14 2024年市北区学业水平第二次阶段性质量检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东青岛专版）

— ７９— — ８０— — ８１— 　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题（本大题共８小题，每小题３分，共２４分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。每小题选对得分；不选、选错或选出的标 号超过一个的不得分） １．下列各数中，最小的是 （　　） Ａ．－１ Ｂ．－ １ ２ 槡Ｃ．０ Ｄ．３ ２．下列四个图形中，是中心对称图形，但不是轴对 称图形的是 （　　） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ３．下列运算正确的是 （　　） Ａ．ｍ２·ｍ３＝ｍ６ Ｂ．２ｍ＋３ｎ＝５ｍｎ Ｃ．（－ｍ２ｎ３）２＝－ｍ４ｎ６ Ｄ．ｍ８÷ｍ２＝ｍ６ ４．下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体， 它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是 （　　） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ５．正八边形ＡＢＣＤＥＦＧＨ如图所示，ＡＣ与ＢＨ交于点 Ｏ，则∠ＨＯＣ的度数为 （　　） Ａ．１３５° Ｂ．１２０° Ｃ．１１０° Ｄ．１００° ６．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题： 一组人平分１０元钱，每人分得若干，若再加上 ６人，平分４０元钱，则第二次每人所得与第一 次相同，求第二次分钱的人数。设第二次分钱 的人数为ｘ，则可列方程为 （　　） Ａ．１０ｘ＝４０（ｘ＋６） Ｂ． １０ ｘ－６ ＝４０ ｘ Ｃ． １０ ｘ ＝４０ ｘ＋６０ Ｄ．１０（ｘ＋６）＝４０ｘ ７．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年 级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的 ２０名学生的读书册数进行调查，结果如下表： 册数 １ ２ ３ ４ ５ 人数 ２ ５ ７ ４ ２ 根据统计表中的数据，这 ２０名同学读书册数 的众数、中位数分别是 （　　） Ａ．３，３ Ｂ．３，７ Ｃ．２，７ Ｄ．７，３ ８．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量 液体的密度。密度计悬浮在不同的液体中时， 浸在液体中的高度 ｈ（ｃｍ）是液体的密度 ρ（ｇ／ｃｍ３）的反比例函数，其图象如图所示 （ρ＞０）。下列说法正确的是 （　　） Ａ．当液体的密度 ρ≥１ｇ／ｃｍ３时，浸在液体中 的高度ｈ≥２０ｃｍ Ｂ．当液体的密度ρ＝２ｇ／ｃｍ３时，浸在液体中的 高度ｈ＝４０ｃｍ Ｃ．当浸在液体中的高度０＜ｈ≤２５ｃｍ时，该液 体的密度ρ≥０．８ｇ／ｃｍ３ Ｄ．当液体的密度 ０＜ρ≤１ｇ／ｃｍ３时，浸在液体 中的高度ｈ≤２０ｃｍ 二、填空题（本大题共８小题，每小题３分，共２４分） ９．利用量子模拟器将原子尽可能紧密地排列在一 起，有助科学家探索奇异物质状态，构建新型量 子材料。据最新一期《科学》杂志介绍，研究人 员已开发出一种技术，可以将原子排列间隔缩 小到原来的 １ １０ ，相距仅５０纳米。５０纳米用科学 记数法表示为　　　　米。 １０．计算：（槡１８＋槡６）× ３ ２槡 ＝　　　　。 １１．甲、乙两射击运动员各进行１０次射击，甲的成 绩（单位：环）为８，８，８，９，８，９，１０，９，９，９，乙的 成绩如图所示，则甲、乙射击成绩的方差之间 关系是ｓ２甲　　　　ｓ ２ 乙（填“＞”“＜”或“＝”）。 １２．如图，ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的切线，Ａ，Ｂ为切点，点 Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上。若∠Ｐ＝１００°，则∠Ａ＋∠Ｃ＝ 　　　　。 第１２题图 　　 第１３题图 １３．