12 2024年九校联考学业水平第一次阶段性质量检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东青岛专版）

— ６７— — ６８— — ６９— 　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分） １．下列实数中，是无理数的是 （　　） Ａ．π ３ Ｂ．２ Ｃ． ２２ ７ Ｄ．０．９ ２．近几年，青岛汽车产业已经崛起为青岛工业当中 第一大产业，２０２４年全市预计整车产能约１２５万 辆。如图是４种常见的汽车轮胎的样式，其中既 是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３．中国青岛作为北方第三大经济城市，某年第四季 度财政收入为４１．７６亿元，将数据“４１．７６亿”用 科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为 （　　） Ａ．４１×１０８ Ｂ．４．１×１０９ Ｃ．４．２×１０９ Ｄ．４１．７×１０８ ４．如图所示的这个几何体，下列图形不是这个几何 体的三视图的是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ５．如图，一个含有３０°的直角三角尺和一矩形纸 条，若∠１＝３７°，则∠２的度数为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．５３° Ｃ．４５° Ｄ．３７° ６．下列计算正确的是 （　　） Ａ．ａ３＋ａ２＝ａ５ Ｂ．ａ３·ａ２＝ａ６ Ｃ．２ｎ－２ｎ－１＝２ｎ－１（ｎ≥２） Ｄ．ａ３÷ａ４＝ａ（ａ≠０） ７．如图，在锐角△ＡＢＣ中，以ＢＣ为直径的半圆Ｏ分 别交ＡＢ，ＡＣ于Ｄ，Ｅ两点，且Ｓ△ＡＤＥ∶Ｓ四边形ＢＣＥＤ＝ １∶２，则ｃｏｓ∠ＢＡＣ的值为 （　　） Ａ． １ ２ Ｂ． １ ３ Ｃ．槡 ２ ２ Ｄ．槡 ３ ３ ８．如图，把图中的△ＡＢＣ经过一定的变换得到 △Ａ′Ｂ′Ｃ′，如果图中△ＡＢＣ上的点 Ｐ的坐标为 （ａ，ｂ），那么它的对应点Ｐ′的坐标为 （　　） Ａ．（ａ－３，ｂ） Ｂ．（ａ＋３，ｂ） Ｃ．（３－ａ，－ｂ） Ｄ．（ａ－３，－ｂ） ９．如图，在矩形纸片ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝８，将纸 片折叠，使点Ｃ与点Ａ重合，折痕为ＥＦ，点Ｄ的 对应点为Ｇ，连接ＤＧ，则图中阴影部分面积为 （　　） Ａ．５ Ｂ．３ Ｃ． ３６ ５ Ｄ． １８ ５ １０．二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ图象如图所示，它的对 称轴为直线ｘ＝－ １ ２ ，下列结论中，正确的有 （　　） ①ａｂｃ＞０； ②ｂ２－４ａｃ＜０； ③４ａ－２ｂ＋ｃ＜０； ④２ｂ＋ｃ＜０； ⑤若（ｘ１，ｙ１）和（ｘ２，ｙ２）是这条 抛物线上的两点，则当 ｘ１＋ １ ２ ＞ ｘ２＋ １ ２ 时， ｙ１＜ｙ２。 Ａ．１个 　Ｂ．２个 　Ｃ．３个 　Ｄ．４个 二、填空题（本大题共６小题，每小题３分，共１８分） １１．计算：槡 １２×槡２ 槡３ －２ｓｉｎ４５°＝　　　　。 １２．若一组数据ａ１，ａ２，…，ａｎ的平均数为４，方差为 ３，则数据２ａ１＋３，２ａ２＋３，…，２ａｎ＋３的平均数和 方差分别是　　　　，　　　　。 １３．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这 样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的 时间少用了１５分钟，现已知小林家距学校８千 米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的 ２．５倍。若设乘公交车平均每小时走ｘ千米，根 据题意可列方程为　　　　　　　　。 １４．若关于ｘ的一元二次方程ｋｘ２＋（ｋ－２）ｘ＋ ｋ ４ ＝ ０有两个不相等的实数根，则 ｋ的取值范围 是　　　　。 １５．数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形 的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周 率。