18 2024年局属四校学业水平第二次阶段性质量检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东青岛专版）

— １０３— — １０４— — １０５— 　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题（本题满分３０分，共有１０道小题，每小题 ３分） １．一个数的倒数是１ １ ４ ，这个数是 （　　） Ａ． ５ ４ Ｂ． ４ ５ Ｃ．１．２５ Ｄ．０．７５ ２．民族图案是数学文化中的一块瑰宝。下列图案中， 是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ３．奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为 １４０纳米 （１纳米＝０．００００００００１米）。“１４０纳米”用科学 记数法表示为 （　　） Ａ．１．４×１０－１１米 Ｂ．０．１４×１０－１０米 Ｃ．１．４×１０－７米 Ｄ．０．１４×１０－６米 ４．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ５．下列运算正确的是 （　　） Ａ．ａ２·ａ３＝ａ６ Ｂ．（－１）－１＋（－１）０＝０ Ｃ．３５ｘ３ｙ２÷５ｘ２ｙ２＝７ｘｙ Ｄ．ａ２ｍ＝（－ａ２）ｍ ６．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试， 每人１０次射击成绩的平均数ｘ（单位：环）及方 差ｓ２如下表，根据表中数据，要从中选择一名 成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 （　　） 甲 乙 丙 丁 ｘ ９ ８ ８ ９ ｓ２ １．６ ０．８ ３ ０．８ Ａ．甲 Ｂ．乙 Ｃ．丙 Ｄ．丁 ７．如图，把平面直角坐标系中的△ＡＢＣ经过一定 的变换得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，若△ＡＢＣ内有一点Ｐ的 坐标为（ａ，ｂ），则它的对应点Ｐ′的坐标为 （　　） Ａ．（ａ－２，ｂ） Ｂ．（ａ＋２，ｂ） Ｃ．（ａ＋２，－ｂ） Ｄ．（－ａ－２，－ｂ） ８．如图，菱形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，点Ｐ是边ＡＢ上一动点（不与点Ａ，Ｂ重合）， ＰＥ⊥ＯＡ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＯＢ于点 Ｆ。若 ＡＣ＝２０， ＢＤ＝１０，则ＥＦ的最小值为 （　　） 槡 槡 槡Ａ．２２ Ｂ．２３ Ｃ．４ Ｄ．２５ ９．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝槡５，ＢＣ＝２，以 ＡＢ 为直径的⊙Ｏ分别交ＡＣ，ＢＣ两边于点 Ｄ，Ｅ，则 △ＣＤＥ的面积为 （　　） Ａ． ２ ５ Ｂ． ４ ５ Ｃ．槡 ５ ５ Ｄ．槡 ２５ ５ １０．如图，二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象过点Ａ（３，０）， 对称轴为直线ｘ＝１，其中正确的结论为 （　　） ①ａｂｃ＜０；②ａ＋ｂ＋ｃ≥ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ；③若 Ｍ（ｎ２＋１， ｙ１），Ｎ（ｎ ２＋２，ｙ２）是函数图象上的两点，则 ｙ１＞ ｙ２；④若关于 ｘ的一元二次方程 ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ｐ（ｐ＞０）有整数根，则ｐ的值有２个。 Ａ．①②③④ Ｂ．①②③ Ｃ．①②④ Ｄ．②③④ 二、填空题（本题满分１８分，共有６道小题，每小题 ３分） １１．（ｘ２槡ｘ－３２ｘ槡 ３）÷８ ｘ ４槡 ＝　　　　。 １２．如图，正比例函数 ｙ１＝－３ｘ的图象与反比例函 数ｙ２＝ ｋ ｘ 的图象交于Ａ，Ｂ两点。点Ｃ在ｘ轴负 半轴上，ＡＣ＝ＯＡ，△ＡＣＯ的面积为 １２，则 ｋ＝ 　　　　。 １３．如图，已知 ＡＢ∥ＣＤ，直线 ＥＦ分别与 ＡＢ，ＣＤ 相交于Ｅ，Ｆ两点，∠ＥＦＤ的平分线交 ＡＢ于 点 Ｇ。如果∠ＧＥＦ＝４０°，那么∠ＥＧＦ等于 　　　　。 １４．如图，在扇形 ＡＢＤ中，∠ＢＡＤ＝６０°，ＡＣ平分 ∠ＢＡＤ交弧ＢＤ于点Ｃ，Ｐ是半径ＡＢ上一动 点，若 ＡＢ＝４，则阴影部分周长的最小值为 　　　　。 １５．老师用１０个１ｃｍ×１ｃｍ×１ｃｍ的小正方体摆 出一个立体图形，它的主视图如图１所示，且 图中任意两个相邻的小正方体至少有一条 棱（１ｃｍ）共享，或有一面（１ｃｍ×１ｃｍ）共享。 老师拿出一张 ３ｃｍ×４ｃｍ的方格纸（如图 ２），请小亮将此 １０个小正方体依主视图摆 放在方格纸中的方格内，小亮摆放后的几何 体表面积最大为　　　　 ｃｍ２。（小正方体 摆放时不得悬空，每一小正方体的棱均与水 平线垂直或平行） 图１ 　　 图２ １６．如图，在边长为４的正方形ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，Ｅ在ＢＤ上，作ＥＦ⊥ＣＥ交 ＡＢ于点Ｆ，连接ＣＦ交ＢＤ于点Ｈ，则下列结 论正确的有　　　　。（填写序号） ①ＥＦ＝ＥＣ； ②ＣＦ２＝ＣＧ·ＡＣ； ③ＢＥ·ＤＨ＝１６； ④若ＢＦ＝１，则ＤＥ＝槡 ３２ ２ 。 三、作图题（本题满分４分。用直尺、圆规作图，不 写作法，但要保留作图痕迹） １７．电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按 照设计要求，发射塔到两个城镇 Ａ，Ｂ的距离必 须相等，到两条高速公路 ＯＭ，ＯＮ的距离也必 须相等，发射塔Ｐ应修建在什么位置？ 四、解答题（本题满分６８分，共有９道小题） １８．（６分）（１）化简：４－ ４ ｘ( )÷ｘ ２－１ ｘ ； （２）解不等式组－３≤１－ ３ｘ－１ ２ ＜５，并求出所有非 负整数解。 １９．（６分）在四张编号为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的卡片（除编号 外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整 数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张， 不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张。 （１）请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡 片的所有可能出现的结果（卡片用 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 表示）； （２）我们知道，满足ａ２＋ｂ２＝ｃ２的三个正整数ａ，ｂ，ｃ 成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数 的概率。 Ａ ２，３，４ Ｂ ３，４，５ Ｃ ６，８，１０ Ｄ ５，１２，１３                                                                                                                                                                                                                     １８２０２４年局属四校学业水平第二次阶段性质量检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — １０６— — １０７— — １０８— ２０．（６分）图１是安装在倾斜屋顶上的热水器，图２ 是安装热水器的侧面示意图。已知屋面 ＡＥ的 倾斜角∠ＥＡＤ为２２°，长为３米的真空管 ＡＢ的 坡度为１∶ ４ ３ ，安装热水器的铁架竖直管 ＣＥ的 长度为０．５米。 （１）求真空管上端Ｂ到水平线ＡＤ的距离； （２）求安装热水器的铁架水平横管 ＢＣ的长度 （结果精确到０．１米）。 参考数据：ｓｉｎ２２°≈ ３ ８ ，ｃｏｓ２２°≈ １５ １６ ，ｔａｎ２２°≈０．４( ) 图１ 　　 图２ ２１．（６分）某重点中学九年级共有６００名学生，为 了解该年级学生 Ａ，Ｂ两门课程的学习情况， 从中随机抽取６０名学生进行测试，获得了他 们的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整 理，描述和分析。下面给出了部分信息。 ａ．Ａ课程成绩的数据分成 ６组：４０≤ｘ＜５０， ５０≤ｘ＜６０，６０≤ｘ＜７０，７０≤ｘ＜８０，８０≤ｘ＜９０， ９０≤ｘ＜１００，每组对应的人数如表： 组别 ４０≤ｘ ＜５０ ５０≤ｘ ＜６０ ６０≤ｘ ＜７０ ７０≤ｘ ＜８０ ８０≤ｘ ＜９０ ９０≤ｘ ＜１００ 人数 ２ ６ １２ １４ １８ ８ ｂ．