如图是一只蝴蝶标本，将其放在平面直角坐标 系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端”Ａ，Ｂ两点的坐标 分别为（－３，２），（３，２），则蝴蝶“翅膀尾部”点 Ｃ的坐标为　　　　。 １４．若关于ｘ的一元二次方程（ｍ＋１）ｘ２－２ｘ＋１＝０ 有实数根，则ｍ的取值范围是　　　　。 １５．如图，在△ＡＢＣ中，以 ＢＣ为直径的⊙Ｏ交 ＡＢ 的延长线于点 Ｄ，交 ＡＣ于点 Ｅ，连接 ＯＤ，ＯＥ。 若⊙Ｏ的半径为１，∠Ａ＝α，则用含α的代数式 表示弧ＤＥ的长度为　　　　。 第１５题图 　　 第１６题图 １６．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，Ｅ，Ｆ分 别是边ＡＢ，ＢＣ上的动点，在运动过程中始终 保持ＡＥ＝ＣＦ，连接ＥＦ，取ＥＦ的中点Ｇ，连接 ＡＧ，则ＡＧ的最小值为　　　　。 三、作图题（本大题满分４分） １７．（４分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保 留作图痕迹。 在一个住宅小区里，有一块三角形绿地，如 图，现准备在其中建一个半圆形花坛，使它 的圆心在边 ＢＣ上，且面积最大。请你在图 中画出这个半圆形花坛。 四、解答题（本大题共９小题，共６８分） １８．（８分）（１）化简：ａ＋ ２ａ＋１ ａ( )· ａ１－ａ２； （２）解不等式组： ｘ＋５＞４， ３ｘ＋１ ２ ≥ ２ｘ－１，{ 并求出它的 所有整数解。 １９．（６分）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活 动，规定顾客消费满１００元就可获得转如图所示 的转盘（转盘被平均分成３份）的机会。为了活 跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字１可领 取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字 之和为奇数可领取一份奖品。（若指针指向分 界线，则重转） （１）若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概 率为　　　　； （２）若转动转盘两次，用画树状图的方法列举 出所有可能出现的结果； （３）如果你获得转动转盘的机会，想要领取到 奖品，你会选择哪个方案？并说明理由。 ２０．（６分）如图，一艘海轮位于灯塔Ｐ的北偏东６６°方 向，距离灯塔８０海里的Ａ处，它沿正南方向航行一 段时间后，到达位于灯塔Ｐ的南偏东４５°方向上的Ｂ 处，求这时海轮所在的 Ｂ处距离灯塔 Ｐ有多远。 （结果精确到 ０．１海里）(参考数据：ｓｉｎ６６°≈９１０， ｃｏｓ６６°≈ ２ ５ ，ｔａｎ６６°≈ ９ ４ ，槡２≈１．４１) ２１．（６分）为更好地推动数字化教育，某校组织七、八 年级的学生开展为期五天的信息素养提升实践活 动，计划开设五场主题活动。为了解学生的活动意 向，学校在七、八年级各随机抽取４０名同学进行问 卷调查（调查问卷如图，所有问卷全部收回且有 效），并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇 形统计图（均不完整）。 信息素养提升实践活动意向调查问卷 请在下列选项中选择一项活动意向，并在其后“□” 内画√（每位同学必须且只能选择其中一项）。 Ａ．创意编程□　Ｂ．３Ｄ创念设计□ Ｃ．智能博物□　Ｄ．电脑绘图□ Ｅ．优创未来□                                                                                                                                                                                                                     １４２０２４年市北区学业水平第二次阶段性质量检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ８２— — ８３— — ８４— 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （１）补全条形统计图和扇形统计图空缺的部分； （２）已知该校七、八年级学生共有１０００人参加 本次实践活动（每人只参加一场主题活动），活 动地点安排在两个多功能厅，学校根据调查结果 给出五场主题活动的具体时间和地点的预案，其 中主题活动 Ｃ，Ｄ的时间和地点已确定，请你合 理安排 Ａ，Ｂ，Ｅ三场活动的时间和地点，补全活 动安排表格（写出一种方案即可），并说明理由。 