11 2024年莱西市学业水平第一次阶段性质量检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东青岛专版）

— ６１— — ６２— — ６３— 　　　　　　　　　　　　　　　　第Ⅰ卷（选择题 共３０分） 一、选择题（本题满分３０分，共１０道小题，每小题３分） １．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概 念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”。 如：粮库把运进３０吨粮食记为“＋３０”，则“－３０” 表示 （　　） Ａ．运出３０吨粮食 Ｂ．亏损３０吨粮食 Ｃ．卖掉３０吨粮食 Ｄ．吃掉３０吨粮食 ２．２０２４年巴黎奥运会运动项目图标设计大量使用 了对称元素。下列分别是划船、篮球、摔跤、冲浪 四个运动项目的图标，其中既是轴对称图形又是 中心对称图形的是 （　　） Ａ．划船 Ｂ．篮球 Ｃ．摔跤 Ｄ．冲浪 ３．莱西湖是胶东半岛第一大水库，是山东省第二大 水库，最大库容量为 ４．０２亿立方米。将数据 ４０２００００００用科学记数法表示为 （　　） Ａ．４０２×１０６ Ｂ．４．０２×１０８ Ｃ．４．０２×１０６ Ｄ．４×１０８ ４．如图所示，零件的俯视图是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ５．下列运算错误的是 （　　） Ａ．２ａ２＋４ａ２＝６ａ４ Ｂ．６ｘ８÷２ｘ４＝３ｘ４ Ｃ．（３ａ＋ｂ）（３ａ－ｂ）＝９ａ２－ｂ２ Ｄ．（－３ｘ３）２＝９ｘ６ ６．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题 目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到 ９００里远的城市，则所需时间比规定时间多 １天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间 少３天。已知快马的速度是慢马的２倍，求规 定时间。设规定时间为 ｘ天，则可列出正确的 方程为 （　　） Ａ． ９００ ｘ＋３ ＝２× ９００ ｘ－１ Ｂ． ９００ ｘ－３ ＝２× ９００ ｘ＋１ Ｃ． ９００ ｘ－１ ＝２× ９００ ｘ＋３ Ｄ． ９００ ｘ＋１ ＝２× ９００ ｘ－３ ７．某餐厅供应单价为 １０元、１８元、２５元三种价 格的盒饭。如图是该餐厅某月三种盒饭销售 情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该餐 厅这个月销售盒饭的平均单价为 （　　） Ａ．１７元 Ｂ．１８元 Ｃ．１９元 Ｄ．２０元 ８．小华将一副三角板（∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，∠Ｃ＝３０°， ∠Ｅ＝４５°）按如图所示的方式摆放，其中 ＡＣ∥ ＥＦ，则∠α的度数为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．６５° Ｃ．７０° Ｄ．７５° ９．函数ｙ１＝ｘ（ｘ＞０），ｙ２＝ ４ ｘ （ｘ＞０）的图象如图所 示，下列结论中，错误的是 （　　） Ａ．两函数图象的交点坐标为（２，２） Ｂ．直线ｘ＝１分别与两函数图象交于Ａ，Ｂ两点， 则线段ＡＢ的长为３ Ｃ．当ｘ＞１时，ｙ２＞ｙ１ Ｄ．当ｘ＞０时，ｙ１的值随着ｘ值的增大而增大，ｙ２ 的值随着ｘ值的增大而减小 第９题图 　　 第１０题图 １０．如图，已知正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ４，Ｅ是 ＡＢ 边延长线上一点，ＢＥ＝２，Ｆ是边ＡＢ上一点，将 △ＣＥＦ沿ＣＦ翻折，使点Ｅ的对应点Ｇ落在ＡＤ 边上，连接 ＥＧ交折痕 ＣＦ于点 Ｈ，则 ＦＨ的 长为 （　　） Ａ． ４ ３ Ｂ．槡 １０ ３ Ｃ．１ Ｄ．槡 ５ ３ 第Ⅱ卷（非选择题　共９０分） 二、填空题（本题满分１８分，共６道小题，每小题３分） １１．计算槡 １２５×槡２５ 槡５ ＋槡８０的结果为　　　　。 １２．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为 广大民众生活中不可或缺的一部分。