专题02 二倍角公式与三角恒等变换（7大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题02 二倍角公式与三角恒等变换 目录 【题型一 利用二倍角公式求值】 2 【题型二 利用降幂公式+辅助角化简】 5 【题型三 给角求值】 9 【题型四 给值求值】 12 【题型五 给值求角】 16 【题型六 三角恒等变换的实际应用】 20 【题型七 求三角复合函数的值域】 27 一、二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 二、降幂公式 ① ② 三、半角公式 ① ② ③ 四、辅助角公式： (其中) 五、万能公式 ① ② ③ 【题型一 利用二倍角公式求值】 1．（24-25高三上·江苏无锡·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】利用倍角公式可求，根据诱导公式得到，利用同角三角函数的基本关系求出和，进而求出. 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C. 2．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式、三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题 【分析】根据三角函数值，缩小所给角的范围，再根据三角函数的基本关系求得，再根据倍角公式及辅助角公式化简所求式子，即可求得. 【详解】因为，且，则， 则 ，  则 ， 则， 两边平方可得：，解得：， 则 . 故答案为：. 3．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】根据已知角的正切值，利用正切函数的二倍角公式以及和角公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 4．（24-25高一上·江苏无锡·期末）若，且，则 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 5．（24-25高一上·河南周口·期末）已知． (1)求； (2)若，且，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】（1）由已知可得，利用齐次式可求解； （2）由二倍角的正切函数公式求得，由，求得，进而利用两角和的正切函数公式可求解. 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以．                  因为，① 两边平方得，所以，        又因为，所以， 所以，②                ①②联立，得， 所以，                     故． 【题型二 利用降幂公式+辅助角化简】 1．（24-25高三上·江苏无锡·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】利用倍角公式可求，根据诱导公式得到，利用同角三角函数的基本关系求出和，进而求出. 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C. 2．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式、三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题 【分析】根据三角函数值，缩小所给角的范围，再根据三角函数的基本关系求得，再根据倍角公式及辅助角公式化简所求式子，即可求得. 【详解】因为，且，则， 则 ，  则 ， 则， 两边平方可得：，解得：， 则 . 故答案为：. 3．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】根据已知角的正切值，利用正切函数的二倍角公式以及和角公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 4．（24-25高一上·江苏无锡·期末）若，且，则 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 5．（24-25高一上·河南周口·期末）已知． (1)求； (2)若，且，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】（1）由已知可得，利用齐次式可求解； （2）由二倍角的正切函数公式求得，由，求得，进而利用两角和的正切函数公式可求解. 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以．                  因为，① 两边平方得，所以，        又因为，所以， 所以，②                ①②联立，得， 所以，                     故． 【题型三 给角求值】 1．（多选）（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给角求值型问题 【分析】根据两角和差的正切公式及同角三角函数的基本关系一一计算可得； 【详解】解：对于A： 而，故A错误； 对于B：， 所以，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：BD 2．（多选）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、给角求值型问题 【分析】利用二倍角公式可判断AB选项；利用诱导公式以及两角差的正弦公式可判断C选项；利用辅助角公式以及二倍角的公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项， ，C对； 对于D选项， ，D错. 故选：AC. 3．（多选）（23-24高一上·新疆·期末）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、给角求值型问题 【分析】利用二倍角余弦公式以及诱导公式可判断A选项；利用诱导公式以及两角差的正弦公式可判断B选项；利用二倍角正弦公式以及辅助角公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项， ； 对于C选项，， ； 对于D选项，因为， 所以，. 故选：BC. 4．（23-24高一下·四川成都·期中） ． 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、给角求值型问题 【分析】由题意可得，代入题意运算求解即可. 【详解】因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 5．（22-23高一上·江苏常州·期末）计算： (1)求值； (2)已知，，求的值 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式、给角求值型问题、给值求值型问题 【分析】（1）利用两角和的余弦、正弦、诱导公式化简计算可得出所求代数式的值； （2）利用诱导公式、二倍角的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得的值，再利用诱导公式可求得的值. 【详解】（1）解：原式 . （2）解：原式， 即， 因为，则，所以，，则， 因此，. 