16 2024年崂山区学业水平第二次阶段性质量检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东青岛专版）

— ９１— — ９２— — ９３— 　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分） １．－ １ ７ 的相反数是 （　　） Ａ．－７ Ｂ．７ Ｃ．－ １ ７ Ｄ． １ ７ ２．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形 的是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ３．文化和旅游部 ５月 ６日发布数据显示，２０２４年 “五一”假期，全国国内旅游出游合计２９５００００００ 人次。数据２９５００００００用科学记数法表示为 （　　） Ａ．２．９５×１０６ Ｂ．２．９５×１０７ Ｃ．２．９５×１０８ Ｄ．２．９５×１０９ ４．某校计划对教室进行多媒体安装改造，现安排两 家公司共同完成。已知 Ａ公司的工作效率是 Ｂ 公司工作效率的１．２倍，Ｂ公司安装３０间教室比 Ａ公司安装同样数量的教室多用２天。若设Ｂ公 司每天安装ｘ间教室，则可列方程为 （　　） Ａ． ３０ ｘ －３０ １．２ｘ ＝２ Ｂ． ３０ １．２ｘ －３０ ｘ ＝２ Ｃ． ３０ ｘ －６ ×３０ ５ｘ ＝２ Ｄ． ６×３０ ５ｘ －３０ ｘ ＝２ ５．由８个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则 它的左视图是 （　　） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ６．两个直角三角板如图所示摆放，其中∠ＢＡＣ＝ ∠ＥＤＦ＝９０°，∠ＤＥＦ＝４５°，∠Ｃ＝３０°。若 ＡＢ∥ ＥＦ，则∠ＤＥＢ的度数为 （　　） Ａ．８２．５° Ｂ．７５° Ｃ．６７．５° Ｄ．６０° ７．已知点Ａ（－２，３），Ｂ（－５，－１），将线段 ＡＢ平移 至Ａ′Ｂ′，点Ａ的对应点Ａ′在 ｘ轴上，点 Ｂ的对 应点Ｂ′在 ｙ轴上，点 Ａ′的横坐标为 ａ，点 Ｂ′的 纵坐标为ｂ，则ａ－ｂ的值为 （　　） Ａ．－７ Ｂ．－１ Ｃ．７ Ｄ．１ ８．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是 ＡＤ，ＡＢ，ＣＤ，ＢＣ上的点，且 ＡＥ＝ＡＦ＝ＢＨ＝ＤＧ， 若菱形的面积为 １２０，ＡＣ＝２４，则 ＥＦ＋ＧＨ的 长为 （　　） Ａ．１０ Ｂ．１１ Ｃ．１２ Ｄ．１３ ９．如图，ＡＢ是半圆 Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ是半圆上两 点，且满足∠ＡＢＣ＝４０°，则∠ＢＤＣ的度数为 （　　） Ａ．１２５° Ｂ．１３０° Ｃ．１３５° Ｄ．１４０° １０．反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 在第二象限内的图象与一次 函数ｙ＝ｘ＋ｂ的图象如图所示，则函数ｙ＝ｂｘ＋ｋ－３ 的图象大致为 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 二、填空题（本大题共６小题，每小题３分，共１８分） １１．计算 ２ｓｉｎ６０°＋ 槡｜３－２｜＋（－４） ０的结果为 　　　　。 １２．已知某十字路口的交通信号灯，红灯、绿灯、黄 灯亮的时间分别为 ６０秒、２５秒、５秒，则某辆 车到达路口，遇见绿灯的概率是　　　　。 １３．在春季中学生运动会上，参加男子引体向上的 １０名运动员的成绩如表所示。 成绩／个 １０ １２ １４ １５ １８ １９ ２０ 人数 １ ２ １ ３ １ １ １ 这１０名运动员成绩的方差为　　　　。 １４．如图，将矩形纸片沿ＥＢ，ＣＦ折叠成图１，使ＡＢ 与ＣＤ在一条直线上，再沿 ＢＦ折叠成图２，使 点Ｄ落在点Ｄ′处，若∠ＣＥＢ＝３９°，则∠ＢＰＦ的 度数为　　　　°。 图１ 　 图２ １５．如图，ＡＤ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，过 点Ｂ的切线交ＡＤ的延长线于点 Ｃ，若∠Ａ＝ ∠Ｃ，ＢＣ＝２，则图中阴影部分的面积为 　　　　。 １６．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ在边 ＢＣ上，且 ＡＥ＝ＡＤ，ＡＥ平分∠ＢＡＤ。作 ＤＦ⊥ＡＥ于点 Ｆ，连接ＤＥ，ＢＦ，ＢＦ的延长线交 ＤＥ于点 Ｏ， 交 ＣＤ于点 Ｇ。