如图，正六边形ＡＢＣＤＥＦ的边长为２，现 随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴 影区域的概率为　　　　。 １６．如图，四边形 ＡＢＣＤ是边长为 ４ｃｍ的正方 形，点Ｅ在边 ＣＤ上，ＤＥ＝１ｃｍ，作 ＥＦ∥ＢＣ， 分别交 ＡＣ，ＡＢ于点 Ｇ，Ｆ，Ｍ，Ｎ分别是 ＡＧ， ＢＥ的中点，则下列５个结论： ①点Ｆ，Ｎ，Ｃ共线；②ＭＮ＝ ５ ２ ｃｍ；③ＡＣ⊥ＢＥ； ④△ＭＮＣ的面积为 ７ ８ ｃｍ２；⑤∠ＭＥＢ＝４５°。 其中正确的是　　　　（填写所有正确结论 的序号）。 三、作图题（本大题满分４分） １７．已知：如图，△ＡＢＣ（ＡＢ＞ＡＣ）。 求作：△ＰＡＢ，使得ＰＡ＝ＰＢ，且∠Ｃ＝∠ＡＰＢ。 四、解答题（本大题共８小题，共６８分） １８．（８分）（１）化简：ａ－ ４－ａ ａ－１( )÷ａ ２－４ａ＋４ ａ－１ ； （２）求不等式组 ４ｘ≥３（ｘ－１）， ２ｘ－ ｘ－３ ２ ＜５{ 的整数解。 １９．（６分）如图１是位于青岛的山东省内最大的海景 摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领 略大青岛的磅礴气势。图２是它的简化示意图，点 Ｏ是摩天轮的圆心，ＡＢ是摩天轮垂直地面的直径。 小红在Ｅ处测得摩天轮顶端Ａ的仰角为２４°，她沿 水平方向向左行走 １２２ｍ到达点 Ｄ，再沿着坡度 ｉ＝０．７５的斜坡走了２０米到达点Ｃ，然后再沿水平方 向向左行走４０ｍ到达摩天轮最低点Ｂ处（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ， Ｅ均在同一平面内），求摩天轮ＡＢ的高度。（结果保 留整数）（参考数据：ｓｉｎ２４°≈０．４１，ｃｏｓ２４°≈０．９１， ｔａｎ２４°≈０．４５） 图１ 　 图２                                                                                                                                                                                                                     １２２０２４年九校联考学业水平第一次阶段性质量检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ７０— — ７１— — ７２— ２０．（８分）某工程队承接一铁路工程，在挖掘一条 ５００米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时 每天挖掘的长度是原计划的１．５倍，结果提前了 ２５天完成了其中３００米的隧道挖掘任务。 （１）求实际每天挖掘多少米； （２）由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要 求完成整条隧道不超过７０天，那么为了完成剩 下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少 每天还应多挖掘多少米？ ２１．（８分）某学校为了解全校学生对电视节目 （新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况， 从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调 查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统 计图。 请根据以上信息，解答下列问题 （１）这次被调查的学生共有多少名？ （２）请将条形统计图补充完整。 （３）若该校有３０００名学生，估计全校学生中 喜欢体育节目的有多少名？ （４）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢 新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取 ２名，用画树状图法或列表法求恰好选中甲、 乙两位同学的概率。 ２２．