D错误. 故选：AC. 5．（多选）（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有4个零点 D．把的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称 【答案】ACD 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，利用正弦型函数的最值可得A；利用正弦型函数的单调性计算可得B；令，研究其在上的根的个数即可得C；得到平移后的图象后，借助正弦函数的对称轴即可得D. 【详解】 ， 对A：由，则的最大值为，故A正确； 对B：当时，， 由不是函数的单调递增区间， 故不在上单调递增，故B错误； 对C：令，则， 则当时，有解：、、 、， 故在上有4个零点，故C正确； 对D：把的图象向右平移个单位长度后， 可得， 当时，， 由是函数的对称轴， 故关于直线对称，故D正确. 对选：ACD. 题型8 三角函数中恒成立与能成立问题 1．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求函数的对称中心； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心. （2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由图可知：，所以，所以，， 又， 所以，. 所以. 令，， 则，. 所以的对称中心为，. （2）由题. 当时，. 因为对任意的恒成立， 则. 所以. 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数，且. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将的图象向右平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求不等式的解集. 【答案】(1)，单调递增区间为（） (2) 【知识点】解正弦不等式、求图象变化前（后）的解析式、用和、差角的正弦公式化简、求值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由诱导公式，两角和的正弦公式变形函数式，再利用及的范围求得得函数解析式，结合正弦函数的单调性可得增区间； （2）由图象变换得，然后利用二倍角公式变形解得，再由正弦函数性质得结论． 【详解】（1）， 因为，所以，，可得，， 又，所以， 所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为（）. （2）因为的图象向右平移个单位得到的图象， 再将的图象上各个点横坐标变为原来2倍得到的图象， 所以； 所以不等式为，不等式化为， 所以，所以，所以， 结合函数在上的图象得， 所以原不等式的解集为. 3．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知向量，，设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)解不等式； (3)若对，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解正弦不等式、三角恒等变换的化简问题、数量积的坐标表示、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据数量积公式可得，利用二倍角公式及辅助角公式，化简整理，可得的解析式，代入公式即可求得的最小正周期； （2）由，整理可得，根据正弦型函数的图象与性质，即可求得答案； （3）根据题意分析可得对成立，换元令，根据恒成立问题结合基本不等式分析求解. 【详解】（1）由题意可得： ， 所以函数的最小正周期. （2）由可得， 令，解得， 所以的解集为. （3）由题意可得： ， 由可得， 即对成立， 因为，则，可得， 令，可知问题转化为对恒成立， 可得对成立， 又因为，当且仅当时，等号成立， 可知，所以实数的取值范围为. 4．（23-24高一下·山西·期中）已知函数． (1)求的值； (2)求的对称轴； (3)若方程在区间上恰有两个解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）直接求即可； （2）利用三角恒等变换化简计算可得，结合整体代换法计算即可求解； （3）由、可得，进而求解. 【详解】（1）因为， 则； （2） ， 由（）可得（）， 所以函数的对称轴方程为（）； （3）由， 可得， 当时，， 因为方程在区间上恰有两个解，则， 解得， 因此，实数m的取值范围是． 5．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）已知函数是定义域上的奇函数． (1)求实数的值； (2)求函数的值域； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、三角恒等变换的化简问题、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由已知结合奇函数的性质可求； （2）结合指数函数及反比例函数的性质即可求解； （3）结合辅助角公式，二倍角公式对进行化简，然后结合正弦函数的性质求出其最大值，再由函数单调性及存在性问题与最值关系的转化即可求． 【详解】（1）因为是定义域上的奇函数， 所以，即， 所以， 又， 所以此时为奇函数，符合题意； （2）由（1）得， 因为， 所以， 所以，即函数的值域为． （3）因为， 当时，， 所以， 所以， 由无实数解可得的定义域为， 易知单调递增，所以在上单调递减， 若关于的不等式在上有解， 则在上有解， 所以在上有解， 所以，即， 故的范围为 题型9 三角函数中零点有关的问题 1．