【题型四 给值求值】 1．（24-25高三上·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】根据求出，根据求出. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除，得到.再利用两角差的正切公式展开，将换成，化简即可得到答案. 【详解】因为， 则， 由题意可知：， 两边同除，得到， 即， 又因为， 所以. 故选：A. 3．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【知识点】万能公式、三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题 【分析】由条件等式右边含有，可联想到中分离出来处理，设，待求表达式中用表示，结合万能公式进行求解. 【详解】设，于是， 整理可得，根据万能公式，， 整理可得， 由可得，， 故， 根据诱导公式，， 根据两角和的正切公式，， 故. 故答案为： 4．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知，，则正常数p的值为 . 【答案】 【知识点】给值求值型问题 【解析】设，，根据题意得到，，故，，，解得答案. 【详解】设，. 故， ，故，. ，且，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力，取，，是解题的关键. 5．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）（1）求的值. （2）已知函数，若，，求的值. 【答案】（1）0；（2）. 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、cos2x的降幂公式及应用、三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题 【分析】（1）依次化切为弦，利用诱导公式、辅助角公式和二倍角公式化简计算即得； （2）利用诱导公式、降幂公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数，由化简得，利用角的范围求出，再根据拆角变换化简求值即得. 【详解】（1）由   ； （2）由 . 因，可得 即得， 因，则， 故. 由 . 【题型五 给值求角】 1．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、给值求角型问题 【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A 2．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、解正弦不等式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解. 【详解】由，，得，， ∴，即， ∴，解得. 又，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 3．（2023·江苏无锡·三模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解. 【详解】因为， 又因为，， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 因为，所以， 因为，所以. 故选：C. 4．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知，且． (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式、给角求值型问题、给值求角型问题 【分析】（1）利用二倍角的正切公式和两角差的正切公式即可求解； （2）根据已知角的范围及三角函数值，结合同角三角函数的平方关系和商数关系求出，由二倍角的正切公式求出，再由及差角正切公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为，所以， 因为，所以，所以， 所以， ， 则， 因为，所以. 5．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题、给值求角型问题 【分析】（1）利用三角恒等变换将化简，由代入运算可得解； （2）由代入运算可得，又，可求得，利用二倍角余弦公式可得解. 【详解】（1） ， ，，又，则， ，. （2），可得， 又 ， ，解得， 又，化简得， 又，， 所以. 【题型六 三角恒等变换的实际应用】 1．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的实际应用 【分析】利用三角函数先表示出，再利用二倍角公式及辅助角公式进行化简求最值，由取最值时的条件，结合和差公式求出，然后由二倍角公式和平方关系可得. 【详解】由题意，因为半径为1，所以，， 因为，，所以， 所以，所以， 所以， ，其中， 当时，取最大值，则， 所以， 所以，解得，， 因为，所以，满足题意， 所以当矩形的面积最大时，. 故选：A. 2．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的实际应用 【分析】（1）设，则，，求出、的长，利用三角形的面积公式以及二倍角的正弦公式可求得的面积的最大值； （2）计算出线段、、、的长，令，可得出，利用二次函数的基本性质可求得途径线段长度的最大值. 【详解】（1）解：设，则，， 在中，，，则， ， 所以，， 因为，则， 当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为. （2）解：过点作，垂足为点，    因为，，，则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，则为等腰直角三角形，则， 所以，，，， 所以， ， 令， 因为，则，则， 所以，，， 所以，， 所以，， 故当时，取最大值， 因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为. 3．（2024高一下·江苏·专题练习）如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 【答案】最小值为；最大值为. 【知识点】三角函数在生活中的应用、三角恒等变换的实际应用 【分析】连接AP，设，通过三角函数将PQCR面积表示出来，再根据θ取值范围找出面积最值. 【详解】如图，连接AP，设，延长RP交AB于M， 则，. 所以，. 所以 ， 令，则. 所以. 故当时，有最小值； 当时，有最大值. 4．（22-23高一下·江苏淮安·期中）现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. (1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 【答案】(1)，矩形面积的最大值为 (2)矩形面积的最大值为，第一种方案更优. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的实际应用 【分析】（1）计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值； （2）取中点，连接，设，设，其中，计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值，与方案一中矩形的面积比较大小，可得出结论. 