（８分）如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ与ＢＤ相交于点 Ｏ，Ｅ，Ｆ分别是 ＯＢ，ＯＤ的 中点，连接 ＡＥ并延长 ＡＥ至点 Ｇ，使 ＥＧ＝ＡＥ， 连接ＣＧ，ＣＦ。 （１）求证：△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ； （２）当线段 ＡＢ与线段 ＡＣ满足什么数量关系 时，四边形ＥＧＣＦ是矩形？请说明理由。 ２３．（８分）如图，已知 Ａ（－３，２），Ｂ（ｎ，－３）是一 次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象与反比例函数 ｙ＝ ｍ ｘ 的图象的两个交点。 （１）求反比例函数和一次函数的解析式； （２）求△ＡＯＢ的面积； （３）在坐标轴上是否存在一点 Ｐ，使△ＡＯＰ 是直角三角形？直接写出点Ｐ的坐标。 ２４．（１０分）如图１，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｎ，Ｍ分 别在边ＢＣ，ＣＤ上，连接ＡＭ，ＡＮ，ＭＮ。∠ＭＡＮ＝ ４５°，将△ＡＭＤ绕点 Ａ顺时针旋转９０°，点 Ｄ与 点Ｂ重合，得到△ＡＢＥ。易证：△ＡＮＭ≌△ＡＮＥ， 从而得ＤＭ＋ＢＮ＝ＭＮ。 【实践探究】 （１）在图１条件下，若 ＣＮ＝６，ＣＭ＝８，则正方形 ＡＢＣＤ的边长为　　　　； （２）如图 ２，点 Ｍ，Ｎ分别在边 ＣＤ，ＡＢ上，且 ＢＮ＝ＤＭ。点Ｅ，Ｆ分别在 ＢＭ，ＤＮ上，∠ＥＡＦ＝ ４５°，连接ＥＦ，猜想三条线段ＥＦ，ＢＥ，ＤＦ之间满 足的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （３）如图３，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝８，点Ｍ， Ｎ分别在边 ＣＤ，ＢＣ上，连接 ＡＭ，ＡＮ，已知 ∠ＭＡＮ＝４５°，ＢＮ＝２，求ＤＭ的长。 图１ 　　 图２ 图３ ２５．（１２分）如图１，已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ ３ ２ ｘ＋ｃ的图象 与ｙ轴交于点Ａ（０，４），与ｘ轴交于点Ｂ，Ｃ，点Ｃ的 坐标为（８，０），连接ＡＢ，ＡＣ。 （１）请直接写出二次函数ｙ＝ａｘ２＋ ３ ２ ｘ＋ｃ的表达式； （２）判断△ＡＢＣ的形状，并说明理由； （３）如图２，若点Ｎ在线段ＢＣ上运动（不与点Ｂ，Ｃ 重合），过点Ｎ作ＭＮ∥ＡＣ，交ＡＢ于点Ｍ，当△ＡＭＮ 面积最大时，求此时点Ｎ的坐标； （４）若点Ｎ在ｘ轴上运动，当以点Ａ，Ｎ，Ｃ为顶点的 三角形是等腰三角形时，请写出此时点Ｎ的坐标。 图１ 　　 图２                                                                                                                                                                                                                            ∴ｔ＝ １６ ７ 。 ∴当ｔ＝ １６ ７ ｓ时，点Ｐ在∠ＥＦＣ的平分线上。 （２）如图２，连接ＰＣ，ＰＦ。 ∵ＡＣ⊥ＢＤ于点Ｏ，ＯＢ＝ＯＤ＝ＯＡ＝４ｃｍ， 图２ ∴△ＯＡＢ，△ＯＡＤ均是等 腰直角三角形。 ∴∠ＡＤＯ＝４５°。 ∵ＥＦ⊥ＢＤ， ∴△ＱＥＤ是等腰直角三 角形。 ∴ＱＥ＝ＱＤ＝ｔｃｍ。 ∵ＥＦ⊥ＢＤ，ＡＣ⊥ＢＤ， ∴ＥＦ∥ＡＣ。 ∴△ＤＱＦ∽△ＤＯＣ。∴ ＱＤ ＯＤ ＝ＱＦ ＯＣ ＝ＤＦ ＤＣ 。 ∴ ｔ ４ ＝ＱＦ ３ ＝ＤＦ ５ 。∴ＱＦ＝ ３ ４ ｔｃｍ，ＤＦ＝ ５ ４ ｔｃｍ。 ∴ＥＦ＝ＱＥ＋ＱＦ＝ ７ ４ ｔｃｍ， ＣＦ＝ＣＤ－ＤＦ＝５－ ５ ４ ｔ( ) ｃｍ。 ∴ｙ＝Ｓ△ＰＥＦ＋Ｓ△ＰＣＦ ＝１ ２ ＥＦ·ＰＱ＋ １ ２ ＣＦ·ＰＨ ＝１ ２ ×７ ４ ｔ·（８－２ｔ）＋ １ ２ ×５－ ５ ４ ｔ( ) ×３５（８－ｔ） ＝－１１ ８ ｔ２＋ ５ ２ ｔ＋１２。 （３）设ＭＦ与ＯＤ交于点Ｈ，如图３。 图３ 由（２）可知 ＯＰ＝ＯＱ＝ （４－ｔ）ｃｍ，ＱＦ＝ ３ ４ ｔｃｍ， ＱＥ＝ＱＤ＝ｔｃｍ。 ∵ＥＦ⊥ＢＤ，ＡＣ⊥ＢＤ， ∴ＥＦ∥ＡＣ。 ∵ＯＰ＝ＯＱ， ∴ ＯＭ 是 △ＰＥＱ 的 中 位线。 ∴ＯＭ＝ １ ２ ＱＥ＝ １ ２ ｔｃｍ。 ∵ＥＦ∥ＡＣ，∴△ＯＭＨ∽△ＱＦＨ。 ∴ ＯＭ ＱＦ ＝ＯＨ ＱＨ 。∴ ＯＱ－ＱＨ ＱＨ ＝ １ ２ ｔ ３ ４ ｔ 。 ∴ＱＨ＝ １２－３ｔ ５ 。 ∵ＰＣ∥ＭＦ，∴∠ＰＣＭ＝∠ＣＭＦ。∵ＡＣ∥ＥＦ， ∴∠ＣＭＦ＝∠ＭＦＥ。 ∴∠ＰＣＯ＝∠ＭＦＥ。 ∵∠ＰＯＣ＝∠ＦＱＨ＝９０°，∴△ＰＯＣ∽△ＨＱＦ。 ∴ ＯＰ ＯＣ ＝ＱＨ ＱＦ 。∴ ４－ｔ ３ ＝ １２－３ｔ ５ ３ ４ ｔ 。 ∴５ｔ２－３２ｔ＋４８＝０。 ∴ｔ＝４（不合题意，舍去）或ｔ＝ １２ ５ 。 ∴存在时刻ｔ＝ １２ ５ ｓ，使得ＣＰ∥ＭＦ。 １２２０２４年九校联考学业水平第一次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ １．Ａ　【解析】Ａ．π ３ 是无理数，符合题意；Ｂ．２是有理 数，不符合题意；Ｃ． ２２ ７ 是有理数，不符合题意； Ｄ．０．９是有理数，不符合题意。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】∵选项Ａ，Ｂ，Ｄ中的汽车轮胎的样式只 是轴对称图形，选项Ｃ中的汽车轮胎的样式既是轴 对称图形又是中心对称图形，∴选项 Ａ，Ｂ，Ｄ不符 合题意，选项Ｃ符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｃ　【解析】∵１亿＝１０８，∴４１．７６亿＝４．１７６×１０９。 ∴４１．７６亿≈４．２×１０９。故选Ｃ。 ４．Ｂ　【解析】Ａ是主视图，Ｃ是左视图，Ｄ是俯视图。 故选Ｂ。 ５．Ｂ　【解析】如图，过点Ａ作 ＡＭ∥ＢＣ，∴∠１＝∠ＦＡＭ＝ ３７°。∵∠ＦＡＨ＝９０°， ∴∠ＭＡＨ＝∠ＦＡＨ－ ∠ＦＡＭ＝５３°。 ∵ＡＭ∥ＢＣ，ＤＥ∥ＢＣ， ∴ ＡＭ∥ ＤＥ。∴ ∠２＝ ∠ＭＡＨ＝５３°。故选Ｂ。 ６．Ｃ　【解析】Ａ．ａ３与ａ２不是同类项，不能合并，计算错 误；Ｂ．ａ３·ａ２＝ａ５，计算错误；Ｃ．２ｎ－２ｎ－１＝２×２ｎ－１－２ｎ－１＝ ２ｎ－１，计算正确；Ｄ．ａ３÷ａ４＝ａ－１，计算错误。故选Ｃ。 ７．Ｄ　【解析】如图，连接 ＣＤ，则 ∠ＢＤＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°。 ∵ ∠ＡＤＥ＝∠ＡＣＢ，∠ＤＡＥ＝ ∠ＣＡＢ，∴△ＡＤＥ∽△ＡＣＢ。 ∵Ｓ△ＡＤＥ∶Ｓ四边形ＢＣＥＤ＝１∶２， ∴Ｓ△ＡＤＥ∶Ｓ△ＡＣＢ＝１∶３。 ∴ＡＤ∶ＡＣ＝槡３∶３。∴ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝ 槡３ ３ 。故选Ｄ。 ８．Ｃ　【解析】由图可知，△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′关于点 （１．５，０）成中心对称，设点Ｐ′的坐标为（ｘ，ｙ），所以 ａ＋ｘ ２ ＝１．５， ｂ＋ｙ ２ ＝０。解得ｘ＝３－ａ，ｙ＝－ｂ。所以 Ｐ′的 坐标为（３－ａ，－ｂ）。故选Ｃ。                                                                —８３— ９．Ｄ　【解析】由题意知，ＡＦ＝ＣＦ，ＡＢ＝ＣＤ＝ＡＧ＝４， ＢＣ＝ＡＤ＝８。在Ｒｔ△ＡＢＦ中，由勾股定理，得ＡＢ２＋ＢＦ２＝ ＡＦ２，即 ４２＋（８－ＡＦ）２＝ＡＦ２，解得 ＡＦ＝５。∵∠ＢＡＦ＋ ∠ＦＡＥ＝∠ＦＡＥ＋∠ＥＡＧ＝９０°，∴ ∠ＢＡＦ＝∠ＥＡＧ。 ∵∠Ｂ＝∠ＡＧＥ＝９０°，ＡＢ＝ＡＧ，∴ △ＢＡＦ≌ △ＧＡＥ。 ∴ＡＥ＝ＡＦ＝５，ＤＥ＝ＥＧ＝ＢＦ＝３。∵Ｓ△ＧＡＥ＝ １ ２ ＡＧ·ＥＧ＝ １ ２ ＡＥ·边ＡＥ上的高，∴边ＡＥ上的高＝ １２ ５ 。∴Ｓ△ＧＥＤ＝ １ ２ ＤＥ·边ＡＥ上的高＝ １ ２ ×３× １２ ５ ＝１８ ５ 。故选Ｄ。 １０．Ｂ　【解析】由所给函数图象可知，ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＜０， ∴ａｂｃ＜０。故①错误；∵抛物线与ｘ轴有两个不同 的交点，∴ｂ２－４ａｃ＞０。故②错误；∵抛物线的对称 轴为直线ｘ＝－ １ ２ ，且与 ｘ轴的一个交点的横坐标 比１大，２×－ １ ２( ) －１＝－２，∴抛物线与ｘ轴的另一 个交点的横坐标比－２小，∴当ｘ＝－２时，函数值小 于零，∴４ａ－２ｂ＋ｃ＜０。