13 2024年市南区学业水平第二次阶段性质量检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东青岛专版）

（２）△ＡＢＣ是直角三角形。理由如下： 令ｙ＝－ １ ４ ｘ２＋ ３ ２ ｘ＋４＝０，解得ｘ１＝－２，ｘ２＝８， ∴点Ｂ的坐标为（－２，０）。 ∴ＡＢ＝槡２５，ＡＣ＝槡４５，ＢＣ＝１０。 ∵（槡２５） ２＋（槡４５） ２＝１０２，∴ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２。 ∴△ＡＢＣ是直角三角形。 （３）∵△ＡＢＣ是直角三角形，∠ＢＡＣ＝９０°。∴ＡＣ⊥ＡＢ。 ∵ＡＣ∥ＭＮ，∴ＭＮ⊥ＡＢ。 设点Ｎ的坐标为（ｎ，０），则ＢＮ＝ｎ＋２。 ∵ＭＮ∥ＡＣ，∴△ＢＭＮ∽△ＢＡＣ。 ∴ ＢＭ ＢＡ ＝ＭＮ ＡＣ ＝ＢＮ ＢＣ 。 ∴ＢＭ＝ ＢＮ·ＢＡ ＢＣ ＝槡５（ｎ ＋２） ５ ， ＭＮ＝ ＢＮ·ＡＣ ＢＣ ＝槡２５（ｎ ＋２） ５ 。 ∴ＡＭ＝ＡＢ－ＢＭ＝槡２５－ 槡５（ｎ＋２） ５ ＝槡８５ －槡５ｎ ５ 。 ∵Ｓ△ＡＭＮ＝ １ ２ ＡＭ·ＭＮ ＝１ ２ ×槡８５ －槡５ｎ ５ ×槡２５ｎ ＋槡４５ ５ ＝－１ ５ （ｎ－３）２＋５， ∴当ｎ＝３时，△ＡＭＮ面积最大。 此时点Ｎ的坐标为（３，０）。 （４）由（２），知ＡＣ＝槡４５。 ①以点Ａ为圆心，ＡＣ长为半径作圆，交 ｘ轴于点 Ｎ，此时点Ｎ的坐标为（－８，０）。 ②以点Ｃ为圆心，ＡＣ长为半径作圆，交 ｘ轴于点 Ｎ，此时点Ｎ的坐标为（８－槡４５，０）或（８＋槡４５，０）。 ③如图，作ＡＣ的垂直平分线交ＡＣ于点Ｐ，交ｘ轴 于点Ｎ。 ∴△ＡＯＣ∽△ＮＰＣ。 ∴ ＣＰ ＯＣ ＝ＣＮ ＡＣ ， 即 槡 ２５ ８ ＝ＣＮ 槡４５ 。 ∴ＣＮ＝５。∴此时点Ｎ的坐标为（３，０）。 综上所述，点Ｎ的坐标为（－８，０）或（８－槡４５，０）或 （８＋槡４５，０）或（３，０）。 １３２０２４年市南区学业水平第二次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ １．Ａ　【解析】绝对值等于５的有理数是±５。故选Ａ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ既不是中心对称图形，又不是轴对称 图形，故本选项不符合题意；Ｂ是轴对称图形，但不 是中心对称图形，故本选项不符合题意；Ｃ既不是 中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符 合题意；Ｄ是中心对称图形，但不是轴对称图形，故 本选项符合题意。故选Ｄ。 ３．Ｂ　【解析】２５０００００００＝２．５×１０８。故选Ｂ。 ４．Ｂ　【解析】从正面看，是一行三个相邻的矩形，其 中左边和中间的两个矩形是正方形，且中间的正方 形有一条纵向的虚线。故选Ｂ。 ５．Ｃ　【解析】 ２（２ｘ－１）≥３ｘ－４，① ｘ ３ －１＜ ｘ－３ ２ ，②{ 解不等式①，得ｘ≥－２。解不等式②，得ｘ＞３。 ∴不等式组的解集为ｘ＞３。故选Ｃ。 ６．Ｃ　【解析】如图。 观察图象可得，点Ｂ的对应点 Ｂ２的坐标为（３，５）。 故选Ｃ。 ７．Ｂ　【解析】∵ＢＤ是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边ＡＣ的中线，ＣＤ＝ ６，∴ＢＤ＝ １ ２ ＡＣ＝ＡＤ＝ＣＤ＝６。∴ＡＣ＝１２。∵ＢＤ＝ＡＢ， ∴ＡＢ＝６。在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得 ＢＣ＝ ＡＣ２－ＡＢ槡 ２＝ １２２－６槡 ２＝槡６３。∵Ｅ，Ｆ分别是ＢＤ，ＣＤ 的中点，∴ＥＦ是△ＤＢＣ的中位线。∴ＥＦ＝ １ ２ ＢＣ＝ 槡３３。故选Ｂ。 ８．Ｃ　【解析】∵ＢＣ∥ＯＡ，∴∠Ａ＝∠ＡＣＢ＝１７°。 ∴∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ＝３４°。∵ＢＣ∥ＯＡ， ∴∠ＡＯＢ＝∠Ｂ＝３４°。∵ＢＤ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＢＣＤ＝９０°。∴∠Ｄ＝９０°－∠Ｂ＝５６°。故选Ｃ。 ９．Ａ　【解析】∵抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的开口方向向 上，∴ａ＞０。对称轴在 ｙ轴的右侧，∴ａ，ｂ异号。 ∴ｂ＜０。∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与 ｙ轴的负半轴相 交，∴ｃ＜０。又∵抛物线与 ｘ轴有 ２个交点， ∴ｂ２－４ａｃ＞０。