时间 地点 主题 星期一 南院多功能厅（容纳３５０人） 星期二 北院多功能厅（容纳１６０人） 星期三 南院多功能厅（容纳３５０人） Ｃ 星期四 北院多功能厅（容纳１６０人） 星期五 北院多功能厅（容纳１６０人） Ｄ ２２．（６分）阅读下列材料并完成相应的任务。 阅读思考：四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似地，把连接四边 形对边中点的线段叫做四边形的中位线。如图１， 在四边形 ＡＢＣＤ中，设 ＡＢ＜ＣＤ，ＡＢ与 ＣＤ不平行， Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ，ＢＣ的中点，则有结论： １ ２ （ＣＤ－ＡＢ）＜ＥＦ＜ １ ２ （ＣＤ＋ＡＢ） 图１ 　　 图２ 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图 ２，连接 ＡＣ，取 ＡＣ的中点 Ｍ，连接 ＭＥ，ＭＦ。 ∵Ｅ，Ｍ分别是 ＡＤ，ＡＣ的中点，∴ＭＥ∥ＣＤ，且 ＭＥ＝ １ ２ ＣＤ。同理，得ＭＦ∥ＡＢ，且ＭＦ＝ １ ２ ＡＢ。 ∵ＡＢ＜ＣＤ，∴ＭＦ＜ＭＥ。在△ＭＥＦ中，ＭＥ－ＭＦ＜ ＥＦ＜ＭＥ＋ＭＦ，即 １ ２ （ＣＤ－ＡＢ）＜ＥＦ＜ １ ２ （ＣＤ＋ＡＢ）。 自主探究：请将方法二的证明过程补充完整； 方法二： 如图３，连接ＡＦ并延长至点Ｇ，使ＦＧ＝ＡＦ，连 接ＣＧ，ＤＧ。 图３ 　　 图４ 尝试应用： 如图 ４，在五边形 ＡＢＣＤＥ中，ＡＥ∥ＣＤ，ＡＢ＝ ＡＥ＝６，∠Ａ＝１２０°，ＣＤ＝４，若Ｆ，Ｇ分别是ＢＣ， ＤＥ的中点，则线段 ＦＧ长的取值范围是 　　　　　　　　。 ２３．（８分）今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用 品专卖店抓住商机，计划购进Ａ，Ｂ两种跑鞋共 ８０双进行销售。已知９０００元全部购进 Ｂ种 跑鞋数量是全部购进 Ａ种跑鞋数量的１．５倍， Ａ种跑鞋的进价比 Ｂ种跑鞋的进价每双多 １５０元，Ａ，Ｂ两种跑鞋的售价分别为每双 ５５０元、５００元。 （１）求每双 Ａ，Ｂ两种跑鞋的进价分别为多 少元； （２）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决 定购进Ａ种跑鞋的数量不多于Ｂ种跑鞋数量 的 ２ ３ ，销售时对 Ｂ种跑鞋每双降价２５％出售。 若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利 最大？最大利润为多少？ ２４．（８分）如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ是对 角线 ＢＤ上的一点，过点 Ｃ作 ＣＦ∥ＢＤ，且 ＣＦ＝ＤＥ，连接ＡＥ，ＢＦ，ＥＦ。 （１）求证：△ＡＤＥ≌△ＢＣＦ； （２）请从以下三个条件中选择一个作为已 知，判断四边形 ＡＢＦＥ的形状，并证明你的 结论。 条件①：∠ＢＦＣ－∠ＡＢＥ＝９０°； 条件②：ＡＥ＝ＥＦ； 条件③：连接ＡＦ，ＡＦ⊥ＢＤ。 （注：如果选择条件①、条件②、条件③分别 进行了解答，按第一个解答计分） 已知：　　　　。（填写序号） ２５．（８分）小明用相同的圆点按照一定的规律拼摆 图案，图案由符合规律的图形组成。 图形序号ｎ（号） ０ １ ２ ３ ４ ５ … 圆点总数ｍ（个） ０ １ ３ ６ １０ １５ … （１）请你依据学习经验，将点（ｎ，ｍ）绘制在平面 直角坐标系中，并用平滑的曲线连接各点，根据 图象，你发现ｍ与ｎ之间的关系可能满足我们 所学过的　　　　（填“一次”“二次”或“反比 例”）函数； （２）请结合数据和图象，求 ｍ与 ｎ之间函数关 系的表达式，并写出自变量ｎ的取值范围； （３）小明按照原规律拼摆了一组图案，若拼摆ｎ 号图形使用了６６个圆点，则ｎ＝　　　　。 ２６．（１２分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，ＡＤ＝３ｃｍ，ＣＤ＝ ４ｃｍ，ＢＤ＝６ｃｍ，将△ＡＢＤ沿ＢＣ方向匀速运动得到 △Ａ１Ｂ１Ｄ１。