专题01 两角和与差的三角函数（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题01 两角和与差的三角函数 目录 【题型一 利用两角和差公式求函数值】 2 【题型二 利用两角和差公式求角】 3 【题型三 逆用两角和差公式求值】 4 【题型四 利用两角和差公式求函数最值】 5 【题型五 两角和差公式与数学文化】 5 一、两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 二、两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 三、两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 【题型一 利用两角和差公式求函数值】 1．（百师联盟2025届高三下学期开学摸底联考数学试卷B）已知，，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高三上·河南周口·期末）当，时，，则（   ） A． B．0 C． D．1 3．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东广州·期末）已知则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东广州·期末）若，则 6．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知. (1)求； (2)若，且，求. 【题型二 利用两角和差公式求角】 1．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，．若，，则的值是 ． 3．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，，则 ； 4．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知为锐角，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 5．（23-24高一上·安徽黄山·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边都在第一象限，并且与单位圆的交点分别为，如图所示，已知点的纵坐标为，点的横坐标为．求： (1)的值； (2)在内与终边相同的角． 6．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知，都是锐角，，． (1)求的值； (2)求角的值． 【题型三 逆用两角和差公式求值】 1．（23-24高二上·陕西咸阳·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知，，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·浙江台州·期末）在中，，且，则的值不可以是（   ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知，则（ ） A．1 B． C． D．2 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）求值： (1)； (2)； (3)． 【题型四 利用两角和差公式求函数最值】 1．（2025·福建·模拟预测）已知，若，当取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北·期末）已知，，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一上·天津南开·期末）已知，，且，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 4．（24-25高三下·全国·开学考试）已知，，则的最小值为 . 5．（24-25高一上·福建福州·期末）已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 【题型五 两角和差公式与数学文化】 1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·云南大理·阶段练习）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是（    ） A．每一个直角三角形的面积为 B． C． D． 4．（2025·江西南昌·模拟预测）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离. 一、单选题 1．（24-25高三上·河南周口·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南怀化·期末）已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河南·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·四川成都·期末）已知角，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（    ） A． B． C．2 D．1 二、多选题 8．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 9．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，且，则的值可能为（    ） A． B． C． D．8 三、填空题 10．（2025高三·全国·专题练习）已知，均为锐角，且满足，，则值为 ． 11．（24-25高一上·河南许昌·期末）已知且满足，则的最大值为 ． 12．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）若，，且，则的最小值为 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 两角和与差的三角函数 目录 【题型一 利用两角和差公式求函数值】 2 【题型二 利用两角和差公式求角】 5 【题型三 逆用两角和差公式求值】 11 【题型四 利用两角和差公式求函数最值】 14 【题型五 两角和差公式与数学文化】 17 一、两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 二、两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 三、两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 【题型一 利用两角和差公式求函数值】 1．（百师联盟2025届高三下学期开学摸底联考数学试卷B）已知，，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】先由同角的三角函数结合两角和的余弦展开式解方程得到，，再由两角差的余弦展开式计算即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，， 所以 故选： 2．（24-25高三上·河南周口·期末）当，时，，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、cos2x的降幂公式及应用、给值求角型问题 【分析】先根据降幂扩角公式化简，再进行拆角，结合两角和差的正弦公式化简即可求出，最后根据角的范围求出即可. 【详解】因为， 所以， 所以，因 所以， 所以，即 因为，时，， 所以，则. 故选：D. 3．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先切化弦，再结合两角和差正弦公式计算得出，，计算化简即可得出选项. 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选: 4．（24-25高一上·广东广州·期末）已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】首先要根据已知角的范围求出相关角的余弦值，然后利用两角差公式将所求的转化为已知角的三角函数组合来求解. 【详解】已知，那么. 因为，根据，可得： . 把变形为. 由两角差公式可得： . 把，，，代入上式得： . 故选：B. 5．（24-25高一上·广东广州·期末）若，则 【答案】5 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据正弦的和差角公式可得，即可利用弦切互化求解. 【详解】由可得， 故， 故答案为：5 6．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知. (1)求； (2)若，且，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，结合正弦余弦齐次式，弦化切即可求解; （2）利用同角三角函数的基本关求出，根据二倍角的正切公式求出，再由两角和的正切公式求解即可. 