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数的图象过点和点. (1)求函数的单调递增区间； (2)若的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且图象关于直线对称，求函数与的图象在上的交点个数. 【答案】(1)； (2)4个. 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）根据给定条件，建立方程组求出解析式并化简，再利用正弦函数单调性求出增区间. （2）由（1）及图象变换求出函数，再把图象交点问题转化为方程解的问题求解. 【详解】（1）依题意，，即，解得， 函数， 由，得 所以函数的单调递增区间为 （2）依题意，， 由图象关于直线对称，得，即， 而，则，解得，因此， 函数与的图象在上的交点个数，即求方程在上解的个数 由，得，则， 即，而， 因此即， 由，得或或或， 所以与的图像在上的交点共4个. 2．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．    (1)求函数的解析式，并直接写出函数的解析式； (2)若在内恰有2023个零点，求实数与正整数的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）由图象知的最小正周期，可求得的值，再由，求出，进而求出的解析式；再由三角函数的平移和伸缩变化求出的解析式； （2）由换元法将的零点转化为的根，记为，其中，由分析知，显然中有一个为或1，分类讨论和求解即可. 【详解】（1）由图象知周期，且 ． 再由， ． （2） 令两根记为，其中， 作出在上的大致图象如下：    显然中有一个为或1． ①当时，此时，当为偶数时，有个交点， 有个交点，此时，无解，舍去． 当为奇数时，有个解，有个解，有，无解，舍去． ②当时，，此时． 当为偶数时，有个交点，有个交点，此时，无解，舍去． 当为奇数时，有个解，有个解． ，故． 3．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象．若在区间上有且仅有5个零点，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的最小正周期、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）化简函数解析式，由最小正周期为，求的值； （2）根据图像变换得解析式，求出函数零点，由在区间上有且仅有5个零点，列不等式求的取值范围． 【详解】（1）， 因为函数的最小正周期为，所以，解得． （2）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度， 得到的图像， 所以． 令，有，即，得， 因为上有且仅有5个零点， 所以． 所以的取值范围为. 4．（15-16高一·江西宜春·期中）已知函数． (1)求的最小正周期． (2)求的单调递增区间． (3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为 (2)． (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）先将函数解析式化简整理得到，再由正弦函数的周期性，即可求出结果； （2）根据正弦函数的单调性可求的单调递增区间； （3）关于的方程在上有解，则关于的方程在上有解，求出值域，即可得到关于的不等式，求解即可． 【详解】（1）函数 故函数的最小正周期为． （2）令，解得， ∴单调递增区间为． （3）因为， 所以， 所以， 所以的值域为， 关于的方程在上有解， 则关于的方程在上有解， 所以， 所以， 所以实数的取值范围是． 5．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间上有相异两解，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角函数图象的综合应用、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合函数的最小正周期求出，即可得解； （2）依题意可得，则函数与的图象在区间上有两个交点，根据的取值范围求出，结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为 ， 又的最小正周期为，且， 所以，解得， 所以. （2）由，即， 关于的方程在区间上有相异两解，， 也即函数与的图象在区间上有两个交点， 由，得， 又在上单调递增，在上单调递减，且，，， 要使函数与的图象在区间上有两个交点， 则有，所以实数的取值范围为． 题型10 三角函数中新定义题 1．（23-24高一下·江苏南京·期中）定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S. (1)设函数，求证：； (2)若函数，且，求其“相伴向量”的模； (3)已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、三角恒等变换的化简问题、向量模的坐标表示、向量新定义 【分析】（1）把化为形式，由定义证明； （2）把化为形式，得其“相伴向量”，由模公式可求模； （3）先根据定义得到函数取得最大值时对应的自变量，再结合基本不等式求出的取值范围，由正切的二倍角公式及函数的单调性可得结论． 