∴直线ｙ＝ｂｃｘ＋ｂ２－４ａｃ经过第一、二、 三象限。当ｘ＝－１时，ｙ＞０，即 ａ－ｂ＋ｃ＞０，∴双曲线 ｙ＝ ａ－ｂ＋ｃ ｘ 经过第一、三象限。综上所述，符合条件 的图象是Ａ选项。故选Ａ。 １０．Ｃ　【解析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别 为ｘ个、ｙ个。根据题意，得 ４ｘ ＋３ｙ＝ｎ， ｘ＋２ｙ＝ｍ，{ 两式相加 得ｍ＋ｎ＝５（ｘ＋ｙ）。∵ｘ，ｙ都是正整数，∴ｍ＋ｎ是５ 的倍数。∵２０２３，２０２４，２０２５，２０２６四个数中只 有２０２５是 ５的倍数，∴ｍ＋ｎ的值可能为 ２０２５。 故选Ｃ。                                                                —２４— １１．３　【解析】原式＝ ８×槡 ２－ ８× １ ２槡 ＋１＝４－２＋１＝３。 １２．丁　【解析】∵丁苗圃的树苗平均高度为 ２．０ｍ， 且方差是０．２，方差最小，∴采购小组应选购丁苗 圃的树苗。 １３．８　【解析】∵点 Ｃ的坐标为 ３ ２ ，２( ) ，∴ＯＣ＝ ３ ２( ) ２ ＋２槡 ２＝５ ２ 。∵四边形ＯＡＢＣ是菱形， ∴ＢＣ＝ＯＣ＝ ５ ２ ，ＢＣ∥ＯＡ。∴点 Ｂ的坐标为（４，２）。 ∵反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＞０）的图象经过顶点Ｂ， ∴ｋ＝ｘｙ＝４×２＝８。 １４．ｙ＝－５ｘ２＋１７５ｘ－１２５０　【解析】当销售单价为 ｘ元 时，每件学具的销售利润为（ｘ－１０）元，每天可销 售５０－（ｘ－１５）×５＝（１２５－５ｘ）件。根据题意，得ｙ＝ （ｘ－１０）（１２５－５ｘ）＝－５ｘ２＋１７５ｘ－１２５０。 １５． ４π ５ 　【解析】如图，连接ＯＭ。由已知可得， ∠ＯＭＡ＝∠ＯＮＡ＝９０°。∵五边形 ＡＢＣＤＥ是正五 边形，∴∠Ａ＝ （５－２）×１８０° ５ ＝１０８°。∴∠ＭＯＮ＝ ３６０°－∠Ａ－∠ＯＭＡ－∠ＯＮＡ＝７２°。∴劣弧 ＭＮ的 长度为 ７２π×２ １８０ ＝４π ５ 。 １６．①②③④　【解析】如图， 过点 Ｆ作 ＦＱ⊥ＡＢ，垂足为 Ｑ，过点Ｂ作ＢＩ⊥ＰＧ，垂足为 Ｉ，则ＦＱ＝ＢＣ。根据折叠的性 质，得 ＥＦ⊥ＢＰ，∴∠ＥＮＢ＝ ９０°。∵四边形ＡＢＣＤ是正方 形，∴∠Ａ＝９０°。∵∠ＡＢＰ＋ ∠ＢＥＦ＝∠ＡＢＰ＋∠ＡＰＢ＝９０°， ∴∠ＢＥＦ＝∠ＡＰＢ。∵ＡＢ＝ＢＣ，∴ＡＢ＝ＱＦ。 ∵∠Ａ＝∠ＦＱＡ＝９０°，∴△ＡＢＰ≌△ＱＦＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＢＰ＝ＥＦ。故①正确；∵∠ＥＰＨ＝∠ＡＢＣ＝９０°， ∴∠ＡＰＥ＋∠ＡＥＰ＝∠ＡＰＥ＋∠ＤＰＨ＝９０°。 ∴∠ＡＥＰ＝∠ＤＰＨ。∵∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，∴△ＡＰＥ∽ △ＤＨＰ。∴ ＡＰ ＤＨ ＝ＡＥ ＤＰ 。∴ＡＰ·ＤＰ＝ＡＥ·ＤＨ。故② 正确；根据翻折不变性可知 ＰＥ＝ＢＥ，∴∠ＥＢＰ＝ ∠ＥＰＢ。∵ ∠ＥＰＨ＝∠ＥＢＣ＝９０°，∴ ∠ＥＰＨ－ ∠ＥＰＢ＝∠ＥＢＣ－∠ＥＢＰ，即∠ＰＢＣ＝∠ＢＰＨ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＰＢ＝∠ＰＢＣ。∴∠ＡＰＢ＝∠ＢＰＨ。 ∵∠Ａ＝∠ＢＩＰ＝９０°，ＢＰ＝ＢＰ，∴ △ＡＰＢ≌ △ＩＰＢ（ＡＡＳ）。∴ＡＰ＝ＩＰ，ＡＢ＝ＢＩ。∴ＢＩ＝ＢＣ。 ∵∠ＢＩＨ＝∠ＢＣＨ＝９０°，ＢＨ＝ＢＨ，∴Ｒｔ△ＢＣＨ≌ Ｒｔ△ＢＩＨ（ＨＬ）。∴ＩＨ＝ＣＨ，∠ＩＨＢ＝∠ＣＨＢ。 ∴ＰＨ＝ＩＰ＋ＩＨ＝ＡＰ＋ＣＨ，ＢＨ平分∠ＰＨＣ。故③④ 正确。∵ＢＰ＝ ＡＰ２＋ＡＢ槡 ２，ＢＨ＝ ＢＣ２＋ＣＨ槡 ２，ＡＢ＝ ＢＣ，∴ＣＨ，ＡＰ相等时，才有ＢＰ＝ＢＨ。故ＢＰ，ＢＨ不 一定相等，故⑤错误。 １７．解：如图，⊙Ｐ即为所求作。 １８．解：（１） １ ａ－ｂ － ２ｂ ａ２－ｂ２( ) ÷ｂａ＋ｂ ＝ ａ ＋ｂ－２ｂ （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ） · ａ＋ｂ ｂ ＝ ａ －ｂ （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ） · ａ＋ｂ ｂ ＝１ ｂ 。 （２）∵关于ｘ的一元二次方程（ｍ＋１）ｘ２＋３ｘ＋１＝０ 有两个实数根， ∴ｍ＋１≠０且Δ＝３２－４×（ｍ＋１）×１≥０。 解得ｍ≤ ５ ４ 且ｍ≠－１。 １９．