已知△ＡＢＤ平移速度为１ｃｍ／ｓ，Ａ１Ｂ１分 别与ＡＤ，ＡＣ相交于点Ｅ，Ｇ，Ａ１Ｄ１与ＡＣ相交于点Ｆ， 设运动时间为ｔｓ（０＜ｔ＜４）。 解答下列问题： （１）连接ＡＡ１，在运动过程中，是否存在某一时刻ｔ， 使四边形ＡＡ１Ｄ１Ｄ是正方形？若存在，请直接写出 ｔ的值；若不存在，请说明理由； （２）在运动过程中，是否存在某一时刻ｔ，使 Ａ１Ｅ⊥ Ｄ１Ｅ？若存在，求ｔ的值；若不存在，请说明理由； （３）连接 Ｄ１Ｅ，设四边形 ＥＤ１ＦＧ的面积为 Ｓｃｍ２，求Ｓ与ｔ之间的函数关系式。 备用图                                                                                                                                                                                                                            ＝－２４ ２５ ｔ２＋ ２４ ５ ｔ＋４８( ) ｃｍ２， 即Ｓ＝－ ２４ ２５ ｔ２＋ ２４ ５ ｔ＋４８＝－ ２４ ２５ ｔ－ ５ ２( ) ２ ＋５４（０＜ｔ＜５）。 ∴当ｔ＝ ５ ２ 时，Ｓ有最大值，最大值为５４ｃｍ２。 图２ 图３ 　 （３）如图３，过点Ｑ作ＱＦ⊥ＢＤ于点Ｆ，ＱＧ⊥ＤＣ交 ＤＣ的延长线于点Ｇ。 由（２）知，ＯＢ＝８ｃｍ， 则ＢＤ＝２ＯＢ＝１６ｃｍ。 ∵ＤＱ平分∠ＢＤＣ，ＱＦ⊥ＢＤ，ＱＧ⊥ＤＣ， ∴ＱＦ＝ＱＧ。 ∵ｓｉｎ∠ＣＢＤ＝ ＯＣ ＢＣ ＝６ １０ ＝３ ５ ， ∴ＱＦ＝ＢＱ·ｓｉｎ∠ＣＢＤ＝２ｔ× ３ ５ ＝６ ５ ｔ（ｃｍ）。 ∵Ｓ△ＢＤＱ＋Ｓ△ＣＤＱ＝Ｓ△ＢＣＤ， ∴ １ ２ ×１６× ６ ５ ｔ＋ １ ２ ×１０× ６ ５ ｔ＝ １ ２ ×１６×６， 解得ｔ＝ ４０ １３ 。 ∴存在，当ｔ＝ ４０ １３ 时，ＤＱ平分∠ＢＤＣ。 １４２０２４年市北区学业水平第二次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ａ Ｂ Ａ Ｃ １．Ａ　【解析】∵－１＜－ １ ２ 槡 ＜０＜３，∴最小的数是－１。 故选Ａ。 ２．Ｂ　【解析】Ａ既是中心对称图形，也是轴对称图 形，故本选项不符合题意；Ｂ是中心对称图形，但不 是轴对称图形，故本选项符合题意；Ｃ是轴对称图 形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；Ｄ 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选 项不符合题意。故选Ｂ。 ３．Ｄ　【解析】Ａ．ｍ２·ｍ３＝ｍ５，故该项不正确，不符合 题意；Ｂ．２ｍ与３ｎ不是同类项，不能进行合并，故该 项不正确，不符合题意；Ｃ．（－ｍ２ｎ３）２＝ｍ４ｎ６，故该项 不正确，不符合题意；Ｄ．ｍ８÷ｍ２＝ｍ６，故该项正确， 符合题意。故选Ｄ。 ４．Ａ　【解析】该几何体的俯视图是 。故选Ａ。 ５．Ａ　【解析】∵多边形ＡＢＣＤＥＦＧＨ是正八边形， ∴∠ＨＡＢ＝∠ＡＢＣ＝ （８－２）×１８０° ８ ＝１３５°，ＡＨ＝ＡＢ＝ ＢＣ。∴ ∠ＡＨＢ＝∠ＡＢＨ ＝∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝ １８０°－１３５° ２ ＝２２．５°。∴∠ＨＯＣ＝∠ＡＯＢ＝１８０°－ ２２．５°－２２．５°＝１３５°。故选Ａ。 ６．Ｂ　【解析】设第二次分钱的人数为 ｘ，则第一次分 钱的人数为ｘ－６。依题意，得 １０ ｘ－６ ＝４０ ｘ 。故选Ｂ。 ７．Ａ　【解析】这２０名同学读书册数的众数是３，中位 数是 ３＋３ ２ ＝３。故选Ａ。 ８．Ｃ　【解析】根据题意，得反比例函数的解析式为 ｈ＝ ２０ ρ 。Ａ．当液体的密度ρ≥１ｇ／ｃｍ３时，浸在液体 中的高度ｈ≤２０ｃｍ，故原说法错误，不符合题意； Ｂ．当液体的密度ρ＝２ｇ／ｃｍ３时，浸在液体中的高度 ｈ＝１０ｃｍ，故原说法错误，不符合题意；Ｃ．当浸在液体 中的高度 ０＜ｈ≤２５ｃｍ时，该液体的密度 ρ≥ ０．８ｇ／ｃｍ３，故原说法正确，符合题意；Ｄ．当液体的密度 ０＜ρ≤１ｇ／ｃｍ３时，浸在液体中的高度ｈ≥２０ｃｍ，故原 说法错误，不符合题意。