有以下结论：①ＡＦ＝ＢＥ； ②∠ＣＤＥ＝２０°；③ＯＦ＝ １ ２ ＤＥ；④若 ＡＢ＝１，则 ＯＢ＝槡 ５ ２ 。其中正确的有　　　　（填写序号）。 三、作图题（本大题满分 ４分。请用直尺、圆规 作图，不写作法，但要保留作图痕迹） １７．已知：如图，△ＡＢＣ。 求作：以ＡＣ为弦的⊙Ｏ，使Ｏ到ＡＢ和ＢＣ的 距离相等。 四、解答题（本大题共８小题，共６８分） １８．（８分）计算： （１）解不等式组： ｘ ２ －ｘ －１ ３≤ １， ３（ｘ＋１）＜５ｘ－１； { （２）化简： ｘ２ ｘ＋１ －ｘ＋１。 １９．（６分）在一次数学兴趣小组活动中，王小和李立两 位同学设计了如图所示的两个转盘游戏（每个转 盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域 内标上数字）。游戏规则如下：两人分别同时转动 甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和 小于１２，则王小获胜；若指针所指区域内两数和等 于１２，则为平局；若指针所指区域内两数和大于 １２，则李立获胜（若指针停在等分线上，则重转一 次，直到指针指向某一份内为止）。请用列表或画 树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平。 甲 　　 乙                                                                                                                                                                                                                     １６２０２４年崂山区学业水平第二次阶段性质量检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ９４— — ９５— — ９６— ２０．（６分）杂交水稻技术是中国农业科技史上的一座 丰碑。为了考察甲、乙两种水稻的长势，农业科技 人员从一块试验田分别随机抽取甲、乙两种水稻 的稻穗各２０株，并获取了每株稻穗的谷粒数（单 位：颗），数据整理如下： 【数据１】甲种水稻稻穗谷粒数： １７１，１７２，１７６，１７６，１７８，１８２，１８４，１９３，１９６，２０２， ２０６，２０６，２０６，２０６，２０８，２０８，２１４，２１５，２１６，２１９。 【数据２】乙种水稻稻穗谷粒数的折线统计图： 【数据３】甲、乙两种水稻稻穗谷粒数的平均数、 中位数、众数（单位：颗）： 平均数 中位数 众数 甲 １９６．７ ａ ２０６ 乙 １９６．８ １９５ ｂ 根据以上信息，回答下列问题： （１）ａ＝　　　；ｂ＝　　　； （２）甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是　　　　 （填“甲”或“乙”）； （３）若单株稻穗的谷粒数不低于 ２００颗的水稻 视为优良水稻，则从水稻优良率分析，应推荐 　　　　（填“甲”或“乙”）；若该试验田中有 甲、乙两种水稻各３０００株，据此估计，优良水稻 共有多少株？ ２１．（８分）【图形定义】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中 位线。类似地，我们把连接四边形对边中点 的线段叫做四边形的中位线。 例如：如图１，在四边形 ＡＢＣＤ中，Ｍ是 ＡＢ的 中点，Ｎ是ＣＤ的中点，ＭＮ是四边形ＡＢＣＤ的 中位线。 【方法探究】 如图２，已知 ＭＮ是△ＡＢＣ的中位线，以点 Ｎ 为中心，将△ＡＢＣ旋转１８０°得到△ＣＢ′Ａ，可证 ＭＮ＝ １ ２ ＢＣ。 【方法应用】 （１）如图 ３，ＭＮ是梯形 ＡＢＣＤ的中位线。若 ＡＤ＝３，ＢＣ＝５，则 ＭＮ＝　　　　；若 ＡＤ＝ａ， ＢＣ＝ｂ，且ｂ＞ａ，则ＭＮ＝　　　　； （２）如图４，ＭＮ是四边形ＡＢＣＤ的中位线。若 ＡＤ＝３，ＢＣ＝５，则ＭＮ的取值范围是　　　　； 若ＡＤ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，且ｂ＞ａ，则ＭＮ的取值范围是 　　　　。 图１ 　　　　 图２ 图３ 　　 图４ ２２．（８分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝ ９０°，Ｏ是边 ＡＢ的中点，以点 Ｏ为圆心的圆与 ＢＣ相切于点Ｄ。 （１）求证：ＡＣ是⊙Ｏ的切线； （２）判断圆心 Ｏ与点 Ｃ及两切点为顶点的四 边形的形状并证明。 ２３．（８分）２０２４年 １月 １７日，天舟七号货运飞 船携带着支持航天员 ３人 ２８０天的生活物 资、平台设备、推进剂和科学载荷，成功发 射。如图是工作中的某型号手臂机器人示 意图，ＯＡ是垂直于工作台的移动基座，ＡＢ， ＢＣ分别为机器人的大、小臂，其中小臂ＢＣ为 ２米，大臂ＡＢ为３米，移动基座ＯＡ＝３．０２米，当 ∠ＡＢＣ＝１００°时，∠ＯＡＢ＝１３７°，求此时点Ｃ到工 作台ＥＦ的距离。（结果精确到０．１米） （参考数据：ｓｉｎ４３°≈０．６８，ｃｏｓ４３°≈０．７３， ｔａｎ４３°≈０．９３，ｓｉｎ５３°≈０．８，ｃｏｓ５３°≈０．６， ｔａｎ５３°≈１．３３） 　　 ２４．（１２分）某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙 体建造的。其横截面顶部为抛物线形，大棚的 一端固定在墙体 ＯＡ上，另一端固定在墙体 ＢＣ 上，其横截面有２根支架ＤＥ，ＦＧ，相关数据如图 １所示，其中支架ＤＥ＝ＢＣ＝３米，ＯＦ＝ＤＦ＝ＢＤ＝ ２米，两种支架各用了 ２００根。为增加棚内空 间，农场决定将图１中棚顶向上调整，支架总数 不变，对应支架的长度变化情况如图２所示，调 整后Ｃ与Ｅ上升相同的高度，其横截面顶部仍 为抛物线形，若增加的支架单价为６０元／米（接 口忽略不计），经费预算为４００００元。 （１）分别以ＯＢ和ＯＡ所在的直线为ｘ轴和ｙ轴 建立平面直角坐标系； ①求出改造前的抛物线的函数解析式； ②求出改造前大棚的最大高度； （２）只考虑经费情况下，求出ＣＣ′的最大值。 图１ 　　 图２ ２５．（１２分）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２ｃｍ，动点 Ｐ从点Ａ出发，经过点Ｂ，向点Ｃ匀速运动，速度为 ２ｃｍ／ｓ；同时，点Ｑ从点Ｂ出发，向点Ｃ匀速运动， 速度为１ｃｍ／ｓ。连接ＰＱ，ＰＤ，ＱＤ，ＡＣ，设运动时间 为ｔｓ（０＜ｔ≤１２）。 （１）当ＰＱ∥ＡＣ时，求ｔ的值； （２）是否存在某一时刻 ｔ，使得 ＰＱ⊥ＰＤ？若存在， 求出ｔ的值；若不存在，请说明理由； （３）当ｔ为何值时，△ＰＤＱ是等腰三角形？ （４）设△ＰＤＱ的面积为 Ｓ，求出 Ｓ关于 ｔ的函数关 系式，以及当ｔ为何值时，Ｓ等于正方形ＡＢＣＤ面积 的 １ ３ 。                                                                                                                                                                                                                            ２６．解：（１）由题意，得ＯＱ＝ｔｃｍ，ＤＰ＝２ｔｃｍ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＡＣ＝１２ｃｍ，ＢＤ＝１６ｃｍ， ∴ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＣ＝６ｃｍ，ＯＢ＝ＯＤ＝８ｃｍ。 ∴ＣＤ＝１０ｃｍ。 ∵ＡＰ⊥ＣＤ， ∴Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２ ＡＣ·ＯＤ＝ １ ２ ＣＤ·ＡＰ。 ∴ＡＰ＝ ４８ ５ ｃｍ。 在Ｒｔ△ＡＰＤ中， ＤＰ＝ ＡＤ２－ＡＰ槡 ２＝ １０２－ ４８ ５( )槡 ２ ＝１４ ５ （ｃｍ）， ∴ １４ ５ ＝２ｔ。∴ｔ＝ ７ ５ 。∴ｔ的值为 ７ ５ 。 （２）如图１，过点Ｐ作ＰＥ⊥ＢＤ于点Ｅ。 图１ ∵∠ＢＤＰ＝∠ＢＤＰ，∠ＣＯＤ＝∠ＰＥＤ＝９０°， ∴△ＯＤＣ∽△ＥＤＰ。 ∴ ＥＰ ＯＣ ＝ＤＰ ＣＤ ，即 ＥＰ ６ ＝２ｔ １０ 。∴ＥＰ＝ ６ ５ ｔｃｍ。 ∴Ｓ△ＡＰＱ＝Ｓ△ＡＤＱ＋Ｓ△ＰＱＤ－Ｓ△ＡＰＤ＝ １ ２ ＤＱ·ＯＡ＋ １ ２ ＥＰ·ＤＱ－ １ ２ ×４８ ５ ＤＰ＝ １ ２ ×（ｔ＋８）×６＋ １ ２ ×６ ５ ｔ× （８＋ｔ）－ １ ２ ×４８ ５ ×２ｔ＝ ３ ５ ｔ２－ ９ ５ ｔ＋２４。 ∴ｙ与ｔ的函数关系式为ｙ＝ ３ ５ ｔ２－ ９ ５ ｔ＋２４（０＜ｔ＜５）。 （３）如图２，ＰＱ，ＯＣ相交于点 Ｆ，过点 Ｐ作 ＰＭ⊥ ＡＣ于点Ｍ。 图２ ∵∠ＤＯＣ＝∠ＰＭＣ＝９０°，∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＤ， ∴△ＯＤＣ∽△ＭＰＣ。 ∴ ＯＤ ＰＭ ＝ＯＣ ＣＭ ＝ＣＤ ＣＰ ，即 ８ ＰＭ ＝６ ＣＭ ＝ １０ １０－２ｔ 。 ∴ＣＭ＝ ３０－６ｔ ５ ，ＰＭ＝ ４０－８ｔ ５ 。 ∵∠ＱＯＣ＝∠ＰＭＯ＝９０°，∠ＯＦＱ＝∠ＰＦＭ， ∴△ＰＭＦ∽△ＱＯＦ。 ∴ ＦＭ ＯＦ ＝ＰＭ ＯＱ 。 ∴ＦＭ＝ ＯＦ·ＰＭ ＯＱ 。 ①当ＯＦ∶ＣＦ＝１∶２时，ＯＦ＝２，ＣＦ＝４， ∴ＦＭ＝ＣＦ－ＣＭ＝４－ ３０－６ｔ ５ ＝６ｔ －１０ ５ ， ＦＭ＝ ＯＦ·ＰＭ ＯＱ ＝８０ －１６ｔ ５ｔ 。 ∴ ６ｔ－１０ ５ ＝８０ －１６ｔ ５ｔ 。 解得ｔ１＝ －３＋槡４８９ ６ ，ｔ２＝ －３－槡４８９ ６ （舍去）； ②当ＯＦ∶ＣＦ＝２∶１时，ＯＦ＝４，ＣＦ＝２， ∴ＦＭ＝ＣＦ－ＣＭ＝２－ ３０－６ｔ ５ ＝６ｔ －２０ ５ ， ＦＭ＝ ＯＦ·ＰＭ ＯＱ ＝１６０ －３２ｔ ５ｔ 。 ∴ ６ｔ－２０ ５ ＝１６０ －３２ｔ ５ｔ 。 解得ｔ３＝ －３＋槡２４９ ３ ，ｔ４＝ －３－槡２４９ ３ （舍去）。 综上所述，当ｔ为 －３＋槡４８９ ６ 或 －３＋槡２４９ ３ 时，ＰＱ与 ＯＣ的交点把线段ＯＣ分成２∶１的两部分。 １６２０２４年崂山区学业水平第二次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｄ Ｃ Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ａ １．Ｄ　【解析】－ １ ７ 的相反数是 １ ７ 。故选Ｄ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ既是轴对称图形，又是中心对称图 形，故选项不符合题意；Ｂ是中心对称图形，但不是 轴对称图形，故选项不符合题意；Ｃ既是轴对称图 形，又是中心对称图形，故选项不符合题意；Ｄ是轴 对称图形，但不是中心对称图形，故选项符合题意。 故选Ｄ。 ３．Ｃ　【解析】２９５００００００＝２．９５×１０８。故选Ｃ。 ４．Ａ　【解析】由题意，得 ３０ ｘ －３０ １．２ｘ ＝２。故选Ａ。 ５．Ａ　【解析】从左边看，底层是两个小正方形，上层 左边一个小正方形。故选Ａ。 ６．Ｂ　【解析】∵ＡＢ∥ＥＦ，∴∠ＢＤＥ＝∠ＤＥＦ＝４５°。 ∵∠Ｂ＝６０°，∴∠ＤＥＢ＝１８０°－６０°－４５°＝７５°。故选Ｂ。 ７．Ｃ　【解析】∵点Ａ（－２，３），Ｂ（－５，－１），将线段 ＡＢ 平移至Ａ′Ｂ′，点Ａ的对应点 Ａ′在 ｘ轴上，点 Ｂ的对 应点Ｂ′在ｙ轴上，∴点 Ａ的横坐标加 ５，点 Ｂ的纵 坐标减３。∴ａ＝－２＋５＝３，ｂ＝－１－３＝－４。∴ａ－ｂ＝ ３－（－４）＝７。故选Ｃ。                                                                —３５— ８．Ａ　【解析】如图，连接 ＢＤ 交 ＡＣ于点 Ｏ。∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＣ⊥ＢＤ， ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ。 ∵菱形的面积为１２０， ＡＣ＝２４，∴ ＡＣ·ＢＤ ２ ＝１２０。∴ＢＤ＝１０。∵ＡＥ＝ＡＦ， ∴∠ＡＥＦ＝∠ＡＦＥ＝ １ ２ （１８０°－∠ＥＡＦ）。∵ＡＤ＝ＡＢ， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ＝ １ ２ （１８０°－∠ＤＡＢ）。∴∠ＡＥＦ＝ ∠ＡＤＢ。∴ＥＦ∥ＢＤ。∴△ＡＥＦ∽△ＡＤＢ。∴ ＥＦ ＢＤ ＝ ＡＥ ＡＤ 。∵ＡＤ＝ＣＤ，∴ ＥＦ ＢＤ ＝ＡＥ ＣＤ 。同理可证，△ＣＧＨ∽ △ＣＤＢ，∴ ＧＨ ＢＤ ＝ＣＧ ＣＤ 。∴ ＥＦ ＢＤ ＋ＧＨ ＢＤ ＝ＡＥ ＣＤ ＋ＣＧ ＣＤ ，即 ＥＦ＋ＧＨ ＢＤ ＝ ＡＥ＋ＣＧ ＣＤ ＝ＤＧ ＋ＣＧ ＣＤ ＝ＣＤ ＣＤ ＝１。∴ＥＦ＋ＧＨ＝ＢＤ＝１０。 故选Ａ。 ９．Ｂ　【解析】∵ＡＢ是半圆 Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ是半圆上 两点，∴∠ＡＣＢ＝９０°。∵∠ＡＢＣ＝４０°，∴∠ＢＡＣ＝ ５０°。∴∠ＢＤＣ＝１８０°－∠ＢＡＣ＝１３０°。故选Ｂ。 １０．Ａ　【解析】由函数图象可知，当 ｘ＝－１时，－ｋ＝ －１＋ｂ，∴ｋ＋ｂ＝１。∵一次函数ｙ＝ｘ＋ｂ的图象与ｙ轴 的交点在ｘ轴上方，∴ｂ＞０。∴Ｃ，Ｄ不符合题意。当 ｘ＝１时，函数ｙ＝ｂｘ＋ｋ－３可化为ｂ＋ｋ－３＝１－３＝－２， ∴函数图象经过点（１，－２）。