【详解】（1）解：由题得，则， 则， 所以，， 所以矩形面积为 ， 因为，则，故当时，即当时， 矩形的面积取最大值，且最大值为. （2）解：取中点，连接，设，如下图所示： 设，其中，由圆的几何性质可知， ，， 因为四边形为矩形，则且， 因为，则，且，所以，四边形为矩形， 所以，，即为的中点， 又因为，则，所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 则矩形的面积为 ，其中， 因为，则， 所以当，即时取最大值，矩形的面积取最大值，且最大值为 ， ，则，所以第一种方案更优. 5．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口（阴影部分）是一块景点水域．为了进一步发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形建成停车场，另一块为直角三角形建成休闲区（），它们的面积分别记为、；同时，为了保护景点水域，限定扇形必须为四分之一圆，不作其它开发．已知为圆心，直径为，点、分别在弧、上（均不含端点），且点、分别在、上，点和在上，，，记． (1)求的最大值，并指出相应的值； (2)为了给旅游主管部门提供决策依据，求的取值范围． 【答案】(1)当时，取得最大值 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正切（型）函数的值域及最值、三角恒等变换的实际应用 【分析】（1）求出、的长，可得出关于的表达式，利用三角恒等变换化简关于的表达式，结合以及正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值； （2）求出，利用正切函数的基本性质结合可求得的取值范围. 【详解】（1）解：在中，，，则，其中， 在中，，，， 则， 所以， ， 因为，则，故当时，即当时， 取得最大值. （2）解：因为，，则， 因为，则，， 所以，， 所以，. 【题型七 求三角复合函数的值域】 1．（23-24高一下·天津和平·）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式化简，即可利用整体法求解值域. 【详解】 由于，则，所以， 所以函数的值域为. 故选：B 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】基本（均值）不等式的应用、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角恒等变换的化简问题、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，根据已知有，且，利用与关系求值； （2）法一：根据，应用基本不等式求函数的最大值；法二：令，利用三角恒等变换及三角函数性质得且，进而求其最大值. 【详解】（1）由题知， 因为，所以，且， 所以. （2）法一：因为，所以且. 由题设， 当且仅当时取等，故的最大值为. 法二：令， 首先，所以， 其次，当且仅当时取等， 所以， 所以， 当时，，即的最大值为. 3．（23-24高一下·江苏扬州·期中）阅读下面材料： 解答问题： (1)用表示； (2)根据恒等式，求的值； (3)若函数，，求的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二倍角的余弦公式、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据两角和的余弦公式，二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，将等式左边逐步化简，即可得出结果； （2）利用，结合（1）可建立关于的方程，解方程可得； （3）先由（1）的结果，将原式化简整理，得到，再令，结合二次函数的性质，即可求出函数值域. 【详解】（1） ； 即； （2）令，由等式知，， 即，显然， 所以，即， 解得：，又，所以，即 （3）令，则，且 令，，又函数图象开口向下，对称轴为， 所以函数在上单调递减； 又当时，，当时，， 因此，即的值域为. 4．（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知函数 (1)求的最大值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到 的图象，求的单调递增区间； (3)当时，的值域为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）整理可得，即可得的最大值； （2）根据图象变换可得，结合诱导公式可得，，以为整体，结合正弦函数求单调性； （3）以为整体，根据题意结合正项函数有界性分析求解即可. 【详解】（1）由题意可得：． 因为，所以的最大值为. （2）由平移变换知， 又因为，则，解得， 又因为，可得，所以， 令，解得， 所以的单调递增区间为． （3）当时，则， 此时的值域为， 因为，可知， 且，可得， 则，解得， 可得， 由可知，解得， 且，或，解得，或， 所以的值为或. 5．（24-25高一上·云南大理·期末）已知函数. (1)将化成的形式； (2)求的对称中心及单调递减区间； (3)若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)对称中心为，；单调递减区间为， (3) 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系 【分析】（1）根据题意利用二倍角正弦、余弦公式的变形，结合辅助角公式化简整理即可； （2）以为整体，结合余弦函数的对称性、单调性分析求解即可； （3）根据的周期性和对称性，分类讨论在上是否单调，分析的最值，进而求的取值范围. 【详解】（1）由题意可得： 所以 （2）令，，解得，， 所以的对称中心为，， 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，. （3）由题意得的最小正周期， 令，，解得，. 图象的对称轴为直线， 若在上单调，则，， 解得，， 则 ， 因为，， 可得，所以， 若在上不单调，则在上的图象上必定有一个最高点或最低点， 且在上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点，的取值范围均相同. 假设在上的图象的最高点为，则， 当，即时，， 此时取得最小值，且最小值是， 又因为，则， 所以， 综上所述：的取值范围为. 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角恒等变换的化简问题、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】将问题转化为对任意的，当时时，恒成立，不妨设，将问题转化为在单调递减，再结合利用正弦函数的性质求出的取值范围． 【详解】， 所以得. 进而， 故， 由于对任意的，当时， 恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在单调递减， 所以其中，解得. 故选：B 2．