故选Ｃ。 ９．５×１０－８　【解析】５０纳米＝５０×１０－９米＝５×１０－８米。 １０．槡３３＋３　【解析】原式＝ １８× ３ ２槡 ＋ ６× ３ ２槡 ＝槡２７＋槡９＝槡３３＋３。 １１．＜　【解析】甲的成绩的平均数为 １ １０ ×（４×８＋５×９＋ １０）＝８．７，则方差ｓ２甲＝ １ １０ ×［４×（８－８．７）２＋５×（９－ ８．７）２＋（１０－８．７）２］＝０．４１。由折线统计图知，乙 的成绩（单位：环）为７，７，７，８，８，９，９，１０，１０，１０，所以 乙的成绩的平均数为 １ １０ ×（３×７＋２×８＋２×９＋３×１０）＝ ８．５，则方差ｓ２乙＝ １ １０ ×［３×（７－８．５）２＋２×（８－８．５）２＋ ２×（９－８．５）２＋３×（１０－８．５）２］＝１．４５。∴ｓ２甲＜ｓ ２ 乙。 １２．２２０°　【解析】如图，连接ＡＢ。 ∵ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的切线，∴ＰＡ＝ＰＢ。 ∵∠Ｐ＝１００°，∴∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＡ＝ １ ２ （１８０°－１００°）＝４０°。 ∵∠ＤＡＢ＋∠Ｃ＝１８０°， ∴∠ＰＡＤ＋∠Ｃ＝∠ＰＡＢ＋∠ＤＡＢ＋∠Ｃ＝４０°＋ １８０°＝２２０°。                                                                —６４— １３．（－１，－２）　【解析】如图，建立平面直角坐标系， 则点Ｃ的坐标为（－１，－２）。 １４．ｍ≤０且 ｍ≠－１　【解析】由题意，得 Δ＝（－２）２－ ４（ｍ＋１）×１≥０且ｍ＋１≠０，解得ｍ≤０且ｍ≠－１。 １５． ９０－α ９０π 　【解析】∵∠ＯＢＤ＝∠Ａ＋∠Ｃ＝α＋∠Ｃ，ＯＢ＝ ＯＤ，∴∠Ｄ＝∠ＯＢＤ＝α＋∠Ｃ。∴∠ＢＯＤ＝１８０°－２（α＋ ∠Ｃ）＝１８０°－２α－２∠Ｃ。∵∠ＢＯＥ＝２∠Ｃ，∴∠ＤＯＥ＝ ∠ＢＯＤ＋∠ＢＯＥ＝１８０°－２α－２∠Ｃ＋２∠Ｃ＝１８０°－２α。 ∴弧ＤＥ的长度为 （１８０－２α）π×１ １８０ ＝９０ －α ９０π 。 １６．槡 ７２ ２ 　【解析】如图，取 ＢＥ的 中点 Ｈ，连接 ＧＨ。∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，∴∠Ｂ＝９０°。 ∵Ｇ是 ＥＦ的中点，∴ＧＨ是 △ＥＢＦ的中位线。∴ＧＨ∥ＢＦ，ＧＨ＝ １ ２ ＢＦ。 设ＡＥ＝ＣＦ＝ｘ。 ∴ＢＦ＝８－ｘ。∴ＧＨ＝４－ １ ２ ｘ。∵ＢＥ＝６－ｘ， ∴ＢＨ＝ １ ２ ＢＥ＝３－ １ ２ ｘ。 ∴ＡＨ＝６－３－ １ ２ ｘ( ) ＝３＋１２ｘ。 ∵ＡＧ＝ ＡＨ２＋ＧＨ槡 ２＝ １ ２ （ｘ－１）２＋ ４９ ２槡 ， ∴ＡＧ≥ ４９ ２槡 ＝槡７２ ２ 。 ∴ＡＧ的最小值为 槡 ７２ ２ 。 １７．解：如图，半圆Ｏ即为所求。 １８．解：（１）ａ＋ ２ａ＋１ ａ( ) · ａ１－ａ２ ＝ａ ２＋２ａ＋１ ａ · ａ （１＋ａ）（１－ａ） ＝（ａ ＋１）２ ａ · ａ （１＋ａ）（１－ａ） ＝ａ ＋１ １－ａ 。 （２） ｘ＋５＞４，① ３ｘ＋１ ２ ≥ ２ｘ－１，②{ 解不等式①，得ｘ＞－１。解不等式②，得ｘ≤３。 ∴该不等式组的解集为－１＜ｘ≤３。 ∴该不等式组的所有整数解为０，１，２，３。 １９．解：（１）∵转动转盘一次，指针指向数字１的概率 为 １ ３ ， ∴转动转盘一次，领取到一份奖品的概率为 １ ３ 。 （２）画树状图如下： 共有９种等可能的结果。 （３）会选择方案二。 理由：由（２）可知，方案二中，共有９种等可能的结 果，其中两次指针指向的数字之和为奇数的结果 有４种， ∴方案二中，领取到一份奖品的概率为 ４ ９ 。 ∵ ４ ９ ＞ １ ３ ，∴选择方案二。 ２０．解：如图，由题意， 得ＰＣ⊥ＡＢ，ＰＤ∥ＡＢ， ∴∠ＤＰＡ＝∠Ａ＝６６°， ∠ＥＰＢ＝∠Ｂ＝４５°。 在Ｒｔ△ＡＣＰ中， ＡＰ＝８０海里， ∴ＰＣ＝ＰＡ·ｓｉｎ６６°≈８０× ９ １０ ＝７２（海里）。 在Ｒｔ△ＰＣＢ中，ＰＢ＝ ＰＣ ｓｉｎ４５° ＝７２ 槡２ ２ ＝ 槡７２２≈ １０１．５（海里）， ∴这时海轮所在的 Ｂ处距离灯塔 Ｐ约有 １０１．５ 海里。 ２１．解：（１）八年级选择Ｅ主题的人数为４０－８－６－１２－ ２＝１２。 