∴Ａ正确。故选Ａ。 １１．３　【解析】２ｓｉｎ６０°＋槡｜３－２｜＋（－４） ０＝２×槡 ３ ２ ＋２－ 槡３＋１＝槡３＋２－槡３＋１＝３。 １２． ５ １８ 　【解析】由题意，得某辆车到达路口，遇见绿 灯的概率是 ２５ ６０＋２５＋５ ＝５ １８ 。 １３．９．４　【解析】ｘ＝ １ １０ ×（１０×１＋１２×２＋１４×１＋１５×３＋ １８×１＋１９×１＋２０×１）＝１５。 ∴ｓ２＝ １ １０ ×［（１０－１５）２＋２×（１２－１５）２＋（１４－１５）２＋３× （１５－１５）２＋（１８－１５）２＋（１９－１５）２＋（２０－１５）２］＝９．４。 １４．６３　【解析】如图１，由题意，得ＥＧ∥ＦＨ， ∴∠ＢＣＧ＝∠ＣＢＨ，∠ＨＢＥ＝∠ＣＥＢ＝３９°， ∠ＦＣＧ＝∠ＢＦＣ。 由折叠性质，得∠ＨＢＥ＝∠ＣＢＥ＝ １ ２∠ ＣＢＨ， ∠ＦＣＧ＝∠ＢＣＦ＝ １ ２∠ ＢＣＧ， ∴∠ＣＢＥ＝∠ＢＣＦ＝∠ＢＦＣ＝∠ＣＥＢ＝３９°， ∠ＣＢＨ＝７８°。 ∴∠ＤＢＦ＝∠ＣＢＨ＝７８°。 图１ 　　 图２ 在图２中，由折叠的性质，得∠ＢＦＰ＝∠ＢＦＣ＝３９°， ∠Ｄ′ＢＦ＝∠ＤＢＦ＝７８°， ∴∠ＣＰＢ＝∠Ｄ′ＢＦ＋∠ＢＦＰ＝１１７°。 ∴∠ＢＰＦ＝１８０°－１１７°＝６３°。 １５．槡 ２３ ３ －２π ９ 　【解析】∵ＯＡ＝ＯＢ，∴∠Ａ＝∠ＯＢＡ。 ∵∠ＢＯＣ＝∠Ａ＋∠ＯＢＡ，∴∠ＢＯＣ＝２∠Ａ。 ∵∠Ａ＝∠Ｃ，∴∠ＢＯＣ＝２∠Ｃ。∵ＢＣ是⊙Ｏ的切 线，∴∠ＯＢＣ＝９０°。∴∠ＢＯＣ＋∠Ｃ＝９０°。 ∴∠Ｃ＝３０°。∴∠ＢＯＤ＝６０°。在 Ｒｔ△ＯＢＣ中， ＢＣ＝２，ｔａｎＣ＝ｔａｎ３０°＝ ＯＢ ＢＣ ，∴ＯＢ＝２×槡 ３ ３ ＝槡２３ ３ 。 ∴阴影部分的面积＝△ＯＢＣ的面积－扇形 ＯＢＤ的 面积＝ １ ２ ×２×槡 ２３ ３ － ６０·π· 槡２３ ３( ) ２ ３６０ ＝槡２３ ３ －２π ９ 。 １６．①③　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴∠ＢＡＤ＝ ∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝∠ＡＤＣ＝９０°。∵ＡＥ平分∠ＢＡＤ， ∴∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ＝４５°。∴△ＡＢＥ是等腰直角三 角形。∴ＡＥ＝槡２ＡＢ。∵ＡＥ＝ＡＤ，∴ＡＤ＝槡２ＡＢ＝ 槡２ＢＥ。∵ＤＦ⊥ＡＥ，∴△ＡＤＦ是等腰直角三角形。 ∴ＡＤ＝槡２ＡＦ。∴ＡＦ＝ＢＥ。故①正确；∵△ＡＤＦ是 等腰直角三角形，∴∠ＡＤＦ＝∠ＤＡＦ＝４５°。 ∵ＡＤ＝ＡＥ，∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ＝ １８０°－４５° ２ ＝６７．５°。 ∴∠ＣＤＥ＝９０°－６７．５°＝２２．５°。故②不正确； ∵∠ＢＡＦ＝４５°，ＡＢ＝ＡＦ，∴ ∠ＡＢＦ＝∠ＡＦＢ＝ １８０°－４５° ２ ＝６７．５°。∴∠ＯＦＥ＝∠ＡＦＢ＝６７．５°。 ∴∠ＯＦＥ＝∠ＡＥＤ。∴ ＯＦ＝ＯＥ。∵ ∠ＤＦＯ＝ ∠ＤＦＥ－∠ＯＦＥ＝９０°－６７．５°＝２２．５°，∠ＯＤＦ＝ ∠ＡＤＥ－∠ＡＤＦ＝６７．５°－４５°＝２２．５°，∴∠ＤＦＯ＝ ∠ＯＤＦ。∴ＯＦ＝ＯＤ。∴ＯＤ＝ＯＥ＝ＯＦ。∴ＯＦ＝ １ ２ ＤＥ。故③正确；∵∠ＢＡＦ＝∠ＥＡＤ＝４５°，∠ＡＢＦ＝ ∠ＡＦＢ＝∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＥ＝６７．５°，∴ △ＡＢＦ∽ △ＡＥＤ。∴ ＡＢ ＡＥ ＝ＢＦ ＤＥ 。∵ＡＢ＝１，∴ＡＥ＝ＡＤ＝ 槡２ＡＢ＝槡２。设ＢＦ＝ｘ，则 ＤＥ＝槡２ｘ。∴ＯＥ＝ １ ２ ＤＥ＝槡 ２ ２ ｘ＝ＯＦ。∵∠ＯＦＥ＝∠ＯＥＦ＝∠ＡＢＦ＝ ∠ＡＦＢ＝６７．５°，∴△ＡＢＦ∽△ＯＥＦ。∴ ＡＢ ＯＥ ＝ＢＦ ＥＦ 。                                                                —４５— ∵ＥＦ＝槡２－１，∴ １ 槡２ ２ ｘ ＝ ｘ 槡２－１ 。∴ｘ２＝２－槡２。 ∵ＯＢ＝ＢＦ＋ＯＦ＝ｘ＋槡 ２ ２ ｘ，∴ＯＢ２＝１＋槡 ２ ２( ) ２ ｘ２＝１＋槡 ２ ２( ) ２ （２－槡２）＝ ３ ２ ＋槡２( ) （２－槡２）≠ ５４，∴ＯＢ≠槡５２。故④ 不正确。 １７．解：如图，作∠ＡＢＣ的平分线和线段 ＡＣ的垂直平 分线，相交于点Ｏ，再以点Ｏ为圆心，ＯＡ的长为半 径画圆，则⊙Ｏ即为所求。 １８．