故③正确；∵抛物线的对称 轴为直线 ｘ＝－ １ ２ ，∴－ ｂ ２ａ ＝－１ ２ ，即ａ＝ｂ。又∵当 ｘ＝１时，函数值小于零，∴ａ＋ｂ＋ｃ＜０，∴２ｂ＋ｃ＜０。故 ④正确；∵抛物线开口向上，∴抛物线上的点离对 称轴越近，其函数值越小。∵ ｘ１＋ １ ２ ＞ｘ２＋ １ ２ ， ∴ｙ１＞ｙ２，故⑤错误。故选Ｂ。 １１．槡２　【解析】原式＝ 槡２３×槡２ 槡３ －２×槡 ２ ２ ＝槡２２－槡２＝槡２。 １２．１１　１２　【解析】∵数据 ａ１，ａ２，…，ａｎ的平均数 为４，∴数据 ２ａ１＋３，２ａ２＋３，…，２ａｎ＋３的平均数 为２×４＋３＝１１。∵数据 ａ１，ａ２，…，ａｎ的方差为 ３，∴数据２ａ１＋３，２ａ２＋３，…，２ａｎ＋３的方差为３× ２２＝１２。 １３． ８ ｘ ＝ ８ ２．５ｘ ＋１ ４ 　【解析】设乘公交车平均每小时走 ｘ千米，根据题意可列方程为 ８ ｘ ＝ ８ ２．５ｘ ＋１ ４ 。 １４．ｋ＜１且 ｋ≠０　【解析】根据题意，得 ｋ≠０且 Δ＝ （ｋ－２）２－４ｋ× ｋ ４ ＝－４ｋ＋４＞０，解得ｋ＜１且ｋ≠０。 １５． １ ４ 　【解析】设小⊙Ｏ的半径为 ｒ，则正六边形的 边长为 槡 ２３ｒ ３ ，即大⊙Ｏ的半径为 槡 ２３ｒ ３ 。随机向该 图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率 为 π× 槡２３ｒ ３( ) ２ －ｒ２[ ] π× 槡２３ｒ ３( ) ２ ＝１ ４ 。 １６．①②④⑤　【解析】如图，连接 ＦＭ，ＣＦ，ＢＭ，ＢＤ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，ＥＦ∥ＢＣ，∴∠ＢＡＣ＝４５°， 四边形ＢＣＥＦ是矩形，ＡＣ⊥ＢＤ。故③错误，不符合 题意；∴△ＡＦＧ是等腰直角三角形，ＢＥ＝ＣＦ。∵Ｍ 是ＡＧ的中点，∴ＡＭ＝ＧＭ＝ＦＭ。∵∠ＢＡＣ＝４５°， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＦＭ＝∠ＭＦＧ＝∠ＭＧＦ＝４５°。 ∴△ＡＦＭ与△ＦＭＧ均是等腰直角三角形。 ∴ＦＭ⊥ＡＣ。∴△ＦＭＣ是直角三角形。 ∵四边形 ＢＣＥＦ是矩形，∴ＥＦ＝ＢＣ。∵ＢＣ＝ＡＢ， ∴ＥＦ＝ＡＢ，∠ＢＡＣ＝∠ＥＦＭ＝４５°，ＡＭ＝ＦＭ。 ∴△ＡＭＢ≌△ＦＭＥ（ＳＡＳ）。∴ＢＭ＝ＥＭ。∵Ｎ是 ＢＥ的中点，∴ＭＮ＝ １ ２ ＢＥ。∴ＭＮ＝ １ ２ ＣＦ。∴点Ｆ， Ｎ，Ｃ共线。故①正确，符合题意；∵ＤＥ＝１ｃｍ，ＢＣ＝ ＣＤ＝４ｃｍ，∴ＣＥ＝３ｃｍ，ＢＥ＝ＣＦ＝ ＢＣ２＋ＣＥ槡 ２＝ ５ｃｍ。∴ＭＮ＝ １ ２ ＣＦ＝ ５ ２ ｃｍ。故②正确，符合题 意；在△ＦＭＣ中，Ｎ是ＣＦ的中点，∴Ｓ△ＭＦＮ＝Ｓ△ＭＮＣ＝ １ ２ Ｓ△ＦＭＣ＝ １ ２ ×１ ２ ×ＣＭ×ＦＭ。在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２＝槡４２ｃｍ，ＣＭ＝ 槡４２－ 槡２ ２ ＝槡７２ ２ （ｃｍ）。 ∴Ｓ△ＭＮＣ＝ １ ２ ×１ ２ ×槡７２ ２ ×槡２ ２ ＝７ ８ （ｃｍ２）。故④正确， 符合题意；∵ＢＭ＝ＥＭ，ＭＮ＝ １ ２ ＣＦ，ＣＦ＝ＢＥ，Ｎ是 ＢＥ 的中点，∴△ＢＭＥ是等腰直角三角形，∠ＢＭＥ＝ ９０°。∴∠ＭＥＢ＝４５°。故⑤正确，符合题意。 综上所述，正确的是①②④⑤。 １７．解：如图，△ＰＡＢ和△Ｐ′ＡＢ即为所求作。 １８．解：（１）原式＝ ａ２－４ ａ－１ · ａ－１ （ａ－２）２ ＝（ａ ＋２）（ａ－２） ａ－１ · ａ－１ （ａ－２）２ ＝ａ ＋２ ａ－２ 。 （２） ４ｘ≥３（ｘ－１），① ２ｘ－ ｘ－３ ２ ＜５，②{                                                                —９３— 解不等式①，得ｘ≥－３。 解不等式②，得ｘ＜ ７ ３ 。 ∴该不等式组的解集为－３≤ｘ＜ ７ ３ 。 ∴整数解为－３，－２，－１，０，１，２。 １９．解：如图，过点Ｂ作ＢＭ⊥ＥＤ交ＥＤ的延长线于点 Ｍ，过点Ｃ作ＣＮ⊥ＤＭ于点Ｎ。 ∴ＭＮ＝ＢＣ＝４０ｍ，ＢＭ＝ＣＮ。 在Ｒｔ△ＣＤＮ中，ｉ＝ ＣＮ ＤＮ ＝０．７５＝ ３ ４ ， ∴设ＣＮ＝３ｘｍ，则ＤＮ＝４ｘｍ。 ∴ＣＤ＝ ＣＮ２＋ＤＮ槡 ２＝５ｘ＝２０。解得ｘ＝４。 ∴ＣＮ＝１２ｍ，ＤＮ＝１６ｍ。