小刚将 二维码打印在面积为 １６的正方形纸片上，如 图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内 随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑 色阴影的频率稳定在０．６左右，则据此估计此 二维码中黑色阴影的面积为　　　　。 　　　　　　 １３．笔记本５元／本，钢笔７元／支，某同学购买笔 记本和钢笔恰好用去１００元，那么最多购买 钢笔　　　　支。 １４．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝槡２，ＡＣ＝槡６，ＡＢ＝ 槡２２，Ｄ是 ＡＢ的中点，以点 Ｃ为圆心，ＣＤ长 为半径画弧，交ＡＣ于点Ｅ，则图中阴影部分 的面积为　　　　。 １５．二次函数ｙ＝ｘ２－２ｘ－２中，当０≤ｘ≤４时，ｙ的 取值范围是　　　　。 １６．在平面直角坐标系中，用１２个含有３０°角的 直角三角形拼成如图所示的图形，若 Ａ０Ａ１＝ １，则图中与△ＯＡ１１Ａ１２位似的三角形直角顶 点的坐标为　　　　。 三、作图题（本题满分４分。用直尺、圆规作图， 不写作法，但要保留作图痕迹） １７．已知：∠ＡＯＢ，Ｐ是边ＯＡ上一点。 求作：点Ｑ，使点Ｑ在∠ＡＯＢ的平分线上，且 ＰＱ∥ＯＢ。 四、解答题（本题满分６８分，共９道小题） １８．（８分）（１）解不等式组： ｘ－３ ２ ＋３≥ｘ， １－３（ｘ－１）＜８－ｘ；{ （２）计算： ｍ２－９ ｍ２－６ｍ＋９ －３ ｍ－３( )÷ｍ ２ ｍ－３ 。 １９．（６分）如图，Ａ，Ｂ两个带指针的转盘分别被分成三 个面积相等的扇形，转盘 Ａ上的数字分别为－６， －１，５，转盘 Ｂ上的数字分别为６，－７，４（两个转盘 除表面数字不同外，其他完全相同）。小聪和小明 同时转动 Ａ，Ｂ两个转盘，使之旋转（规定：指针恰 好停留在分界线上，则重新转一次）。 （１）转动转盘，转盘 Ａ指针指向正数的概率是 　　　　； （２）若同时转动两个转盘，转盘Ａ指针所指的数字 记为ａ，转盘Ｂ指针所指的数字记为 ｂ，若ａ＋ｂ＞０， 则小聪获胜；若ａ＋ｂ＜０，则小明获胜。请用列表法 或画树状图法说明这个游戏是否公平。 Ａ 　　 Ｂ                                                                                                                                                                                                                     １１２０２４年莱西市学业水平第一次阶段性质量检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — ６４— — ６５— — ６６— ２０．（６分）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西 瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查。在 相同条件下，随机抽取了两种西瓜各７份样品， 对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进 行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计 图表。 甲、乙两种西瓜得分表 序号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ 甲种西瓜（分） ７５ ８５ ８６ ８８ ９０ ９６ ９６ 乙种西瓜（分） ８０ ８３ ８７ ９０ ９０ ９２ ９４ 甲、乙两种西瓜得分统计表 平均数 中位数 众数 甲种西瓜 ８８ ａ ９６ 乙种西瓜 ８８ ９０ ｂ （１）ａ＝　　　，ｂ＝　　　； （２）设甲、乙两种西瓜得分的方差分别为ｓ２甲，ｓ ２ 乙， 则ｓ２甲　　　　ｓ ２ 乙（填“＞”“＜”或“＝”）； （３）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为 乙种西瓜的品质较好些。请结合统计图表中的 信息分别写出他们的理由。 ２１．（６分）如图１是一台电脑支架，图２是其侧面 示意图，ＡＢ，ＢＣ可分别绕 Ｂ，Ｃ转动，测量知 ＡＢ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，当 ＡＢ，ＢＣ转动到 ∠ＡＢＣ＝９０°时，∠ＢＣＤ＝３７°时，求点Ａ到ＣＤ的 距离。