【详解】（1） , . （2） ,且 , , , , , , , . 【题型二 利用两角和差公式求角】 1．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据条件可得，结合两角和的正弦公式可得结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故. 故选：C. 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，．若，，则的值是 ． 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】先结合的范围求出. 再根据已知条件求出，再利用二倍角公式求出和，然后利用两角差公式求出，最后根据、的范围确定的值. 【详解】因为，所以. 已知， . 由两角和公式. 可得.   因为，则. 已知，可. ，. 又因为，，所以，. . 可得. 因为，，则,所以，又，所以.   故答案为：. 3．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，，则 ； 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，再根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以，又，所以. 所以， 同时也能确定. 因为，，， 所以， 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故答案为：. 4．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知为锐角，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系求解即可； （2）根据和正弦的两角差公式求解即可. 【详解】（1）因为为锐角，，从而， 所以. （2）由及，，解得，， 又，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以. 5．（23-24高一上·安徽黄山·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边都在第一象限，并且与单位圆的交点分别为，如图所示，已知点的纵坐标为，点的横坐标为．求： (1)的值； (2)在内与终边相同的角． 【答案】(1) (2) 【知识点】找出终边相同的角、由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由三角函数的定义可得，再由同角三角函数的关系以及余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）由正弦的和差角公式代入计算可得，然后求得的范围，再结合余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由三角函数的定义知，. 又的终边都在第一象限， 所以，. 所以. （2）， ，， ，又由（1）知， ， ， ， ， 所以在范围内与终边相同的角是. 6．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知，都是锐角，，． (1)求的值； (2)求角的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）由同角三角函数商的关系及平方关系求解即可； （2）由，求得，即可求解. 【详解】（1）因为，所以 又为锐角，，所以． 又， 解方程可得 （2）由，，可得 因为，，所以      因为，所以， 解得． 【题型三 逆用两角和差公式求值】 1．（23-24高二上·陕西咸阳·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由两角和与差的三角公式化简后再比较． 【详解】由得， ,, 所以, 故选：A． 2．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题、给值求角型问题 【分析】把两个方程移项平方以后再相加即可判断AB，然后再根据三角函数值以及角的范围计算出和即可判断CD. 【详解】由得，两边平方得：，① 由得，两边平方得：，② ①+②得：， 因为，所以 ， 由可得：，即， 所以， 又，所以， 所以，故A错误； 由，两边平方得，③ 由得，两边平方得：，④     ③+④得：， 因为，所以，故， 由，，可得，故C正确，D错误； 综上不是定值，故B错误.     故选：C 3．（24-25高三上·浙江台州·期末）在中，，且，则的值不可以是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由，结合题意可得，进而得到，又，令，可得，令，利用函数单调性求得的值域即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 令，因为，所以，所以， 则，所以， 令， 函数和在上都单调递增， 所以在上单调递减，故， 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：通过，求得，进而得到，是解决本题的关键. 4．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角差的正切公式结合给定条件建立方程，求解即可. 【详解】因为，所以， 故， 因为， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C． 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用正切的两角和差公式化简求值即可. 【详解】（1）． （2）由的变形得: ， 所以． （3） ． 【题型四 利用两角和差公式求函数最值】 1．（2025·福建·模拟预测）已知，若，当取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】应用两角和差的正弦公式计算化简得出，换元再结合两角差的正切结合基本不等式计算求出最大值，得出取等条件即可. 【详解】由可知，， 所以，可得， 设，因为，所以， 则，当且仅当时，等号成立， 故选:D． 2．（24-25高三上·河北·期末）已知，，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】正切函数的诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值、基本（均值）不等式的应用 【分析】根据已知及诱导公式、和角正切公式有，令，再应用基本不等式得，即可求最小值. 【详解】由题意知，， 即， 令，则不等式化为, 当且仅当时取等号，的最小值为4. 故选：C 3．（24-25高一上·天津南开·期末）已知，，且，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、基本不等式求和的最小值 【分析】利用和差公式、二倍角公式和同角三角函数基本关系化简得到，然后利用基本不等式和三角函数的性质求最值即可. 【详解】由，得， 则， 则， 因为，所以，则， 当且仅当时，等号成立，从而，又， 所以当取得最大值时，取得最小值，且最小值为. 故选：B. 4．（24-25高三下·全国·开学考试）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】将已知两个等式两边平方后，再相加，得到，由得到方程，求出，，再通过验证得到的最小值. 【详解】将已知两个等式两边平方后，再相加， 得，即， 因为，所以，所以， 解得，即 当，得，不妨设，， 又，解得，， 则符合题意. 故答案为： 5．（24-25高一上·福建福州·期末）已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】首先得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】都是锐角，所以， 由， 可得， 由基本不等式有， 所以， 可得或（舍） 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【题型五 两角和差公式与数学文化】 1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据已知条件求出和的值，利用两角和与差的三角函数公式求出结果即可. 【详解】由题意可知，设直角三角形两直角边为a，， 则，解得， ， ， 故选：B 2．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】由题设得利用向量夹角公式求得，根据新定义及正余弦齐次运算可求目标函数值. 【详解】由题意得 则， 又， ∴， ∴，， ， 故选： 3．