解：（１）∵有款式完全相同的３个羽毛球拍，从中 随机选取１个，有３种可能，小明选中球拍 Ａ有１ 种可能， ∴小明选中球拍Ａ的概率为 １ ３ 。 故答案为 １ ３ 。 （２）画树状图如下： 一共有１６种等可能的结果，其中两球上的数字之 积小于或等于－４的结果有６种， ∴Ｐ（小明先发球）＝ ６ １６ ＝３ ８ ， Ｐ（小华先发球）＝ ５ ８ 。 ∵Ｐ（小明先发球）＜Ｐ（小华先发球）， ∴这个游戏不公平。                                                                —３４— ２０．解：（１）由题可得ａ＝（８．６＋８．８）÷２＝８．７，ｃ＝ ３＋５ ２０ × １００％＝４０％。 由八年级 Ｃ组同学的分数可知，８．９出现的次数 最多，∴ｂ＝８．９。 故答案为８．７，８．９，４０％。 （２）七年级学生对奥运知识的了解情况更好。 理由：由表格可知，七年级学生成绩的众数高于八 年级学生成绩的众数，七年级学生成绩的优秀率 高于八年级学生成绩的优秀率。 （３）７５０×４０％＋６６０×３５％＝５３１（人）。 答：估计该校这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总 人数为５３１。 ２１．解：（１）如图１，连接ＣＤ。 ∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ， ∴ＡＢ＝槡２ＡＣ，∠Ａ＝∠Ｂ＝∠ＡＣＤ＝４５°， ＡＤ＝ＣＤ＝ＢＤ，ＣＤ⊥ＡＢ。 ∴∠ＭＤＮ＝∠ＣＤＢ＝９０°。∴∠ＣＤＭ＝∠ＢＤＮ。 ∴△ＣＤＭ≌△ＢＤＮ（ＡＳＡ）。∴ＣＭ＝ＢＮ。 ∴ＡＭ＋ＢＮ＝ＡＭ＋ＣＭ＝ＡＣ＝槡 ２ ２ ＡＢ。 故答案为槡 ２ ２ 。 图１ 　 图２ （２）如图２，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ于 点Ｆ。 ∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ， ∴∠Ａ＝∠Ｂ＝４５°。 ∵ＤＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＢＣ， ∴△ＡＥＤ和△ＢＦＤ都是等腰直角三角形。 ∴ＡＥ＝ＤＥ，ＤＦ＝ＢＦ。 ∴ＡＤ＝槡２ＡＥ，ＢＤ＝槡２ＢＦ， ∠Ａ＝∠Ｂ＝４５°＝∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＦ。 ∴△ＡＤＥ∽△ＢＤＦ。 ∴ ＡＤ ＢＤ ＝ＡＥ ＢＦ ＝１ ２ 。 设ＡＥ＝ＤＥ＝ｘ，ＤＦ＝ＢＦ＝２ｘ。 ∴ＡＤ＝槡２ｘ，ＢＤ＝槡２２ｘ。 ∴ＡＢ＝槡３２ｘ。∴ｘ＝ 槡２ ６ ＡＢ。 ∵ＤＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴四边形ＤＦＣＥ是矩形。 ∴∠ＥＤＦ＝９０°＝∠ＭＤＮ。 ∴∠ＥＤＭ＝∠ＦＤＮ。 ∵∠ＭＥＤ＝∠ＮＦＤ， ∴△ＥＤＭ∽△ＦＤＮ。 ∴ ＥＭ ＦＮ ＝ＤＥ ＤＦ ＝１ ２ 。 ∴ＦＮ＝２ＥＭ。 ∴ＡＭ＋ １ ２ ＢＮ＝ｘ＋ＥＭ＋ １ ２ （２ｘ－ＦＮ）＝２ｘ＝槡 ２ ３ ＡＢ。 故答案为ＡＭ＋ １ ２ ＢＮ＝槡 ２ ３ ＡＢ。 （３）由（２），得△ＡＤＥ∽△ＢＤＦ。∴ ＡＤ ＢＤ ＝ＡＥ ＢＦ ＝１ ｎ 。 设ＡＥ＝ＤＥ＝ｘ，ＤＦ＝ＢＦ＝ｎｘ。 ∴ＡＤ＝槡２ｘ，ＢＤ＝槡２ｎｘ。 ∴ＡＢ＝（槡２＋槡２ｎ）ｘ。∴ｘ＝ ＡＢ 槡２（ｎ＋１） 。 ∵ＤＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴四边形ＤＦＣＥ是矩形。 ∴∠ＥＤＦ＝９０°＝∠ＭＤＮ。∴∠ＥＤＭ＝∠ＦＤＮ。 ∵∠ＭＥＤ＝∠ＮＦＤ， ∴△ＥＤＭ∽△ＦＤＮ。 ∴ ＥＭ ＦＮ ＝ＤＥ ＤＦ ＝１ ｎ 。 ∴ＦＮ＝ｎＥＭ。 ∴ＡＭ＋ １ ｎ ＢＮ＝ｘ＋ＥＭ＋ １ ｎ （ｎｘ－ＦＮ）＝２ｘ＝ 槡２ （ｎ＋１） ＡＢ。 故答案为ＡＭ＋ １ ｎ ＢＮ＝槡 ２ ｎ＋１ ＡＢ。 ２２．解：如图，延长 ＢＡ交 ＤＧ于点 Ｆ，过点 Ｃ作 ＣＧ⊥ ＤＥ，垂足为Ｇ。 由题意，得ＢＦ⊥ＤＦ，ＢＦ＝ＣＧ＝３６米， ＦＧ＝ＢＣ＝６６米。 在Ｒｔ△ＣＤＧ中，∠ＣＤＧ＝３７°， ∴ＤＧ＝ ＣＧ ｔａｎ３７°≈ ３６ ０．７５ ＝４８（米）。 ∴ＤＦ＝ＦＧ－ＤＧ＝６６－４８＝１８（米）。 在Ｒｔ△ＡＤＦ中，∠ＡＤＦ＝４３°， ∴ＡＦ＝ＤＦ·ｔａｎ４３°≈１８×０．９３＝１６．７４（米）。 ∴ＡＢ＝ＢＦ－ＡＦ＝３６－１６．７４≈１９．３（米）。 ∴教学楼ＡＢ的高度约为１９．３米。 ２３．解：（１）设一个 Ａ型玩具的进价为 ｘ元，则一个 Ｂ 型玩具的进价为（ｘ－１）元。 