（23-24高一下·上海·期中）已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】半角公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式 【分析】令，分别用表示，，，进而求得在，，中一定是有理数的个数. 【详解】， ， 则，则， 令，则为非零有理数， 若，则， 结合上述限制条件可得，此时， 故三者中有理数的个数为3个. 若， 则， 解之得，令，则， 由，可得，t为有理数， 则， ， 则均为有理数. 综上，在，，中，一定是有理数的有3个. 故选：D 【点睛】关键点点睛：关键是得到是有理数且，从而即可顺利得解. 3．（23-24高一上·浙江·期末）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，化简得到，再利用余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由， 可得， 可得， 所以 可得 即， 可得 ， 所以，则. 故选：B. 4．（2024·江西·模拟预测）已知向量，其中，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据向量垂直，可得数量积为零，然后结合二倍角公式、弦化切、正切的两角和公式化简，再用换元，结合基本不等式即可求出结果. 【详解】由题知，， 则， 即， 因为，所以，则， 所以，则， 整理得， 令，因为，所以，，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题决的关键是利用三角恒等变换将转化为关于的表达式，从而得解. 5．（2025·江西·一模）若函数的定义域内存在，（），使得成立，则称为“完整函数”．已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、函数新定义、辅助角公式 【分析】首先利用诱导公式和辅助角公式化简，再结合给定定义并对进行分类讨论，得到参数取值范围即可. 【详解】由题意得， ， 因为，所以， 故在上有两个最大值点， 令，则函数在区间上至少存在两个最大值点， 则，解得．当，即时，显然符合题意． 当时，因为，所以， 因为，所以，，分以下两种情况讨论： ①当，即时，，即，所以； ②当，即时，，即，所以． 综上，的取值范围为，故B正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是先化简函数，然后结合给定定义并对参数分类讨论，得到所要求的参数范围即可． 6．（2024·江西·模拟预测）函数的最大值为1，最小值为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、根据二次函数的最值或值域求参数、二倍角的余弦公式 【分析】由题意得，令，，求出对称轴，对分，，和讨论最值即可求解. 【详解】， 令，，对称轴方程为， ①当时，，， 解得，， ②当时，，， 解得，， ③当时，，， 即或，无满足条件的解， 综上，. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用二次函数的性质，分类讨论的取值范围得到关于的方程组，从而得解. 7．（24-25高三上·四川雅安·阶段练习）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正切公式 【分析】用换元法设，化简方程求出，进而得出的正余弦值，化简即可得出结论. 【详解】由题意，，设，即， ∵，∴， 即， ∵，∴， ∵，得，则有， 由， ，解得：， ∴，， ∴. 故选：C. 【点睛】思路点睛： 由，，设，由已知得，求出，而即可得出结论. 8．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】辅助角公式、求cosx(型)函数的值域、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用辅助角公式化简，结合二倍角公式可求得；根据无零点但有极值点可求得的范围，结合可求得的范围及的值域，由此可得结果. 【详解】，其中，，， ，，， 当时，， 在区间内没有零点，但有极值点，， ， ， 又，， ，， ， 则，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数零点、极值点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方法确定所处的范围，进而将所求函数值化为关于的函数的形式，结合三角函数值域可求得结果. 二、填空题 9．（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，若，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由，结合已知条件可得，再结合，可得，则，再利用计算即可得解. 【详解】因为， ， 所以， 于是由已知得：，即， 因为，若，即， 则， 这时，不符合条件； 若，即， 则， 这时，也不符合条件； 因此，一定有， 所以， 因为，所以， ，， 即 当时，， 当时， 因此，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助，从而得到，结合，讨论及不符合题意，从而得到. 10．（24-25高三上·江苏连云港·期中）若，则 . 【答案】/0.5 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用这个等式来求解与正切函数相关的比值。解题的关键在于将已知条件利用三角恒等变换转化为所求表达式的形式. 【详解】由得： ， 所以 化简得到： ， 所以； 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将给定的条件与所求表达式联系起来，通过正弦和正切的性质以及和差化积的公式，最终化简求解。这一过程体现了数学解题中转化和化归的思想，即通过一系列的数学变换，将复杂问题转化为较为简单的问题，从而求解。在解决这类问题时，熟悉和灵活运用三角恒等变换公式是非常重要的. 11．（23-24高一下·山东日照·期末）已知角，均为锐角，且，满足，的值为 ． 【答案】/0.8 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】根据给定条件，对角进行配凑变换，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求值即得. 【详解】由， 得， 则， 由角，均为锐角，且，得，则，于是， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将角分别变形为. 12．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为，它与原点的距离是．我们规定：比值，，分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作，，，即，，，把，，分别叫做余切函数、余割函数、正割函数. （1）已知，则的最大值为 ； （2）设，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】函数新定义、辅助角公式、基本不等式求和的最小值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）利用辅助角公式将其化成正弦型函数，借助于正弦函数的图象即得； （2）利用三角函数新定义化简所求函数式，再设进行换元，分类讨论并运用基本不等式求解即得. 