Ａ课程成绩在 ７０≤ｘ＜８０这一组的为 ７０， ７１，７１，７１，７６，７６，７７，７８，７８．５，７８．５，７９，７９， ７９，７９．５。 ｃ．Ａ，Ｂ两门课程成绩的平均数、中位数、众数 如表： 课程 平均数 中位数 众数 Ａ ７５．８ ｍ ８４．５ Ｂ ７２．２ ７０ ８３ 根据以上信息，回答下列问题： （１）写出表中ｍ的值； （２）在此次测试中，某学生的 Ａ课程成绩为 ７６分，Ｂ课程成绩为７１分。这名学生成绩排 名更靠前的课程是　　　　（填“Ａ”或 “Ｂ”），理由是 　 　； （３）假设该年级学生都参加此次测试，估计Ａ 课程成绩超过７５．８分的人数。 ２２．（８分）某工程队承接一铁路工程，在挖掘一条 ５００米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时 每天挖掘的长度是原计划的１．５倍，结果提前 了２５天完成了其中３００米的隧道挖掘任务。 （１）求实际每天挖掘多少米； （２）由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要 求完成整条隧道不超过 ７０天，那么为了完成 剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上， 至少每天还应多挖掘多少米？ ２３．（８分）【问题背景】 如图 １，△ＡＢＣ是一张等腰直角三角形纸板， ∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝２。取ＡＣ，ＢＣ，ＡＢ的中点进 行第１次剪取，记所得正方形面积为Ｓ１。如图 ２，在余下的△ＡＤＥ和△ＢＤＦ中，用同样的方法 分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为 第２次剪取，并记这两个正方形面积和为Ｓ２。 【问题探究】 （１）Ｓ２＝　　　　； （２）如图３，再在余下的四个三角形中，用同样 方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形， 称为第３次剪取，并记这四个正方形面积和为 Ｓ３……继续操作下去，则第１０次剪取时，Ｓ１０＝ 　　　　；第ｎ次剪取时，Ｓｎ＝　　　　； 【拓展延伸】 在第１０次剪取后，余下的所有小三角形的面 积之和为　　　　。 图１ 　 图２ 　 图３ ２４．（８分）已知：如图，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ， Ｆ分别在ＢＣ和ＣＤ上，ＡＥ＝ＡＦ。 （１）求证：ＢＥ＝ＤＦ； （２）连接ＡＣ交ＥＦ于点Ｏ，延长ＯＣ至点Ｍ， 使ＯＭ＝ＯＡ，连接ＥＭ，ＦＭ，判断四边形ＡＥＭＦ 是什么特殊四边形？并证明你的结论。 ２５．（１０分）某景区有两个景点需购票游览，售票处 出示的三种购票方式如下： 方式１：只购买景点Ａ，３０元／人； 方式２：只购买景点Ｂ，５０元／人； 方式３：景点Ａ和Ｂ联票，７０元／人。 预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别 有２万、１万和１万。为增加收入，对门票价格 进行调整，发现当方式１和２的门票价格不变 时，方式３的联票价格每下降１元，将有原计划 只购买Ａ门票的４００人和原计划只购买Ｂ门票 的６００人改为购买联票。 （１）若联票价格下降５元，则购买方式１门票的 人数有　　　　万，购买方式２门票的人数有 　　　　万，购买方式 ３门票的人数有 　　　　万；并计算门票总收入有多少万元； （２）当联票价格下降ｘ（元）时，请求出四月份的 门票总收入ｗ（万元）与ｘ（元）之间的函数关系 式，并求出联票价格为多少元时，四月份的门票 总收入最大，最大值为多少万元？ ２６．（１０分）如图，已知 Ｒｔ△ＯＡＢ，∠ＯＡＢ＝９０°， ∠ＡＢＯ＝３０°，斜边 ＯＢ＝８ｃｍ，将 Ｒｔ△ＯＡＢ绕点 Ｏ 顺时针旋转６０°，得到△ＯＤＣ，连接ＢＣ。点Ｍ从点 Ｄ出发，沿 ＤＢ方向匀速行动，速度为 １ｃｍ／ｓ；同 时，点Ｎ从点 Ｏ出发，沿 ＯＣ方向匀速运动，速度 为２ｃｍ／ｓ；当一个点停止运动，另一个点也停止运 动，连接ＡＭ，ＭＮ，ＭＮ交 ＣＤ于点 Ｐ。设运动时间 为ｔｓ（０＜ｔ＜４），解答下列问题： （１）当ｔ为何值时，ＭＯ平分∠ＡＭＮ？ （２）设四边形 ＡＭＮＯ的面积为 Ｓ（ｃｍ２），求 Ｓ与 ｔ 的函数关系式； （３）在运动过程中，是否存在某一时刻ｔ，使点Ｐ是 线段ＣＤ的中点？