解：（１）解不等式 ｘ ２ －ｘ －１ ３≤ １，得ｘ≤４。 解不等式３（ｘ＋１）＜５ｘ－１，得ｘ＞２。 ∴不等式组的解集为２＜ｘ≤４。 （２） ｘ２ ｘ＋１ －ｘ＋１＝ ｘ２ ｘ＋１ －（ｘ－１） ＝ｘ ２ ｘ＋１ －（ｘ －１）（ｘ＋１） ｘ＋１ ＝ｘ ２－ｘ２＋１ ｘ＋１ ＝１ ｘ＋１ 。 １９．解：列表如下： ６ ７ ８ ９ ３ ９ １０ １１ １２ ４ １０ １１ １２ １３ ５ １１ １２ １３ １４ 共有１２种等可能的结果，其中和小于１２的结果有 ６种，和大于１２的结果有３种，所以王小获胜的概 率是 ６ １２ ＝１ ２ ，李立获胜的概率是 ３ １２ ＝１ ４ 。 ∵ １ ２ ＞ １ ４ ，∴此游戏对双方不公平。 ２０．解：（１）将甲的数据从小到大排列，一共 ２０个数 据，第１０个数据为２０２，第１１个数据为２０６， ∴这组数据的中位数为（２０２＋２０６）÷２＝２０４。 ∴ａ＝２０４。 根据乙种水稻稻穗谷粒数的折线统计图可以发 现，每株稻穗的谷粒数１９５出现的次数最多，也就 是说这组数据的众数为１９５，∴ｂ＝１９５。 故答案为２０４，１９５。 （２）根据表格可得乙的平均数、中位数、众数都比较接 近，乙的数据波动比甲小，故乙更稳定。 故答案为乙。 （３）甲的水稻优良率为 １１ ２０ ×１００％＝５５％， 乙的水稻优良率为 ８ ２０ ×１００％＝４０％， 故从水稻优良率分析，应推荐种植甲种水稻。 若该试验田中有甲、乙两种水稻各３０００株， 则甲的优良水稻有３０００×５５％＝１６５０（株），乙的 优良水稻有３０００×４０％＝１２００（株）， １６５０＋１２００＝２８５０（株）。 答：优良水稻大约共有２８５０株。 ２１．解：（１）以点Ｎ为中心，将梯形 ＡＢＣＤ旋转１８０°得 到梯形Ａ′Ｂ′ＤＣ， 则ＭＮ＝Ｍ′Ｎ，ＡＤ＝Ａ′Ｃ，ＢＣ＝Ｂ′Ｄ，且四边形ＡＢＡ′Ｂ′、四 边形ＡＭＭ′Ｂ′、四边形Ａ′Ｍ′ＭＢ都是平行四边形。 ∴ＭＮ＝ １ ２ ＭＭ′，ＭＭ′＝ＡＢ′。 ∵ＡＢ′＝ＡＤ＋Ｂ′Ｄ＝ＡＤ＋ＢＣ， ∴ＭＮ＝ １ ２ ＭＭ′＝ １ ２ ＡＢ′＝ １ ２ （ＡＤ＋ＢＣ）。 若ＡＤ＝３，ＢＣ＝５，则ＭＮ＝ １ ２ ×（３＋５）＝４； 若ＡＤ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，则ＭＮ＝ １ ２ （ａ＋ｂ）＝ ａ＋ｂ ２ 。 故答案为４； ａ＋ｂ ２ 。 （２）以点 Ｎ为中心，将四边形 ＡＢＣＤ旋转 １８０°得 到四边形Ａ′Ｂ′ＤＣ，连接ＡＢ′，ＢＡ′， 则ＭＮ＝Ｍ′Ｎ，ＡＤ＝Ａ′Ｃ，ＢＣ＝Ｂ′Ｄ，且四边形ＡＢＡ′Ｂ′、四 边形ＡＭＭ′Ｂ′、四边形Ａ′Ｍ′ＭＢ都是平行四边形。 ∴ＭＮ＝ １ ２ ＭＭ′，ＭＭ′＝ＡＢ′。 在△ＡＤＢ′中，Ｂ′Ｄ－ＡＤ≤ＡＢ′≤Ｂ′Ｄ＋ＡＤ（点Ａ，Ｄ，Ｂ′ 在同一直线上时，等号成立）， ∴ＢＣ－ＡＤ≤２ＭＮ≤ＢＣ＋ＡＤ， 即 ＢＣ－ＡＤ ２ ≤ ＭＮ≤ ＢＣ＋ＡＤ ２ 。 若ＡＤ＝３，ＢＣ＝５， 则 ５－３ ２≤ ＭＮ≤ ５＋３ ２ ，即１≤ＭＮ≤４； 若ＡＤ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，且ｂ＞ａ， 则 ｂ－ａ ２≤ ＭＮ≤ ｂ＋ａ ２ 。 故答案为１≤ＭＮ≤４； ｂ－ａ ２≤ ＭＮ≤ ｂ＋ａ ２ 。 ２２．（１）证明：如图，过点Ｏ作 ＯＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，连接ＯＤ。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠Ａ＝∠Ｂ＝４５°。 ∵⊙Ｏ与ＢＣ相切于点Ｄ， ∴∠ＡＥＯ＝∠ＢＤＯ＝９０°。 ∵Ｏ是边ＡＢ的中点，                                                                —５５— ∴ＯＡ＝ＯＢ。 ∴△ＡＯＥ≌△ＢＯＤ（ＡＡＳ）。 ∴ＯＥ＝ＯＤ。 ∴ＡＣ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：四边形ＯＥＣＤ是正方形。证明如下： ∵∠Ｃ＝∠ＯＥＣ＝∠ＯＤＣ＝９０°， ∴四边形ＯＥＣＤ是矩形。 ∵ＯＥ＝ＯＤ，∴四边形ＯＥＣＤ是正方形。 ２３．解：如图，过点 Ｂ作 ＢＧ⊥ＥＦ，垂足为点 Ｇ，过点 Ｃ 作ＣＨ⊥ＢＧ，交 ＧＢ的延长线于点 Ｈ，过点 Ａ作 ＡＤ⊥ＢＧ，垂足为点Ｄ。 由题意，得ＯＡ＝ＤＧ＝３．０２米，∠ＣＨＢ＝９０°。 ∵ＯＡ⊥ＥＦ，∴ＯＡ∥ＢＧ。 ∴∠ＡＢＧ＝１８０°－∠ＯＡＢ＝４３°。 ∵∠ＡＢＣ＝１００°， ∴∠ＣＢＨ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠ＡＢＧ＝３７°。 ∴∠Ｃ＝９０°－∠ＣＢＨ＝５３°。 在Ｒｔ△ＣＢＨ中，ＢＣ＝２米， ∴ＢＨ＝ＢＣ·ｓｉｎ５３°≈２×０．８＝１．６（米）。 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＢ＝３米， ∴ＢＤ＝ＡＢ·ｃｏｓ４３°≈３×０．７３＝２．１９（米）。 ∴ＧＨ＝ＢＨ＋ＢＤ＋ＤＧ＝１．６＋２．１９＋３．０２≈６．８（米）。 ∴此时点Ｃ到工作台ＥＦ的距离约为６．８米。 ２４．解：（１）分别以ＯＢ和ＯＡ所在的直线为ｘ轴和ｙ轴建 立平面直角坐标系如图１所示。 图１ 由题意，得Ａ（０，１），Ｅ（４，３），Ｃ（６，３）， ①设改造前的抛物线的函数解析式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 则 ｃ＝１， １６ａ＋４ｂ＋ｃ＝３， ３６ａ＋６ｂ＋ｃ＝３，{ 解得 ａ＝－ １ １２ ， ｂ＝ ５ ６ ， ｃ＝１。      ∴改造前的抛物线的函数解析式为 ｙ＝－ １ １２ ｘ２＋ ５ ６ ｘ＋１。 ②由题意，得ｙ＝－ １ １２ ｘ２＋ ５ ６ ｘ＋１＝－ １ １２ （ｘ－５）２＋ ３７ １２ ， ∴当ｘ＝５时，ｙ取最大值 ３７ １２ 。 ∴改造前大棚的最大高度为 ３７ １２ 米。 （２）由（１），得ｙ＝－ １ １２ （ｘ－５）２＋ ３７ １２ ， ∴当ｘ＝２时，ｙ＝－ １ １２ （２－５）２＋ ３７ １２ ＝７ ３ ； 当ｘ＝４时，ｙ＝－ １ １２ （４－５）２＋ ３７ １２ ＝３。 ∴ＦＧ＝ ７ ３ 米，ＤＥ＝３米。 ∵ＤＥ＝ＢＣ，∴ＢＣ＝３米。 ∵ＤＥ＝ＢＣ，ＥＥ′＝ＣＣ′，∴ＤＥ′＝ＢＣ′。 ∴改造后的抛物线的对称轴为直线ｘ＝５。 如图 ２，设改造后的抛物线的函数解析式为 ｙ＝ ｍｘ２－１０ｍｘ＋１。 图２ 当ｘ＝２时，ｙ＝ｍ×２２－１０ｍ×２＋１＝－１６ｍ＋１， 当ｘ＝４时，ｙ＝ｍ×４２－１０ｍ×４＋１＝－２４ｍ＋１， ∴Ｇ′（２，－１６ｍ＋１），Ｅ′（４，－２４ｍ＋１）。 ∴ＧＧ′＋ＥＥ′＝－１６ｍ＋１－ ７ ３ ＋（－２４ｍ＋１－３）＝－４０ｍ－ １０ ３ 。 ∴ －４０ｍ－ １０ ３( ) ×２００×６０≤４００００。解得ｍ≥－１６。 ∵ＣＣ′＝ＥＥ′＝－２４ｍ＋１－３＝－２４ｍ－２， ∴当ｍ＝－ １ ６ 时，ＣＣ′取最大值，最大值为２米。 ∴ＣＣ′的最大值为２米。 ２５．解：（１）由题意，得，ＡＰ＝２ｔｃｍ，ＢＱ＝ｔｃｍ。 ∵正方形ＡＢＣＤ的边长为１２ｃｍ， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝１２ｃｍ，ＢＰ＝（１２－２ｔ）ｃｍ，∠Ｂ＝９０°。 ∴ＡＣ＝槡２ＡＢ＝ 槡１２２ｃｍ。 ∵ＰＱ∥ＡＣ，∴△ＰＢＱ∽△ＡＢＣ。 ∴ ＢＰ ＡＢ ＝ＢＱ ＢＣ ，即 １２－２ｔ １２ ＝ｔ １２ 。∴ｔ＝４。 （２）∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，ＡＢ＝１２ｃｍ， ∴∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ＝１２ｃｍ。 ∵ＡＰ＝２ｔｃｍ，ＢＱ＝ｔｃｍ， ∴ＢＰ＝（１２－２ｔ）ｃｍ，ＣＱ＝（１２－ｔ）ｃｍ。 在Ｒｔ△ＰＡＤ中，ＰＤ２＝ＡＤ２＋ＡＰ２＝１４４＋４ｔ２， 在Ｒｔ△ＢＰＱ中，ＰＱ２＝ＢＱ２＋ＢＰ２＝ｔ２＋（１２－２ｔ）２＝ ５ｔ２－４８ｔ＋１４４， 在Ｒｔ△ＣＤＱ中，ＱＤ２＝ＣＤ２＋ＣＱ２＝１２２＋（１２－ｔ）２＝ ｔ２－２４ｔ＋２８８。 若ＰＱ⊥ＰＤ，则在Ｒｔ△ＰＤＱ中，由勾股定理， 得ＱＤ２＝ＰＤ２＋ＰＱ２， 即ｔ２－２４ｔ＋２８８＝１４４＋４ｔ２＋５ｔ２－４８ｔ＋１４４。 整理，得８ｔ２－２４ｔ＝０， 解得ｔ１＝３，ｔ２＝０（舍去）。                                                                —６５— ∴存在ｔ＝３时，使得ＰＱ⊥ＰＤ。 （３）当点Ｐ在ＡＢ上运动，即０＜ｔ≤６时，△ＰＤＱ是 等腰三角形。 ①若ＰＱ＝ＰＤ，则 ＰＱ２＝ＰＤ２， ∴５ｔ２－４８ｔ＋１４４＝１４４＋４ｔ２。 解得ｔ１＝４８（舍去），ｔ２＝０（舍去）； ②若ＱＤ＝ＰＤ，则ＱＤ２＝ＰＤ２， ∴ｔ２－２４ｔ＋２８８＝１４４＋４ｔ２。 解得ｔ１＝４，ｔ２＝－１２（舍去）； ③若ＰＱ＝ＱＤ，则ＰＱ２＝ＱＤ２， ∴５ｔ２－４８ｔ＋１４４＝ｔ２－２４ｔ＋２８８。 解得ｔ１＝３＋槡３５（舍去），ｔ２＝３－槡３５（舍去）。 