（多选）（23-24高一下·云南大理·阶段练习）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是（    ） A．每一个直角三角形的面积为 B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】三角函数定义的其他应用、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】根据已知，利用正方形、直角三角形的性质以及和角公式计算求解. 【详解】由题可知，可知大的正方形的边长为，小正方形的边长为， 每一个直角三角形的面积为，故A正确； 如图，设直角三角形的两直角边分别为，则，， 所以，则，如下图， 因为，，，， 所以，故B错误； ，故C正确； 因为，，，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 4．（2025·江西南昌·模拟预测）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离. 【答案】(1)，余弦距离为； (2). 【知识点】距离新定义、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据题设中距离的定义求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离即可； （2）根据已知可得、，再结合及正余弦和差公式、平方关系求得、，进而求出M、P的坐标，再由曼哈顿距离的定义求结果. 【详解】（1）由题设定义知：， ，则余弦距离为； （2），又，则， ，则， 所以，结合，， 所以，可得或， 由，即，故，则， ， ， 所以，，则. 一、单选题 1．（24-25高三上·河南周口·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】通过把拆解成与的关系式可求得的值，根据同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角和、差的正弦公式可得结果. 【详解】∵，∴， ∴， ∵，∴，故， ∴， ∴ . 故选：A. 2．（24-25高一上·湖南怀化·期末）已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出，再由两角差的余弦公式求出，即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是由所给条件推导出、的值. 3．（2024·河南·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角和和差角公式化简已知，得，再由角的范围和诱导公式得，从而得解. 【详解】由， 得， 又，所以，所以， 所以， 即， 因为，， 所以， 且在上单调递增，所以， 所以，则， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：化简得后，利用诱导公式得，是解题关键. 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、条件等式求最值 【分析】由已知可得，结合基本不等式可求的最小值. 【详解】因为， 所以 所以， 所以，所以， 当时，，等式变为，显然不成立， 所以，所以， 所以 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 所以的最小值为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：利用三角恒等变换得到，最值问题常常借助基本不等式求解. 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式求和的最小值、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得. 【详解】若，则， 所以， 所以，即， ， 若使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角函数中的凑角技巧 ； ； . 6．（23-24高一下·四川成都·期末）已知角，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】运用拆角变换由和求得，再将拆角后展开，代入以上结论即得. 【详解】由， 因，代入可得，， 则. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查和（差）角公式在求解函数值上的应用，属于难题. 解题的关键在于两次拆角变换，①，利用题设求得；②，利用已知和所得结论求解. 7．（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值、正、余弦齐次式的计算 【分析】由，两边同时除以得，再将用表示，再结合基本不等式求出的最大值及此时的值，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由， 两边同时除以得， 所以， 因为，均为锐角，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取得最大值时，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将已知变形成是解决本题的关键. 二、多选题 8．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】AC 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据两角和与差的正弦和正切公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】对于A，因为， 又， 所以，则，故A正确； 对于BCD，令，则， 因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即，，，即时取等号， 所以有最大值，故C正确，BD错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分利用这一式子，结合正弦函数的和差公式得到，从而得解. 9．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，且，则的值可能为（    ） A． B． C． D．8 【答案】ACD 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、基本不等式求和的最小值 【分析】借助二倍角公式及两角和差公式化简，得到，再利用基本不等式得到其取值范围，从而得到答案. 【详解】因为 所以， ， ， 因为，所以， 所以， ， ，又， 所以，即， 所以 ， 当时，， 当且仅当，即等号成立； 当时，， 即，当且仅当，即时的等号成立， 综上，，即， 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：灵活变换，利用，两角和与差公式化简已知的等式是解本题的关键. 三、填空题 10．（2025高三·全国·专题练习）已知，均为锐角，且满足，，则值为 ． 【答案】/90° 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据二倍角公式可得，，两式相除化简得，结合，均为锐角可得结果. 【详解】∵，∴ ， ∵，∴ ， 、两式相除得：， ∴，即， ∵，均为锐角，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 11．（24-25高一上·河南许昌·期末）已知且满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式求和的最小值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】首先利用三角函数的两角差公式对展开，再结合同角三角函数的基本关系以及弦化切结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 则. 所以. 即. 则. 等式两边同时除以得.. 则，即. 所以. 设，因为，所以， 则. 因为，当且仅当，即时等号成立. 所以.则的最大值. 故答案为：. 12．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）若，，且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、基本不等式求和的最小值 【分析】根据二倍角公式以及差角公式可得，进而得到，然后中用代换，化简后利用基本不等式求出最值. 【详解】由得，， 又，所以，所以， 所以， 因为，，，所以， 则，即， 当且仅当时，即时等号成立. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$