∴ＢＭ＝１２ｍ， ＥＭ＝ＭＮ＋ＤＮ＋ＤＥ＝４０＋１６＋１２２＝１７８（ｍ）。 在Ｒｔ△ＡＥＭ中，ｔａｎ２４°＝ ＡＭ ＥＭ≈ ０．４５， ∴ １２＋ＡＢ １７８≈ ０．４５。 ∴ＡＢ＝１７８×０．４５－１２≈６８（ｍ）。 ∴摩天轮ＡＢ的高度约为６８ｍ。 ２０．解：（１）设原计划每天挖掘 ｘ米，则实际每天挖掘 １．５ｘ米。 根据题意，得 ３００ ｘ －３００ １．５ｘ ＝２５。解得ｘ＝４。 经检验，ｘ＝４是原分式方程的解，且符合题意。 ∴１．５ｘ＝１．５×４＝６。 答：实际每天挖掘６米。 （２）设每天还应多挖掘ｙ米。 根据题意，得 ７０－ ３００ ６( ) （６＋ｙ）≥５００－３００。 解得ｙ≥４。 答：至少每天还应多挖掘４米。 ２１．解：（１）这次被调查的学生共有１５÷３０％＝５０（名）。 （２）喜爱“体育”的人数为５０－（４＋１５＋１８＋３）＝１０。 补全条形统计图如下： （３）３０００× １０ ５０ ＝６００（名）。 答：估计全校学生中喜欢体育节目的有６００名。 （４）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲）（丙，甲）（丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙）（丁，乙） 丙 （甲，丙）（乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁）（乙，丁）（丙，丁） 所有等可能的结果有 １２种，恰好选中甲、乙两位 同学的结果有２种， 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为 ２ １２ ＝１ ６ 。 ２２．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，ＯＢ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＣ。 ∴∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ。 ∵Ｅ，Ｆ分别是ＯＢ，ＯＤ的中点， ∴ＢＥ＝ １ ２ ＯＢ，ＤＦ＝ １ ２ ＯＤ。∴ＢＥ＝ＤＦ。 在△ＡＢＥ和△ＣＤＦ中， ＡＢ＝ＣＤ， ∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ ＢＥ＝ＤＦ，{ ， ∴△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（ＳＡＳ）。 （２）解：当ＡＣ＝２ＡＢ时，四边形ＥＧＣＦ是矩形。 理由：∵ＡＣ＝２ＯＡ，ＡＣ＝２ＡＢ， ∴ＡＢ＝ＯＡ。 ∵Ｅ是ＯＢ的中点， ∴ＡＧ⊥ＯＢ。 ∴∠ＯＥＧ＝９０°。 同理可得ＣＦ⊥ＯＤ， ∴ＡＧ∥ＣＦ。 ∵ＥＧ＝ＡＥ，ＯＡ＝ＯＣ， ∴ＯＥ是△ＡＣＧ的中位线。 ∴ＯＥ∥ＣＧ。 ∴四边形ＥＧＣＦ是平行四边形。 ∵∠ＯＥＧ＝９０°， ∴四边形ＥＧＣＦ是矩形。 ２３．解：（１）∵点Ａ的坐标为（－３，２），且点Ａ在反比例 函数的图象上， ∴ｍ＝－３×２＝－６。 ∴反比例函数的解析式为ｙ＝－ ６ ｘ 。 又∵点Ｂ的坐标为（ｎ，－３），且点Ｂ也在反比例函 数ｙ＝－ ６ ｘ 的图象上，∴ｎ＝２。 ∵点Ａ的坐标为（－３，２），点 Ｂ的坐标为（２，－３）， 且点Ａ，Ｂ都在一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象上， ∴ －３ｋ＋ｂ＝２， ２ｋ＋ｂ＝－３，{ 解得 ｋ＝－１，ｂ＝－１。{ ∴一次函数的解析式为ｙ＝－ｘ－１。 （２）∵直线ｙ＝－ｘ－１与ｘ轴交于点Ｃ，如图１， ∴Ｃ（－１，０）。 ∴ＯＣ＝１。 ∵点Ａ的坐标为（－３，２），点Ｂ的坐标为（２，－３），                                                                —０４— ∴Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＡＯＣ＋Ｓ△ＢＯＣ＝ １ ２ ＯＣ·｜ｙＡ｜＋ １ ２ ＯＣ·｜ｙＢ｜＝ １ ２ ＯＣ（｜ｙＡ｜＋｜ｙＢ｜）＝ １ ２ ×１×（２＋３）＝ ５ ２ 。 图１ （３）若点Ｐ在ｘ轴上，设点Ｐ（ｍ，０），则ＯＰ＝－ｍ。 