【详解】（1）因为， 其中“相伴向量”，所以. （2）由题意可得： ， 则函数的“相伴向量”， 所以. （3）因为的相伴函数， 其中， 当时，取到最大值，则， 则， 因为定点且，设，且， 则， 若，可得； 若，可得，即； 综上所述：， 令， 则， 可知在内单调递减， 若，则； 若，则； 综上所述：， 可得， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解题关键是利用基本不等式求出的取值范围，由函数单调性求出的取值范围． 2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S． (1)设，求证：； (2)求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围； (3)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值．当点M运动时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】数量积的坐标表示、辅助角公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由题意将化为可证得结论； （2）利用向量的模的概念可求得，再利用正弦函数的性质可求得函数的“相伴向量”模的取值范围； （3）由可求得当时，取得最大值，其中，为直线的斜率，由几何意义知，再利用二倍角的正切可求得的取值范围． 【详解】（1）因为 ， 所以的“相伴向量”， 所以； （2）因为 所以，， 所以的取值范围为； （3）的“相伴函数”， 其中， 当，即时，取得最大值， 所以， 所以， 为直线的斜率，， 令，则， 因为和都在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 所以或， 即或， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正切公式，考查向量的模，考查辅助角公式的应用，解题的关键是对“相伴函数”和“相伴向量”的正确理解，考查理解能力和计算能力，属于难题. 3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)记向量的相伴函数为，求当且时，的值; (2)设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; (3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)和 (3)存在， 【知识点】向量新定义、向量垂直的坐标表示、三角恒等变换的化简问题、辅助角公式 【分析】（1）利用相伴特征向量的定义、函数定义域及三角恒等变换公式即可求解； （2）利用相伴特征向量的定义，求出相伴特征向量，根据共线单位向量的定义即可求解； （3）利用向量的数量积和垂直的充要条件的应用，即可求解. 【详解】（1）由已知可得：， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 ， ， （2）， ， ， ， 所以，， ， 所以与共线的单位向量为和. （3）， 因为为的相伴特征向量， 所以，解得， 所以， 所以， ， 假设在的图象上是否存在一点，使得， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以， 令， 令， 所以， ， 当时，；当时，，， 所以， 因为， 所以当且仅当且时，成立， 此时，且，即点， 所以的图象上是存在一点，使得. 4．（23-24高一下·北京·期末）已知向量；定义函数，称向量为的特征向量，为的特征函数． (1)设，求的特征向量； (2)设向量的特征函数为，求当且时，的值； (3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、函数新定义、向量新定义 【分析】（1）根据诱导公式化简，再根据函数的特征向量的定义即可得解； （2）根据向量的特征函数求出函数解析式，再结合两角差的正弦公式即可得解； （3）根据三角函数恒等变化求出函数的解析式，不妨设为其中的一个零点，再根据三角函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）由已知得， 所以的特征向量； （2）因为向量的特征函数为， 所以， 由得，又， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 则， 令，则， 则或， 则或， 由在区间上至少有40个零点， 不妨取， 则， 则， 所以的最小值为. 5．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知向量，函数的最小值为. (1)求； (2)函数为定义在R上的增函数，且对任意的都满足，问：是否存在这样的实数，使不等式对所有恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】根据函数的单调性求参数值、辅助角公式、数量积的坐标表示、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用向量的乘积运算求出的解析式，求出最小值可得,根据对称轴，讨论参数的范围分段表示求； （2）假设存在符合条件的实数，则依题意有，对所有恒成立．设，则，利用三角函数的有界限转化为对勾函数的求最值问题，利用不等式的性质即可求出的取值范围． 【详解】（1） 设，则 ，，其对称轴为， 当，即时，； 当，即时，； 综上， （2）假设存在符合条件的实数，则依题意有， 对所有恒成立. 设，则， ∴，恒成立 即，恒成立， ∵， ∴ ∴，恒成立 令 由在上单调递增 则 ∴ 所以存在符合条件的实数，并且的取值范围为. 【点睛】关键点点睛:解题的关键点是换元思想，利用最值和单调性是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$