当点Ｐ在ＢＣ上运动，即６＜ｔ≤１２时，△ＰＤＱ不可 能是等腰三角形。 综上，当ｔ＝４时，△ＰＤＱ是等腰三角形。 （４）①当点Ｐ在ＡＢ上运动，即０＜ｔ≤６时， ∵Ｓ正方形ＡＢＣＤ＝ＡＢ ２＝１２２＝１４４（ｃｍ２）， ∴Ｓ＝Ｓ正方形ＡＢＣＤ－Ｓ△ＡＤＰ－Ｓ△ＢＰＱ－Ｓ△ＣＤＱ ＝１４４－ １ ２ ×１２×２ｔ－ １ ２ ×（１２－２ｔ）×ｔ－ １ ２ ×１２×（１２－ｔ） ＝（ｔ２－１２ｔ＋７２）ｃｍ２。 ∵Ｓ＝ １ ３ Ｓ正方形ＡＢＣＤ， ∴ｔ２－１２ｔ＋７２＝ １ ３ ×１４４。 解得ｔ１＝６－槡２３，ｔ２＝６＋槡２３（舍去）； ②当点Ｐ在ＢＣ上运动，即６＜ｔ≤１２时， Ｓ＝ １ ２ ＰＱ·ＣＤ＝ １ ２ ×［ｔ－（２ｔ－１２）］×１２ ＝（７２－６ｔ）ｃｍ２。 ∵Ｓ＝ １ ３ Ｓ正方形ＡＢＣＤ， ∴７２－６ｔ＝４８。 解得ｔ＝４（舍去）。 综上，当点Ｐ在ＡＢ上运动时，Ｓ＝ｔ２－１２ｔ＋７２（０＜ｔ≤ ６）；当点Ｐ在ＢＣ上运动时，Ｓ＝７２－６ｔ（６＜ｔ≤１２）。 当ｔ＝６－槡２３时，Ｓ＝ １ ３ Ｓ正方形ＡＢＣＤ。 １７２０２４年青大附中学业水平第二次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ Ｂ Ａ Ｂ Ｄ Ｄ １．Ｃ　【解析】∵１亿＝１０８，∴４１．７６亿＝４．１７６×１０９。 ∴４１．７６亿≈４．２×１０９。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】原式＝４×槡 ２ ２ ＋３×槡 ３ ３ －槡２２＝ 槡２２＋槡３－ 槡２２＝槡３。故选Ｂ。 ３．Ｄ　【解析】Ａ是轴对称图形，故此选项错误；Ｂ是轴 对称图形，故此选项错误；Ｃ是轴对称图形，故此选项 错误；Ｄ不是轴对称图形，故此选项正确。故选Ｄ。 ４．Ａ　【解析】该几何体的俯视图是 。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】∵２０２４年的扶贫资金为ａ万元，比２０２３ 年增长了ｘ％，∴２０２３年的扶贫资金为 ａ １＋ｘ％ 万元。 ∵计划２０２５年的增幅调整为上一年的２倍， ∴２０２５年的扶贫资金为 ａ（１＋２ｘ％）万元。∴这 ３年的扶贫资金总额将达到 ａ １＋ｘ％ ＋ａ＋ａ（１＋２ｘ％）＝ ａ １ １＋ｘ％ ＋２＋２ｘ％( ) 万元。故选Ｄ。 ６．Ｂ　【解析】∵ＢＤ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＡＤ＝９０°。 ∵ＡＢ) ＝ＡＤ) ，∴ ∠Ｂ＝∠Ｄ＝４５°。∵ ∠ＤＡＣ＝ １ ２∠ ＣＯＤ＝ １ ２ ×１２６°＝６３°，∴∠ＡＧＢ＝∠ＤＡＣ＋ ∠Ｄ＝６３°＋４５°＝１０８°。故选Ｂ。 ７．Ａ　【解析】由数轴可知－２＜ａ＜－１，１＜ｂ＜２， ∴ａ＋１＜０，ｂ－１＞０，ａ－ｂ＜０。 ∴ （ａ＋１）槡 ２＋ （ｂ－１）槡 ２－ （ａ－ｂ）槡 ２ ＝｜ａ＋１｜＋｜ｂ－１｜－｜ａ－ｂ｜＝－（ａ＋１）＋（ｂ－１）＋（ａ－ｂ）＝ －ａ－１＋ｂ－１＋ａ－ｂ＝－２。故选Ａ。 ８．Ｂ　【解析】∵抛物线过点（０，６），（１，６），∴抛物线的 对称轴为直线ｘ＝ １ ２ ，故Ａ不正确，不符合题意；∵抛 物线过点（－２，０），∴抛物线与 ｘ轴的一个交点为 （３，０），故Ｂ正确，符合题意；∵抛物线的最值在ｘ＝ １ ２ 处取得，不是６，故Ｃ不正确，不符合题意；由表格 可知，在对称轴右侧，ｙ随 ｘ增大而减小，故 Ｄ不正 确，不符合题意。故选Ｂ。 ９．Ｄ　【解析】Ａ．∵６出现了 ３次，出现的次数最多， ∴该组成绩的众数是 ６环，故本选项正确；Ｂ．该组 成绩的中位数是６环，故本选项正确；Ｃ．该组成绩 的平均数ｘ＝ １ ７ （４＋５＋６＋６＋６＋７＋８）＝６（环），故本选 项正确；Ｄ．该组成绩数据的方差 ｓ２＝ １ ７ ［（４－６）２＋ （５－６）２＋３×（６－６）２＋（７－６）２＋（８－６）２］＝ １０ ７ ，故本选 项错误。故选Ｄ。 １０．Ｄ　【解析】①当ａ＞０时，抛物线开口向上，且抛物 线的对称轴为 ｘ＝－ ２ａ ２ａ ＝－１，∴根据抛物线的对称 性可得，点（－４，ｙ１）与（２，ｙ１）关于对称轴对称。 ∵当ａ－１≤ｘ≤２时，ｙ＜４，∴ａ－１＝－４。∴ａ＝－３（不 合题意）。∵当－４≤ｘ≤２时，ｙ＜４，∴把 ｘ＝２代入 抛物线的解析式，得４ａ＋４ａ＋３＜４，解得ａ＜ １ ８ 。∴ａ 的取值范围是０＜ａ＜ １ ８ ；②当ａ＜０时，抛物线开口向                                                                —７５—