当∠ＯＰＡ＝９０°时，如图２， ∵点Ａ的坐标为（－３，２），∴点Ｐ的坐标为（－３，０）； 图２ 图３ 　 当∠ＯＡＰ＝９０°时，如图３， ∴ＯＡ２＝３２＋２２＝１３，ＡＰ２＝（－３－ｍ）２＋（０－２）２。 ∵△ＡＯＰ是直角三角形， ∴ＯＡ２＋ＡＰ２＝ＯＰ２，即１３＋（ｍ＋３）２＋（０－２）２＝ｍ２。 解得ｍ＝－ １３ ３ 。∴点Ｐ的坐标为 － １３ ３ ，０( ) ； 若点Ｐ在ｙ轴上，设点Ｐ（０，ｐ），则ＯＰ＝ｐ。 当∠ＯＰＡ＝９０°时，如图４， ∵点Ａ的坐标为（－３，２），∴点Ｐ的坐标为（０，２）； 图４ 图５ 当∠ＯＡＰ＝９０°时，如图５， ∴ＯＡ２＝３２＋２２＝１３，ＡＰ２＝（ｐ－２）２＋（０＋３）２。 ∵△ＡＯＰ是直角三角形， ∴ＯＡ２＋ＡＰ２＝ＯＰ２，即１３＋（ｐ－２）２＋（０＋３）２＝ｐ２， 解得ｐ＝ １３ ２ 。∴点Ｐ的坐标为 ０， １３ ２( ) 。 综上可得，点 Ｐ的坐标为（－３，０）或 － １３ ３ ，０( ) 或 （０，２）或 ０， １３ ２( ) 。 ２４．解：（１）在Ｒｔ△ＣＭＮ中， ＭＮ＝ ＣＮ２＋ＣＭ槡 ２＝ ６２＋８槡 ２＝１０， 则ＢＮ＋ＤＭ＝１０。 设正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ｘ，则 ＢＮ＝ＢＣ－ＣＮ＝ｘ－ ６，ＤＭ＝ＣＤ－ＣＭ＝ｘ－８。 ∴ｘ－６＋ｘ－８＝１０。解得ｘ＝１２， 即正方形ＡＢＣＤ的边长为１２。 故答案为１２。 （２）ＥＦ２＝ＢＥ２＋ＤＦ２。理由如下： 图１ 如图 １，将△ＡＦＤ绕点 Ａ顺 时针旋转 ９０°，点 Ｄ与点 Ｂ 重合，得到△ＡＢＨ，连接ＥＨ， ∴∠ＡＤＦ＝∠ＡＢＨ，ＤＦ＝ＢＨ， ∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＨ，ＡＨ＝ＡＦ。 ∵∠ＥＡＦ＝４５°， ∴∠ＤＡＦ＋∠ＢＡＥ＝４５°＝ ∠ＢＡＨ＋∠ＢＡＥ。 ∴∠ＥＡＨ＝４５°＝∠ＥＡＦ。 又∵ＡＨ＝ＡＦ，ＡＥ＝ＡＥ， ∴△ＥＡＨ≌△ＥＡＦ（ＳＡＳ）。∴ＥＨ＝ＥＦ。 ∵ＢＮ＝ＤＭ，ＢＮ∥ＤＭ，∴四边形ＢＭＤＮ是平行四边 形。∴ＤＮ∥ＢＭ。∴∠ＡＮＤ＝∠ＡＢＭ。 ∵∠ＡＤＮ＋∠ＡＮＤ＝９０°， ∴∠ＡＢＨ＋∠ＡＢＭ＝９０°＝∠ＨＢＭ。 ∴ＢＥ２＋ＢＨ２＝ＥＨ２。∴ＥＦ２＝ＢＥ２＋ＤＦ２。 （３）如图２，延长ＡＢ至点Ｐ，使ＢＰ＝ＢＮ＝２，过点Ｐ 作ＢＣ的平行线交 ＤＣ的延长线于点 Ｑ，延长 ＡＮ 交ＰＱ于点Ｅ，连接ＥＭ， 图２ 则四边形ＡＰＱＤ是正方形。 ∴ＰＱ＝ＤＱ＝ＡＰ＝ＡＢ＋ ＢＰ＝８。设ＤＭ＝ｘ， 则ＭＱ＝８－ｘ。 ∵ＰＱ∥ＢＣ， ∴△ＡＢＮ∽△ＡＰＥ。 ∴ ＡＢ ＡＰ ＝ＢＮ ＰＥ ＝３ ４ 。∴ＰＥ＝ ４ ３ × ＢＮ＝ ８ ３ 。∴ＥＱ＝ＰＱ－ＰＥ＝８－ ８ ３ ＝１６ ３ 。 由（１），得ＥＭ＝ＰＥ＋ＤＭ＝ ８ ３ ＋ｘ。 在Ｒｔ△ＱＥＭ中，由勾股定理， 得 １６ ３( ) ２ ＋（８－ｘ）２＝ ８ ３ ＋ｘ( ) ２ ， 解得ｘ＝４，即ＤＭ的长为４。 ２５．解：（１）∵二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ ３ ２ ｘ＋ｃ的图象与 ｙ轴 交于点Ａ（０，４），与 ｘ轴交于点 Ｂ，Ｃ，点 Ｃ的坐标 为（８，０）， ∴ ｃ ＝４， ６４ａ＋１２＋ｃ＝０，{ 解得 ａ＝－ １ ４ ， ｃ＝４。{ ∴二次函数的表达式为ｙ＝－ １ ４ ｘ２＋ ３ ２ ｘ＋４。                                                                —１４— （２）△ＡＢＣ是直角三角形。理由如下： 令ｙ＝－ １ ４ ｘ２＋ ３ ２ ｘ＋４＝０，解得ｘ１＝－２，ｘ２＝８， ∴点Ｂ的坐标为（－２，０）。 ∴ＡＢ＝槡２５，ＡＣ＝槡４５，ＢＣ＝１０。 ∵（槡２５） ２＋（槡４５） ２＝１０２，∴ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２。 ∴△ＡＢＣ是直角三角形。 （３）∵△ＡＢＣ是直角三角形，∠ＢＡＣ＝９０°。∴ＡＣ⊥ＡＢ。 ∵ＡＣ∥ＭＮ，∴ＭＮ⊥ＡＢ。 设点Ｎ的坐标为（ｎ，０），则ＢＮ＝ｎ＋２。 ∵ＭＮ∥ＡＣ，∴△ＢＭＮ∽△ＢＡＣ。 ∴ ＢＭ ＢＡ ＝ＭＮ ＡＣ ＝ＢＮ ＢＣ 。 ∴ＢＭ＝ ＢＮ·ＢＡ ＢＣ ＝槡５（ｎ ＋２） ５ ， ＭＮ＝ ＢＮ·ＡＣ ＢＣ ＝槡２５（ｎ ＋２） ５ 。 ∴ＡＭ＝ＡＢ－ＢＭ＝槡２５－ 槡５（ｎ＋２） ５ ＝槡８５ －槡５ｎ ５ 。 ∵Ｓ△ＡＭＮ＝ １ ２ ＡＭ·ＭＮ ＝１ ２ ×槡８５ －槡５ｎ ５ ×槡２５ｎ ＋槡４５ ５ ＝－１ ５ （ｎ－３）２＋５， ∴当ｎ＝３时，△ＡＭＮ面积最大。 此时点Ｎ的坐标为（３，０）。 （４）由（２），知ＡＣ＝槡４５。 ①以点Ａ为圆心，ＡＣ长为半径作圆，交 ｘ轴于点 Ｎ，此时点Ｎ的坐标为（－８，０）。 ②以点Ｃ为圆心，ＡＣ长为半径作圆，交 ｘ轴于点 Ｎ，此时点Ｎ的坐标为（８－槡４５，０）或（８＋槡４５，０）。 ③如图，作ＡＣ的垂直平分线交ＡＣ于点Ｐ，交ｘ轴 于点Ｎ。 ∴△ＡＯＣ∽△ＮＰＣ。 ∴ ＣＰ ＯＣ ＝ＣＮ ＡＣ ， 即 槡 ２５ ８ ＝ＣＮ 槡４５ 。 ∴ＣＮ＝５。∴此时点Ｎ的坐标为（３，０）。 综上所述，点Ｎ的坐标为（－８，０）或（８－槡４５，０）或 （８＋槡４５，０）或（３，０）。 １３２０２４年市南区学业水平第二次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ １．Ａ　【解析】绝对值等于５的有理数是±５。故选Ａ。 ２．Ｄ　【解析】Ａ既不是中心对称图形，又不是轴对称 图形，故本选项不符合题意；Ｂ是轴对称图形，但不 是中心对称图形，故本选项不符合题意；Ｃ既不是 中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符 合题意；Ｄ是中心对称图形，但不是轴对称图形，故 本选项符合题意。故选Ｄ。 ３．Ｂ　【解析】２５０００００００＝２．５×１０８。故选Ｂ。 ４．Ｂ　【解析】从正面看，是一行三个相邻的矩形，其 中左边和中间的两个矩形是正方形，且中间的正方 形有一条纵向的虚线。故选Ｂ。 ５．Ｃ　【解析】 ２（２ｘ－１）≥３ｘ－４，① ｘ ３ －１＜ ｘ－３ ２ ，②{ 解不等式①，得ｘ≥－２。解不等式②，得ｘ＞３。 ∴不等式组的解集为ｘ＞３。故选Ｃ。 ６．Ｃ　【解析】如图。 观察图象可得，点Ｂ的对应点 Ｂ２的坐标为（３，５）。 故选Ｃ。 ７．Ｂ　【解析】∵ＢＤ是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边ＡＣ的中线，ＣＤ＝ ６，∴ＢＤ＝ １ ２ ＡＣ＝ＡＤ＝ＣＤ＝６。∴ＡＣ＝１２。∵ＢＤ＝ＡＢ， ∴ＡＢ＝６。在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得 ＢＣ＝ ＡＣ２－ＡＢ槡 ２＝ １２２－６槡 ２＝槡６３。∵Ｅ，Ｆ分别是ＢＤ，ＣＤ 的中点，∴ＥＦ是△ＤＢＣ的中位线。∴ＥＦ＝ １ ２ ＢＣ＝ 槡３３。故选Ｂ。 ８．Ｃ　【解析】∵ＢＣ∥ＯＡ，∴∠Ａ＝∠ＡＣＢ＝１７°。 ∴∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ＝３４°。∵ＢＣ∥ＯＡ， ∴∠ＡＯＢ＝∠Ｂ＝３４°。∵ＢＤ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＢＣＤ＝９０°。∴∠Ｄ＝９０°－∠Ｂ＝５６°。故选Ｃ。 ９．Ａ　【解析】∵抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的开口方向向 上，∴ａ＞０。对称轴在 ｙ轴的右侧，∴ａ，ｂ异号。 ∴ｂ＜０。∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与 ｙ轴的负半轴相 交，∴ｃ＜０。又∵抛物线与 ｘ轴有 ２个交点， ∴ｂ２－４ａｃ＞０。∴直线ｙ＝ｂｃｘ＋ｂ２－４ａｃ经过第一、二、 三象限。当ｘ＝－１时，ｙ＞０，即 ａ－ｂ＋ｃ＞０，∴双曲线 ｙ＝ ａ－ｂ＋ｃ ｘ 经过第一、三象限。综上所述，符合条件 的图象是Ａ选项。故选Ａ。 １０．Ｃ　【解析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别 为ｘ个、ｙ个。根据题意，得 ４ｘ ＋３ｙ＝ｎ， ｘ＋２ｙ＝ｍ，{ 两式相加 得ｍ＋ｎ＝５（ｘ＋ｙ）。∵ｘ，ｙ都是正整数，∴ｍ＋ｎ是５ 的倍数。∵２０２３，２０２４，２０２５，２０２６四个数中只 有２０２５是 ５的倍数，∴ｍ＋ｎ的值可能为 ２０２５。 故选Ｃ。                                                                —２４—