由题意，得 ７００ ｘ ＝３１５ ｘ－１ ×２。解得ｘ＝１０。 经检验，ｘ＝１０是原方程的解，且符合题意。 ∴ｘ－１＝１０－１＝９。 答：一个Ａ型玩具的进价为１０元，一个 Ｂ型玩具 的进价为９元。                                                                —４４— （２）设该商店应购进 Ａ型玩具 ｍ个，则购进 Ｂ型 玩具（２００－ｍ）个。 由题意，得 ｍ≥ ９ １１ （２００－ｍ）， ｍ≤１５０。{ 解得９０≤ｍ≤１５０。 设两种玩具全部售出后所获利润为ｙ元。 由题意，得ｙ＝２００×１５－［１０×８０＋１０×０．７（ｍ－８０）＋ ９（２００－ｍ）］＝２ｍ＋９６０。 ∵ｍ＞０， ∴ｙ随ｍ的增大而增大。 ∴当ｍ＝１５０时，ｙ有最大值， 最大值为２×１５０＋９６０＝１２６０。 此时２００－ｍ＝２００－１５０＝５０。 答：该商店应购买 Ａ型玩具 １５０个，Ｂ型玩具 ５０ 个，才能在两种玩具全部售出后所获利润最大，最 大利润为１２６０元。 ２４．（１）证明：∵ＡＢ＝ＤＢ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ＝９０°， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＥ＝９０°－∠ＡＢＥ。 在△ＡＢＣ和△ＤＢＥ中， ＡＢ＝ＤＢ， ∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＥ， ＢＣ＝ＢＥ，{ ∴△ＡＢＣ≌△ＤＢＥ（ＳＡＳ）。 （２）解：当∠ＢＡＣ＝１３５°时，四边形 ＡＤＥＦ是矩形。 证明如下： ∵△ＡＢＣ≌△ＤＢＥ，∴ＤＥ＝ＡＣ。 ∵ＡＦ＝ＡＣ，∴ＤＥ＝ＡＦ。 ∵∠ＢＡＣ＝１３５°，∠ＢＡＤ＝４５°， ∴∠ＣＡＤ＝１８０°。 ∴Ｄ，Ａ，Ｃ三点共线。 ∵∠ＦＡＣ＝９０°，∴∠ＤＡＦ＝９０°。 ∵△ＡＢＣ≌△ＤＢＥ， ∴∠ＢＤＥ＝∠ＢＡＣ＝１３５°。 ∵∠ＡＤＢ＝４５°， ∴∠ＡＤＥ＝９０°。 ∴∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＦ＝１８０°。∴ＤＥ∥ＡＦ。 ∴四边形ＡＤＥＦ是平行四边形。 ∵∠ＤＡＦ＝９０°， ∴四边形ＡＤＥＦ是矩形。 ２５．解：（１）由题意，得抛物线的顶点坐标为（２，３）。 ∴设该抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋３。 ∵抛物线经过原点， ∴４ａ＋３＝０，解得ａ＝－ ３ ４ 。 ∴该抛物线的解析式为ｙ＝－ ３ ４ （ｘ－２）２＋３。 （２）由（１），得ｙ＝－ ３ ４ （ｘ－２）２＋３， ∴当ｘ＝３．５时，ｙ＝ ２１ １６ 。 答：护栏的最大高度为 ２１ １６ 米。 （３）由题意，得Ａ（３．５，０），Ｂ（６，－５）。 设直线ＡＢ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 则 ３．５ｋ＋ｂ＝０， ６ｋ＋ｂ＝－５。{ ∴ ｋ＝－２，ｂ＝７。{ ∴ｙ＝－２ｘ＋７（３．５≤ｘ≤６）。 ∴－２ｘ＋７＝－ ３ ４ （ｘ－２）２＋３。 解得ｘ１＝２（不合题意，舍去），ｘ２＝ １４ ３ 。 当ｘ＝ １４ ３ 时，ｙ＝－ ７ ３ 。 ∴当河水降至离地平面距离为 ７ ３ 米时，水柱刚好 落在水面上。 ２６．解：（１）如图 １，由题意，得 ＡＰ＝ｔｃｍ，ＢＱ＝２ｔｃｍ， ＢＰ＝（１０－ｔ）ｃｍ，且０＜ｔ＜５。 图１ ∵四边形 ＡＢＣＤ是 菱形， ∴ ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ ＯＣ＝ １ ２ ＡＣ＝６ｃｍ。 ∵将△ＢＰＱ沿ＡＢ折 叠，得到△ＢＰＱ′， ∴ＱＱ′⊥ＡＢ。 ∵ＱＱ′∥ＯＰ， ∴ＯＰ⊥ＡＢ。 ∴∠ＡＰＯ＝∠ＡＯＢ＝９０°。 ∵∠ＯＡＰ＝∠ＢＡＯ， ∴△ＡＯＰ∽△ＡＢＯ。 ∴ ＡＰ ＯＡ ＝ＯＡ ＡＢ ，即 ｔ ６ ＝６ １０ 。 解得ｔ＝ １８ ５ 。 ∴当ｔ＝ １８ ５ 时，ＱＱ′∥ＯＰ。 （２）如图 ２，过点 Ａ作 ＡＦ⊥ＢＣ于点 Ｆ，过点 Ｐ作 ＰＧ⊥ＢＣ于点Ｇ。 由题意，得ＡＰ＝ｔｃｍ，ＢＱ＝２ｔｃｍ，ＢＰ＝（１０－ｔ）ｃｍ， 且０＜ｔ＜５。 在Ｒｔ△ＡＢＯ中， ＯＢ＝ ＡＢ２－ＯＡ槡 ２＝ １０２－６槡 ２＝８（ｃｍ）。 ∵ＢＣ·ＡＦ＝ＡＣ·ＯＢ， ∴ＡＦ＝ ＡＣ·ＯＢ ＢＣ ＝１２ ×８ １０ ＝４８ ５ 。 ∵ＡＦ⊥ＢＣ，ＰＧ⊥ＢＣ， ∴ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝ ＰＧ ＢＰ ＝ＡＦ ＡＢ ＝ ４８ ５ １０ ＝２４ ２５ 。 ∴ＰＧ＝ ２４ ２５ ＢＰ＝ ２４ ２５ （１０－ｔ）ｃｍ。 由折叠，得△ＢＰＱ′≌△ＢＰＱ， ∴Ｓ△ＢＰＱ′＝Ｓ△ＢＰＱ。 ∴Ｓ四边形ＢＣＰＱ′＝Ｓ△ＢＰＱ′＋Ｓ△ＢＰＣ＝Ｓ△ＢＰＱ＋Ｓ△ＢＰＣ ＝１ ２ ＰＧ×（ＢＱ＋ＢＣ）＝ １ ２ ×２４ ２５ （１０－ｔ）×（２ｔ＋１０）                                                                —５４— ＝－２４ ２５ ｔ２＋ ２４ ５ ｔ＋４８( ) ｃｍ２， 即Ｓ＝－ ２４ ２５ ｔ２＋ ２４ ５ ｔ＋４８＝－ ２４ ２５ ｔ－ ５ ２( ) ２ ＋５４（０＜ｔ＜５）。 ∴当ｔ＝ ５ ２ 时，Ｓ有最大值，最大值为５４ｃｍ２。 图２ 图３ 　 （３）如图３，过点Ｑ作ＱＦ⊥ＢＤ于点Ｆ，ＱＧ⊥ＤＣ交 ＤＣ的延长线于点Ｇ。 由（２）知，ＯＢ＝８ｃｍ， 则ＢＤ＝２ＯＢ＝１６ｃｍ。 ∵ＤＱ平分∠ＢＤＣ，ＱＦ⊥ＢＤ，ＱＧ⊥ＤＣ， ∴ＱＦ＝ＱＧ。 ∵ｓｉｎ∠ＣＢＤ＝ ＯＣ ＢＣ ＝６ １０ ＝３ ５ ， ∴ＱＦ＝ＢＱ·ｓｉｎ∠ＣＢＤ＝２ｔ× ３ ５ ＝６ ５ ｔ（ｃｍ）。 ∵Ｓ△ＢＤＱ＋Ｓ△ＣＤＱ＝Ｓ△ＢＣＤ， ∴ １ ２ ×１６× ６ ５ ｔ＋ １ ２ ×１０× ６ ５ ｔ＝ １ ２ ×１６×６， 解得ｔ＝ ４０ １３ 。 ∴存在，当ｔ＝ ４０ １３ 时，ＤＱ平分∠ＢＤＣ。 １４２０２４年市北区学业水平第二次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ａ Ｂ Ａ Ｃ １．Ａ　【解析】∵－１＜－ １ ２ 槡 ＜０＜３，∴最小的数是－１。 故选Ａ。 ２．Ｂ　【解析】Ａ既是中心对称图形，也是轴对称图 形，故本选项不符合题意；Ｂ是中心对称图形，但不 是轴对称图形，故本选项符合题意；Ｃ是轴对称图 形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；Ｄ 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选 项不符合题意。故选Ｂ。 ３．Ｄ　【解析】Ａ．ｍ２·ｍ３＝ｍ５，故该项不正确，不符合 题意；Ｂ．２ｍ与３ｎ不是同类项，不能进行合并，故该 项不正确，不符合题意；Ｃ．（－ｍ２ｎ３）２＝ｍ４ｎ６，故该项 不正确，不符合题意；Ｄ．ｍ８÷ｍ２＝ｍ６，故该项正确， 符合题意。故选Ｄ。 ４．Ａ　【解析】该几何体的俯视图是 。故选Ａ。 ５．Ａ　【解析】∵多边形ＡＢＣＤＥＦＧＨ是正八边形， ∴∠ＨＡＢ＝∠ＡＢＣ＝ （８－２）×１８０° ８ ＝１３５°，ＡＨ＝ＡＢ＝ ＢＣ。∴ ∠ＡＨＢ＝∠ＡＢＨ ＝∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝ １８０°－１３５° ２ ＝２２．５°。∴∠ＨＯＣ＝∠ＡＯＢ＝１８０°－ ２２．５°－２２．５°＝１３５°。故选Ａ。 ６．Ｂ　【解析】设第二次分钱的人数为 ｘ，则第一次分 钱的人数为ｘ－６。依题意，得 １０ ｘ－６ ＝４０ ｘ 。故选Ｂ。 ７．Ａ　【解析】这２０名同学读书册数的众数是３，中位 数是 ３＋３ ２ ＝３。故选Ａ。 ８．Ｃ　【解析】根据题意，得反比例函数的解析式为 ｈ＝ ２０ ρ 。Ａ．当液体的密度ρ≥１ｇ／ｃｍ３时，浸在液体 中的高度ｈ≤２０ｃｍ，故原说法错误，不符合题意； Ｂ．当液体的密度ρ＝２ｇ／ｃｍ３时，浸在液体中的高度 ｈ＝１０ｃｍ，故原说法错误，不符合题意；Ｃ．当浸在液体 中的高度 ０＜ｈ≤２５ｃｍ时，该液体的密度 ρ≥ ０．８ｇ／ｃｍ３，故原说法正确，符合题意；Ｄ．当液体的密度 ０＜ρ≤１ｇ／ｃｍ３时，浸在液体中的高度ｈ≥２０ｃｍ，故原 说法错误，不符合题意。故选Ｃ。 ９．５×１０－８　【解析】５０纳米＝５０×１０－９米＝５×１０－８米。 １０．槡３３＋３　【解析】原式＝ １８× ３ ２槡 ＋ ６× ３ ２槡 ＝槡２７＋槡９＝槡３３＋３。 １１．＜　【解析】甲的成绩的平均数为 １ １０ ×（４×８＋５×９＋ １０）＝８．７，则方差ｓ２甲＝ １ １０ ×［４×（８－８．７）２＋５×（９－ ８．７）２＋（１０－８．７）２］＝０．４１。由折线统计图知，乙 的成绩（单位：环）为７，７，７，８，８，９，９，１０，１０，１０，所以 乙的成绩的平均数为 １ １０ ×（３×７＋２×８＋２×９＋３×１０）＝ ８．５，则方差ｓ２乙＝ １ １０ ×［３×（７－８．５）２＋２×（８－８．５）２＋ ２×（９－８．５）２＋３×（１０－８．５）２］＝１．４５。∴ｓ２甲＜ｓ ２ 乙。 １２．２２０°　【解析】如图，连接ＡＢ。 ∵ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的切线，∴ＰＡ＝ＰＢ。 ∵∠Ｐ＝１００°，∴∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＡ＝ １ ２ （１８０°－１００°）＝４０°。 ∵∠ＤＡＢ＋∠Ｃ＝１８０°， ∴∠ＰＡＤ＋∠Ｃ＝∠ＰＡＢ＋∠ＤＡＢ＋∠Ｃ＝４０°＋ １８０°＝２２０°。                                                                —６４— — ７３— — ７４— — ７５— 　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题（本题满分３０分，共有１０道小题，每小题 ３分） １．绝对值等于５的有理数是 （　　） Ａ．±５ Ｂ．５ Ｃ．－５ Ｄ．± １ ５ ２．下列是人工智能品牌公司的图标，其中是中心对 称图形但不是轴对称图形的是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ３．“五一”小长假出行数据显示，４月 ３０日至 ５月 ５日，全国铁路、民航以及道路客流量合计将达到 ２５０００００００人次左右，则 ２５０００００００用科学记 数法可表示为 （　　） Ａ．２．５×１０－８ Ｂ．２．５×１０８ Ｃ．２５×１０７ Ｄ．２．５×１０９ ４．三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示， 其主视图是 （　　） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ５．求不等式组 ２（２ｘ－１）≥３ｘ－４， ｘ ３ －１＜ ｘ－３ ２{ 的解集，下面结果 正确的是 （　　） Ａ．－２≤ｘ＜３ Ｂ．ｘ≥－２ Ｃ．ｘ＞３ Ｄ．ｘ＞８ ６．如图，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ位于第二象 限，点Ａ的坐标为（－２，３），先把△ＡＢＣ向右平移 ３个单位长度得到△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再把△Ａ１Ｂ１Ｃ１绕点 Ｃ１顺时针旋转９０°得到△Ａ２Ｂ２Ｃ１，则点Ｂ的对应 点Ｂ２的坐标为 （　　） Ａ．（４，２） Ｂ．（２，２） Ｃ．（３，５） Ｄ．（１，－３） 第６题图 　　 第７题图 ７．如图，ＢＤ是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边 ＡＣ的中线，Ｅ，Ｆ分 别是 ＢＤ，ＣＤ的中点，连接 ＥＦ。若 ＢＤ＝ＡＢ， ＣＤ＝６，则ＥＦ的长为 （　　） 槡 槡 槡Ａ．６ Ｂ．３３ Ｃ．４３ Ｄ．６３ ８．如图，点Ａ，Ｂ，Ｃ在⊙Ｏ上，ＢＣ∥ＯＡ，连接ＢＯ并 延长，交⊙Ｏ于点Ｄ，连接ＡＣ，ＣＤ，若∠Ａ＝１７°， 则∠Ｄ的大小为 （　　） Ａ．３４° Ｂ．５１° Ｃ．５６° Ｄ．５８° 第８题图 　　 第９题图 ９．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，则一次 函数ｙ＝ｂｃｘ＋ｂ２－４ａｃ与反比例函数ｙ＝ ａ－ｂ＋ｃ ｘ 在 同一平面直角坐标系内的图象大致为 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ １０．用如图１中的矩形和正方形纸板作侧面和底 面，做成如图 ２的竖式和横式的两种无盖纸 盒。现在仓库里有 ｍ张正方形纸板和 ｎ张矩 形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存 的纸板用完，那么ｍ＋ｎ的值可能为 （　　） 图１ 　　 图２ Ａ．２０２３ Ｂ．２０２４ Ｃ．２０２５ Ｄ．２０２６ 二、填空题（本题满分１８分，共有６道小题，每小题 ３分） １１．计算槡８×槡２－ １ ２槡( )＋（槡３）０的结果为　　　　。 １２．某城市准备选购一千株高度大约为２ｍ的某 种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基 地投标（单株树的价格都一样）。采购小组分 别从四个苗圃中任意抽查了 ２０株树苗的高 度，得到的数据如下表，请你帮采购小组出谋 划策，应选购　　　　苗圃的树苗。 树苗平均高度（单位：ｍ） 方差 甲苗圃 １．８ ０．２ 乙苗圃 １．８ ０．６ 丙苗圃 ２．０ ０．５ 丁苗圃 ２．０ ０．２ １３．