（参考数据：ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｃｏｓ３７°≈ ０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５） 图１ 　　 图２ ２２．（６分）【问题情境】（１）如图１，四边形 ＡＢＣＤ 是正方形，点Ｅ是边ＡＤ上的一个动点，以ＣＥ 为边在ＣＥ的右侧作正方形 ＣＥＦＧ，连接 ＤＧ， ＢＥ，则ＤＧ与ＢＥ的数量关系是　　　　； 【类比探究】（２）如图２，四边形ＡＢＣＤ是矩形， ＡＢ＝４，ＢＣ＝１０，点Ｅ是边ＡＤ上的一个动点，以 ＣＥ为边在 ＣＥ的右侧作矩形 ＣＥＦＧ，且 ＣＧ∶ ＣＥ＝２∶５，连接ＤＧ，ＢＥ。判断线段ＤＧ与ＢＥ的 数量关系：　　　　　　　　　； 【拓展提升】（３）如图 ３，在（２）的条件下，当 ＦＧ经过点 Ｄ时，则矩形 ＣＥＦＧ的面积 为　　　　。 图１ 　　 图２ 图３ ２３．（８分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦 想，体育强则中国强，国运兴则体育兴。”为引 导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学 校开展大课间活动，七年级（５）班拟组织学生 参加跳绳活动，需购买 Ａ，Ｂ两种跳绳若干，已 知购买 ３根 Ａ种跳绳和 １根 Ｂ种跳绳共需 １０５元；购买５根Ａ种跳绳和３根Ｂ种跳绳共 需２１５元。 （１）求Ａ，Ｂ两种跳绳的单价； （２）如果班级计划购买Ａ，Ｂ两种跳绳共４８根， Ｂ种跳绳根数不少于Ａ种跳绳根数的２倍，那 么购买跳绳所需最少费用为多少元？ ２４．（８分）如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是边ＢＣ 上一点，以ＢＤ为直径作⊙Ｏ，点Ａ在⊙Ｏ上， 过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡＣ交ＣＡ的延长线于点Ｅ，交 ⊙Ｏ于点Ｆ，连接ＡＦ。 （１）求证：△ＡＢＦ≌△ＣＡＤ； （２）如图 ２，当 ＡＣ与⊙Ｏ相切时，四边形 ＡＦＢＯ是什么特殊四边形？证明你的结论。 图１ 图２ ２５．（１０分）如图１，河面上架有一座彩虹桥，桥的支 撑梁呈抛物线形。建立如图２所示的平面直角 坐标系（桥面 ＡＢ所在直线为 ｘ轴），已知 ＯＡ＝ ６ｍ，ＯＢ＝１６ｍ，ＯＣ＝８ｍ。 （１）求抛物线的函数表达式； （２）当桥面ＡＢ离河面ＭＮ的高度为４ｍ时，求 抛物线形支撑梁在河面上的跨度 ＭＮ为多 少米？ （３）若Ｐ是线段 ＢＣ上一点，以 ＯＡ，ＯＰ为邻边 作ＡＯＰＱ，当点 Ｑ在抛物线上时，求点 Ｐ的 坐标。 图１ 　　 图２ ２６．（１０分）如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＢＤ于点Ｏ， ＯＢ＝ＯＤ＝ＯＡ＝４ｃｍ，ＯＣ＝３ｃｍ，点Ｐ从点Ｂ出发， 沿ＢＯ方向匀速向点Ｏ运动；同时，点Ｑ从点Ｄ出 发，沿 ＤＯ方向匀速向点 Ｏ运动，速度都为 １ｃｍ／ｓ。过点 Ｑ作 ＥＦ⊥ＢＤ，分别交 ＡＤ，ＣＤ于点 Ｅ，Ｆ，连接 ＰＥ交 ＡＣ于点 Ｍ。设运动时间为 ｔｓ （０＜ｔ＜４），解答下列问题： （１）当ｔ为何值时，点Ｐ在∠ＥＦＣ的平分线上？ （２）设四边形ＥＦＣＰ的面积为ｙ（ｃｍ２），求ｙ与ｔ之 间的函数关系式； （３）连接ＭＦ，是否存在某一时刻 ｔ，使得 ＣＰ∥ＭＦ？ 若存在，求出ｔ的值；若不存在，请说明理由。 　　 备用图                                                                                                                                                                                                                            整理，得（１５０－ａ）２＝１４４００。 解得ａ１＝３０，ａ２＝２７０（不合题意，舍去）。 ∴ａ＝３０。 （３）当ｘ＝５０００时，ｗ内＝－ １ １００ ×５０００２＋１３０×５０００－ ６２５００＝３３７５００， ｗ外＝－ １ １００ ×５０００２＋（１５０－ａ）×５０００＝－５０００ａ＋ ５０００００。 