扇形统计图中Ｂ的百分比为 ６＋６ ４０＋４０ ×１００％＝１５％， Ｃ的百分比为 １２＋１２ ４０＋４０ ×１００％＝３０％，Ｅ的百分比为 １２＋１２ ４０＋４０ ×１００％＝３０％。                                                                —７４— 补全条形统计图和扇形统计图如图所示。 （２）补全活动安排表格如下： 时间 地点 主题 星期一 南院多功能厅（容纳３５０人） Ｅ 星期二 北院多功能厅（容纳１６０人） Ａ 星期三 南院多功能厅（容纳３５０人） Ｃ 星期四 北院多功能厅（容纳１６０人） Ｂ 星期五 北院多功能厅（容纳１６０人） Ｄ 或 时间 地点 主题 星期一 南院多功能厅（容纳３５０人） Ｅ 星期二 北院多功能厅（容纳１６０人） Ｂ 星期三 南院多功能厅（容纳３５０人） Ｃ 星期四 北院多功能厅（容纳１６０人） Ａ 星期五 北院多功能厅（容纳１６０人） Ｄ 理由：估计参加主题活动 Ａ的人数为 １０００× １５％＝１５０， 估计参加主题活动Ｂ的人数为１０００×１５％＝１５０， 估计参加主题活动Ｅ的人数为１０００×３０％＝３００， ∴主题活动Ｅ只能安排在南院多功能厅星期一进 行，主题活动Ａ安排在北院多功能厅星期二进行， 主题活动Ｂ安排在北院多功能厅星期四进行，或 主题活动Ａ安排在北院多功能厅星期四进行，主 题活动Ｂ安排在北院多功能厅星期二进行。 ２２．自主探究：证明：∵ＦＧ＝ＡＦ，ＡＥ＝ＤＥ， ∴ＥＦ∥ＤＧ，ＤＧ＝２ＥＦ。∵ＢＦ＝ＣＦ，∠ＡＦＢ＝∠ＧＦＣ， ∴△ＡＦＢ≌△ＧＦＣ（ＳＡＳ）。∴ＣＧ＝ＡＢ。 在△ＤＣＧ中，ＣＤ－ＣＧ＜ＤＧ＜ＣＤ＋ＣＧ， 即 １ ２ （ＣＤ－ＡＢ）＜ＥＦ＜ １ ２ （ＣＤ＋ＡＢ）。 尝试应用：解：如图，连接 ＢＥ，过点 Ａ作 ＡＨ⊥ＢＥ 于点Ｈ。 ∵ＡＢ＝ＡＥ，∠ＢＡＥ＝１２０°， ∴Ｈ是ＢＥ的中点，∠ＡＥＨ＝３０°。 ∴ＡＨ＝ １ ２ ＡＥ＝３，ＥＨ＝槡３ＡＨ＝槡３３。 ∴ＢＥ＝２ＥＨ＝槡６３。 ∵Ｆ是ＢＣ的中点，Ｇ是ＤＥ的中点， ∴ １ ２ （ＢＥ－ＣＤ）＜ＦＧ＜ １ ２ （ＢＥ＋ＣＤ）， 即 槡３３－２＜ＦＧ 槡＜３３＋２。 故答案为 槡３３－２＜ＦＧ 槡＜３３＋２。 ２３．解：（１）设每双 Ａ种跑鞋的进价为 ｘ元，则每双 Ｂ种跑鞋的进价为（ｘ－１５０）元。 根据题意，得 ９０００ ｘ－１５０ ＝１．５× ９０００ ｘ 。解得ｘ＝４５０。 经检验，ｘ＝４５０是所列方程的根，且符合题意。 ∴ｘ－１５０＝４５０－１５０＝３００。 答：每双Ａ种跑鞋的进价为４５０元，每双Ｂ种跑鞋 的进价为３００元。 （２）设购进Ａ种跑鞋 ａ双，则购进 Ｂ种跑鞋（８０－ ａ）双。 根据题意，得ａ≤ ２ ３ （８０－ａ）。解得ａ≤３２。 设这批跑鞋全部售完获利ｗ元，则ｗ＝（５５０－４５０）× ａ＋［５００×（１－２５％）－３００］（８０－ａ）＝２５ａ＋６０００。 ∵２５＞０，∴ｗ随ａ的增大而增大。 ∵ａ≤３２，∴当ａ＝３２时，ｗ的值最大， ｗ最大＝２５×３２＋６０００＝６８００。 此时８０－ａ＝８２－３２＝４８。 ∴购进Ａ种跑鞋 ３２双，Ｂ种跑鞋 ４８双才能获利 最大，最大利润为６８００元。 ２４．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ。∴∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＤ。 ∵ＣＦ∥ＢＤ，∴∠ＢＣＦ＝∠ＣＢＤ。∴∠ＡＤＥ＝∠ＢＣＦ。 在△ＡＤＥ和△ＢＣＦ中， ＡＤ＝ＢＣ， ∠ＡＤＥ＝∠ＢＣＦ ＣＦ＝ＤＥ，{ ， ∴△ＡＤＥ≌△ＢＣＦ（ＳＡＳ）。 （２）解：已知①，四边形ＡＢＦＥ是矩形。证明如下： ∵ＣＦ∥ＢＤ，ＣＦ＝ＤＥ， ∴四边形ＣＤＥＦ是平行四边形。 ∴ＣＤ∥ＥＦ，ＣＤ＝ＥＦ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，                                                                —８４— ∴ＣＤ∥ＡＢ，ＣＤ＝ＡＢ。∴ＥＦ∥ＡＢ，ＥＦ＝ＡＢ。 ∴四边形ＡＢＦＥ是平行四边形。 由（１）知，△ＡＤＥ≌△ＢＣＦ，∴∠ＢＦＣ＝∠ＡＥＤ。 