若存在，求出ｔ的值；若不存在， 请说明理由。 　　 备用图                                                                                                                                                                                                                            ＝１ ２ （４＋８）×３－ １ ２ ＡＤ·ＰＫ－ １ ２ ＢＱ·ＰＮ－ １ ２ ＣＱ·ＣＤ ＝１８－ １ ２ ×４× ３ ５ ｔ＋ ３ ５( ) －１２×２ｔ× １２５－３５ｔ( ) －１２× （８－２ｔ）×３＝ ３ ５ ｔ２－ ３ ５ ｔ＋ ２４ ５( ) ｃｍ２。 ∴Ｓ与ｔ的函数关系式为 Ｓ＝ ３ ５ ｔ２－ ３ ５ ｔ＋ ２４ ５ （０＜ｔ＜ ４）。 （３）∵ＤＱ平分四边形ＰＱＣＤ的面积， ∴Ｓ△ＰＤＱ＝Ｓ△ＤＣＱ。 ∴ ３ ５ ｔ２－ ３ ５ ｔ＋ ２４ ５ ＝１ ２ ×（８－２ｔ）×３， 解得ｔ＝２或ｔ＝－６（不合题意，舍去）。 ∴当ｔ＝２时，ＤＱ平分四边形ＰＱＣＤ的面积。 （４）①当ＢＰ＝ＰＱ时，如图３。 图３ ∵ＢＰ＝ＰＱ，ＰＮ⊥ＢＱ， ∴ＢＮ＝ＱＮ＝ １ ２ ＢＱ＝ｔｃｍ。 ∵ＰＮ∥ＡＭ， ∴△ＢＰＮ∽△ＢＡＭ。 ∴ ＢＰ ＢＡ ＝ＢＮ ＢＭ 。 ∴ ４－ｔ ５ ＝ｔ ４ 。 ∴ｔ＝ １６ ９ ； ②当ＢＰ＝ＢＱ时，４－ｔ＝２ｔ， ∴ｔ＝ ４ ３ ； ③当ＢＱ＝ＰＱ时， 如图４，过点Ｑ作ＱＬ⊥ＢＰ于点Ｌ， 图４ ∴ＢＬ＝ＰＬ＝ １ ２ ＢＰ＝２－ １ ２ ｔ( ) ｃｍ。 ∵∠Ｂ＝∠Ｂ，∠ＱＬＢ＝∠ＢＭＡ＝９０°， ∴△ＢＬＱ∽△ＢＭＡ。 ∴ ＢＬ ＢＱ ＝ＢＭ ＢＡ 。 ∴ ２－ １ ２ ｔ ２ｔ ＝４ ５ 。 ∴ｔ＝ ２０ ２１ 。 综上所述，当 ｔ为 １６ ９ 或 ４ ３ 或 ２０ ２１ 时，△ＢＰＱ是等腰 三角形。 １８２０２４年局属四校学业水平第二次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ｄ Ａ Ａ １．Ｂ　【解析】∵一个数的倒数是１ １ ４ ＝５ ４ ，∴这个数 是 ４ ５ 。故选Ｂ。 ２．Ｂ　【解析】Ａ不是轴对称图形，是中心对称图形， 故本选项错误；Ｂ是轴对称图形，不是中心对称图 形，故本选项正确；Ｃ不是轴对称图形，是中心对称 图形，故本选项错误；Ｄ既是轴对称图形，也是中心 对称图形，故本选项错误。故选Ｂ。 ３．Ｃ　【解析】１４０纳米＝１４０×０．００００００００１米＝１．４× １０－７米。故选Ｃ。 ４．Ｃ　【解析】Ａ．主视图是 ，故选项错误； Ｂ．主视图是 ，故选项错误；Ｃ．主视图、 左视图以及俯视图均符合图中要求，故选项正确； Ｄ．主视图是 ，故选项错误。故选Ｃ。 ５．Ｂ　【解析】∵ａ２·ａ３＝ａ２＋３＝ａ５，∴Ａ选项的运算不 正确；∵（－１）－１＋（－１）０＝－１＋１＝０，∴Ｂ选项的运 算正确；∵３５ｘ３ｙ２÷５ｘ２ｙ２＝７ｘ，∴Ｃ选项的运算不正 确；∵当ｍ为偶数时，ａ２ｍ＝（－ａ２）ｍ；当ｍ为奇数时， ａ２ｍ＝－（－ａ２）ｍ，∴Ｄ选项的运算不正确。故选Ｂ。 ６．Ｄ　【解析】由表知甲、丁射击成绩的平均数相等， 且大于乙、丙的平均数，∴从甲、丁中选择一人参加 比赛。∵丁的方差较小，∴丁发挥稳定。∴选择丁 参加比赛。故选Ｄ。 ７．Ｄ　【解析】由题图可知，△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′关于点 （－１，０）成中心对称，设点Ｐ′的坐标为（ｘ，ｙ）。 所以 ａ＋ｘ ２ ＝－１， ｂ＋ｙ ２ ＝０。解得ｘ＝－ａ－２，ｙ＝－ｂ。所以 Ｐ′（－ａ－２，－ｂ）。故选Ｄ。 ８．Ｄ　【解析】如图，连接ＯＰ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＡＣ＝２０，ＢＤ＝１０，                                                                —１６— ∴ＡＣ⊥ＢＤ， ＯＡ＝ １ ２ ＡＣ＝１０， ＯＢ＝ １ ２ ＢＤ＝５。 ∴∠ＡＯＢ＝９０°。 在Ｒｔ△ＡＢＯ中，由勾股定理，得ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２＝ １０２＋５槡 ２＝槡５５。∵ＰＥ⊥ＯＡ于点 Ｅ，ＰＦ⊥ＯＢ于点 Ｆ，∴∠ＯＥＰ＝∠ＯＦＰ＝９０°。