当ｗ内＜ｗ外，即ａ＜３２．５时，在国外销售才能使所获 月利润较大； 当ｗ内＝ｗ外，即ａ＝３２．５时，在国内、国外销售所获 月利润一样大； 当ｗ内＞ｗ外，即ａ＞３２．５时，在国内销售才能使所获 月利润较大。 ２６．解：（１）∵抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过点 Ａ（－４，０）， Ｂ（２，０），Ｃ（０，６）， ∴ １６ａ－４ｂ＋ｃ＝０， ４ａ＋２ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝６。{ 解得 ａ＝－ ３ ４ ， ｂ＝－ ３ ２ ， ｃ＝６。      ∴抛物线的解析式为ｙ＝－ ３ ４ ｘ２－ ３ ２ ｘ＋６。 （２）设直线ＡＥ的解析式为ｙ＝ｋｘ－２，则０＝－４ｋ－２， 解得ｋ＝－ １ ２ 。 ∴直线ＡＥ的解析式为ｙ＝－ １ ２ ｘ－２。 如图，过点Ｄ作ＤＧ⊥ｘ轴于点Ｇ，交ＡＥ于点Ｆ。 设Ｄｘ，－ ３ ４ ｘ２－ ３ ２ ｘ＋６( ) ， 则Ｆｘ，－ １ ２ ｘ－２( ) 。 ∴ＤＦ＝－ ３ ４ ｘ２－ ３ ２ ｘ＋６－ －１ ２ ｘ－２( ) ＝－３４ｘ２－ｘ＋８。 ∵Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ△ＡＤＦ＋Ｓ△ＥＤＦ＝ １ ２ ＤＦ·ＡＧ＋ １ ２ ＤＦ·ＯＧ＝ １ ２ ×４ＤＦ＝２ＤＦ， ∴Ｓ△ＡＤＥ＝２－ ３ ４ ｘ２－ｘ＋８( ) ＝－３２ｘ２－２ｘ＋１６ ＝－３ ２ ｘ＋ ２ ３( ) ２ ＋５０ ３ 。 ∵－ ３ ２ ＜０，－４＜ｘ＜０， ∴当ｘ＝－ ２ ３ 时，△ＡＤＥ的面积最大。 ∴Ｄ－ ２ ３ ， ２０ ３( ) 。 （３）由（１），得抛物线的解析式为 ｙ＝－ ３ ４ ｘ２－ ３ ２ ｘ＋ ６＝－ ３ ４ （ｘ＋１）２＋ ２７ ４ ， ∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１。 设Ｐ（－１，ｔ）。 ①△ＡＥＰ是等腰三角形，且以ＡＰ为底边。 ∵ＡＥ＝ＰＥ， ∴ＡＥ２＝ＰＥ２。 ∴４２＋２２＝１２＋（ｔ＋２）２。 解得ｔ１＝－２＋槡１９，ｔ２＝－２－槡１９。 ∴Ｐ（－１，－２＋槡１９）或（－１，－２－槡１９）； ②△ＡＥＰ是等腰三角形，且以ＰＥ为底边。 ∵ＡＥ＝ＡＰ， ∴ＡＥ２＝ＡＰ２。 ∴４２＋２２＝（－１＋４）２＋ｔ２。 解得ｔ３＝槡１１，ｔ４＝－槡１１。 ∴Ｐ（－１，槡１１）或（－１，－槡１１）。 综上所述，点 Ｐ的坐标为（－１，－２＋槡１９）或 （－１，－２－槡１９）或Ｐ（－１，槡１１）或（－１，－槡１１）。 １１２０２４年莱西市学业水平第一次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ １．Ａ　【解析】“－３０”表示运出３０吨粮食。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】Ａ是轴对称图形，不是中心对称图形， 故本选项不符合题意；Ｂ不是轴对称图形，是中心 对称图形，故本选项不符合题意；Ｃ既是轴对称图 形又是中心对称图形，故本选项符合题意；Ｄ既不 是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不 符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】４０２００００００＝４．０２×１０８。故选Ｂ。 ４．Ｃ　【解析】零件的俯视图是 。故选Ｃ。 ５．Ａ　【解析】Ａ．２ａ２＋４ａ２＝６ａ２，运算错误，符合题意； Ｂ．６ｘ８÷２ｘ４＝３ｘ４，运算正确，不符合题意；Ｃ．（３ａ＋ｂ） （３ａ－ｂ）＝９ａ２－ｂ２，运算正确，不符合题意；Ｄ．（－３ｘ３）２＝ ９ｘ６，运算正确，不符合题意。故选Ａ。 ６．Ｂ　【解析】∵规定时间为 ｘ天，∴慢马送到所需时 间为（ｘ＋１）天，快马送到所需时间为（ｘ－３）天。 又∵快马的速度是慢马的 ２倍，两地间的路程为 ９００里，∴ ９００ ｘ－３ ＝２× ９００ ｘ＋１ 。故选Ｂ。 ７．Ａ　【解析】２５×２０％＋１０×３０％＋１８×５０％＝１７（元）， ∴该餐厅这个月销售盒饭的平均单价为１７元。 故选Ａ。 ８．Ｄ　【解析】如图，设ＤＦ与ＡＣ相交于点Ｇ，与ＢＣ相 交于点Ｈ。∵ＡＣ∥ＥＦ，∴∠１＝∠Ｆ＝４５°。