又∵∠ＡＥＤ＝∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＥ， ∴∠ＢＦＣ＝∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＥ。 ∵∠ＢＦＣ－∠ＡＢＥ＝９０°， ∴∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＥ－∠ＡＢＥ＝９０°， 即∠ＢＡＥ＝９０°。 ∴平行四边形ＡＢＦＥ是矩形。 已知②，四边形ＡＢＦＥ是菱形。证明如下： ∵ＣＦ∥ＢＤ，且ＣＦ＝ＤＥ， ∴四边形ＣＤＥＦ是平行四边形。 ∴ＣＤ∥ＥＦ，ＣＤ＝ＥＦ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＣＤ∥ＡＢ，ＣＤ＝ＡＢ。∴ＥＦ∥ＡＢ，ＥＦ＝ＡＢ。 ∴四边形ＡＢＦＥ是平行四边形。 ∵ＡＥ＝ＥＦ，∴平行四边形ＡＢＦＥ是菱形。 已知③，四边形ＡＢＦＥ是菱形。证明如下： ∵ＣＦ∥ＢＤ，ＣＦ＝ＤＥ， ∴四边形ＣＤＥＦ是平行四边形。 ∴ＣＤ∥ＥＦ，ＣＤ＝ＥＦ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＣＤ∥ＡＢ，ＣＤ＝ＡＢ。∴ＥＦ∥ＡＢ，ＥＦ＝ＡＢ。 ∴四边形ＡＢＦＥ是平行四边形。 ∵ＡＦ⊥ＢＤ，∴平行四边形ＡＢＦＥ是菱形。 ２５．解：（１）描点，连线，如图。 二次 （２）设 ｍ＝ａｎ２＋ｂｎ。将点（１，１），（２，３）代入，得 ａ＋ｂ＝１， ４ａ＋２ｂ＝３，{ 解得 ａ＝ １ ２ ， ｂ＝ １ ２ 。{ ∴该函数的表达式为ｍ＝ １ ２ ｎ２＋ １ ２ ｎ。 其中ｎ的取值范围是ｎ为自然数。 （３）由题意，得当ｍ＝６６时， １ ２ ｎ２＋ １ ２ ｎ＝６６， 解得ｎ１＝１１，ｎ２＝－１２（不合题意，舍去）。 故答案为１１。 ２６．解：（１）如图１，ＤＤ１＝ｔｃｍ。 图１ 由平 移，得 Ａ１Ｄ１ ＝ＡＤ＝３ｃｍ，∠Ａ１Ｄ１Ｂ１ ＝ ∠ＡＤＢ＝９０°， ∴Ａ１Ｄ１∥ＡＤ。∴四边形ＡＡ１Ｄ１Ｄ是矩形。 ∵四边形ＡＡ１Ｄ１Ｄ是正方形， ∴ＤＤ１＝ＡＤ，即ｔ＝３。 （２）∵Ａ１Ｅ⊥Ｄ１Ｅ，ＤＤ１＝ｔｃｍ， ∴∠Ａ１ＥＤ１＝∠Ｂ１ＥＤ１＝９０°。 ∵∠Ａ１Ｄ１Ｂ１＝∠ＡＤＢ＝∠ＥＤＤ１＝９０°， ∴∠ＥＢ１Ｄ＋∠Ｂ１ＥＤ＝９０°，∠Ｂ１ＥＤ＋∠Ｄ１ＥＤ＝９０°。 ∴∠ＥＢ１Ｄ＝∠Ｄ１ＥＤ＝∠ＡＢＤ。 ∴ｔａｎ∠ＥＢ１Ｄ＝ｔａｎ∠Ｄ１ＥＤ＝ｔａｎ∠ＡＢＤ＝ ＡＤ ＢＤ ＝３ ６ ＝ １ ２ 。∴ ＤＥ Ｂ１Ｄ ＝ ＤＤ１ ＤＥ ＝１ ２ 。 ∴ＤＥ＝２ＤＤ１＝２ｔｃｍ，Ｂ１Ｄ＝２ＤＥ＝４ｔｃｍ。 ∵Ｂ１Ｄ＋ＤＤ１＝６ｃｍ，即４ｔ＋ｔ＝６，∴ｔ＝ ６ ５ 。 （３）如图２，过点Ｇ作ＧＭ⊥ＡＤ于点Ｍ。 图２ ∵ＤＤ１＝ｔｃｍ，∴ＣＤ１＝（４－ｔ）ｃｍ，Ｂ１Ｄ＝（６－ｔ）ｃｍ。 ∵ＡＤ１∥ＡＤ，∴△ＣＦＤ１∽△ＣＡＤ。 ∴ ＦＤ１ ＡＤ ＝ ＣＤ１ ＣＤ ，即 ＦＤ１ ３ ＝４ －ｔ ４ 。∴ＦＤ１＝ ３ ４ （４－ｔ）ｃｍ。 ∴Ａ１Ｆ＝Ａ１Ｄ１－ＦＤ１＝３－ ３ ４ （４－ｔ）＝ ３ ４ ｔｃｍ。 在Ｒｔ△ＡＣＤ中， ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２＝ ３２＋４槡 ２＝５ｃｍ。 ∵ＡＤ１∥ＡＤ，∴△ＦＤ１Ｃ∽△ＡＤＣ。 ∴ ＡＦ ＡＣ ＝ ＤＤ１ ＣＤ ，即 ＡＦ ５ ＝ｔ ４ 。∴ＡＦ＝ ５ ４ ｔｃｍ。 ∵ＡＤ∥Ａ１Ｄ１，∴△Ｂ１ＥＤ∽△Ｂ１Ａ１Ｄ１。 ∴ ＥＤ Ａ１Ｄ１ ＝ Ｂ１Ｄ Ｂ１Ｄ１ ，即 ＥＤ ３ ＝６ －ｔ ６ 。 ∴ＥＤ＝ １ ２ （６－ｔ）ｃｍ。 ∴ＡＥ＝ＡＤ－ＤＥ＝３－ １ ２ （６－ｔ）＝ １ ２ ｔｃｍ。 ∵Ａ１Ｆ∥ＡＥ，∴△ＡＥＧ∽△ＦＡ１Ｇ。                                                                —９４— ∴ ＡＧ ＦＧ ＝ＡＥ Ａ１Ｆ ＝ １ ２ ｔ ３ ４ ｔ ＝２ ３ 。 设ＡＧ＝２ｘｃｍ，则ＦＧ＝３ｘｃｍ。 ∵ＡＧ＋ＦＧ＝ ５ ４ ｔｃｍ，∴２ｘ＋３ｘ＝ ５ ４ ｔ。 解得ｘ＝ １ ４ ｔ。∴ＡＧ＝ １ ２ ｔｃｍ。 ∵ＧＭ⊥ＡＤ，∴∠ＡＭＧ＝∠ＡＤＣ＝９０°。 ∴ｓｉｎ∠ＧＡＭ＝ｓｉｎ∠ＣＡＤ＝ ＣＤ ＡＣ ＝４ ５ 。 ∴ ＧＭ ＡＧ ＝４ ５ 。∴ＧＭ＝ ４ ５ ＡＧ＝ ２ ５ ｔｃｍ。 ∴Ｓ四边形ＥＤ１ＦＧ＝Ｓ梯形ＡＥＤ１Ｆ－Ｓ△ＡＥＧ ＝１ ２ × １ ２ ｔ＋ ３ ４ （４－ｔ）[ ] ×ｔ－１２×１２ｔ×２５ｔ ＝－９ ４０ ｔ２＋ ３ ２ ｔ。 ∴Ｓ与ｔ之间的函数关系式为Ｓ＝－ ９ ４０ ｔ２＋ ３ ２ ｔ（０＜ ｔ＜４）。 １５２０２４年黄岛区学业水平第二次阶段性质量检测 （与李沧区、胶州市、平度市联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｂ １．Ｂ　【解析】∵－２×－ １ ２( ) ＝１，∴－２的倒数是－１２。 故选Ｂ。 ２．Ａ　【解析】Ａ既是轴对称图形又是中心对称图 形，故本选项符合题意；Ｂ是轴对称图形，但不是 中心对称图形，故本选项不符合题意；Ｃ既不是 轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不 符合题意；Ｄ是轴对称图形，但不是中心对称图 形，故本选项不符合题意。故选 Ａ。 ３．Ｃ　【解析】２２１０００＝２．２１×１０５。故选Ｃ。 ４．Ｃ　【解析】该几何体的俯视图是 。故选Ｃ。 ５．Ｂ　【解析】ａ２与ａ３不是同类项，不能合并，因此选 项Ａ计算错误，不符合题意；ａ６÷ａ２＝ａ４，因此选项Ｂ 计算正确，符合题意；（２ａｂ）３＝８ａ３ｂ３≠６ａ３ｂ３，因此 选项Ｃ计算错误，不符合题意；ａ２·ａ３＝ａ５≠ａ６，因 此选项Ｄ计算错误，不符合题意。故选Ｂ。 ６．Ａ　【解析】甲、乙两组的平均数相同，甲组同学跳 绳成绩的方差为０．００５，乙组同学跳绳成绩的方差 为０．０２５。∵０．００５＜０．０２５，∴说明甲组成绩比乙组 成绩更稳定。∵两组的平均数相同，∴甲组、乙组 跳的一样多。故Ａ符合题意，Ｂ，Ｃ，Ｄ不符合题意。 故选Ａ。 ７．Ｄ　【解析】如图，点Ａ绕点Ｏ逆时针旋转９０°，得到 点Ａ″（－１，２），点 Ａ″向下平移 ４个单位长度，得到 点Ａ′（－１，－２）。故选Ｄ。 ８．Ｄ　【解析】如图，∵∠１＝ｍ°， ∴∠３＝（１８０－ｍ）°。∵∠４＋∠３＝ ９０°，∠２＋∠４＝９０°，∴∠２＝∠３。 ∴∠２＝（１８０－ｍ）°。故选Ｄ。 ９．Ａ　【解析】如图，连接ＯＭ， ＯＮ，ＤＭ。在ＡＢＣＤ中， ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝１２０°，∴∠Ａ＝ １８０°－∠Ｂ＝６０°。∵ＡＤ是 ⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＭＤ＝ ９０°。∴∠ＡＤＭ＝３０°。 ∴∠ＡＯＭ＝２∠ＡＤＭ＝６０°。 ∵⊙Ｏ与ＢＣ相切于点Ｎ，∴ＯＮ⊥ＢＣ。∴ＯＮ⊥ＡＤ。 ∴∠ＡＯＮ＝９０°。∴∠ＭＯＮ＝３０°。∴ＭＮ ) 的长为 ３０π×６ １８０ ＝π。故选Ａ。 １０．Ｂ　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，ＡＢ＝６，ＢＣ＝ １０，∴ＣＤ＝ＡＢ＝６，ＡＤ＝ＢＣ＝１０，∠Ａ＝∠ＡＢＣ＝ ∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°。由折叠，得∠ＦＢＥ＝∠ＣＢＥ＝ １ ２∠ ＣＢＦ，∠ＨＢＧ＝∠ＡＢＧ＝ １ ２∠ ＡＢＦ，∴∠ＥＢＧ＝ ∠ＦＢＥ＋∠ＨＢＧ＝ １ ２ （∠ＣＢＦ＋∠ＡＢＦ）＝ １ ２∠ ＡＢＣ＝ ４５°。故①正确；∵∠ＢＦＥ＝∠Ｃ＝９０°，∠ＢＨＧ＝∠Ａ＝ ９０°，点 Ｆ在 ＡＤ上，点 Ｈ在 ＢＦ上，∴∠ＤＥＦ＝ ∠ＨＦＧ＝９０°－∠ＤＦＥ，∠ＦＨＧ＝９０°。∴∠Ｄ＝∠ＦＨＧ。 ∴△ＤＥＦ∽△ＨＦＧ。故②正确；∵ＢＦ＝ＢＣ＝１０，ＢＨ＝ ＡＢ＝６，∴ＦＨ＝ＢＦ－ＢＨ＝１０－６＝４，ＡＦ＝ ＢＦ２－ＡＢ槡 ２＝ １０２－６槡 ２＝８。∴ＤＦ＝ＡＤ－ＡＦ＝１０－８＝２。∵ＤＦ２＋ ＤＥ２＝ＥＦ２，且ＥＦ＝ＣＥ＝６－ＤＥ，∴２２＋ＤＥ２＝（６－ＤＥ）２。 解得ＤＥ＝ ８ ３ ，∴Ｓ△ＦＥＤ＝ １ ２ ＤＦ·ＤＥ＝ １ ２ ×２× ８ ３ ＝ ８ ３ 。∵ＧＨ２＋ＦＨ２＝ＦＧ２，且 ＧＨ＝ＡＧ，ＦＧ＝８－ＡＧ， ∴ＡＧ２＋４２＝（８－ＡＧ）２。解得 ＡＧ＝３。∴Ｓ△ＡＢＧ＝ １ ２ ＡＢ·ＡＧ＝ １ ２ ×６×３＝９。∵ Ｓ△ＡＢＧ Ｓ△ＦＥＤ ＝ ９ ８ ３ ＝２７ ８ ， ∴Ｓ△ＡＢＧ＝ ２７ ８ Ｓ△ＦＥＤ≠３Ｓ△ＦＥＤ。故③错误；∵ＡＧ＋                                                                —０５—