如图，菱形ＯＡＢＣ的顶点Ｃ的坐标为 ３ ２ ，２( )，顶 点Ａ在ｘ轴的正半轴上，反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＞ ０）的图象经过顶点Ｂ，则ｋ的值为　　　　。 第１３题图 　　 第１５题图 １４．某商场购进一批单价为１０元的学具，若按每 件１５元出售，则每天可销售５０件。经调查 发现，这种学具的销售单价每提高１元，其销 售量相应减少５件，设销售单价为ｘ元，每天 的销售利润为 ｙ元，则 ｙ与 ｘ的函数关系式 为　　　　　　　　。 １５．如图，半径为２的⊙Ｏ过正五边形ＡＢＣＤＥ的 顶点Ｃ，Ｄ，与边ＡＢ，ＡＥ分别相切于点 Ｍ，Ｎ， 则劣弧ＭＮ的长度为　　　　。 １６．如图，正方形纸片ＡＢＣＤ，Ｐ是 边ＡＤ上的一点（不与点Ａ，Ｄ 重合）。将纸片折叠，使点 Ｂ 落在点 Ｐ处，点 Ｃ落在点 Ｇ 处，ＰＧ交ＣＤ于点Ｈ，折痕为 ＥＦ，连接ＢＰ，ＢＨ，ＢＨ交ＥＦ于点Ｍ，连接ＰＭ。 下列结论正确的有　　　　。（填写序号） ①ＢＰ＝ＥＦ；②ＡＰ·ＤＰ＝ＡＥ·ＤＨ；③ＰＨ＝ＡＰ＋ ＣＨ；④ＢＨ平分∠ＰＨＣ；⑤ＢＰ＝ＢＨ。 三、作图题（本题满分 ４分，用圆规、直尺作图， 不写作法，但要保留作图痕迹） １７．如图，矩形 ＡＢＣＤ区域是正在改造的青岛火 车站南广场的一部分。喜欢设计的小明在 这一区域内设计了一个圆形休闲广场，要求 这个圆Ｐ与三条道路ＡＤ，ＣＤ，ＢＣ相切，请画 出这个圆Ｐ。 　　 四、解答题（本题满分６８分，共有９道小题） １８．（８分）（１）化简： １ ａ－ｂ －２ｂ ａ２－ｂ２( )÷ｂａ＋ｂ； （２）关于ｘ的一元二次方程（ｍ＋１）ｘ２＋３ｘ＋１＝０ 有两个实数根，求ｍ的取值范围。 １９．（６分）小明、小华两位同学相约打羽毛球。 （１）有款式完全相同的３个羽毛球拍，分别记为 Ａ，Ｂ，Ｃ，小明从中随机选取１个，则小明选中球 拍Ａ的概率为　　　　； （２）为了决定谁先发球，两人一起设计了一个 游戏：在一个口袋中装有四个小球，分别标有数 字－１，－２，３，４，球除数字外都相同。小明从口 袋中随机摸出一球，记下数字后放回摇匀，小华 再从中随机摸出一球，若两球上的数字之积小 于或等于－４，则小明先发球，否则小华发球。请 用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否 公平。 ２０．（６分）第 ３３届夏季奥林匹克运动会于 ２０２４年 ７ 月２６日至８月１１日在法国巴黎举行。某中学为 了迎接这一体育盛事的到来，组织七、八年级学生 开展了奥运知识竞赛，为了解竞赛情况，现从该校 七、八年级中各随机抽取２０名学生的竞赛成绩进 行整理、描述和分析（成绩得分用ｘ表示，共分成四 组：Ａ：９．５≤ｘ≤１０，Ｂ：９≤ｘ＜９．５，Ｃ：８．５≤ｘ＜９， Ｄ：８．５分以下，得分在９分及以上为优秀）。下面 给出了部分信息： 七年级Ｃ组同学的分数分别为８．８，８．９，８．６，８．５； 八年级Ｃ组同学的分数分别为８．９，８．８，８．８，８．６， ８．９，８．９，８．７，８．９，８．９。 七年级选取的学生竞赛 成绩条形统计图 　 八年级选取的学生竞赛 成绩扇形统计图 七年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 ８．８ ａ ９．５ ｃ 八年级 ８．８ ８．９ ｂ ３５％ （１）填空：ａ＝　　　，ｂ＝　　　，ｃ＝　　　； （２）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在此 次奥运知识竞赛中，哪个年级学生对奥运知识的了 解情况更好？请说明理由；（至少写出２条理由） （３）该校七年级有７５０名学生，八年级有６６０名学 生，请根据样本估计该校这两个年级竞赛成绩为优 秀的学生总人数。                                                                                                                                                                                                                     １３２０２４年市南区学业水平第二次阶段性质量检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ７６— — ７７— — ７８— ２１．（６分）如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝ ９０°，Ｄ是边ＡＢ上一点，ＡＤ∶ＢＤ＝１∶ｎ。点Ｍ，Ｎ 分别在边ＡＣ，ＢＣ上，且∠ＭＤＮ＝９０°。 （１）如图２，若ｎ＝１，则ＡＭ＋ＢＮ＝　　　　ＡＢ； （２）如图３，若 ｎ＝２，则线段 ＡＭ，ＢＮ，ＡＢ之间的 数量关系：　　　　； （３）请你通过类比、猜想、归纳，写出ＡＭ，ＢＮ，ＡＢ 之间数量关系的一般结论：　　　　　　　。 图１ 　　 图２ 图３ ２２．（６分）如图，数学课外兴趣小组决定利用无 人机测量一下学校教学楼的高度，无人机起 飞点在Ｃ处，经过一段时间飞行，无人机悬停 在空中Ｄ处，此时操控者读取了无人机操作 显示器上的部分数据：Ｄ离地面的垂直距离 为３６米，Ｃ处俯角为３７°，教学楼顶点Ａ处的 俯角为４３°。又经过人工测量，Ｃ与教学楼底 端Ｂ距离为６６米，已知点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都在同 一平面上，求教学楼ＡＢ的高度。 （结果精确到 ０．１米，参考数据：ｓｉｎ３７°≈ ０．６０，ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５，ｓｉｎ４３°≈ ０．６８，ｃｏｓ４３°≈０．７３，ｔａｎ４３°≈０．９３） ２３．（８分）“六一”儿童节将至，某商店计划购进Ａ 型玩具和Ｂ型玩具进行销售，已知７００元购进 Ａ型玩具的数量是 ３１５元购进 Ｂ型玩具数量 的２倍，一个Ａ型玩具的进价比一个Ｂ型玩具 的进价多１元。销售时，两种玩具的售价均为 １５元／个。 （１）求一个 Ａ型玩具和一个 Ｂ型玩具的进价 分别为多少元； （２）该商店计划购进这两种玩具共２００个，其 中购进Ａ型玩具的数量不少于Ｂ型玩具数量 的 ９ １１ ，且不超过 １５０个。当商店进货时，若一 次性购进Ａ型玩具超过８０个，则 Ａ型玩具超 过的部分可按进价打 ７折。该商店应购进 Ａ 型玩具和Ｂ型玩具各多少个，才能在两种玩具 全部售出后所获利润最大？最大利润为多 少元？ ２４．（８分）如图，以△ＡＢＣ的三边为直角边分别 向外作等腰直角三角形 ＡＢＤ、等腰直角三角 形 ＢＣＥ和等腰直角三角形 ＡＣＦ，连接 ＤＥ，ＥＦ。 （１）求证：△ＡＢＣ≌△ＤＢＥ； （２）当∠ＢＡＣ满足什么条件时，四边形ＡＤＥＦ 是矩形？请证明你的结论。 ２５．（１０分）如图１，为打造旅游休闲城市，某地在地 面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观。喷出的 水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河 中。图 ２是其截面图，已知路面 ＯＡ宽为 ３．５米，河道坝高ＡＥ为５米，Ｂ与Ａ的水平距离 ＢＥ为２．５米。当水柱离喷水口 Ｏ处水平距离 为２米时，离路面距离的最大值为 ３米。以点 Ｏ为坐标原点，射线ＯＡ为ｘ轴正方向建立平面 直角坐标系。 （１）求该抛物线的解析式； （２）出于安全考虑，在河道的坝边 Ａ处安装护 栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大 高度为多少米？ （３）水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观 角度考虑，水柱落水点要在水面上。当河水降 至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？ 图１ 图２ ２６．（１０分）如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０ｃｍ，ＡＣ＝ １２ｃｍ，对角线ＡＣ和 ＢＤ交于点 Ｏ，点 Ｐ从点 Ａ出 发，沿ＡＢ方向向点Ｂ匀速运动，速度为１ｃｍ／ｓ；同 时，点Ｑ从点Ｂ出发，沿ＢＣ方向向点Ｃ匀速运动， 速度为２ｃｍ／ｓ，连接 ＰＱ，将△ＢＰＱ沿 ＡＢ折叠，得 到△ＢＰＱ′，设运动时间为ｔｓ（０＜ｔ＜５），请解答下列 问题： （１）连接ＱＱ′和ＯＰ，ｔ为何值时，ＱＱ′∥ＰＯ？ （２）连接ＣＰ，求四边形ＢＣＰＱ′的面积Ｓ与ｔ的函数 关系式，并求当ｔ为何值时，Ｓ有最大值？最大值为 多少？ （３）连接 ＤＱ，是否存在某一时刻 ｔ，使得 ＤＱ平分 ∠ＢＤＣ？若存在，求出 ｔ的值；若不存在，请说明 理由。 　　 备用图                                                                                                                                                                                                                           