∵∠α是                                                                —４３— △ＣＧＨ的一个外角，∴∠α＝∠Ｃ＋∠１＝７５°。 故选Ｄ。 ９．Ｃ　【解析】Ａ．将点（２，２）分别代入两个函数解析 式，得ｙ１＝２，ｙ２＝２，正确，不符合题意；Ｂ．将ｘ＝１分 别代入两个函数解析式，得ｙ１＝１，ｙ２＝４，ＡＢ＝４－１＝ ３，正确，不符合题意；Ｃ．当１＜ｘ＜２时，ｙ２＞ｙ１，错误， 符合题意；Ｄ．当ｘ＞０时，ｙ１的值随着 ｘ值的增大而 增大，ｙ２的值随着ｘ值的增大而减小，正确，不符合 题意。故选Ｃ。 １０．Ｂ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是边长为４的正方形， ∴ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ＝ＣＢ＝４，∠Ｄ＝∠Ａ＝∠ＡＢＣ。 ∴∠Ｄ＝∠ＣＢＥ＝９０°。由翻折，得 ＣＧ＝ＣＥ，ＧＦ＝ ＥＦ，ＣＦ垂直平分ＥＧ，在Ｒｔ△ＣＤＧ和Ｒｔ△ＣＢＥ中， ＣＧ＝ＣＥ， ＣＤ＝ＣＢ，{ ∴Ｒｔ△ＣＤＧ≌Ｒｔ△ＣＢＥ（ＨＬ）。∴ＤＧ＝ ＢＥ＝２。∴ＡＧ＝ＡＤ－ＤＧ＝４－２＝２。∵ＡＥ＝ＡＢ＋ＢＥ＝ ４＋２＝６，∴ＥＧ＝ ＡＧ２＋ＡＥ槡 ２＝ ２２＋６槡 ２＝ 槡２ １０。 ∵ＡＧ２＋ＡＦ２＝ＦＧ２，且ＡＦ＝６－ＥＦ，∴２２＋（６－ＥＦ）２＝ ＥＦ２。解得ＥＦ＝ １０ ３ 。∵ １ ２ ＥＧ·ＦＨ＝ １ ２ ＥＦ·ＡＧ＝ Ｓ△ＥＦＧ，∴ １ ２ × 槡２ １０ＦＨ＝ １ ２ ×１０ ３ ×２。解得 ＦＨ＝ 槡１０ ３ 。故选Ｂ。 １１．２５＋槡４５　【解析】原式＝槡２５×槡２５＋ 槡４５＝２５＋ 槡４５。 １２．９．６　【解析】经过大量重复试验，发现点落在黑 色阴影部分的频率稳定在 ０．６左右，据此可以估 计黑色阴影部分的面积为１６×０．６＝９．６。 １３．１０　【解析】设某同学买了 ｘ支钢笔，ｙ本笔记本， 则由题意得７ｘ＋５ｙ＝１００。如果 ｘ＝１，那么ｙ＝ ９３ ５ ， 不是正整数，舍去；如果 ｘ＝２，那么 ｙ＝ ８６ ５ ，不是正 整数，舍去；如果ｘ＝３，那么ｙ＝ ７９ ５ ，不是正整数，舍 去；如果ｘ＝４，那么ｙ＝ ７２ ５ 不是正整数，舍去；如果 ｘ＝５，那么ｙ＝１３；如果ｘ＝６，那么ｙ＝ ５８ ５ ，不是正整 数，舍去；如果 ｘ＝７，那么 ｙ＝ ５１ ５ ，不是正整数，舍 去；如果ｘ＝８，那么ｙ＝ ４４ ５ ，不是正整数，舍去；如果 ｘ＝９，那么 ｙ＝ ３７ ５ ，不是正整数，舍去；如果ｘ＝１０， 那么ｙ＝６；如果ｘ＝１１，那么ｙ＝ ２３ ２ ，不是正整数，舍 去；如果ｘ＝１２，那么ｙ＝ １６ ５ ，不是正整数，舍去；如果 ｘ＝１３，那么ｙ＝ ９ ５ ，不是正整数，舍去；如果 ｘ＝１４， 那么ｙ＝ ２ ５ ，不是正整数，舍去。∴ｘ的最大值为１０。 １４．槡 ３３－π ６ 　【解析】在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝槡２，ＡＣ＝槡６， ＡＢ＝槡２２，∵（槡２） ２＋（槡６） ２＝（槡２２） ２，∴△ＡＢＣ是直 角三角形，∠ＡＣＢ＝９０°。∵Ｄ是ＡＢ的中点，∴ＣＤ＝ １ ２ ＡＢ＝槡２。∴ＢＣ＝ＣＤ＝ＢＤ。∴∠ＢＣＤ＝６０°。 ∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ－∠ＢＣＤ＝３０°。∴阴影部分的面 积为 １ ２ ＡＣ·ＢＣ－ １ ２ ＢＤ·ＣＤ·ｓｉｎ６０°－ ３０π ３６０ ·ＣＤ２＝ １ ２ ×槡６×槡２－ １ ２ ×槡２×槡２× 槡３ ２ －π １２ ×（槡２） ２＝ 槡３－ 槡３ ２ －π ６ ＝槡３３ －π ６ 。 １５．－３≤ｙ≤６　【解析】∵ｙ＝ｘ２－２ｘ－２＝（ｘ－１）２－３，ａ＝ １＞０，∴当ｘ＝１时，ｙ取最小值－３。当 ｘ＝０时，ｙ＝ －２；当ｘ＝４时，ｙ＝６。∴当０≤ｘ≤４时，－３≤ｙ≤６。 １６．－ 槡１６３ ９ ， １６ ９( ) 　【解析】由题意，得ＯＡ１＝２Ａ０Ａ１＝２， ＯＡ２＝ＯＡ１÷ｃｏｓ３０°，ＯＡ３＝ＯＡ１÷ｃｏｓ ２ ３０°，…， ＯＡ５＝ＯＡ１÷ｃｏｓ ４３０°＝２÷槡３ ２( ) ４ ， ∴Ａ５ －２÷槡 ３ ２( ) ４ ×槡３ ２ ，２÷槡３ ２( ) ４ ×１ ２[ ] ， 即Ａ５ － 槡 １６３ ９ ， １６ ９( ) 。∴与△ＯＡ１１Ａ１２位似的三角形 直角顶点Ａ５的坐标为 － 槡 １６３ ９ ， １６ ９( ) 。 １７．解：如图，点Ｑ即为所求。 １８．解：（１） ｘ－３ ２ ＋３≥ｘ，① １－３（ｘ－１）＜８－ｘ，②{ 解不等式①，得ｘ≤３。 解不等式②，得ｘ＞－２。 故不等式组的解集为－２＜ｘ≤３。                                                                —５３— （２） ｍ２－９ ｍ２－６ｍ＋９ － ３ ｍ－３( ) ÷ｍ ２ ｍ－３ ＝ （ｍ＋３）（ｍ－３） （ｍ－３）２ － ３ ｍ－３[ ] ·ｍ－３ｍ２ ＝ｍ ＋３ ｍ－３ － ３ ｍ－３( ) ·ｍ－３ｍ２ ＝ｍｍ－３·ｍ－３ｍ２ ＝１ ｍ 。 １９．解：（１）∵转盘Ａ被分成三个面积相等的扇形，转 盘上的数字分别为－６，－１，５，其中正数有１个， ∴Ｐ（转动转盘，转盘Ａ指针指向正数）＝ １ ３ 。 故答案为 １ ３ 。 （２）列表如下： Ｂ Ａ　 －６ －１ ５ ６ ０ ５ １１ －７ －１３ －８ －２ ４ －２ ３ ９ 一共有９种等可能的结果，其中 ａ＋ｂ＞０有４种可 能的结果，ａ＋ｂ＜０有４种等可能的结果， ∴Ｐ（小聪获胜）＝ ４ ９ ，Ｐ（小明获胜）＝ ４ ９ 。 ∵Ｐ（小聪获胜）＝Ｐ（小明获胜）， ∴这个游戏公平。 ２０．解：（１）将甲种西瓜的得分按从小到大排列为７５， ８５，８６，８８，９０，９６，９６， 其中位数ａ＝８８。 乙种西瓜得分的众数ｂ＝９０。 故答案为８８，９０。 （２）∵ｓ２甲＝ １ ７ ×［（７５－８８）２＋（８５－８８）２＋（８６－８８）２＋ （８８－８８）２＋（９０－８８）２＋（９６－８８）２＋（９６－８８）２］＝ ３１４ ７ ， ｓ２乙＝ １ ７ ×［（８０－８８）２＋（８３－８８）２＋（８７－８８）２＋（９０－ ８８）２＋（９０－８８）２＋（９２－８８）２＋（９４－８８）２］＝ １５０ ７ ， ∴ｓ２甲＞ｓ ２ 乙。 故答案为＞。 （３）甲种西瓜的品质较好些，理由为甲种西瓜得 分的众数比乙种的高。 乙种西瓜的品质较好些，理由为乙种西瓜得分的中 位数比甲种的高。（答案不唯一，理由合理即可） ２１．解：如图，过点Ａ作ＡＥ⊥ＣＤ，交ＦＣ的延长线于点 Ｅ，过点Ｂ作ＢＧ⊥ＡＥ，ＢＦ⊥ＣＤ，垂足分别为Ｇ，Ｆ。 ∵ＡＥ⊥ＣＤ，ＢＧ⊥ＡＥ，ＢＦ⊥ＣＤ， ∴四边形ＧＥＦＢ是矩形。∴ＢＧ∥ＤＥ。 ∴ＥＧ＝ＢＦ，∠ＧＢＣ＝∠ＢＣＦ＝３７°。 ∴∠ＡＢＧ＝∠ＡＢＣ－∠ＧＢＣ＝９０°－３７°＝５３°。 在Ｒｔ△ＢＣＦ中， ∵ｓｉｎ∠ＢＣＤ＝ ＢＦ ＢＣ ， ∴ＥＧ＝ＢＦ＝ｓｉｎ∠ＢＣＤ·ＢＣ≈０．６×６＝３．６（ｃｍ）。 在Ｒｔ△ＢＡＧ中，∠Ａ＝９０°－∠ＡＢＧ＝９０°－５３°＝３７°。 ∵ｃｏｓＡ＝ ＡＧ ＡＢ ，∴ＡＧ＝ｃｏｓＡ·ＡＢ≈０．８×１０＝８（ｃｍ）。 ∴ＡＥ＝ＡＧ＋ＥＧ＝８＋３．６＝１１．６（ｃｍ）。 答：点Ａ到ＣＤ的距离为１１．６ｃｍ。 ２２．解：（１）∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＣＤ＝ＢＣ，∠ＢＣＤ＝９０°。 ∵四边形ＣＥＦＧ是正方形， ∴ＣＧ＝ＣＥ，∠ＧＣＥ＝９０°。 ∴∠ＢＣＥ＋∠ＥＣＤ＝∠ＤＣＧ＋∠ＥＣＤ＝９０°。 ∴∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＧ。 在△ＢＣＥ和△ＤＣＧ中， ＢＣ＝ＣＤ， ∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＧ， ＣＥ＝ＣＧ，{ ∴△ＢＣＥ≌△ＤＣＧ（ＳＡＳ）。 ∴ＤＧ＝ＢＥ。 故答案为ＤＧ＝ＢＥ。 （２）∵四边形ＣＥＦＧ和四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠ＥＣＧ＝∠ＢＣＤ＝９０°，ＣＤ＝ＡＢ。 ∴∠ＤＣＧ＝∠ＢＣＥ。 ∵ＣＧ∶ＣＥ＝２∶５，ＡＢ＝４＝ＣＤ，ＢＣ＝１０， ∴ ＣＤ ＢＣ ＝４ １０ ＝２ ５ ＝ＣＧ ＣＥ 。∴△ＤＣＧ∽△ＢＣＥ。 ∴ ＤＧ ＢＥ ＝ＣＤ ＢＣ ＝２ ５ 。∴ＤＧ＝ ２ ５ ＢＥ。 故答案为ＤＧ＝ ２ ５ ＢＥ。 （３）由（２）知，ＤＧ＝ ２ ５ ＢＥ。 设ＤＧ＝２ｘ，则ＢＥ＝５ｘ。 ∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＤＥＣ＝∠ＢＣＥ。 又∵∠ＥＤＣ＝９０°＝∠ＢＥＣ， ∴△ＢＣＥ∽△ＣＥＤ。 ∴ ＢＣ ＣＥ ＝ＢＥ ＣＤ ，即 １０ ＣＥ ＝５ｘ ４ 。 ∴ＣＥ＝ ８ ｘ 。 ∵ＢＥ２＋ＣＥ２＝ＢＣ２， ∴（５ｘ）２＋ ８ ｘ( ) ２ ＝１０２。 解得ｘ＝槡 ２５ ５ 或ｘ＝槡 ４５ ５ （负值已舍去）。 经检验，ｘ＝槡 ２５ ５ ，ｘ＝槡 ４５ ５ 都是原方程的解。                                                                —６３— 当ｘ＝槡 ２５ ５ 时，ＣＥ＝ ８ ｘ ＝８ 槡２５ ５ ＝槡４５， ∵ＣＧ∶ＣＥ＝２∶５， ∴ＣＧ＝ ２ ５ ＣＥ＝槡 ８５ ５ 。 ∴Ｓ矩形ＣＥＦＧ＝ＣＥ·ＣＧ＝槡４５× 槡８５ ５ ＝３２； 当ｘ＝槡 ４５ ５ 时，ＣＥ＝ ８ ｘ ＝８ 槡４５ ５ ＝槡２５， ∵ＣＧ∶ＣＥ＝２∶５， ∴ＣＧ＝ ２ ５ ＣＥ＝槡 ４５ ５ 。 ∴Ｓ矩形ＣＥＦＧ＝ＣＥ·ＣＧ＝槡２５× 槡４５ ５ ＝８。 综上所述，矩形ＣＥＦＧ的面积为３２或８。 故答案为３２或８。 ２３．解：（１）设Ａ种跳绳的单价为 ｘ元，Ｂ种跳绳的单 价为ｙ元。 根据题意，得 ３ｘ＋ｙ＝１０５， ５ｘ＋３ｙ＝２１５。{ 解得 ｘ＝２５，ｙ＝３０。{ 答：Ａ种跳绳的单价为 ２５元，Ｂ种跳绳的单价为 ３０元。 （２）设购买Ａ种跳绳ａ根，总费用为ｗ元。 ∵Ｂ种跳绳根数不少于Ａ种跳绳根数的２倍， ∴２ａ≤４８－ａ，解得ａ≤１６。 ｗ＝２５ａ＋３０（４８－ａ）＝－５ａ＋１４４０。 ∵－５＜０， ∴ｗ随ａ的增大而减小。 ∴当ａ＝１６时，ｗ有最小值，最小值为１３６０。 答：购买跳绳所需最少费用为１３６０元。 ２４．（１）证明：∵ＡＢ＝ＡＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ。 ∵ＢＤ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＡＤ＝９０°。 ∴∠ＡＢＤ＋∠ＡＤＢ＝９０°。 ∵ＢＥ⊥ＡＣ，∴∠Ｅ＝９０°。 ∴∠ＥＡＦ＋∠ＡＦＥ＝９０°。 ∵四边形ＡＦＢＤ是⊙Ｏ的内接四边形， ∴∠ＡＦＢ＝∠ＡＤＣ。 ∴∠ＥＡＦ＝∠ＡＢＣ＝∠Ｃ。 ∴ＡＦ∥ＢＤ。 ∴∠ＦＡＢ＝∠ＡＢＣ＝∠Ｃ。 在△ＡＢＦ和△ＣＡＤ中， ∠ＡＦＢ＝∠ＡＤＣ， ∠ＦＡＢ＝∠Ｃ， ＡＢ＝ＡＣ，{ ∴△ＡＢＦ≌△ＣＡＤ（ＡＡＳ）。 （２）解：四边形ＡＦＢＯ是菱形。证明如下： ∵ＡＣ与⊙Ｏ相切， ∴ＯＡ⊥ＣＥ。 ∵ＢＥ⊥ＣＥ， ∴ＯＡ∥ＢＥ。 ∵ＡＦ∥ＯＢ， ∴四边形ＡＦＢＯ是平行四边形。 ∵ＯＡ＝ＯＢ， ∴四边形ＡＦＢＯ是菱形。 ２５．解：（１）∵ＯＡ＝６ｍ，ＯＢ＝１６ｍ，ＯＣ＝８ｍ， 点Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标分别为（－６，０），（１６，０），（０，８）， 设抛物线的函数表达式为 ｙ＝ａ（ｘ＋６）（ｘ－１６）＝ ａ（ｘ２－１０ｘ－９６）＝ａｘ２－１０ａｘ－９６ａ，则－９６ａ＝８。 解得ａ＝－ １ １２ 。 ∴抛物线的函数表达式为ｙ＝－ １ １２ ｘ２＋ ５ ６ ｘ＋８。 （２）设点Ｎ（ｘ，－４）。 将点Ｎ的坐标代入抛物线的函数表达式，得－４＝ －１ １２ ｘ２＋ ５ ６ ｘ＋８。 解得ｘ＝－８或１８，∴ＭＮ＝１８－（－８）＝２６（米）。 （３）由点Ｂ，Ｃ的坐标，得直线ＢＣ的函数表达式为 ｙ＝－ １ ２ ｘ＋８。 设点Ｑ的坐标为 ｘ，－ １ １２ ｘ２＋ ５ ６ ｘ＋８( ) 。 ∵四边形ＡＯＰＱ是平行四边形，∴ＯＡ＝ＰＱ。 ∴点Ｐ的坐标为 ｘ＋６，－ １ １２ ｘ２＋ ５ ６ ｘ＋８( ) 。 将点Ｐ的坐标代入直线ＢＣ的函数表达式，得－ １ １２ ｘ２＋ ５ ６ ｘ＋８＝－ １ ２ （ｘ＋６）＋８， 解得ｘ＝－２或ｘ＝１８（舍去）。 ∴点Ｐ的坐标为（４，６）。 ２６．解：（１）如图１，过点Ｐ作ＰＨ⊥ＣＤ于点Ｈ。 由题意，得ＢＰ＝ＤＱ＝ｔｃｍ。 ∴ＯＰ＝ＯＱ＝（４－ｔ）ｃｍ。 ∴ＰＱ＝２ＯＰ＝（８－２ｔ）ｃｍ，ＰＤ＝ＯＰ＋ＯＤ＝（８－ｔ）ｃｍ。 ∵ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＤ＝４ｃｍ，ＯＣ＝３ｃｍ， 图１ ∴ＣＤ＝ ＯＤ２＋ＯＣ槡 ２＝ ５ｃｍ。 ∵∠ＤＯＣ＝∠ＤＨＰ＝９０°， ∠ＣＤＯ＝∠ＰＤＨ， ∴△ＣＯＤ∽△ＰＨＤ。 ∴ ＯＣ ＣＤ ＝ＰＨ ＰＤ 。∴ ３ ５ ＝ＰＨ ８－ｔ 。 ∴ＰＨ＝ ３ ５ （８－ｔ）ｃｍ。 ∵点Ｐ在∠ＥＦＣ的平分线上，ＰＨ⊥ＣＤ，ＰＱ⊥ＥＦ， ∴ＰＨ＝ＰＱ。