【详解】（1），因，故其最大值为； （2） 设，则，其中且，则 ， 当时，有，但是等号不成立，无最小值； 当时，，但是等号不成立，无最小值； 当时，有，当且仅当时等号成立. 即时，，即的最小值为． 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数新定义和求三角函数型函数的最值问题，属于难题. 求解的关键在于化简到时，要联想到与的关系，通过设进行整体换元，将其化成二次函数或者可运用基本不等式，以及双勾函数或单调函数的单调性求解的最值问题. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二倍角公式与三角恒等变换 目录 【题型一 利用二倍角公式求值】 2 【题型二 利用降幂公式+辅助角化简】 3 【题型三 给角求值】 3 【题型四 给值求值】 4 【题型五 给值求角】 5 【题型六 三角恒等变换的实际应用】 6 【题型七 求三角复合函数的值域】 9 一、二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 二、降幂公式 ① ② 三、半角公式 ① ② ③ 四、辅助角公式： (其中) 五、万能公式 ① ② ③ 【题型一 利用二倍角公式求值】 1．（24-25高三上·江苏无锡·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏无锡·期末）若，且，则 . 5．（24-25高一上·河南周口·期末）已知． (1)求； (2)若，且，求． 【题型二 利用降幂公式+辅助角化简】 1．（24-25高三上·江苏无锡·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏无锡·期末）若，且，则 . 5．（24-25高一上·河南周口·期末）已知． (1)求； (2)若，且，求． 【题型三 给角求值】 1．（多选）（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·新疆·期末）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川成都·期中） ． 5．（22-23高一上·江苏常州·期末）计算： (1)求值； (2)已知，，求的值 【题型四 给值求值】 1．（24-25高三上·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．5 2．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知，则 ． 4．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知，，则正常数p的值为 . 5．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）（1）求的值. （2）已知函数，若，，求的值. 【题型五 给值求角】 1．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏无锡·三模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知，且． (1)求的值： (2)求的值． 5．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【题型六 三角恒等变换的实际应用】 1．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 3．（2024高一下·江苏·专题练习）如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 4．（22-23高一下·江苏淮安·期中）现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. (1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 5．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口（阴影部分）是一块景点水域．为了进一步发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形建成停车场，另一块为直角三角形建成休闲区（），它们的面积分别记为、；同时，为了保护景点水域，限定扇形必须为四分之一圆，不作其它开发．已知为圆心，直径为，点、分别在弧、上（均不含端点），且点、分别在、上，点和在上，，，记． (1)求的最大值，并指出相应的值； (2)为了给旅游主管部门提供决策依据，求的取值范围． 【题型七 求三角复合函数的值域】 1．（23-24高一下·天津和平·）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 3．（23-24高一下·江苏扬州·期中）阅读下面材料： 解答问题： (1)用表示； (2)根据恒等式，求的值； (3)若函数，，求的值域． 4．（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知函数 (1)求的最大值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到 的图象，求的单调递增区间； (3)当时，的值域为，求的值． 5．（24-25高一上·云南大理·期末）已知函数. (1)将化成的形式； (2)求的对称中心及单调递减区间； (3)若在上的值域为，求的取值范围. 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期中）已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·浙江·期末）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江西·模拟预测）已知向量，其中，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江西·一模）若函数的定义域内存在，（），使得成立，则称为“完整函数”．已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西·模拟预测）函数的最大值为1，最小值为，则（    ） A． B．1 C． D． 7．（24-25高三上·四川雅安·阶段练习）若，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25高一下·浙江·开学考试）已知，若，则的取值范围是 . 10．（24-25高三上·江苏连云港·期中）若，则 . 11．（23-24高一下·山东日照·期末）已知角，均为锐角，且，满足，的值为 ． 12．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为，它与原点的距离是．我们规定：比值，，分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作，，，即，，，把，，分别叫做余切函数、余割函数、正割函数. （1）已知，则的最大值为 ； （2）设，则的最小值为 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$