∴四边形 ＯＥＰＦ是矩 形。∴ＥＦ＝ＯＰ。当 ＯＰ取最小值时，ＥＦ的值最小， ∴当 ＯＰ⊥ＡＢ时，ＯＰ最小。此时，Ｓ△ＡＢＯ＝ １ ２ ＯＡ· ＯＢ＝ １ ２ ＡＢ·ＯＰ，∴ＯＰ＝ １０×５ 槡５５ ＝ 槡２５。∴ＥＦ的最小 值为 槡２５。故选Ｄ。 ９．Ａ　【解析】如图，连接 ＡＥ，则 ＡＥ⊥ＢＣ。又∵ＡＢ＝ＡＣ，∴Ｅ是ＢＣ 的中点，即ＢＥ＝ＣＥ＝１。 在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＡＢ＝槡５，ＢＥ＝１， 由勾股定理，得ＡＥ＝２。 ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＢＣ·ＡＥ＝２。 ∵四边形ＡＢＥＤ内接于⊙Ｏ，∴∠ＣＤＥ＝∠ＣＢＡ， ∠ＣＥＤ＝∠ＣＡＢ。∴△ＣＤＥ∽△ＣＢＡ。 ∴Ｓ△ＣＤＥ∶Ｓ△ＡＢＣ＝ＣＥ ２∶ＡＣ２＝１∶５。 ∴Ｓ△ＣＤＥ＝ １ ５ Ｓ△ＡＢＣ＝ ２ ５ 。故选Ａ。 １０．Ａ　【解析】∵抛物线开口向下，∴ａ＜０。∵抛物线 的对称轴为直线ｘ＝－ ｂ ２ａ ＝１＞０，∴ｂ＝－２ａ＞０。∵抛 物线与ｙ轴的交点在ｘ轴上方，∴ｃ＞０。∴ａｂｃ＜０。 故①正确；由图象可得当ｘ＝１时，ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ最大， ∴ａ＋ｂ＋ｃ≥ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ。故②正确；∵Ｍ（ｎ２＋１，ｙ１）， Ｎ（ｎ２＋２，ｙ２）在对称轴右侧，ｎ ２＋１＜ｎ２＋２，∴ｙ１＞ｙ２。故 ③正确；∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝１，与ｘ轴的交 点为（３，０），（－１，０），∴把（３，０）代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，得 ０＝９ａ＋３ｂ＋ｃ。∵ｂ＝－２ａ，∴９ａ－６ａ＋ｃ＝０。∴ｃ＝－３ａ。 ∴ｙ＝ａｘ２－２ａｘ－３ａ＝ａ（ｘ－１）２－４ａ（ａ＜０）。∴顶点坐标 为（１，－４ａ）。由图象可得当０＜ｙ≤－４ａ时，－１＜ｘ＜ ３，其中 ｘ为整数时，ｘ＝０，１，２。又∵当 ｘ＝０与 ｘ＝２时，关于直线ｘ＝１轴对称，当ｘ＝１时，直线ｙ＝ ｐ恰好过抛物线顶点，所以ｐ的值有２个。故④正 确。综上，正确的有①②③④。故选Ａ。 １１．－槡 ２ ２ ｘ　【解析】由题可知，ｘ＞０， ∴（ｘ２槡 ｘ－３ ２ｘ槡 ３）÷８ ｘ ４槡 ＝（ｘ２槡 ｘ－３ｘ２槡 ｘ）÷ ８×槡 ｘ ２( ) ＝－２ｘ２槡 ｘ×１４槡ｘ＝－槡 ２ ２ ｘ。 １２．－１２　【解析】如图，过点 Ａ作 ＡＨ⊥ ｘ轴。∵ ＡＣ＝ＯＡ， ∴△ＡＯＣ是等腰三角形。 ∴ＣＨ＝ＯＨ。∴Ｓ△ＡＯＨ＝Ｓ△ＡＣＨ＝ １ ２ Ｓ△ＡＯＣ＝ １ ２ ×１２＝６＝ １ ２ ｜ｋ｜。 ∵该反比例函数的图象在第 二、四象限，即ｋ＜０，∴ｋ＝－１２。 １３．７０°　【解析】∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＥＦＤ＋∠ＧＥＦ＝１８０°， ∠ＥＧＦ＝∠ＤＦＧ。∵∠ＧＥＦ＝４０°，∴∠ＥＦＤ＝１８０°－ ∠ＧＥＦ＝１８０°－４０°＝１４０°。∵ＦＧ平分∠ＥＦＤ， ∴∠ＥＦＧ＝∠ＤＦＧ＝ １ ２∠ ＥＦＤ＝ １ ２ ×１４０°＝７０°。 ∴∠ＥＧＦ＝７０°。 １４．槡４２＋ ２π ３ 　【解析】如图，作点Ｃ关于ＡＢ的对称点 Ｃ′，连接Ｃ′Ｄ交ＡＢ于点Ｐ，连接ＡＣ′，此时ＰＣ＋ＰＤ 最小，即 ＰＤ＋ＰＣ′＝Ｃ′Ｄ。由题意，得∠ＣＡＤ＝ ∠ＣＡＢ＝∠ＢＡＣ′＝３０°，∴∠ＤＡＣ′＝９０°。∴ＣＤ′＝ ＡＤ２＋ＡＣ′槡 ２＝ ４２＋４槡 ２＝槡４２。∴ＣＤ ) 的长＝ ３０π×４ １８０ ＝ ２ ３π 。∴阴影部分周长的最小值为 槡４２＋ ２π ３ 。 １５．５２　【解析】如图，１０个小正方体像俯视图中这样 摆放时，几何体的表面积最大， 最大值＝２×６＋４×１０＝５２（ｃｍ２）。 俯视图 １６．①②③④　【解析】如图，过点 Ｅ作 ＥＭ⊥ＡＢ于点 Ｍ，ＥＮ⊥ＢＣ于点Ｎ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＡＢＣ＝９０°， ∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ＝４５°。 ∵ＥＭ⊥ＡＢ，ＥＮ⊥ＢＣ， ∴ＥＭ＝ＥＮ，四边形 ＥＭＢＮ是 矩形。 ∴四边形ＥＭＢＮ是正方形。 ∴∠ＭＥＮ＝９０°。 ∵ＥＦ⊥ＣＥ，∴∠ＭＥＮ＝∠ＦＥＣ＝９０°。 ∴∠ＭＥＦ＝∠ＮＥＣ。                                                                —２６— 在△ＭＥＦ和△ＮＥＣ中， ∠ＦＭＥ＝∠ＣＮＥ＝９０°， ＥＭ＝ＥＮ， ∠ＭＥＦ＝∠ＮＥＣ，{ ∴△ＭＥＦ≌△ＮＥＣ（ＡＳＡ）。 ∴ＥＦ＝ＥＣ。∴①的结论正确； ∵ＥＦ＝ＥＣ，ＥＦ⊥ＣＥ，∴∠ＥＦＣ＝４５°。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴∠ＣＡＢ＝４５°。 ∴∠ＣＡＢ＝∠ＣＦＥ。 ∵∠ＡＣＦ＝∠ＦＣＧ，∴△ＣＦＡ∽△ＣＧＦ。 ∴ ＣＡ ＣＦ ＝ＣＦ ＣＧ 。∴ＣＦ２＝ＣＧ·ＣＡ。∴②的结论正确； ∵ＥＦ＝ＥＣ，ＥＦ⊥ＣＥ，∴∠ＥＣＦ＝４５°。 ∴∠ＥＣＢ＝∠ＥＣＦ＋∠ＢＣＨ＝４５°＋∠ＢＣＨ。 ∵∠ＤＨＣ＝∠ＤＢＣ＋∠ＢＣＨ＝４５°＋∠ＢＣＨ， ∴∠ＥＣＢ＝∠ＤＨＣ。 ∵∠ＣＢＤ＝∠ＢＤＣ＝４５°，∴△ＢＣＥ∽△ＤＨＣ。 ∴ ＢＣ ＢＥ ＝ＤＨ ＣＤ 。∴ ４ ＢＥ ＝ＤＨ ４ 。∴ＢＥ·ＤＨ＝１６。 ∴③的结论正确； ∵ＢＦ＝１，∴ＡＦ＝ＡＢ－ＢＦ＝３。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＣ＝槡２ＡＢ＝槡４２。 ∵∠ＡＣＤ＝∠ＥＣＦ＝４５°，∴∠ＥＣＤ＝∠ＡＣＦ。 ∵∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢ＝４５°，∴△ＡＣＦ∽△ＤＣＥ。 ∴ ＡＦ ＡＣ ＝ＤＥ ＣＤ 。∴ ３ 槡４２ ＝ＤＥ ４ 。∴ＤＥ＝槡 ３２ ２ 。 ∴④的结论正确。 综上，正确的结论有①②③④。 １７．解：如图，作ＡＢ的垂直平分线与∠ＭＯＮ或∠ＱＯＮ的 平分线，交点Ｐ１，Ｐ２即为所求发射塔应修建的位置。 １８．解：（１）４－ ４ ｘ( ) ÷ｘ ２－１ ｘ ＝４ｘ －４ ｘ · ｘ （ｘ＋１）（ｘ－１） ＝ ４（ｘ －１） （ｘ＋１）（ｘ－１） ＝ ４ ｘ＋１ 。 （２） －３≤１－ ３ｘ－１ ２ ，① １－ ３ｘ－１ ２ ＜５，②{ 解不等式①，得ｘ≤３。 解不等式②，得ｘ＞－ ７ ３ 。 ∴该不等式组的解集为－ ７ ３ ＜ｘ≤３。 ∴该不等式组的非负整数解为０，１，２，３。 １９．解：（１）画树状图如下： （２）∵共有１２种等可能的结果，抽到的两张卡片 上的数都是勾股数的结果有６种， ∴抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率＝ ６ １２ ＝１ ２ 。 ２０．解：（１）如图，过点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＤ于点Ｆ。 在Ｒｔ△ＡＢＦ中， ＢＦ∶ＡＦ＝１∶ ４ ３ ＝３∶４， ＡＢ＝３米， 设ＢＦ＝３ｘ米， 则ＡＦ＝４ｘ米。 ∴（３ｘ）２＋（４ｘ）２＝３２，解得ｘ＝０．６（负值舍去）。 ∴ＢＦ＝３×０．６＝１．８（米）。 答：真空管上端Ｂ到水平线ＡＤ的距离为１．８米。 （２）在Ｒｔ△ＡＢＦ中， 由（１），得ＡＦ＝２．４米。 ∵ＢＦ⊥ＡＤ，ＣＤ⊥ＡＤ，ＢＣ∥ＤＦ， ∴四边形ＢＦＤＣ是矩形。 ∴ＢＦ＝ＣＤ＝１．８米，ＢＣ＝ＤＦ。 ∵ＣＥ＝０．５米， ∴ＤＥ＝ＣＤ－ＣＥ＝１．８－０．５＝１．３（米）。 在Ｒｔ△ＥＡＤ中，ｔａｎ∠ＥＡＤ＝ ＤＥ ＡＤ ， ∴ＡＤ＝ ＤＥ ｔａｎ∠ＥＡＤ ≈ １．３ ０．４ ＝３．２５（米）， ∴ＢＣ＝ＤＦ＝ＡＤ－ＡＦ＝３．２５－２．４≈０．９（米）。 答：安装热水器的铁架水平横管 ＢＣ的长度约为 ０．９米。 ２１．解：（１）∵随机抽取６０名学生进行测试， ∴中位数为第 ３０，３１个数据的平均数，而第 ３０， ３１个数据均在７０≤ｘ＜８０这一组。 ∴中位数在７０≤ｘ＜８０这一组。 ∵７０≤ｘ＜８０这一组的是７０，７１，７１，７１，７６，７６，７７， ７８，７８．５，７８．５，７９，７９，７９，７９．５， ∴Ａ课程的中位数为 ７８．５＋７９ ２ ＝７８．７５（分），即 ｍ＝７８．７５。 （２）∵该学生Ａ课程成绩为７６分，小于 Ａ课程成 绩的中位数，而Ｂ课程成绩为７１分，大于 Ｂ课程 成绩的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课 程是Ｂ。故答案为Ｂ，该学生Ａ课程成绩为７６分，                                                                —３６— 小于Ａ课程成绩的中位数，而 Ｂ课程成绩为 ７１ 分，大于Ｂ课程成绩的中位数。 （３）６００× １０＋１８＋８ ６０ ＝３６０。 答：估计Ａ课程成绩超过７５．８分的人数为３６０。 ２２．解：（１）设原计划每天挖掘 ｘ米，则实际每天挖掘 １．５ｘ米。根据题意，得 ３００ ｘ －３００ １．５ｘ ＝２５。 解得ｘ＝４。 经检验，ｘ＝４是原分式方程的解，且符合题意。 ∴１．５ｘ＝１．５×４＝６。 答：实际每天挖掘６米。 （２）设每天还应多挖掘ｙ米。 根据题意，得 ７０－ ３００ ６( ) （６＋ｙ）≥５００－３００。 解得ｙ≥４。 答：至少每天还应多挖掘４米。 ２３．解：（１）∵四边形ＥＣＦＤ是正方形， ∴ＤＥ＝ＣＥ＝ＣＦ＝ＤＦ，∠ＡＥＤ＝∠ＤＦＢ＝９０°。 ∵△ＡＢＣ是等腰直角三角形， ∴∠Ａ＝∠Ｂ＝４５°。 ∴ＡＥ＝ＤＥ＝ＣＥ＝ＤＦ＝ＢＦ＝ＣＦ。 ∵ＡＣ＝ＢＣ＝２，∴ＤＥ＝ＤＦ＝１。 ∴Ｓ△ＡＥＤ＋Ｓ△ＤＢＦ＝Ｓ正方形ＥＣＦＤ＝Ｓ１＝１。 同理，Ｓ２等于第２次剪取后剩余三角形面积和， ∴Ｓ１－Ｓ２＝１－ １ ２ ＝１ ２ ＝Ｓ２。故答案为 １ ２ 。 （２）∵Ｓｎ等于第ｎ次剪取后剩余三角形面积和， ∴第 １次剪取后剩余三角形面积和为 ２－Ｓ１＝ １＝Ｓ１； 第２次剪取后剩余三角形面积和为 Ｓ１－Ｓ２＝１－ １ ２ ＝１ ２ ＝Ｓ２； 第３次剪取后剩余三角形面积和为Ｓ２－Ｓ３＝ １ ２ －１ ４ ＝１ ４ ＝Ｓ３； …… 第１０次剪取后剩余三角形面积和为 Ｓ９－Ｓ１０＝ Ｓ１０＝ １ ２９ ； 第 ｎ次剪取后剩余三角形面积和为 Ｓｎ－１－Ｓｎ＝ Ｓｎ＝ １ ２ｎ－１ 。 故答案为 １ ２９ ， １ ２ｎ－１ 。 （３）在第１０次剪取后，余下的所有小三角形的面 积之和为Ｓ９－Ｓ１０＝Ｓ１０＝ １ ２９ 。 故答案为 １ ２９ 。 ２４．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°。 在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＡＤＦ中， ＡＦ＝ＡＥ， ＡＤ＝ＡＢ，{ ∴Ｒｔ△ＡＤＦ≌Ｒｔ△ＡＢＥ（ＨＬ）。∴ＢＥ＝ＤＦ。 （２）解：四边形ＡＥＭＦ是菱形。证明如下： ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＝４５°，ＢＣ＝ＣＤ。 ∵ＢＥ＝ＤＦ， ∴ＢＣ－ＢＥ＝ＣＤ－ＤＦ，即ＣＥ＝ＣＦ。 在△ＣＯＥ和△ＣＯＦ中， ＣＥ＝ＣＦ， ∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ， ＯＣ＝ＯＣ，{ ∴△ＣＯＥ≌△ＣＯＦ（ＳＡＳ）。 ∴ＯＥ＝ＯＦ。又∵ＯＭ＝ＯＡ， ∴四边形ＡＥＭＦ是平行四边形。 ∵ＡＥ＝ＡＦ，∴平行四边形ＡＥＭＦ是菱形。 ２５．解：（１）联票价格下降５元，购买方式１门票的人 数有２－０．０４×５＝１．８（万），购买方式２门票的人数 有１－０．０６×５＝０．７（万），购买方式３门票的人数有 １＋０．０４×５＋０．０６×５＝１．５（万）。 故答案为１．８，０．７，１．５。 ∵１．８×３０＋０．７×５０＋（７０－５）×１．５＝１８６．５（万元）， ∴门票总收入有１８６．５万元。 （２）根据题意，得ｗ＝３０（２－０．０４ｘ）＋５０（１－０．０６ｘ）＋ （７０－ｘ）（１＋０．０４ｘ＋０．０６ｘ）＝－０．１ｘ２＋１．８ｘ＋１８０＝ －０．１（ｘ－９）２＋１８８．１。 ∵－０．１＜０， ∴当ｘ＝９时，ｗ取最大值，最大值为１８８．１， 此时７０－９＝６１（元／人）。 ∴ｗ＝－０．１ｘ２＋１．８ｘ＋１８０，联票价格为６１元／人时， 四月份的门票总收入最大，最大值为１８８．１万元。 ２６．解：（１）∵在Ｒｔ△ＯＡＢ中，∠ＯＡＢ＝９０°， ∠ＡＢＯ＝３０°，ＯＢ＝８ｃｍ， ∴ＯＡ＝ １ ２ ＯＢ＝４ｃｍ，∠ＡＯＢ＝９０°－３０°＝６０°。 当ＭＯ平分∠ＡＭＮ时， ∵∠ＡＭＯ＝∠ＮＭＯ，ＯＭ＝ＯＭ， ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝６０°， ∴△ＡＭＯ≌△ＮＭＯ（ＡＳＡ）。 ∴ＯＡ＝ＯＮ＝４ｃｍ。 ∴２ｔ＝４。∴ｔ＝２。 （２）如图 １，ｈ１，ｈ２分别是△ＡＭＯ，△ＮＭＯ的边 ＯＭ，ＯＮ上的高，Ａ′是ｈ１与ＢＣ的交点。 根据旋转可知ＯＤ＝ＯＡ＝４ｃｍ， ∴ＯＭ＝（４＋ｔ）ｃｍ，ＯＮ＝２ｔｃｍ。 ∵∠ＡＯＭ＝∠ＮＯＭ＝６０°， ∴ｈ１＝ｓｉｎ６０°·ＯＡ＝ 槡３ ２ ×４＝槡２３（ｃｍ）， ｈ２＝ｓｉｎ６０°·ＯＭ＝（４＋ｔ）× 槡３ ２ ｃｍ。                                                                —４６— ∴Ｓ四边形ＡＭＮＯ＝Ｓ△ＡＯＭ＋Ｓ△ＯＭＮ ＝１ ２ ＯＭ·ｈ１＋ １ ２ ＯＮ·ｈ２ ＝１ ２ （４＋ｔ）· 槡２３＋ １ ２ （４＋ｔ）·槡３ｔ ＝（槡 ３ ２ ｔ２＋槡３３ｔ＋槡４３）ｃｍ ２。 ∴Ｓ与ｔ的函数关系式为 Ｓ＝槡 ３ ２ ｔ２＋槡３３ｔ＋槡４３（０＜ ｔ＜４）。 图１ 　 图２ （３）如图２，过点Ｃ作ＣＧ∥ＯＢ，交ＭＮ的延长线于 点Ｇ，∴∠１＝∠２。 ∵∠３＝∠４，ＰＤ＝ＰＣ，∴△ＰＤＭ≌△ＰＣＧ（ＡＡＳ）。 ∴ＤＭ＝ＣＧ＝ｔｃｍ。 ∵ＣＧ∥ＯＢ，∴△ＣＧＮ∽△ＯＭＮ。∴ ＣＧ ＯＭ ＝ＣＮ ＯＮ 。 ∵ＯＮ＝２ｔｃｍ，ＣＮ＝（８－２ｔ）ｃｍ， ＯＭ＝ＯＤ＋ＤＭ＝（４＋ｔ）ｃｍ， ∴ ｔ ４＋ｔ ＝８ －２ｔ ２ｔ 。解得ｔ＝槡２２（负值舍去）。 经检验，ｔ＝槡２２是原方程的解。 故ｔ＝槡２２时，点Ｐ是线段ＣＤ的中点。 １９２０２５年学业水平考试预测模拟卷（一） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｂ １．Ｄ　【解析】Ａ，Ｂ，Ｃ三个图形都只是中心对称图形， 不是轴对称图形，不符合题意；Ｄ既是中心对称图 形又是轴对称图形，符合题意。故选Ｄ。 ２．Ｂ　【解析】根据数轴的定义以及绝对值的意义，可 知２＜｜Ａ｜＜３，０＜｜Ｂ｜＜１，１＜｜Ｃ｜＜２，２＜｜Ｄ｜＜３，点Ｂ表 示的数绝对值最小。故选Ｂ。 ３．Ｃ　【解析】这个工件的俯视图是 。故选Ｃ。 ４．Ｃ　【解析】由题意可知，一个水分子的质量大约为 ０．０５÷（１．５×１０２１）≈３．３３×１０－２３（克）。故选Ｃ。 ５．Ａ　【解析】根据Ｂ，Ｃ两点的坐标，建立平面直角坐 标系如图，则点Ａ的坐标为（－１，－３）。在图中作出 点Ａ关于原点顺时针旋转９０°得到的点 Ａ′，其坐标 为（－３，１）。故选Ａ。 ６．Ｄ　【解析】如图，标注点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ和∠３。 ∵太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上， ∴ＥＦ∥ＢＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＦ＝１２０°。 ∴∠ＢＤＣ＝∠１，∠ＢＣＤ＝１８０°－１２０°＝６０°。 ∵∠２＝１６°，∴∠３＝∠ＡＢＣ－∠２＝１０４°。 ∵∠３＝∠ＢＤＣ＋∠ＢＣＤ，∴∠ＢＤＣ＝∠１＝４４°。 故选Ｄ。 ７．Ｂ　【解析】槡２和槡３不是同类二次根式，不能合并，故 选项Ａ错误，不符合题意；（－槡５） ２＝５，故选项Ｂ正确， 符合题意；槡３２－槡２２＝槡２，故选项Ｃ错误，不符合题意； 槡１６＝４，故选项Ｄ错误，不符合题意。故选Ｂ。 ８．Ｂ　【解析】如图，连接ＢＣ。 ∵∠Ａ＝４８°，∴∠Ｄ＝４８°。 ∵∠ＡＰＤ＝８０°，∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＰＤ－∠Ｄ＝３２°。 ∵Ａ是弧ＣＤ的中点，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ＝３２°。 ∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＢＤ＝６４°。 ∴∠ＢＣＤ＝１８０°－∠Ｄ－∠ＣＢＤ＝６８°。 ∴弧ＢＤ的度数为２∠ＢＣＤ＝１３６°。故选Ｂ。 ９．Ｂ　【解析】∵△ＡＢＣ是直角三角形，Ｍ是 ＢＣ的中 点，∴ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭ。 ∵∠Ｂ＝６０°，∴△ＡＢＭ是等边三角形。 ∵Ｓ正方形ＡＭＥＦ＝１６，∴ＡＭ＝ＡＢ＝４。∴ＡＣ＝槡４３。 ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＢ·ＡＣ＝槡８３。故选Ｂ。 １０．２ｂ４　【解析】原式＝－８ａ３ｂ６÷（－４ａ３ｂ２）＝２ｂ４。 １１． ４ ５ 　【解析】根据题意，得３＋３＋ｘ＋５＋５＝４×５， 解得ｘ＝４。 ｓ２＝ １ ５ ×［２×（３－４）２＋（４－４）２＋２×（５－４）２］＝ ４ ５ 。                                                                —５６—