∴ ３ ５ （８－ｔ）＝８－２ｔ。                                                                —７３— ∴ｔ＝ １６ ７ 。 ∴当ｔ＝ １６ ７ ｓ时，点Ｐ在∠ＥＦＣ的平分线上。 （２）如图２，连接ＰＣ，ＰＦ。 ∵ＡＣ⊥ＢＤ于点Ｏ，ＯＢ＝ＯＤ＝ＯＡ＝４ｃｍ， 图２ ∴△ＯＡＢ，△ＯＡＤ均是等 腰直角三角形。 ∴∠ＡＤＯ＝４５°。 ∵ＥＦ⊥ＢＤ， ∴△ＱＥＤ是等腰直角三 角形。 ∴ＱＥ＝ＱＤ＝ｔｃｍ。 ∵ＥＦ⊥ＢＤ，ＡＣ⊥ＢＤ， ∴ＥＦ∥ＡＣ。 ∴△ＤＱＦ∽△ＤＯＣ。∴ ＱＤ ＯＤ ＝ＱＦ ＯＣ ＝ＤＦ ＤＣ 。 ∴ ｔ ４ ＝ＱＦ ３ ＝ＤＦ ５ 。∴ＱＦ＝ ３ ４ ｔｃｍ，ＤＦ＝ ５ ４ ｔｃｍ。 ∴ＥＦ＝ＱＥ＋ＱＦ＝ ７ ４ ｔｃｍ， ＣＦ＝ＣＤ－ＤＦ＝５－ ５ ４ ｔ( ) ｃｍ。 ∴ｙ＝Ｓ△ＰＥＦ＋Ｓ△ＰＣＦ ＝１ ２ ＥＦ·ＰＱ＋ １ ２ ＣＦ·ＰＨ ＝１ ２ ×７ ４ ｔ·（８－２ｔ）＋ １ ２ ×５－ ５ ４ ｔ( ) ×３５（８－ｔ） ＝－１１ ８ ｔ２＋ ５ ２ ｔ＋１２。 （３）设ＭＦ与ＯＤ交于点Ｈ，如图３。 图３ 由（２）可知 ＯＰ＝ＯＱ＝ （４－ｔ）ｃｍ，ＱＦ＝ ３ ４ ｔｃｍ， ＱＥ＝ＱＤ＝ｔｃｍ。 ∵ＥＦ⊥ＢＤ，ＡＣ⊥ＢＤ， ∴ＥＦ∥ＡＣ。 ∵ＯＰ＝ＯＱ， ∴ ＯＭ 是 △ＰＥＱ 的 中 位线。 ∴ＯＭ＝ １ ２ ＱＥ＝ １ ２ ｔｃｍ。 ∵ＥＦ∥ＡＣ，∴△ＯＭＨ∽△ＱＦＨ。 ∴ ＯＭ ＱＦ ＝ＯＨ ＱＨ 。∴ ＯＱ－ＱＨ ＱＨ ＝ １ ２ ｔ ３ ４ ｔ 。 ∴ＱＨ＝ １２－３ｔ ５ 。 ∵ＰＣ∥ＭＦ，∴∠ＰＣＭ＝∠ＣＭＦ。∵ＡＣ∥ＥＦ， ∴∠ＣＭＦ＝∠ＭＦＥ。 ∴∠ＰＣＯ＝∠ＭＦＥ。 ∵∠ＰＯＣ＝∠ＦＱＨ＝９０°，∴△ＰＯＣ∽△ＨＱＦ。 ∴ ＯＰ ＯＣ ＝ＱＨ ＱＦ 。∴ ４－ｔ ３ ＝ １２－３ｔ ５ ３ ４ ｔ 。 ∴５ｔ２－３２ｔ＋４８＝０。 ∴ｔ＝４（不合题意，舍去）或ｔ＝ １２ ５ 。 ∴存在时刻ｔ＝ １２ ５ ｓ，使得ＣＰ∥ＭＦ。 １２２０２４年九校联考学业水平第一次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ １．Ａ　【解析】Ａ．π ３ 是无理数，符合题意；Ｂ．２是有理 数，不符合题意；Ｃ． ２２ ７ 是有理数，不符合题意； Ｄ．０．９是有理数，不符合题意。故选Ａ。 ２．Ｃ　【解析】∵选项Ａ，Ｂ，Ｄ中的汽车轮胎的样式只 是轴对称图形，选项Ｃ中的汽车轮胎的样式既是轴 对称图形又是中心对称图形，∴选项 Ａ，Ｂ，Ｄ不符 合题意，选项Ｃ符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｃ　【解析】∵１亿＝１０８，∴４１．７６亿＝４．１７６×１０９。 ∴４１．７６亿≈４．２×１０９。故选Ｃ。 ４．Ｂ　【解析】Ａ是主视图，Ｃ是左视图，Ｄ是俯视图。 故选Ｂ。 ５．Ｂ　【解析】如图，过点Ａ作 ＡＭ∥ＢＣ，∴∠１＝∠ＦＡＭ＝ ３７°。∵∠ＦＡＨ＝９０°， ∴∠ＭＡＨ＝∠ＦＡＨ－ ∠ＦＡＭ＝５３°。 ∵ＡＭ∥ＢＣ，ＤＥ∥ＢＣ， ∴ ＡＭ∥ ＤＥ。∴ ∠２＝ ∠ＭＡＨ＝５３°。故选Ｂ。 ６．Ｃ　【解析】Ａ．ａ３与ａ２不是同类项，不能合并，计算错 误；Ｂ．ａ３·ａ２＝ａ５，计算错误；Ｃ．２ｎ－２ｎ－１＝２×２ｎ－１－２ｎ－１＝ ２ｎ－１，计算正确；Ｄ．ａ３÷ａ４＝ａ－１，计算错误。故选Ｃ。 ７．Ｄ　【解析】如图，连接 ＣＤ，则 ∠ＢＤＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°。 ∵ ∠ＡＤＥ＝∠ＡＣＢ，∠ＤＡＥ＝ ∠ＣＡＢ，∴△ＡＤＥ∽△ＡＣＢ。 ∵Ｓ△ＡＤＥ∶Ｓ四边形ＢＣＥＤ＝１∶２， ∴Ｓ△ＡＤＥ∶Ｓ△ＡＣＢ＝１∶３。 ∴ＡＤ∶ＡＣ＝槡３∶３。∴ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝ 槡３ ３ 。故选Ｄ。 ８．Ｃ　【解析】由图可知，△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′关于点 （１．５，０）成中心对称，设点Ｐ′的坐标为（ｘ，ｙ），所以 ａ＋ｘ ２ ＝１．５， ｂ＋ｙ ２ ＝０。解得ｘ＝３－ａ，ｙ＝－ｂ。所以 Ｐ′的 坐标为（３－ａ，－ｂ）。故选Ｃ。                                                                —８３—